精品解析：内蒙古自治区兴安盟科尔沁右翼前旗兴安北京中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

兴安北京中学24—25学年度九年级第三次学业质量监测 数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列四个圆形图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，，是上的三个点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（　　） A. ﹣7 B. 7 C. 3 D. ﹣3 4. 如图，正六边形内接于，的周长为，则边心距的长为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. ，且 C. ，且 D. 6. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线，求平移前抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形是的内接四边形，若，则所对的圆心角为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … 0 1 … … 2 2 … ①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③的值为；④图象不经过第三象限． 上述结论中正确的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ②③④ 9. 如图，四边形内接于是的直径．若，，则的长为（ ） A. 3 B. 2.5 C. 5 D. 4 10. 如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角是的扇形，则此扇形围成的圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点A(－1，3)关于原点对称的点A′的坐标是____________． 12. 若一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图的圆心角为，则圆锥的母线长是______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为____ 14. “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度为1寸，锯长为10寸，则圆材的半径为_____寸． 15. 要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为________． 三、解答题（共55分） 16. 解下列方程： 17. 观察下列方程的特征及其解的特点： ①的解为； ②的解为； ③的解为． 解答下列问题． （1）请你写出一个符合上述特征的第4个方程 ，其解为 ． （2）根据这类方程特征，第n个方程为 ，其解为 ． 18. 如图，以平行四边形的顶点为圆心，长为半径作，分别交于两点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 19. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上． （1）以O为原点建立直角坐标系，点B的坐标为，直接写出点A的坐标； （2）画出绕点O顺时针旋转后的，并求点B旋转到所经过的路线的长度． 20. 如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）若∠BAC = 60°，OA = 2，求阴影部分的面积（结果保留）． 21. 海安大公千亩梨园硕果累累，大大提高了广大梨农的生活水平．每千克梨的成本为6元，每千克售价需超过成本，但不高于14元，已知日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，当每千克梨的售价为7元时，日销售量为220千克；当每千克梨的售价为5元时，日销售量为260千克，设日销售利润为W元． （1）分别求出y与x，W与x之间的函数解析式； （2）若日销量不低于160千克，当售价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元． 22. 如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E，过点D作于F． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为5，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点C，点P是直线下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）直接写出点A和抛物线的顶点坐标； （3）当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形的最大面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴安北京中学24—25学年度九年级第三次学业质量监测 数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列四个圆形图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 如图，，，是上的三个点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理及圆的基本性质，由得，再根据等边对等角得，由三角形内角和定理得，可得结论．解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 【详解】解：∵在中，和所对的弧是，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B。 3. 已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（　　） A. ﹣7 B. 7 C. 3 D. ﹣3 【答案】A 【解析】 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：设另一个根为x，则 x+2＝﹣5， 解得x＝﹣7． 故选：A． 【点睛】此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 4. 如图，正六边形内接于，的周长为，则边心距的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出是解决问题的关键． 由圆的面积求出，证明是等边三角形，得到，由垂径定理得到，再由勾股定理求出即可． 【详解】解：∵的周长为， ∴ ∵六边形为正六边形， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：A． 5. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. ，且 C. ，且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】讨论m与0的关系，当m≠0时，得到判别式与系数的关系． 【详解】①m=0时，方程为x=0，不符合已知条件； ②m≠0时,方程有两个不相等的实根等价于△>0， 即, 解得，且； 故选C. 【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于掌握判别式与系数的关系． 6. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线，求平移前抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线平移．根据题意利用左加右减，上加下减进行平移即可得到本题答案． 【详解】解：由题意得：将抛物线先向上平移5个单位得到，再向右平移2个单位得：， ∴平移前抛物线的表达式为． 7. 如图，四边形是的内接四边形，若，则所对的圆心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，三角形内角和定理，圆周角定理；连接，．根据圆内接四边形对角互补可得，根据三角形内角和定理得出，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接，． ∵四边形是的内接四边形， ∴， ， ， ， 故选：D 8. 已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … 0 1 … … 2 2 … ①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③的值为；④图象不经过第三象限． 上述结论中正确的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立． 【详解】解：由表格可知， 抛物线的对称轴是直线，故②正确， 抛物线的顶点坐标是，有最小值，故抛物线的开口向上，故①错误， 当时，或，故m的值为，故③正确， 当时，，在第三象限，故④错误． 故选：B． 9. 如图，四边形内接于是的直径．若，，则的长为（ ） A. 3 B. 2.5 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理求出，等量代换求出，进而求出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 10. 如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角是的扇形，则此扇形围成的圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接OB、OC和BC，过点O作OD⊥BC于点D，然后根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半、等边三角形判定和垂径定理可得∠BOC=2∠BAC=120°，△ABC为等边三角形，BC=2BD，然后根据锐角三角函数即可求出BD，从而求出BC和AB，然后根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接OB、OC和BC，过点O作OD⊥BC于点D 由题意可得：OB=OC=20cm，∠BAC=60°，AB=AC ∴∠BOC=2∠BAC=120°，△ABC为等边三角形，BC=2BD ∴∠OBC=∠OCB=（180°－∠BOC）=30°，AB=AC=BC 在Rt△OBD中，BD=OB·cos∠OBD=cm ∴BC=2BD=cm ∴AB=BC=cm ∴圆锥的侧面积=S扇形BAC= 故选A． 【点睛】此题考查的是圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定及性质、锐角三角函数和求圆锥侧面积，掌握圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定及性质、锐角三角函数和扇形的面积公式是解决此题的关键． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点A(－1，3)关于原点对称的点A′的坐标是____________． 【答案】(1，) 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接写出答案． 【详解】解：点A（-1，3）关于原点对称的点A′的坐标是（1，-3）， 故答案为（1，-3）． 12. 若一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图的圆心角为，则圆锥的母线长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥的侧面积公式，以及扇形面积公式，设圆锥的母线长是，利用扇形面积公式表示出圆锥侧面积，再利用圆锥侧面积公式表示出圆锥侧面积，根据面积建立等式求解，即可解题． 【详解】解：设圆锥的母线长是， 则有， 整理得， 解得（不合题意，舍去），， 圆锥的母线长是； 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为____ 【答案】18． 【解析】 【详解】根据二次函数的性质，抛物线的对称轴为x=3． ∵A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一 点，且AB∥x轴． ∴A，B关于x=3对称．∴AB=6． 又∵△ABC是等边三角形，∴以AB为边的等边三角形ABC的周长为6×3=18． 14. “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度为1寸，锯长为10寸，则圆材的半径为_____寸． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 设圆材的圆心为，延长，交于点，连接，由题意知过点，且，设圆形木材半径为，可知寸，寸，根据列方程求解可得． 【详解】解：设圆材的圆心为，延长，交于点，连接， 如图所示：由题意知：过点，且， 则， 设圆形木材半径为寸， 则寸，寸， ∵， ∴， 解得：， ∴的半径为13寸， 故答案为：13． 15. 要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．设共有x个队参加比赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程． 【详解】赛制为双循环形式，每个队都要和其他队赛两场，则比赛总场数为场， 已知共比赛90场， 所以． 故答案为：． 三、解答题（共55分） 16. 解下列方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程．根据题意先将方程整理成，再提公因式计算即可． 【详解】解：， 整理得：， 提公因式：， 即：或， 解得：． 17. 观察下列方程的特征及其解的特点： ①的解为； ②的解为； ③的解为． 解答下列问题． （1）请你写出一个符合上述特征的第4个方程 ，其解为 ． （2）根据这类方程特征，第n个方程为 ，其解为 ． 【答案】（1），，；（2），， 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，根据方程和方程解的特征找到规律是解题的关键． （1）根据上述3个方程及其解的规律，可知，，然后写出即可； （2）根据这类方程特征可知，，，然后写出即可． 【详解】解：（1）由题意得： ，， 所以：第四个方程为：，其解为：，， 故答案为：，，； （2）由题意得： ，， 所以：第个方程为：，其解为：，， 故答案为：，，． 18. 如图，以平行四边形的顶点为圆心，长为半径作，分别交于两点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1）详见解析；（2）70° 【解析】 【分析】（1）通过平行四边形的对边平行，得到同位角和内错角相等，再利用等腰△ABE的两底角相等进行等量代换，进行求证； （2）通过邻补角求得等腰△ABE的顶角∠BAE读数，再利用三角形内角和求底角∠B，平行四边形对角相等可求出∠D. 【详解】（1） 证明：连接． ∵四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， . （2）解：为的直径，， ， ， ∵四边形是平行四边形， ． 【点睛】在圆的证明和计算中，证明两弧相等，常常需要构造弧所对的圆心角，通过证明圆心角相等来再进一步证明弧相等． 19. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上． （1）以O为原点建立直角坐标系，点B的坐标为，直接写出点A的坐标； （2）画出绕点O顺时针旋转后的，并求点B旋转到所经过的路线的长度． 【答案】（1）点A的坐标为： （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转作图，直角坐标系，弧长公式等知识点， （1）根据以O为原点建立直角坐标系，利用点B的坐标为，即可得出点A的坐标； （2）利用绕点O顺时针旋转，得出对应点坐标，，进而得出图形即可，再利用弧长公式求出所经过的路线的长度． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求，点A的坐标为：； 【小问2详解】 解：如图所示： 点B旋转到所经过的路线的长度为：． 20. 如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）若∠BAC = 60°，OA = 2，求阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】 （1）证明：∵⊙O切BC于D， ∴OD⊥BC， ∵AC⊥BC， ∴AC∥OD， ∴∠CAD=∠ADO， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ADO， ∴∠OAD=∠CAD， 即AD平分∠CAB； （2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）由Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O切BC于D，易证得AC∥OD，继而证得AD平分∠CAB． （2）如图，连接ED，根据（1）中AC∥OD和菱形的判定与性质得到四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，则图中阴影部分的面积=扇形EOD的面积． 试题解析：（1）略 （2）设EO与AD交于点M，连接ED． ∵∠BAC=60°，OA=OE， ∴△AEO是等边三角形， ∴AE=OA，∠AOE=60°， ∴AE=AO=OD， 又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD， ∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD=60°， ∴S△AEM=S△DMO， ∴S阴影=S扇形EOD=． 考点：1、切线的性质、2、等腰三角形的性质 21. 海安大公千亩梨园硕果累累，大大提高了广大梨农的生活水平．每千克梨的成本为6元，每千克售价需超过成本，但不高于14元，已知日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，当每千克梨的售价为7元时，日销售量为220千克；当每千克梨的售价为5元时，日销售量为260千克，设日销售利润为W元． （1）分别求出y与x，W与x之间的函数解析式； （2）若日销量不低于160千克，当售价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元． 【答案】（1） （2）当时，最大，元 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数与利润问题，二次函数的最值问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求得与的函数关系式，根据利润（售价进价）销量，可表示出； （2）根据日销量不低于160 千克，可得，由，可知，该图象开口向下，对称轴为直线，从而判断出时，有最大值，将代入，可求得答案． 【小问1详解】 解：由题意可知，当时，，当时，， 设， 则， 得， ， 则日销售利润； 【小问2详解】 解：， ， ∴， ， 则，对称轴为直线，该图象开口向下， ∴当时，随增大而增大， ∴当时，取得最大值，此时，（元）， 即：当售价定为 10 元时，每天获取的利润最大，最大利润是 640 元． 22. 如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E，过点D作于F． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为5，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，则，所以，由，得，则，所以，则，即可证明是的切线； （2）连接，由是的直径，的半径为5，得，，则，求得，由，即可求得． 【小问1详解】 证明：如图，连接，则， ， ， ， ， ， 于点， ， 是的半径，且， 是的切线． 【小问2详解】 解：如图，连接， 是的直径，，的半径为5， ，， ， ，， ， ， ， 的长是． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、切线的判定定理、勾股定理、直径所对的圆周角为直角、平行线的判定和性质，根据面积等式求线段的长度等知识，熟练掌握其性质并能正确地作出辅助线是解决此题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点C，点P是直线下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）直接写出点A和抛物线的顶点坐标； （3）当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形的最大面积． 【答案】（1） （2） （3）当时，四边形面积最大，此时，最大面积为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是求出的最值； （1）根据待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）对于，令，即，解得，所以A点坐标为．由，可得抛物线顶点坐标为． （3）过P作轴于点F，交于点E，求出直线的解析式，设，则，进而可得，根据二次函数的性质求出的最大值，再加上面积即可得解． 【小问1详解】 解：把代入，得， 抛物线的表达式为， 将点B的坐标代入上式得， 解得：， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：∵ ∴令，即， 解得， 故A点坐标为． 则， ∴抛物线顶点坐标为． 【小问3详解】 解：如图1，过P作轴于点F，交于点E， ∵四边形的面积的面积的面积，而的面积不变， ∴当的面积最大时，四边形的面积也最大， 令，则， 解得：， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得：， 直线的解析式为， 设，则， ， ， 当时，，， 此时， ∴此时四边形的面积也最大，， ∴当时，四边形面积最大，此时，最大面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $