精品解析：江西省新余市2024-2025学年高三下学期第二次模拟考试数学试题

2025年新余市高三第二次模拟考试试题 数学 本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟. 考生注意； 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与本人准考证号、姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回. 一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数z满足（其中i为虚数单位），则z在复平面上对应的点位于（ ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 3. 已知直线与直线平行，则m的值为（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 3或4 4. 设等比数列的各项均为正数，其前项和为，则“”是“数列是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知抛物线恰好经过圆的圆心，则抛物线C的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则关于的不等式的解集是 A. B. C. D. 7. 已知球与圆台的上下底面和侧面都相切．若圆台的侧面积为；上、下底面的面积之比为，则球的表面积为（ ）． A. B. C. D. 8. 若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题；本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某农科院研制出了一种防治玉米病虫害的新药．为了解该药的防治效果，科研人员选用了100粒玉米种子（其中一部分用该药做了处理）进行试验，从中任选1粒，发现此粒种子抗病虫害的概率为0.8．未填写完整的列联表如下，则（ ） 抗病虫害 不抗病虫害 合计 种子经过该药处理 60 种子未经过该药处理 14 合计 100 附：． 0.1 0.01 0.005 0.001 2.706 6.635 7.879 10.828 A. 这100粒玉米种子中经过该药处理且不抗病虫害的有6粒 B. 这100粒玉米种子中抗病虫害的有84粒 C. 的观测值约为13.428 D. 根据小概率值的独立性检验，可以认为该新药有效 10. 已知递增数列的各项均为正整数，且其前项和为，则（ ） A. 存在公差为1的等差数列，使得 B. 存在公比为2的等比数列，使得 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知，，，，，，记．当，，，，中含个6时，所有不同值的个数记为．下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 对于任意奇数 D. 对于任意整数 三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为_____. 13. 函数=的最小值为_________． 14. 已知正四面体的棱长为，动点P满足，用所有这样的点P构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为________. 四、解答题；本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人的开发主要采用（人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为80%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为40%． （1）在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人的回答有5个被采纳，现从这8个问题中抽取4个，以X表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求X的分布列和数学期望； （2）设输入的问题出现语法错误的概率为p，若聊天机器人的回答被采纳的概率为70%，求p的值． 16. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，活动弹子分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，活动弹子在上移动. （1）求证：直线平面； （2）为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值. 17. 已知点分别为双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线于两点，当直线的斜率不存在时，. （1）求双曲线的离心率； （2）过双曲线的右焦点向该双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，若的面积为，求该双曲线的方程； （3）在（2）的条件下，若点分别为双曲线的左､右顶点，直线与直线相交于点，证明：点在一条定直线上. 18. 已知函数. （1）若，求在处的切线方程； （2）设函数，讨论在区间上的单调性； （3）若存在两个极值点，，且，证明：. 19. 如图，已知给定线段长为2，以为底边作顶角为的等腰三角形，取的腰的三等分点，（靠近），以为底边向外部作顶角为的等腰三角形……依次类推，取的腰的三等分点，（靠近），以为底边向外部作顶角为的等腰三角形，得到三角形列. （1）用表示出的外接圆半径； （2）当时，证明：各顶点均在外接圆上或其内部； （3）若各顶点均在外接圆上或其内部，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年新余市高三第二次模拟考试试题 数学 本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟. 考生注意； 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与本人准考证号、姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回. 一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解指数、对数不等式化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】由，得，则；由，得，则， 所以. 故选：B 2. 设复数z满足（其中i为虚数单位），则z在复平面上对应的点位于（ ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 【答案】D 【解析】 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求得的坐标得答案． 【详解】解：由，得， 故在复平面上所对应的点的坐标为，在第一象限， 故选：． 3. 已知直线与直线平行，则m的值为（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 3或4 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行的判定得即可求m值，注意验证两直线是否平行，而非重合. 【详解】由题设，，可得或， 当时，、平行，符合题设； 当时，、重合，不合题设； ∴. 故选：B. 4. 设等比数列的各项均为正数，其前项和为，则“”是“数列是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】把转化为，得，即是增数列，反之推导即可求解. 【详解】由得，所以， 又，所以是递增数列， 反之，等比数列的各项均为正数，且数列是递增数列，所以，即有， 所以，即， 所以“”是“数列是递增数列”的充要条件. 故选：C 5. 已知抛物线恰好经过圆的圆心，则抛物线C的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将圆心坐标代入抛物线的方程可求得，进而可求焦点坐标. 【详解】解：由圆的方程可得圆心， 抛物线恰好经过圆心M，，解得， 抛物线C的方程为，抛物线C的焦点坐标为. 故选：D. 6. 已知函数，则关于的不等式的解集是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由，求得函数的定义域为．再根据函数为奇函数，不等式即．函数在其定义域上单调递增，可得，从而求得不等式的解集． 【详解】由，求得，故函数的定义域为． 再根据函数满足，可得函数为奇函数， 故关于的不等式，即． 再由函数、在的定义域上单调递增，可得函数在其定义域上单调递增，可得， 解得， 故选：A． 【点睛】本题主要考查求函数的定义域、函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题． 7. 已知球与圆台的上下底面和侧面都相切．若圆台的侧面积为；上、下底面的面积之比为，则球的表面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题的描述，球内切于圆台，画出圆台的轴截面图，根据圆台的侧面积，和上下底面的面积关系求出球的半径，进而即得. 【详解】依据题意，球内切与圆台，画出两者的轴截面，球的截面为圆，圆台的轴截面为等腰梯形，如图所示， 过点作的垂线，垂足为，设球的半径为，则， 设圆台的母线为，即，上、下底面的面积之比为，即，，由圆的切线长定理可知，， 圆台的侧面积为，解得，则，即， 则球的表面积. 故选：A. 8. 若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将恒成立转化为，令，利用导数求出的最大值，可得，又由，求得答案. 【详解】由，对任意恒成立， 即， 令，，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， ， ，即，， 又由切线放缩可知，， ，即， 所以的最大值为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将恒成立参变分离求得，再根据切线放缩得，得解. 二、多选题；本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某农科院研制出了一种防治玉米病虫害的新药．为了解该药的防治效果，科研人员选用了100粒玉米种子（其中一部分用该药做了处理）进行试验，从中任选1粒，发现此粒种子抗病虫害的概率为0.8．未填写完整的列联表如下，则（ ） 抗病虫害 不抗病虫害 合计 种子经过该药处理 60 种子未经过该药处理 14 合计 100 附：． 0.1 0.01 0.005 0.001 2.706 6.635 7.879 10.828 A. 这100粒玉米种子中经过该药处理且不抗病虫害的有6粒 B. 这100粒玉米种子中抗病虫害的有84粒 C. 的观测值约为13.428 D. 根据小概率值的独立性检验，可以认为该新药有效 【答案】AD 【解析】 【分析】依题意完成列联表，根据列联表计算出，由独立性检验的思想判断即可. 