精品解析：江苏省扬州市广陵区红桥高级中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

红桥高级中学2024-2025学年度第二学期 高一数学期中试卷 试卷满分150分；考试时长120分钟；2025.4 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在△ABC中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理可得，由此可求出. 【详解】根据正弦定理可得， 所以， 故选：B. 2. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量平行列出方程，求出答案. 【详解】由题意得，解得或3，经检验，均满足要求. 故选：C 3. 方程的解所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用零点存在性定理分析判断即可. 【详解】令，在上连续，且单调递增， 对于A，因为，， 所以的零点不在内，所以A错误， 对于B，因为，， 所以的零点不在内，所以B错误， 对于C，因为，， 所以的零点在内，所以方程的解所在区间为，所以C正确， 对于D，因为，， 所以的零点不在内，所以D错误， 故选：C 4. 如图，三个相同的正方形相接，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用已有图形分别求、，再求即可. 【详解】由图可知，， 得， 因为，所以. 故选: D. 5. 下列命题正确的是（ ） A. 以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥 B. 以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台 C. 圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D. 圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥、圆柱、圆台的特点判断各选项即可. 【详解】对于A，根据圆锥的特点，以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥，故A正确； 对于B，以直角梯形的直角腰为轴旋转所得的旋转体才是圆台，故B错误； 对于C，圆柱、圆台都有两个底面，而圆锥只有一个底面，故C错误； 对于D，圆锥的侧面展开图为扇形，此扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，故D错误. 故选：A. 6. 如图，为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点.从点测得，从点测得，从点测得.若测得（单位：百米），则两点的距离为（ ）百米. A B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合三角形的性质，正弦定理，余弦定理，即可求解. 【详解】在中，，， 则，， 在中，，，， 则， ， ， 在中，，， 则， . 故选：D. 7. 黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，该比值为，这是公认的最能引起美感的比例．黄金分割比的值还可以近似地表示为，则的近似值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得，利用展开化简可得. 详解】由题可得， . 故选：D. 8. 如图，在平面四边形中，，，，，，，若点F为边AD上的动点，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】以为原点建立平面直角坐标系，求得，设，令，得出，利用数量积的运算得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】以为原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 依题意得，又， 在中，由余弦定理得， 所以，所以，故， 在中，由余弦定理得， 所以，所以， 因为，，故， 因为，，所以， 所以在中，， 所以为等边三角形， 所以，所以， 设，由题意令，即， 解得，所以， 所以， 设，可得其对称轴为，且开口向上， 所以时，取得最小值，即的最小值为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，逆用正弦倍角公式进行求解；B选项，逆用余弦二倍角公式计算；C选项，逆用正切差角公式进行求解；D选项，逆用正弦和角公式计算. 【详解】A选项，，A正确； B选项，，B错误； C选项，，C正确； D选项，，D错误. 故选：AC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 向量，可以作为平面内所有向量的一组基底 B. 已知，，若在方向上的投影向量为，则 C. 若，则与的夹角为钝角 D. 非零向量，满足，则与夹角为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于选项A，因为基底是不共线的两向量，再利用向量共线的坐标运算即可判断出正误；选项B，利用投影向量的定义即可判断出正误；选项C，通过特例：与共线反向，即可判断出选项的正误；选项D，利用，通过运算得到，从而判断出选项D的正误. 【详解】选项A，因为，，故与共线，所以选项A错误； 选项B，，，所以在方向上的投影向量为，所以选项B正确； 选项C，当与共线反向时，有，此时，所以选项C错误； 选项D，因为，所以，得到， 又，为非零向量，故，所以选项D正确. 故选：BD. 11. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数的最大值是3 B. 若方程在区间有两个不相等的实根，则 C. 在中，若为锐角且，角的对边，则面积的最大值为 D. 在中，若为锐角且，面积为，边的中点为，则中线的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用三角函数恒等变换化简函数解析式可得，利用正弦函数的性质即可判断A；由题意可求，利用正弦函数的性质即可判断B；由题意可求的值，利用余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式即可判断C；由题意可求，利用三角形的面积公式求出，再由、数量积的运算律及基本不等式判断D． 【详解】因为 ， 对于A：因为，所以，的最大值为，故A错误； 对于B：，， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，，在上单调递减，， 又方程在区间有两个不相等的实根， 即与在区间有两个交点， ，，故B正确； 对于C：，为锐角，则， ，， ，， ，可得，当且仅当时等号成立， 面积为，当且仅当时等号成立， 的面积最大值为，故C正确； 对于D：，为锐角，则， ，， 面积为，， 又，所以 ，当且仅当时等号成立， 即，当且仅当时等号成立， 最小值为，故D正确． 故选：BCD ． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角是第一象限角，且，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平方关系和商数关系求出，再根据二倍角的正切公式即可得解. 【详解】因为角是第一象限角，且， 所以，则， 所以. 故答案为：. 13. 的值__________. 【答案】1 【解析】 【分析】由，结合辅助角公式可知原式为，结合诱导公式以及二倍角公式可求值. 【详解】解： . 故答案为:1. 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式，考查了辅助角公式，考查了诱导公式.本题的难点是熟练运用公式对所求式子进行变形整理. 14. 如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则________，若，，则的最小值为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据向量的加减运算，以为基底，表示出，和已知等式比较，即可得的值，求得的值；结合已知用表示，结合三点共线可得，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得的最小值. 【详解】在中，，，则， 故 ， 故； 又，而，， 所以，则， 又三点共线，所以，结合已知可知， 故， 当且仅当，结合，即时，取等号； 即的最小值为， 故答案为：； 【点睛】结论点睛：若，则三点共线. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，满足，，且与夹角为. （1）求和； （2）若，求实数的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积定义和模长公式直接计算即可得解. （2）由已知结合计算即可得解. 【小问1详解】 由题， 所以 【小问2详解】 因为，又由（1）， 所以由题意得， 解得. 16. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【详解】试题分析：(1)要求的值，根据两角和的正弦公式，可知还要求得，由于已知，所以，利用同角关系可得；（2）要求，由两角差的余弦公式我们知要先求得，而这由二倍角公式结合（1）可很容易得到.本题应该是三角函数最基本的题型，只要应用公式，不需要作三角函数问题中常见的“角”的变换，“函数名称”的变换等技巧，可以算得上是容易题，当然要正确地解题，也必须牢记公式，及计算正确. 试题解析：（1）由题意， 所以． （2）由（1）得，， 所以． 【考点】三角函数的基本关系式，二倍角公式，两角和与差的正弦、余弦公式． 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，即可求出角A的大小； （2）利用余弦定理，求出，再利用三角形面积公式即可求得. 【详解】解：（1）因为， 由正弦定理得,化简得， 因为, 所以. （2）由余弦定理， 把，，，代入上式可得，解得， 所以 . 【点睛】本题主要考查运用正弦定理求角的值，考查运用余弦定理求三角形面积问题，属于中档题. 18. 已知函数. （1）当时，求函数的值域； （2）求函数在区间上的所有零点之和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换整理可得，再根据正弦函数单调性可得其值域； （2）求出函数在区间上的所有零点即可得结果. 【小问1详解】 易知 因为，所以， 由正弦函数单调性可得， 则的值域为 【小问2详解】 因为，所以， 由得 所以，解得， 所以函数在区间上的所有零点之和为. 19. 为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.为安全起见，在鱼塘△MNC周围筑起护栏.已知，，，. （1）若时，求护栏的长度（△MNC的周长）； （2）当为何值时，鱼塘△MNC的面积最小，最小面积是多少？ 【答案】（1）； （2），最小值为. 【解析】 【分析】（1）由已知可得则有，在△ACM中应用余弦定理求得，再分别求出，即可求护栏的长度. （2）设，应用正弦定理及三角形面积公式可得，再应用和角正弦公式、二倍角正余弦及辅助角公式化简分母，最后由正弦型函数的性质求最值. 【小问1详解】 由，，，则， 所以，，则， 在△ACM中，由余弦定理得，则， 所以，即，又， 所以，则， 综上，护栏的长度（△MNC的周长）为. 【小问2详解】 设， 在△BCN中，由，得， 在△ACM中，由，得， 所以， 而， 所以，仅当，即时，有最大值为， 此时△CMN的面积取最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 红桥高级中学2024-2025学年度第二学期 高一数学期中试卷 试卷满分150分；考试时长120分钟；2025.4 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在△ABC中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 3. 方程的解所在区间为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，三个相同正方形相接，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题正确的是（ ） A. 以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥 B. 以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台 C 圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D. 圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 6. 如图，为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点.从点测得，从点测得，从点测得.若测得（单位：百米），则两点的距离为（ ）百米. A. B. C. D. 3 7. 黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，该比值为，这是公认的最能引起美感的比例．黄金分割比的值还可以近似地表示为，则的近似值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面四边形中，，，，，，，若点F为边AD上的动点，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 向量，可以作为平面内所有向量的一组基底 B. 已知，，若在方向上的投影向量为，则 C. 若，则与的夹角为钝角 D. 非零向量，满足，则与夹角为 11. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数最大值是3 B. 若方程在区间有两个不相等的实根，则 C. 在中，若为锐角且，角的对边，则面积的最大值为 D. 在中，若为锐角且，面积为，边的中点为，则中线的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角是第一象限角，且，则的值为________． 13. 值__________. 14. 如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则________，若，，则的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，满足，，且与的夹角为. （1）求和； （2）若，求实数的值. 16. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 17. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知. （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积. 18. 已知函数. （1）当时，求函数的值域； （2）求函数在区间上的所有零点之和. 19. 为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.为安全起见，在鱼塘△MNC周围筑起护栏.已知，，，. （1）若时，求护栏的长度（△MNC的周长）； （2）当为何值时，鱼塘△MNC的面积最小，最小面积是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$