【详解】由题可将列联表补充完整如下：抗病虫害 抗病虫害 不抗病虫害 合计 种子经过该药处理 60 6 66 种子未经过该药处理 20 14 34 合计 80 20 100 由上表可知 A 正确，B 错误； 由表可知， 因此根据小概率值 的独立性检验，可以认为该新药有效，故 C 错误，D 正确. 故选：AD 10. 已知递增数列的各项均为正整数，且其前项和为，则（ ） A. 存在公差为1的等差数列，使得 B. 存在公比为2的等比数列，使得 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项用等差数列求和公式算出表达式，令其等于2025，看解出的首项是否为正整数，不是则不存在． B选项用等比数列求和公式算出表达式，令其等于2025，看解出的首项是否为正整数，是则存在． C选项要使最大，前面项应最小，设，后面项依次递增，根据求和公式算出表达式，由解出，进而得到，判断与285大小． D选项要使最小，前面项应最小，设，后面项依次递增，根据求和公式算出表达式，由解出，进而得到，判断与207大小． 【详解】对于A，设公差为的等差数列的首项为，． 根据等差数列前项和公式可得． 若，则，解得，所以不存在这样的等差数列，A选项错误．  对于B，设公比为的等比数列的首项为，． 根据等比数列前项和公式可得． 若，则，解得，所以存在这样的等比数列，B选项正确．  对于C，已知，因为数列是递增数列且各项均为正整数． 要使尽可能大，则前面的项要尽可能小，设，，，，，． 则． 由，可得，即，解得． 所以，所以成立，C选项正确．  对于D，同样因为，要使尽可能小，则前面的项要尽可能小，设，，，，． 由前面计算可知，解得，所以，所以成立，D选项正确． 故选：BCD 11. 已知，，，，，，记．当，，，，中含个6时，所有不同值的个数记为．下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 对于任意奇数 D. 对于任意整数 【答案】AC 【解析】 【分析】对于选项A，当时写出，由，中不含6，根据题意即可求得；对于选项B，当时写出，由，，，中含有个6，可得，，解不等式即可；对于选项C，，设，，由二项式定理求解即可；对于选项D，构造二项分布，利用均值求解即可. 【详解】当，，故，A正确； 当，，， 当时，，解得，B错误； ，设，，则， 于是，C正确； 因为，构造二项分布，则， 因此，D错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：本题考查计数原理、二项式定理、二项分布的均值；根据题意利用计数原理得到，根据二项式定理和二项分布求解. 三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据两点间的距离公式列关于的函数式，然后利用二次函数求出最值即可 【详解】由题意得，且 所以 当时，取得最小值为， 故答案为： 13. 函数=的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据三角恒等变换的公式，化简函数，再结合最小正周期的计算公式，即可求解. 【详解】由函数 ， 当时，即时，函数取得最小值. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及三角函数的最小正周期的求解，其中解答中根据三角恒等变换的公式，化简函数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 14. 已知正四面体的棱长为，动点P满足，用所有这样的点P构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】设四个顶点为，根据得到截面方程即可求解. 【详解】建立正四面体的顶点坐标， 设四个顶点为， 每条棱长均为，设动点， ， ， ， ， ， ， 因为， 所以，即所有满足条件的点构成的平面为平面（平面）， 而为正方体的顶点（如图所示），且该正方体的中心为原点， 由对称性可得棱交于，棱交于，棱交于，棱交于， 截面四边形的顶点为， 在平面上形成一个菨形，其对角线的长度为，故面积为2. 故答案为：. 四、解答题；本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人的开发主要采用（人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为80%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为40%． （1）在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人的回答有5个被采纳，现从这8个问题中抽取4个，以X表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求X的分布列和数学期望； （2）设输入的问题出现语法错误的概率为p，若聊天机器人的回答被采纳的概率为70%，求p的值． 【答案】（1）分布列见解析，数学期望为 （2） 【解析】 【分析】（1）由题知X的所有取值为1，2，3，4，求出对应的概率，可得其分布列与数学期望； （2）利用全概率公式表示出回答被采纳的概率，结合条件代入可得关于的方程，解方程即可. 【小问1详解】 由题可知X的所有取值为1，2，3，4， ， ， ， ， 故X的分布列为： X 1 2 3 4 P 则． 【小问2详解】 记“输入的问题没有语法错误”为事件A，记“输入的问题有语法错误”为事件B，记“回答被采纳”为事件C， 由已知得，，，，，， 所以由全概率公式得， 解得． 16. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，活动弹子分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，活动弹子在上移动. （1）求证：直线平面； （2）为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】（1）证明见解析. （2）. 【解析】 【分析】（1）在平面内，过点作，交于点，连接.由已知可证明.进而根据线面平行以及面面平行的判定定理得出平面平面.然后即可根据面面平行的性质，得出证明； （2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，，求出，以及平面的一个法向量.设线面角为，根据向量表示出.分以及结合基本不等式，即可得出答案. 【小问1详解】 在平面内，过点作，交于点，连接， 由，得，而，， 则，，，于是， 又，则，而平面，，平面， 因此平面，同理平面，又平面，平面，， 则平面平面，而平面， 所以直线平面. 【小问2详解】 由平面平面，平面平面，， 平面，得平面，又， 以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设，， ，，， 设是平面的法向量，则，取，得， 设与平面所成的角为，则， 当时，； 当时，， 而，当且仅当，即时取等号，则， 因此，， 所以与平面所成角的正弦值的最大值为. 17. 已知点分别为双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线于两点，当直线的斜率不存在时，. （1）求双曲线的离心率； （2）过双曲线的右焦点向该双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，若的面积为，求该双曲线的方程； （3）在（2）的条件下，若点分别为双曲线的左､右顶点，直线与直线相交于点，证明：点在一条定直线上. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题可得，据此可得离心率； （2）由（1）可设，然后由题可得，据此可得答案； （3）设，将直线，直线联立，可得，然后将直线方程和双曲线方程联立，由韦达定理可得，结合，可得，解方程可完成证明. 【小问1详解】 当直线的斜率不存在时，点，所以， 所以，即，所以，即， 所以，即，解得（舍去. 【小问2详解】 由（1）可得，，所以可设，计算可得，点， 该双曲线的一条渐近线的方程为，即， 利用点到直线的距离公式可得， 又，所以，可得，所以 因此，可得该双曲线的方程为. 【小问3详解】 证明：由（2）可知，，设， 则直线，直线， 联立 两式相除可得，所以， 当直线的斜率为0时，不满足题意，所以设直线， 则， 代入可得， 联立整理得，所以 所以， 则 ，注意到， 所以，解得， 所以点在直线上. 【点睛】关键点睛：对于所涉点较多的圆锥曲线问题，通常可设点，而不是设点所在的直线.对于表达式中出现非对称式，常利用韦达定理去找到两根之和与两根之积之间的联系，从而化简相关表达式. 18. 已知函数. （1）若，求在处的切线方程； （2）设函数，讨论在区间上的单调性； （3）若存在两个极值点，，且，证明：. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）求导，分，两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间； （3）由（2）结合零点存在性定理可得在和上各有一个零点，，且，是的两个极值点，再将极值点代入导函数中化简结合已知可得，，通过构造函数，证明，即得，得证. 【小问1详解】 当时，， 则，所以，， 所以切线方程为；，即. 【小问2详解】 由，， 当时，，在上单调递增； 当时，令. 当时，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 由（2）知若存在两个极值点，则， 且， 由过原点的切线方程为，则，则，即， 所以，， ∴在和上各有一个零点，， 且时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，单调递减. ∴，是的两个极值点. ， 且， ∴， 而， ∴， 令，则， 所以在上单调递增，故， 所以，令， 可得，即，即， ， . 19. 如图，已知给定线段长为2，以为底边作顶角为的等腰三角形，取的腰的三等分点，（靠近），以为底边向外部作顶角为的等腰三角形……依次类推，取的腰的三等分点，（靠近），以为底边向外部作顶角为的等腰三角形，得到三角形列. （1）用表示出的外接圆半径； （2）当时，证明：各顶点均在外接圆上或其内部； （3）若各顶点均在外接圆上或其内部，求的取值范围. 【答案】（1）; （2）证明见解析； （3）； 【解析】 【分析】（1）根据三角函数定义即可得到其半径表达式； （2）计算和的表达式，作差得，从而得到的外接圆各点位于的外接圆上或其内部，再反复使用该结论即可； （3）计算得，利用得到不等式，解出，则得到范围. 【小问1详解】 设的外接圆半径为，由题意知， ，， 又，故. 故的外接圆半径为. 【小问2详解】 设的外心为，外接圆半径为，的中点为，， 则，，. 注意到的中点也为，故的中垂线与中垂线重合. 由题意知，，均在的中垂线上. 而， ， 故. 另一方面，， 故的外接圆内切于的外接圆. 从而的外接圆各点位于的外接圆上或其内部.① 反复使用结论①可得，的外接圆位于外接圆上或其内部. 故各顶点均在外接圆上或其内部. 【小问3详解】 若满足题意，则位于在外接圆上或其内部，故. 由（2）知， ， 由题意，，即，解得. 故. 当，同上可得. 由（2）知，，共线，故，即. 故，故的外接圆位于外接圆上或其内部. 故各顶点均在外接圆上或其内部，故的范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $