专题16 简单几何体的表面积与体积16题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题16 简单几何体的表面积与体积16题型分类 一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 图形 表面积 多面体 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，也就是展开图的面积 二、棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 体积 说明 棱柱 V棱柱＝Sh S为棱柱的底面积，h为棱柱的高 棱锥 V棱锥＝Sh S为棱锥的底面积，h为棱锥的高 棱台 V棱台＝(S′＋＋S)h S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高 三、圆柱、圆锥、圆台的表面积 图形 表面积公式 旋转体 圆柱 底面积：S底＝2πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πr(r＋l) 圆锥 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πr(r＋l) 圆台 上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝π(r′l＋rl) 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 四、圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体 体积 说明 圆柱 V圆柱＝Sh＝πr2h 圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h 圆锥 V圆锥＝Sh＝πr2h 圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h 圆台 V圆台＝(S＋＋)h＝π(r2＋rr′＋r′2)h 圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h 五、球的表面积和体积公式 1.球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径). 2.球的体积公式V＝πR3. 六、空间几何体表面积与体积的常见求法 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解. ②等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可. ③补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等. ④分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积. (2)求组合体的表面积与体积的方法 求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该 怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减. （一） 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 棱柱、棱锥、棱台的表面积求法 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和. (2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和. 题型1：棱柱的侧面积和表面积 1．（2025高一·全国月考）已知正四棱柱的侧棱长为，它的体对角线长为，则这个正四棱柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国月考）正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则它的表面积为（） A． B． C． D． 3．（2025高一·安徽滁州·期中）如图，有两个相同的直三棱柱，高为1，底面三角形的三边长分别为，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱，在所有可能组成的三棱柱中，表面积不可能为（    ） A．36 B．38 C．40 D．42 题型2：棱锥的侧面积和表面积 4．（2025高一·全国月考）若正三棱锥的底面边长等于，三条侧棱两两垂直，则它的侧面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2025高一·江苏南通·期末）已知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则该三棱锥的表面积是（    ） A． B． C． D． 6．（2025高一·全国月考）如图，在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，三棱锥D1­AB1C的表面积与正方体的表面积的比为（ ）    A．1∶1 B．1∶ C．1∶ D．1∶2 7．（2025高一·全国月考）已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S-ABCD如图所示，求它的侧面积､表面积. 题型3：棱台的侧面积和表面积 8．（2025高一·重庆长寿·期末）已知一个正棱台的上、下底面是边长分别为2、8的正方形，侧棱长为5，则该棱台的表面积为（      ） A．148 B．168 C．193 D．88 9．（2025高一·北京月考）已知某正六棱台的上、下底面边长为1和3，高为1，则其侧面积为（    ） A． B． C． D． 10．（2025高三·广东月考）在正四棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱台的表面积是（   ） A．36 B．40 C．52 D．56 11．（2025·云南昭通·模拟预测）如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的高为（    ） A． B．2 C．6 D．3 （二） 棱柱、棱锥、棱台的体积 求解正棱台的表面积和体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱).常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥.利用正棱锥的有关知识来解决问题. 题型4：棱柱的体积 12．（2025高一·湖南邵阳·期末）所有棱长都为2的直三棱柱的体积为（    ） A． B． C．6 D． 13．（2025高一·全国月考）已知斜三棱柱的一个侧面的面积为10，该侧面与其相对侧棱的距离为3，则此斜三棱柱的体积为（    ） A．30 B．15 C．10 D．60 14．（2025高一·山东临沂月考）如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的三等分点处，，当底面ABC水平放置时，液面高为（    ） A． B． C． D． 题型5：棱锥的体积 15．（2025高二·甘肃兰州·期末）在正四棱锥中，，，则该四棱锥的体积是 ． 16．（2025高一·重庆沙坪坝·期中）已知三棱锥的体积为1，、、分别为OA、OB、OC的中点，则三棱锥的体积为 . 17．（2025高二·上海静安·期中）设三棱柱的体积为1，则四棱锥的体积为 18．（2025高三·北京月考）如图，三棱锥P-ABC的体积为V，E，F分别是棱PB，PC上靠近点P的三等分点，G是棱AB 上靠近点B的三等分点，H是棱AC上靠近点C的三等分点，则多面体的体积为（    ） A． B． C． D． 19．（2025·山西太原·模拟预测）已知三棱台中，三棱锥的体积为4，三棱锥的体积为8，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 题型6：棱台的体积 20．（2025高一·广西贵港·期中）某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（    ） A． B． C． D． 21．（2025高一·重庆沙坪坝·期中）正四棱台的上，下底面的边长分别为2，4，侧棱长2，则其体积为（    ） A． B． C． D． 22．（2025高一·全国月考）如图，在上、下底面对应边的比为的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱的平面，这个平面分三棱台成两部分，则＝ . 23．（2025高一·浙江杭州月考）已知正四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形，侧棱长为2，则该正四棱台的体积为 ． 24．（2025·江苏·模拟预测）在正三棱台中，，经过三条侧棱中点的平面将正三棱台分成两部分，若两部分的体积之差为18，则该三棱台的体积为 . 25．（2025高三·广东梅州月考）如图，往一个正四棱台密闭容器内倒入的水，水面高度恰好为棱台高度的，且，，则这个容器的容积为（    ） A． B． C． D． （三） 圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和. 题型7：圆柱的侧面积和表面积 26．（2025高一·吉林长春月考）以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 27．（2025·湖北武汉·模拟预测）某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm，高10cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为rcm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为（    ） A． B． C．4 D．5 28．（2025·山东·模拟预测）已知圆柱的侧面展开图的周长为定值，则该圆柱的侧面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型8：圆锥的侧面积和表面积 29．（2025高一·广东广州月考）已知圆锥的底面积为1，表面积为3，则它的侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 30．（2025高三·山东月考）已知轴截面是正三角形的圆锥，其内接圆柱的下底面在圆锥底面内，上底面圆在圆锥的侧面上，若圆柱与圆锥的侧面积之比为，则此圆柱与圆锥的体积之比为（   ） A． B．或 C．或 D．或 31．（2025高三·云南月考）已知圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的侧面积与过圆锥顶点的截面面积的最大值之比为 . 题型9：圆台的侧面积和表面积 32．（2025高一·江苏南通·期末）某圆锥的侧面积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为，则该圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 33．（2025高一·河北唐山·期中）已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的表面积为（   ） A． B． C． D． 34．（2025·山东济南·模拟预测）已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上下底面面积之差的绝对值为（    ） A．π B．2π C．4π D．8π 35．（2025·广东广州·模拟预测）已知球的表面积为，一圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，且下底面过球心，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． （四） 圆柱、圆锥、圆台的体积 求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面，准确求出几何体的高和底面积. 题型10：圆柱的体积 36．（2025高一·河南濮阳·期中）设甲､乙两个圆柱的底面面积分别为，体积为，若它们的侧面积相等且，则的值是（    ） A． B． C． D． 37．（2025高一·云南保山·期中）如图，一个底面半径为3的圆柱被一平面所截，截得几何体的最短和最长母线长分别为3和5，则该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 38．（2025·上海宝山·模拟预测）已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为 . 题型11：圆锥的体积 39．（2025高一·山东临沂·期末）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.如图所示的带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为9π，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该屋顶的体积约为（    ） A． B．16π C．18π D． 40．（2025高三·天津·期末）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（    ） A． B． C． D． 41．（2025高一·北京·期末）如图，将底面半径为2的圆锥放倒在平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆本身恰好滚动了2周，则（    ） A．圆锥的母线长为8 B．圆锥的表面积为 C．圆锥的侧面展开图扇形圆心角为 D．圆锥的体积为 题型12：圆台的体积 42．（2025高一·重庆酉阳月考）已知圆台的上、下底面的面积分别为、，侧面积是，则这个圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 43．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史.如图所示的某折扇扇面可视为一个圆台的侧面展开图，该扇面的面积为，若该圆台上、下底面半径分别为5，10，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 44．（2025高二·湖南益阳月考）已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． （五） 球的表面积和体积 计算球的表面积和体积的关键是确定球的半径 题型13：球的表面积和体积 45．（2025高一·全国月考）若球的表面积扩大为原来的n倍，则它的半径比原来增加的倍数为（    ） A． B． C． D． 46．（2025高二·陕西西安月考）已知圆柱的底面半径与球的半径相等，圆柱的高也与球的半径相等，则圆柱与球的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 47．（2025高三·上海月考）已知球的体积为，则球的表面积为 ． 48．（2025高二·上海月考）有一种空心钢球（钢的密度为），质量为，测得球的外直径为，则它的内直径为 （精确到） 题型14：球的外接和内切问题 49．（2025高一·河北唐山·期中）一个体积为的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切，则此正三棱柱的表面积为（   ） A． B．54 C． D．27 50．（湖南省永州市2024-2025学年高三学期第三次模拟考试数学试卷）已知四棱台的底面为矩形，上底面积为下底面积的，所有侧棱长均为.当该四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为 . 51．（2025高一·上海·期末）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球表面积为 . 52．（2025·四川泸州·模拟预测）已知圆台的上底面半径是1，下底面半径是2，且圆台的体积为，则该圆台的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 53．（2025高二·黑龙江哈尔滨月考）已知圆柱高为4，上下底面圆周都在一个表面积为的球面上，则此圆柱的体积为 . 54．（2025·贵州铜仁·模拟预测）在三棱锥中，已知平面，，．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 55．（2025·吉林延边·模拟预测）在直三棱柱中，，，且，则该三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 56．（2025高三·江苏·期末）已知正四棱锥的底面边长为2，侧面积为，则该四棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 57．（2024·重庆·模拟预测）已知体积为的圆柱存在内切球．则该内切球的表面积为（） A． B． C． D． 58．（2025·河南·模拟预测）已知圆锥的轴截面为正三角形，圆锥的内切球的表面积为，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 59．（2025高三·河北月考）棱长为2的正方体的外接球表面积与内切球表面积的比值为 ． （六） 简单组合体的表面积和体积 计算简单组合体的表面积和体积，关键在于“拆分”与“整合”。先将组合体拆解为熟悉的简单几何体，像把由圆柱和圆锥组成的组合体，拆分成单独的圆柱和圆锥。分别计算各部分的表面积与体积，注意拆分时新增或消失的面，计算时要相应增减。最后整合结果，得出组合体的表面积和体积。 题型15：简单组合体的表面积和体积 60．（2025高一·浙江·期中）如图是某厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成.其中，圆锥的底面和球的直径都是0.6m，圆锥的高是0.4m.要对这个台灯表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶200克，则共需胶（    ）克. A． B． C． D． 61．（2025高一·湖北·期末）在一个底面圆直径和高都是2的圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的下底面重合，圆锥的顶点是圆柱的上底面中心．这个几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 62．（2025·湖南岳阳·模拟预测）某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径为的半球．已知该胶囊的体积为，则它的表面积为（    ） A． B． C． D． 63．（2025高三·河南月考）高一学生小李在课间玩耍时不慎将一个篮球投掷到一个圆台状垃圾篓中，恰好被上底口（半径较大的圆）卡住，球心到垃圾篓底部的距离为，垃圾篓上底面直径为24a，下底面直径为18a，母线长为13a，则该篮球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型16：实际应用问题 64．（2025·河北·模拟预测）台球是球类运动项目之一，是运动员在台球桌上，用一根长的球杆，按照一定的规则，通过击打白色主球，使目标球入袋的一项体育休闲项目.如图，三角架内有15个大小相同的球，且球与球，球与三角架均相切.若三角架为边长是的等边三角形，则球的半径为 .（取） 65．（2025高一·云南昆明月考）某数学兴趣小组使用圆台形水杯，应用所学的数学、物理知识来测量球的半径．已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），测得杯口的半径为，杯底的半径为，高为，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若将半径为的小球放入水杯中（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则小球的半径（    ）cm． A． B． C． D． 一、单选题 1．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面积为 ，则此圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁沈阳·二模）已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广西南宁·期中）球的表面积增大为原来的9倍，那么球的体积增大为原来的（ ） A．9倍 B．18倍 C．27倍 D．81倍 4．（2025·湖北·模拟预测）一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边上的高为.当底面水平放置时水面高度为16（如图①）.当侧面水平放置时（如图②），水面高度为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山东聊城·模拟预测）宋代瓷器的烧制水平极高，青白釉出自宋代，又称影青瓷．宋蒋祁《陶记》中“江、湖、川、广器尚青白，出于镇之窑者也”，印证了宋人把所说的“影青”瓷器叫做“青白瓷”的史实．图1为宋代的影青瓷花口盏及盏托，我们不妨将该花口盏及盏托看作是两个圆台与一个圆柱的组合体，三个部分的高相同均为6cm，上面的花口盏是底面直径分别为8cm和10cm的圆台，下面的盏托由底面直径8cm的圆柱和底面直径分别为12cm和8cm的圆台组合构成，示意图如图2，则该花口盏及盏托构成的组合体的体积为（    ）        A． B． C． D． 6．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）长、宽、高分别为的长方体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·甘肃平凉·模拟预测）如图，在梯形中，，，，，为线段的中点，先将梯形挖去一个以为直径的半圆，再将所得平面图形以线段的垂直平分线为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 8．（24-25高三上·广东·期末）已知圆台的上，下底面半径分别为1，3，母线长为4，则下列正确的有（    ） A．圆台的侧面积为 B．圆台的体积为 C．母线与底面所成角为 D．存在相互垂直的母线 9．（24-25高二上·广东肇庆·期末）如图所示的圆台，在轴截面中，，则（   ） A．该圆台的高为1 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台的体积为 D．一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5 10．（24-25高三下·河南周口·阶段练习）已知圆锥的母线长为4，其侧面积是底面积的2倍，则（   ） A．该圆锥母线与底面所成角为 B．该圆锥的体积为 C．该圆锥侧面展开图的面积为 D．该圆锥侧面展开图为半圆 11．（2025·山西晋城·二模）已知圆锥的顶点为，为底面直径，是面积为1的直角三角形，则（    ） A．该圆锥的母线长为 B．该圆锥的体积为 C．该圆锥的侧面积为 D．该圆锥的侧面展开图的圆心角为 三、填空题 12．（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）边长为4的正三角形绕其一边所在的直线旋转一周所形成的曲面所围成的几何体的表面积为 . 13．（2025·陕西西安·二模）已知正四棱锥的底面边长为6，体积为48，则该四棱锥的侧面积为 . 14．（2025·重庆·模拟预测）若高为3的正三棱台的上、下底面的边长之比为1:2，且其体积等于7，则该三棱台上底面的面积为 . 15．（2025·江西景德镇·模拟预测）若圆台上、下底面的半径分别为1，2，侧面积为，则圆台的体积为 ． 16．（2026高三·全国·专题练习）某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的，如图所示．如果一张石凳的体积是，那么原正方体石料的体积是 ． 四、解答题 17．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在直三棱柱中，底面是边长为的正三角形，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，若圆柱的体积为，求： (1)剩余部分几何体的体积； (2)剩余部分几何体的表面积. 18．（24-25高二上·上海·期中）如图，一个倒立的圆锥形水杯，底面半径为5，高为10．将一定量的水注入其中，水形成的圆锥高为． (1)若，求水的体积； (2)若水的体积为水杯体积的一半，求．（精确到0.01） 19．（2025高三·全国·专题练习）如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中． (1)求平面四边形的面积； (2)若该四边形以为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积． 20．（24-25高一下·浙江·阶段练习）如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为. (1)计算该模型的体积.（结果精确到） (2)现需使用油漆对500个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米30元，总费用是多少？（结果精确到1元） 21．（24-25高一下·重庆·期中）如图所示，四边形是矩形，且，若将图中阴影部分绕旋转一周. (1)求阴影部分形成的几何体的体积； (2)求阴影部分形成的几何体的表面积. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题16 简单几何体的表面积与体积16题型分类 一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 图形 表面积 多面体 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，也就是展开图的面积 二、棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 体积 说明 棱柱 V棱柱＝Sh S为棱柱的底面积，h为棱柱的高 棱锥 V棱锥＝Sh S为棱锥的底面积，h为棱锥的高 棱台 V棱台＝(S′＋＋S)h S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高 三、圆柱、圆锥、圆台的表面积 图形 表面积公式 旋转体 圆柱 底面积：S底＝2πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πr(r＋l) 圆锥 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πr(r＋l) 圆台 上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝π(r′l＋rl) 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 四、圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体 体积 说明 圆柱 V圆柱＝Sh＝πr2h 圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h 圆锥 V圆锥＝Sh＝πr2h 圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h 圆台 V圆台＝(S＋＋)h＝π(r2＋rr′＋r′2)h 圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h 五、球的表面积和体积公式 1.球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径). 2.球的体积公式V＝πR3. 六、空间几何体表面积与体积的常见求法 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解. ②等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可. ③补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等. ④分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积. (2)求组合体的表面积与体积的方法 求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该 怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减. （一） 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 棱柱、棱锥、棱台的表面积求法 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和. (2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和. 题型1：棱柱的侧面积和表面积 1．（2025高一·全国月考）已知正四棱柱的侧棱长为，它的体对角线长为，则这个正四棱柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设底面边长为，根据其体对角线长为，求得a，再利用侧面积公式求解. 【解析】解：设底面边长为， 由题意得， 解得， 所以侧面积为． 故选：B 2．（2025高一·全国月考）正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则它的表面积为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正六棱柱的结构特征，求出棱柱的高，再计算它的表面积. 【解析】正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则高为，它的表面积为. 故选:B. 3．（2025高一·安徽滁州·期中）如图，有两个相同的直三棱柱，高为1，底面三角形的三边长分别为，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱，在所有可能组成的三棱柱中，表面积不可能为（    ） A．36 B．38 C．40 D．42 【答案】B 【分析】根据几何体的特征能拼成的三棱柱的情况有三种情况，分别求出其表面积即可求解. 【解析】当拼成三棱柱时有三种情况，如图①②③，表面积分别为. 故选：B. 题型2：棱锥的侧面积和表面积 4．（2025高一·全国月考）若正三棱锥的底面边长等于，三条侧棱两两垂直，则它的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求出侧棱长再计算三角形面积可得答案. 【解析】因为正三棱锥的底面边长等于，三条侧棱两两垂直， 所以三棱锥的侧棱长为， 则它的侧面积为. 故选：A. 5．（2025高一·江苏南通·期末）已知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则该三棱锥的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图形，求出底面积和侧面积，即可求出三棱锥的表面积. 【解析】如图，正三棱锥中， ，取的中点，连接， 则在上，且， 又，所以， 所以，则， 所以， 故三棱锥的表面积为. 故选：D 6．（2025高一·全国月考）如图，在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，三棱锥D1­AB1C的表面积与正方体的表面积的比为（ ）    A．1∶1 B．1∶ C．1∶ D．1∶2 【答案】C 【分析】首先设正方体的边长为，再计算正方体的表面积和三棱锥D1­AB1C的表面积，即可得到答案. 【解析】设正方体的边长为，则表面积， 因为三棱锥的各面均是正三角形，其边长为正方体侧面对角线． 则面对角线长为，三棱锥D1­AB1C的表面积， 所以. 故选：C 7．（2025高一·全国月考）已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S-ABCD如图所示，求它的侧面积､表面积. 【答案】S侧=25，S表=25(+1). 【分析】侧面积即为四个边长为5的等边三角形的面积和，表面积是侧面积与底面正方形的面积和. 【解析】∵四棱锥S-ABCD的各棱长均为5， ∴各侧面都是全等的正三角形. 设E为AB的中点，连接SE，则SE⊥AB， ∴ S侧=4S△SAB=4×AB×SE=2×5×=25，S表=S侧+S底=25+25=25(+1). 题型3：棱台的侧面积和表面积 8．（2025高一·重庆长寿·期末）已知一个正棱台的上、下底面是边长分别为2、8的正方形，侧棱长为5，则该棱台的表面积为（      ） A．148 B．168 C．193 D．88 【答案】A 【分析】先计算棱台的侧面的高，再计算侧面积和底面积，即可求解. 【解析】棱台的侧面是等腰梯形，高， 所以一个侧面积， 所以该棱台的表面积. 故选：A 9．（2025高一·北京月考）已知某正六棱台的上、下底面边长为1和3，高为1，则其侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意画出图形，求出棱台的侧棱，再求出其中一个侧面的面积，即可得解； 【解析】解：如图正六棱台中，设上底面的中心为，下底面的中心为，过点作， 则，，，所以， 在侧面中，，，，过点作，则， 所以， 所以，所以； 故选：C 10．（2025高三·广东月考）在正四棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱台的表面积是（   ） A．36 B．40 C．52 D．56 【答案】D 【分析】过点作，垂足为H，则.结合条件“侧棱与底面所成角的余弦值为”，求出，还有高，进而求出表面积. 【解析】过点作，垂足为H，则. 因为侧棱与底面所成角的余弦值为，所以，所以， 则梯形的高， 故该正四棱台的表面积是. 故选： D. 11．（2025·云南昭通·模拟预测）如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的高为（    ） A． B．2 C．6 D．3 【答案】A 【分析】设，则，根据侧面积求出，再根据正棱台的结构特征结合勾股定理即可得解. 【解析】设，则， 因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯形，上､下底面为正方形， 如图1，在四边形中，过点作于点， ，所以， 所以，解得， 在平面中，过点作于点，则为正四棱台的高， 则， 所以， 即该正四棱台的高为. 故选：A. （二） 棱柱、棱锥、棱台的体积 求解正棱台的表面积和体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱).常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥.利用正棱锥的有关知识来解决问题. 题型4：棱柱的体积 12．（2025高一·湖南邵阳·期末）所有棱长都为2的直三棱柱的体积为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合正三角形的面积公式和棱柱的体积公式，即可求解. 【解析】由题意，直三棱柱的所有棱长都为，可得高为 则底面正三角形的面积为， 所以该直三棱柱的体积为. 故选：B. 13．（2025高一·全国月考）已知斜三棱柱的一个侧面的面积为10，该侧面与其相对侧棱的距离为3，则此斜三棱柱的体积为（    ） A．30 B．15 C．10 D．60 【答案】B 【分析】通过补体，两个斜三棱柱组成一个四棱柱，求四棱柱的体积，斜三棱柱的体积是四棱柱的体积的一半. 【解析】如图，两个斜三棱柱组成一个四棱柱，以斜三棱柱的一个侧面为四棱柱的底面，面积为，高，四棱柱的体积， 则此斜三棱柱的体积为. 故选：B. 14．（2025高一·山东临沂月考）如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的三等分点处，，当底面ABC水平放置时，液面高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相似比得到四边形和三角形的面积比，再根据等体积的思路列等式即可求解. 【解析】 如图，设靠近点的三等分点为点， 当底面水平放置时，液面高度为，此时液体体积，因为,所以，, 所以，解得. 故选：A. 题型5：棱锥的体积 15．（2025高二·甘肃兰州·期末）在正四棱锥中，，，则该四棱锥的体积是 ． 【答案】 【分析】根据正四棱锥的性质可得正四棱锥的高，然后根据体积公式即得. 【解析】过点作平面，则为正方形的中心，连接，易知． 因为， 所以，又， 所以， 则四棱锥的体积. 故答案为：. 16．（2025高一·重庆沙坪坝·期中）已知三棱锥的体积为1，、、分别为OA、OB、OC的中点，则三棱锥的体积为 . 【答案】/0.125 【分析】根据给定条件，利用等体积法结合三棱锥体积计算作答. 【解析】三棱锥中，令点A到平面的距离为，因为是棱OA的中点，则点到平面的距离为， 又、分别为棱OB、OC的中点，则有， 因此. 故答案为： 17．（2025高二·上海静安·期中）设三棱柱的体积为1，则四棱锥的体积为 【答案】 【分析】因为，根据等体积法求出三棱锥的体积，然后求出三棱锥的体积，即可得出结果. 【解析】 如图，连结，，，. 设的面积为，则的面积为，设. 由已知，所以. 又，所以. 所以. 故答案为：. 18．（2025高三·北京月考）如图，三棱锥P-ABC的体积为V，E，F分别是棱PB，PC上靠近点P的三等分点，G是棱AB 上靠近点B的三等分点，H是棱AC上靠近点C的三等分点，则多面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】多面体体积为三棱锥与四棱锥体积之和,再利用体积之比与高之比底面积之比的关系解题即可. 【解析】连接， ∵ ∴， ∵， ∴, ∴多面体体积为：. 故选： B. 19．（2025·山西太原·模拟预测）已知三棱台中，三棱锥的体积为4，三棱锥的体积为8，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，棱台高为，由已知得，，根据棱台的体积公式可得三棱台的体积，利用到平面的距离等于到平面的距离，及可得答案. 【解析】设，棱台高为，由已知，得， ，得， 三棱台的体积为， 因为平面，所以到平面的距离等于到平面的距离， 即，所以 三棱台的体积， 所以. 故选：B. 【点睛】本题考查了三棱台、三棱锥的体积的求法，解题的关键点是利用等体积转化，考查了学生的空间想象能力和计算能力. 题型6：棱台的体积 20．（2025高一·广西贵港·期中）某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用台体的体积公式直接计算即可． 【解析】由题意可知，该四棱台的上、下底面边长分别为，， 故该香料收纳罐的容积为． 故选：C． 21．（2025高一·重庆沙坪坝·期中）正四棱台的上，下底面的边长分别为2，4，侧棱长2，则其体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解. 【解析】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图， 因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2， 所以该棱台的高， 下底面面积，上底面面积， 所以该棱台的体积. 故选：C. 22．（2025高一·全国月考）如图，在上、下底面对应边的比为的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱的平面，这个平面分三棱台成两部分，则＝ . 【答案】/ 【分析】由题，设三棱台的上底面面积为，则下底面面积为，高为，进而，，再求剩余的几何体体积即可得答案. 【解析】解：因为三棱台中，上、下底面对应边的比为， 所以，设三棱台的上底面面积为，则下底面面积为，高为， ，. 设剩余的几何体的体积为V，则V＝， 所以，. 故答案为： 23．（2025高一·浙江杭州月考）已知正四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形，侧棱长为2，则该正四棱台的体积为 ． 【答案】/ 【分析】根据正四棱台的概念可知四边形为等腰梯形，进而可得四棱台的高，即可求得体积. 【解析】如图所示， 由正四棱台可知且，，，四边形为等腰梯形， 取上底下底的中心平面，过作，垂足为，， 且，，， 所以， 所以， 故答案为： 24．（2025·江苏·模拟预测）在正三棱台中，，经过三条侧棱中点的平面将正三棱台分成两部分，若两部分的体积之差为18，则该三棱台的体积为 . 【答案】 【分析】设棱长以及高，利用相似三角形的面积之比可得三个底面的面积分别为， 再利用棱台的体积公式求出上下两个棱台的体积，进而求出的值，再求上下两个棱台的体积之和即可. 【解析】分别取棱的中点为， 设，正三棱台的高为， 则，正三棱台和的高均为， 则由梯形中位线可知， 记，则，， 则， 则，则， 则， 则该三棱台的体积为. 故答案为：. 25．（2025高三·广东梅州月考）如图，往一个正四棱台密闭容器内倒入的水，水面高度恰好为棱台高度的，且，，则这个容器的容积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设水体对应的台体的高为，利用台体的体积公式可求出的值，可知容器的高为，再利用台体的体积公式可求出容器的容积. 【解析】设水体对应的台体的高为，则水体对应台体的上底面是边长为的正方形， 由台体的体积公式可得，解得， 故容器的高为，容器的容积为， 故选：A. （三） 圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和. 题型7：圆柱的侧面积和表面积 26．（2025高一·吉林长春月考）以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设知旋转体为高和底面半径均为2的圆柱体，利用圆柱体表面积公式求几何体的表面积. 【解析】由题意，所得几何体为高和底面半径均为2的圆柱体， 所以几何体表面积为. 故选：D 27．（2025·湖北武汉·模拟预测）某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm，高10cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为rcm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】表示出表面积后，根据二次函数性质可得. 【解析】大圆柱表面积为 小圆柱侧面积为，上下底面积为 所以加工后物件的表面积为，当时表面积最大. 故选：D 28．（2025·山东·模拟预测）已知圆柱的侧面展开图的周长为定值，则该圆柱的侧面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式求积的最大值即可. 【解析】因为圆柱的侧面展开图为矩形，设矩形的长宽分别为， 则，圆柱的侧面积为：. 由（当且仅当时取“”）. 故选：D 题型8：圆锥的侧面积和表面积 29．（2025高一·广东广州月考）已知圆锥的底面积为1，表面积为3，则它的侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径与母线的关系，再利用圆锥侧面展开图的特征求解作答. 【解析】圆锥的底面积为1，圆锥底面圆半径r，有，令圆锥母线长为，有，因此， 显然圆锥侧面展开图扇形弧长，所在圆半径为l， 所以圆锥侧面展开图的圆心角为. 故选：A 30．（2025高三·山东月考）已知轴截面是正三角形的圆锥，其内接圆柱的下底面在圆锥底面内，上底面圆在圆锥的侧面上，若圆柱与圆锥的侧面积之比为，则此圆柱与圆锥的体积之比为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】设圆柱的底面半径为r，高为x，圆锥底面半径为R，通过，及侧面积之比，得到或进而可求解. 【解析】 设圆柱的底面半径为r，高为x，圆锥底面半径为R， 由圆锥的轴截面是正三角形，可得圆锥的高为， 如图，由，可得，所以， 因为，即， 解得或． 又， 当时，； 当时，． 故选：C． 31．（2025高三·云南月考）已知圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的侧面积与过圆锥顶点的截面面积的最大值之比为 . 【答案】 【分析】根据题意，求出圆锥的侧面积，又，所以过圆锥顶点的截面面积的最大值即为轴截面的面积，运算得解. 【解析】如图，为圆锥的轴截面，为底面圆的圆心， 则，， 所以， 所以圆锥的侧面积， ，则，即， 所以过圆锥顶点的截面面积的最大值即为轴截面的面积， ， 所以该圆锥的侧面积与过圆锥顶点的截面面积的最大值之比为. 故答案为：. 题型9：圆台的侧面积和表面积 32．（2025高一·江苏南通·期末）某圆锥的侧面积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为，则该圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆台的底面半径之比可得母线之比，进而根据锥体的侧面积公式即可求解. 【解析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，设圆台的母线为，则圆锥的底面半径为，圆锥的母线为， 圆锥的侧面积记为， 截去的小圆锥的侧面积即为， 故圆台的侧面积为, 故选：C 33．（2025高一·河北唐山·期中）已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件求出圆台的母线长，再利用圆台表面积公式计算得解. 【解析】圆台的上底面圆半径，下底面圆半径， 设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为，依题意有： ，解 得, 所以圆台的表面积. 故选：C 34．（2025·山东济南·模拟预测）已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上下底面面积之差的绝对值为（    ） A．π B．2π C．4π D．8π 【答案】B 【分析】由侧面面积公式建立等式，然后分别写出上下底面面积，作差后代入即可得到结果. 【解析】如图： 设展开图小圆半径和大圆半径分别为，则圆台侧面积，即， 上底面半径，下底面半径， 圆台上下底面面积之差的绝对值为. 故选：B. 35．（2025·广东广州·模拟预测）已知球的表面积为，一圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，且下底面过球心，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出球的半径，求出圆台上下底面的半径，圆台的母线，由圆台的侧面展图形是扇环，利用圆台的侧面积公式可求圆台的侧面积. 【解析】作出示意图如图所示： 设球的半径为，由题意可得，所以是等边三角形， 所以，所以， 因为球的表面积为，所以，解得，所以， 所以， 所以圆台的侧面积为. 故选：B. （四） 圆柱、圆锥、圆台的体积 求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面，准确求出几何体的高和底面积. 题型10：圆柱的体积 36．（2025高一·河南濮阳·期中）设甲､乙两个圆柱的底面面积分别为，体积为，若它们的侧面积相等且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆柱的体积公式以及圆的面积、周长公式进行求解处理. 【解析】因为甲､乙两个圆柱的底面面积分别为，且， 所以甲､乙两个圆柱的底面半径满足：， 所以甲､乙两个圆柱的底面周长满足：， 又因为甲､乙两个圆柱的侧面积相等，所以甲､乙两个圆柱的高满足：， 所以甲､乙两个圆柱的体积满足：.故A，B，D错误. 故选：C. 37．（2025高一·云南保山·期中）如图，一个底面半径为3的圆柱被一平面所截，截得几何体的最短和最长母线长分别为3和5，则该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件知该几何体的体积由两部分组成：底面半径为3､高为3的圆柱体体积；底面半径为3､高为2的圆柱体体积的一半，即得. 【解析】由条件知该几何体的体积由两部分组成：①底面半径为3､高为3的圆柱体体积，②底面半径为3､高为2的圆柱体体积的一半， 则该几何体的体积为。 故选：D. 38．（2025·上海宝山·模拟预测）已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为 . 【答案】 【分析】根据圆柱的底面积和侧面积公式求出圆柱的底面圆半径和高，再根据圆柱的体积公式即可得解. 【解析】设圆柱的底面圆的半径为，高为， 由题意可得，解得， 所以圆柱的体积. 故答案为：. 题型11：圆锥的体积 39．（2025高一·山东临沂·期末）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.如图所示的带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为9π，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该屋顶的体积约为（    ） A． B．16π C．18π D． 【答案】D 【分析】根据底面圆面积可求底面圆半径，从而可求底面圆周长，即可求扇形半径，再根据勾股定理求圆锥的高，最后即可求出圆锥体积. 【解析】底面积为9π，即， 所以底面圆的半径, 所以底面圆周长为， 即圆锥侧面展开图的弧长， 又因为侧面展开图是圆心角为的扇形， 所以扇形半径， 如图所示：则圆锥的高， 则圆锥的体积. 故选：D 40．（2025高三·天津·期末）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解. 【解析】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为， 则，所以， 又，则，所以， 所以甲圆锥的高， 乙圆锥的高， 所以. 故选：A. 41．（2025高一·北京·期末）如图，将底面半径为2的圆锥放倒在平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆本身恰好滚动了2周，则（    ） A．圆锥的母线长为8 B．圆锥的表面积为 C．圆锥的侧面展开图扇形圆心角为 D．圆锥的体积为 【答案】D 【分析】由题意可求出圆锥的母线长，可判断A;由此可求得圆锥的表面积，判断B; 由侧面展开图为半圆可判断C;求得圆锥的体积判断D. 【解析】由题意，圆锥在平面内转回原位置时，圆本身恰好滚动了2周， 即可知圆锥的侧面展开图的面积即圆锥的侧面积是以母线为半径形成的圆面积的， 设圆锥母线长为l，即有 ，故A错误； 圆锥的表面积为，故B错误； 由题意可知，圆锥的侧面展开图是以母线为半径形成的圆的一半， 故侧面展开图扇形圆心角为，故C错误； 圆锥的体积为 ，故D正确， 故选：D 题型12：圆台的体积 42．（2025高一·重庆酉阳月考）已知圆台的上、下底面的面积分别为、，侧面积是，则这个圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆台的上下底面积可计算出其上下底面的半径与周长，根据周长之比计算出展开图的扇形半径之比，根据扇环的面积求出母线l的长度，由两个半径、高、母线构成的直角梯形中求出圆台的高，带入圆台的体积公式即可得出答案． 【解析】依题意知圆台上底面半径为 ，下底面半径为，设圆台的高为h， 如图所示圆台展开为一个圆环的一部分即ABCD，其小扇形弧长， 大扇形弧长， 由知道 ， 则圆台的侧面积 所以高 ， 圆台的体积 故选：C. 43．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史.如图所示的某折扇扇面可视为一个圆台的侧面展开图，该扇面的面积为，若该圆台上、下底面半径分别为5，10，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知分别求出上下底面面积，最后由圆台的体积计算公式. 【解析】，圆台的侧面积为，母线长 圆台的高 则圆台上下底面面积为 由圆台的体积计算公式可得： 故选：C. 44．（2025高二·湖南益阳月考）已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆台的侧面积公式求出母线长，进而求出圆台的高，再利用圆台体积公式计算即可. 【解析】设圆台的母线长为，由圆台的侧面展为，得，解得，    因此圆台的高， 所以圆台的体积. 故选：B （五） 球的表面积和体积 计算球的表面积和体积的关键是确定球的半径 题型13：球的表面积和体积 45．（2025高一·全国月考）若球的表面积扩大为原来的n倍，则它的半径比原来增加的倍数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据球的表面积公式计算即可直接求解. 【解析】设原球的半径为，扩大后为， 则原表面积为，扩大n倍后变为， 所以，得， 即半径扩大到原来的倍，比原来增加了倍. 故选：A. 46．（2025高二·陕西西安月考）已知圆柱的底面半径与球的半径相等，圆柱的高也与球的半径相等，则圆柱与球的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆柱及球的表面积公式计算得解. 【解析】设球半径为，则圆柱的表面积，球的表面积， 所以圆柱与球的表面积之比为. 故选：B 47．（2025高三·上海月考）已知球的体积为，则球的表面积为 ． 【答案】 【分析】求出球的半径长，利用球体的表面积公式可求得球的表面积. 【解析】设球的半径长为，则该球的体积为，解得， 所以，球的表面积为. 故答案为：. 48．（2025高二·上海月考）有一种空心钢球（钢的密度为），质量为，测得球的外直径为，则它的内直径为 （精确到） 【答案】# 【分析】利用密度公式和球的体积公式可求答案. 【解析】由可得， 设内半径为，则，解得， 所以它的内直径为. 故答案为： 题型14：球的外接和内切问题 49．（2025高一·河北唐山·期中）一个体积为的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切，则此正三棱柱的表面积为（   ） A． B．54 C． D．27 【答案】A 【分析】先根据内切球得出三棱柱的高，再计算得出底面边长，进而计算得出表面积即可. 【解析】设球的半径为，因为，所以， 因为球面与该正三棱柱的所有面都相切， 所以正三棱柱的高为，设正三棱柱底面边长为， 因为球的半径等于底面正三角形的内切圆半径， 所以，所以， 则正三棱柱的表面积为. 故选：A. 50．（湖南省永州市2024-2025学年高三学期第三次模拟考试数学试卷）已知四棱台的底面为矩形，上底面积为下底面积的，所有侧棱长均为.当该四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】根据棱台的性质，表示出棱台的高与边长之间的关系，根据棱台的体积公式，将体积函数式子表示出来，利用不等式求解最值，得到棱台的高.因为外接球的球心一定在棱台上下底面中心的连线及其延长线上，通过作图，数形结合，求出外接球的半径，得到表面积. 【解析】 图1 由题意设下底长、宽分别为，则上底边长、宽为，如图1，分别是上下底面的中心，连结，，， ， 根据边长关系，知该棱台的高为， 则， 当且仅当，即时等号成立，取得最大值； 此时棱台的高， 上底面外接圆半径，下底面半径，设球的半径为R，显然球心M在所在的直线上. 显然球心M在所在的直线上. 图2 当棱台两底面在球心异侧时，即球心M在线段上，如图2，设，则，，显然 则，有，即 解得，舍去. 图3 当棱台两底面在球心同侧时，显然球心M在线段的延长线上，如图3，设，则，显然 即，即 解得，， 此时，外接球的表面积为. 故答案为： 51．（2025高一·上海·期末）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球表面积为 . 【答案】 【分析】利用长方体和外接球的关系可求球的半径，利用面积公式可得答案. 【解析】因为长方体的三条棱的长分别为，所以其对角线的长为， 因为长方体的各顶点均在同一球的球面上，所以球的直径等于长方体的对角线长，即半径为， 所以球表面积为. 故答案为： 52．（2025·四川泸州·模拟预测）已知圆台的上底面半径是1，下底面半径是2，且圆台的体积为，则该圆台的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆台的高为，其外接球的半径为，根据圆台的体积公式，求得，分球心在圆台的内部和外部，列出方程求得的值，结合球的表面积公式，即可求解. 【解析】设圆台的高为，其外接球的半径为， 因为圆台的体积为，可得，解得， 若球心在圆台的内部，可得，解得， 所以外接球的表面积为； 若球心在圆台的外部，可得，此时无解， 综上可得，外接球的表面积为. 故选：C. 53．（2025高二·黑龙江哈尔滨月考）已知圆柱高为4，上下底面圆周都在一个表面积为的球面上，则此圆柱的体积为 . 【答案】 【分析】在圆柱的轴截面中构造直角三角形，利用勾股定理即可求出圆柱底面圆的半径，再利用圆柱的体积公式即可求解. 【解析】 画出圆柱的轴截面如图，点为球心，设球的半径为，圆柱底面圆的半径为， 因为球的表面积为，所以，解得， 因为圆柱高为，所以， 所以在直角三角形中，， 所以圆柱的体积为. 故答案为：. 54．（2025·贵州铜仁·模拟预测）在三棱锥中，已知平面，，．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三棱锥两两垂直的特性将三棱锥补为长方体，三棱锥外接球的半径为所补长方体的直径，计算求出半径，代入体积公式可得结果. 【解析】因为平面，，，，所以，即． 把三棱锥补成长方体，长方体的体对角线就是外接球的直径． 根据长方体体对角线公式 ，则， 球的体积. 故选：C． 55．（2025·吉林延边·模拟预测）在直三棱柱中，，，且，则该三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因为，利用正弦定理得外接圆半径为，利用勾股定理即可得外接球半径为，代入球的体积公式即可求解. 【解析】设外接圆半径为，圆心为，设外接球球心为，半径为， 因为，，在中由正弦定理有， 则，则有， 所以，所以球的体积为：    ， 故选：D. 56．（2025高三·江苏·期末）已知正四棱锥的底面边长为2，侧面积为，则该四棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出棱锥的斜高和高，求外接球的半径，由球的表面积公式即可求解. 【解析】设正四棱锥的斜高为，高为h，外接球的半径为R，相交于点， 因为正四棱锥侧面积为，则，解得， 故，取的中点，连接，故， 则正四棱锥的高， 其中，则， 其中， 则，即，解得， 则该四棱锥的外接球的表面积 故选：B. 57．（2024·重庆·模拟预测）已知体积为的圆柱存在内切球．则该内切球的表面积为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】假设内切球的半径为，依题意可求出，进而利用球的表面积公式求解即可. 【解析】设内切球的半径为，依题意可知圆柱的高和底面直径均为， 圆柱的体积，解得， 故圆柱内切球的表面积为, 故选：C. 58．（2025·河南·模拟预测）已知圆锥的轴截面为正三角形，圆锥的内切球的表面积为，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据圆锥内切球的表面积求出内切球的半径，进而求出圆锥的底面半径和高，即可求圆锥的体积. 【解析】设圆锥的内切球的半径为，则，所以. 又圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的高为， 圆锥的底面半径为， 则圆锥的体积. 故选：A. 59．（2025高三·河北月考）棱长为2的正方体的外接球表面积与内切球表面积的比值为 ． 【答案】3 【分析】根据已知确定正方体外接球、内切球的半径，由球体表面积公式求出比值. 【解析】根据题意，正方体的外接球的半径为，内切球的半径为． 所以外接球表面积与内切球表面积的比值为， 所以棱长为2的正方体的外接球表面积与内切球表面积的比值为3． 故答案为：3 （六） 简单组合体的表面积和体积 计算简单组合体的表面积和体积，关键在于“拆分”与“整合”。先将组合体拆解为熟悉的简单几何体，像把由圆柱和圆锥组成的组合体，拆分成单独的圆柱和圆锥。分别计算各部分的表面积与体积，注意拆分时新增或消失的面，计算时要相应增减。最后整合结果，得出组合体的表面积和体积。 题型15：简单组合体的表面积和体积 60．（2025高一·浙江·期中）如图是某厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成.其中，圆锥的底面和球的直径都是0.6m，圆锥的高是0.4m.要对这个台灯表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶200克，则共需胶（    ）克. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆锥的侧面积和半球面的表面积后，然后乘以200即可． 【解析】由题意圆锥的母线长为， 所以台灯表面积为， 需胶重量为（克）． 故选：B． 61．（2025高一·湖北·期末）在一个底面圆直径和高都是2的圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的下底面重合，圆锥的顶点是圆柱的上底面中心．这个几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得挖去的圆锥的母线长,从而求得圆锥的侧面积，再求圆柱的侧面积和一个底面积，从而求得组合体的表面积. 【解析】挖去的圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积等于， 圆柱的侧面积为，圆柱的一个底面面积为， 所以组合体的表面积为. 故选：A 62．（2025·湖南岳阳·模拟预测）某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径为的半球．已知该胶囊的体积为，则它的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设中间圆柱部分的高为，利用体积公式求出，然后由球的表面积和圆柱的侧面积公式求解即可． 【解析】解：设中间圆柱部分的高为，则胶囊的体积，解得， 所以胶囊的表面积为； 故选：C 63．（2025高三·河南月考）高一学生小李在课间玩耍时不慎将一个篮球投掷到一个圆台状垃圾篓中，恰好被上底口（半径较大的圆）卡住，球心到垃圾篓底部的距离为，垃圾篓上底面直径为24a，下底面直径为18a，母线长为13a，则该篮球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先画出球与垃圾篓组合体的轴截面图，然后根据题意求出垃圾篓的高，从而可求出球心到上底面的距离，进而可求出球的半径，于是可求得球的表面积 【解析】球与垃圾篓组合体的轴截面图如图所示. 根据题意，得垃圾篓的高为. 所以球心到上底面的距离为. 设篮球的半径为r，则. 故篮球的表面积为. 故选：D. 题型16：实际应用问题 64．（2025·河北·模拟预测）台球是球类运动项目之一，是运动员在台球桌上，用一根长的球杆，按照一定的规则，通过击打白色主球，使目标球入袋的一项体育休闲项目.如图，三角架内有15个大小相同的球，且球与球，球与三角架均相切.若三角架为边长是的等边三角形，则球的半径为 .（取） 【答案】3 【分析】根据球与球、球与三角架均相切这些特征构建平面图形，利用平面几何中直线与圆相切并结合等边三角形得到球的半径与三角架边长之间的关系，即可求得半径. 【解析】可构建如图所示的平面图形， 设球的半径为，则， 所以，解得. 故答案为：3. 65．（2025高一·云南昆明月考）某数学兴趣小组使用圆台形水杯，应用所学的数学、物理知识来测量球的半径．已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），测得杯口的半径为，杯底的半径为，高为，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若将半径为的小球放入水杯中（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则小球的半径（    ）cm． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知：球的体积为圆台的体积减去水的体积（容积），结合体积公式运算求解即可. 【解析】依题意，球的体积为圆台的体积减去水的体积（容积）， 可得 解得，即. 故选：D． 一、单选题 1．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面积为 ，则此圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合圆锥的结构特征列式求，进而可得体积. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 由题意可得：，解得， 所以圆锥的体积为. 故选：B. 2．（2025·辽宁沈阳·二模）已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆台的侧面积公式计算即可. 【详解】由圆台的侧面积公式可得， . 故选:B. 3．（24-25高二下·广西南宁·期中）球的表面积增大为原来的9倍，那么球的体积增大为原来的（ ） A．9倍 B．18倍 C．27倍 D．81倍 【答案】C 【分析】根据球的表面积公式可确定变化前后球的半径的关系，结合球的体积公式，即可求得答案. 【详解】设原来球体的半径为，则原来球体的表面积为：， 原来球体的体积为：， 当球的表面积增大为原来的9倍时，则此时球的半径， 此时球体体积为：，由， 所以球的体积增大为原来的27倍. 故选：C. 4．（2025·湖北·模拟预测）一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边上的高为.当底面水平放置时水面高度为16（如图①）.当侧面水平放置时（如图②），水面高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用水的体积不变计算可求解. 【详解】设底面的面积为， 当底面水平放置时水面高度为16，所以水的体积为， 设侧面水平放置时，水呈四棱柱体，设四棱柱体的底面梯形的面积为， 则水的体积为，所以，所以， 设四棱柱体的底面梯形的高为，则可得，解得. 故选：D. 5．（2025·山东聊城·模拟预测）宋代瓷器的烧制水平极高，青白釉出自宋代，又称影青瓷．宋蒋祁《陶记》中“江、湖、川、广器尚青白，出于镇之窑者也”，印证了宋人把所说的“影青”瓷器叫做“青白瓷”的史实．图1为宋代的影青瓷花口盏及盏托，我们不妨将该花口盏及盏托看作是两个圆台与一个圆柱的组合体，三个部分的高相同均为6cm，上面的花口盏是底面直径分别为8cm和10cm的圆台，下面的盏托由底面直径8cm的圆柱和底面直径分别为12cm和8cm的圆台组合构成，示意图如图2，则该花口盏及盏托构成的组合体的体积为（    ）        A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设数据结合圆台和圆柱的体积公式依次计算求解花口盏和盏托的体积即可得解. 【详解】花口盏体积：， 盏托体积：， 所以组合体的体积. 故选：D． 6．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）长、宽、高分别为的长方体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出长方体外接球半径，再利用球的表面积公式即可得到答案. 【详解】长方体的外接球的半径. 则接球表面积为. 故选：B. 7．（2025·甘肃平凉·模拟预测）如图，在梯形中，，，，，为线段的中点，先将梯形挖去一个以为直径的半圆，再将所得平面图形以线段的垂直平分线为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，旋转后得到的几何体为一个圆台中挖去半球所形成的几何体，利用圆台和球的体积公式求解. 【详解】连接，由题意知. 几何体为一个圆台中挖去半球所形成的几何体，其中圆台的上底面半径为1，下底面半径为3，半球的半径为1， ，， 故该几何体的体积为. 故选：A.    二、多选题 8．（24-25高三上·广东·期末）已知圆台的上，下底面半径分别为1，3，母线长为4，则下列正确的有（    ） A．圆台的侧面积为 B．圆台的体积为 C．母线与底面所成角为 D．存在相互垂直的母线 【答案】AC 【分析】利用圆台的侧面积公式即可得到选项A正确；利用圆台的体积公式得到选项B错误；用轴截面的即可得到选项C正确和选项D错误. 【详解】设上下半径和母线长分别为：， 对于选项A：利用圆台的侧面积公式，故选项A正确； 对于选项B：圆台的高， 再由圆台的体积公式，故B错误. 对于选项C：设母线与底面所成角为，则，所以， 故C正确. 对于选项D：由选项C可知，母线与底面所成角为，因为圆台是绕着轴截面等腰梯形的对称轴旋转得到的，所以任意两条母线与底面所成角都相等，若两条母线垂直，则母线与底面所成角为，与前面所求的矛盾，所以不存在互相垂直的母线， 故D错误. 故选：AC 9．（24-25高二上·广东肇庆·期末）如图所示的圆台，在轴截面中，，则（   ） A．该圆台的高为1 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台的体积为 D．一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5 【答案】BCD 【分析】根据梯形性质利用勾股定理计算可得A错误；利用梯形面积公式计算可得B正确；代入圆台体积公式可知C正确；利用圆台侧面展开图以及勾股定理计算可得D正确. 【详解】对于A，在梯形中，即代表圆台的高， 利用勾股定理计算可得，所以A错误； 对于B，轴截面梯形的面积为，因此B正确； 对于C，易知下底面圆的面积为，上底面圆的面积为； 所以该圆台的体积为，可得C正确； 对于D，将圆台侧面沿直线处剪开，其侧面展开图如下图所示： 易知圆弧的长度分别为，设扇形圆心为，圆心角为，； 由弧长公式可知，解得； 所以可得， 设为的中点，连接，当小虫从点沿着爬行到的中点，所经过路程最短， 易知，且， 由勾股定理可知，可知D正确. 故选：BCD 10．（24-25高三下·河南周口·阶段练习）已知圆锥的母线长为4，其侧面积是底面积的2倍，则（   ） A．该圆锥母线与底面所成角为 B．该圆锥的体积为 C．该圆锥侧面展开图的面积为 D．该圆锥侧面展开图为半圆 【答案】ABD 【分析】设圆锥底面半径，然后得到底面面积和周长，从而表示出侧面面积，由题意建立方程解得底面半径.然后由母线和底面半径求出母线与底面夹角；由母线与底面夹角的正弦值求出圆锥的高，从而求出体积；由公式求出侧面面积；由侧面面积与以母线为半径的圆的面积关系得到侧面展开图是否是半圆. 【详解】设圆锥底面半径为， 则底面面积，底面周长， ∴侧面面积， 由题意得，即，即， 设该圆锥母线与底面所成角为，则，即，A选项正确； 则该圆锥的体积，B选项正确； 侧面面积，C选项错误； 侧面面积，所以该圆锥侧面展开图为半圆，D选项正确. 故选：ABD. 11．（2025·山西晋城·二模）已知圆锥的顶点为，为底面直径，是面积为1的直角三角形，则（    ） A．该圆锥的母线长为 B．该圆锥的体积为 C．该圆锥的侧面积为 D．该圆锥的侧面展开图的圆心角为 【答案】ABD 【分析】根据圆锥轴截面的形状以及面积可得A正确，求出母线长以及底面半径可计算出B正确，C错误，由侧面展开图计算即可求出D正确. 【详解】设该圆锥的母线长为，如下图所示： 因为轴截面是面积为1的直角三角形，即为直角； 所以，解得，A正确； 设该圆锥的底面圆心为，在中，，所以， 则圆锥的高，所以该圆锥的体积， 侧面积为，B正确、C错误； 设该圆锥的侧面展开图的圆心角为，则， 所以，D正确． 故选：ABD． 三、填空题 12．（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）边长为4的正三角形绕其一边所在的直线旋转一周所形成的曲面所围成的几何体的表面积为 . 【答案】 【分析】由题意可知所得几何体是两个以为底面圆半径，以2为高的两个圆锥组合体，然后根据圆锥的侧面积公式求解即可. 【详解】将该三角形绕其一边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是两个以为底面圆半径，以2为高的两个圆锥组合体， 所以表面积为. 故答案为： 13．（2025·陕西西安·二模）已知正四棱锥的底面边长为6，体积为48，则该四棱锥的侧面积为 . 【答案】60 【分析】由体积公式求出高，再由勾股定理求出斜高，然后可得侧面积. 【详解】设正四棱锥的边长为，高为，斜高为， 由题意可得， 所以斜高， 所以该四棱锥的侧面积为. 故答案为：60. 14．（2025·重庆·模拟预测）若高为3的正三棱台的上、下底面的边长之比为1:2，且其体积等于7，则该三棱台上底面的面积为 . 【答案】 【分析】假设上底面边长，结合棱台的体积公式代入即可求解. 【详解】设上底面边长为，则下底面边长为， 正三角形的面积公式为，因此上底面面积，下底面面积， 显然，即，棱台的体积公式为：， 代入已知条件,，并设，则，得： 化简后： 解得，因此上底面的面积， 故答案为：. 15．（2025·江西景德镇·模拟预测）若圆台上、下底面的半径分别为1，2，侧面积为，则圆台的体积为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由圆台的侧面积公式可得圆台的母线，从而可得圆台的高，再由圆台的体积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设圆台的母线为，高为， 由题意可得，解得， 则圆台的高为， 所以圆台的体积为. 故答案为： 16．（2026高三·全国·专题练习）某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的，如图所示．如果一张石凳的体积是，那么原正方体石料的体积是 ． 【答案】0.216 【分析】设正方体的棱长为a，得到正方体的体积为，求出每一个截去的四面体的体积，由题意可以求出正方体的体积. 【详解】设正方体的棱长为a，则正方体的体积为， 每一个截去的四面体的体积为， 由题意可知，得． 故答案为: 0.216 四、解答题 17．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在直三棱柱中，底面是边长为的正三角形，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，若圆柱的体积为，求： (1)剩余部分几何体的体积； (2)剩余部分几何体的表面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先由题意求出棱柱底面圆的半径，进而由圆柱体积求出棱柱的高h，再结合柱体体积公式用棱柱体积减去圆柱体积即可得解. （2）根据几何体的特征确定表面的组成部分即可求解. 【详解】（1）因为直三棱柱底面是边长为的正三角形， 所以底面圆的半径为， 设圆柱高为，则圆柱体积为，解得， 所以剩余几何体的体积为. （2）剩余部分几何体的表面积为 . 18．（24-25高二上·上海·期中）如图，一个倒立的圆锥形水杯，底面半径为5，高为10．将一定量的水注入其中，水形成的圆锥高为． (1)若，求水的体积； (2)若水的体积为水杯体积的一半，求．（精确到0.01） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相似得到，代入体积公式计算即可. （2）根据体积的关系结合圆锥体积公式解方程得到答案. 【详解】（1）设水形成的圆锥底面半径为， 如图，由相似性可知，则， ； 故水的体积为. （2）由相似性可得，则， ， 化简得，解得. 故约为. 19．（2025高三·全国·专题练习）如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中． (1)求平面四边形的面积； (2)若该四边形以为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积． 【答案】(1) (2)体积为，表面积为． 【分析】（1）作出平面四边形，求出相应的线段长，即可求出面积； （2）分别过点，作及其延长线的垂线，垂足为，，分析绕旋转一周所形成的几何体组成，再求出其表面积与体积. 【详解】（1）在直观图中设交于点，则， ， 平面四边形如图所示， 则，， 所以． （2）在中，，， 所以， 所以，所以， 如图，分别过点，作及其延长线的垂线，垂足为，． 矩形绕及其延长线旋转一周得到一个底面半径，母线的圆柱； 绕旋转一周得到一个底面半径，母线，高的圆锥； 绕及其延长线旋转一周得到一个底面半径，母线，高的圆锥． 所以旋转形成的几何体为圆柱挖去一个同底的圆锥，再加上一个同底的圆锥构成的组合体． 则旋转形成的几何体的体积即等于圆柱的体积，减去挖去的圆锥体积，加上组合的圆锥的体积， 所以旋转形成的几何体的体积． 旋转形成的几何体的表面积即圆柱的侧面积，加上两个圆锥的侧面积之和， 所以． 20．（24-25高一下·浙江·阶段练习）如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为. (1)计算该模型的体积.（结果精确到） (2)现需使用油漆对500个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米30元，总费用是多少？（结果精确到1元） 【答案】(1) (2)（元） 【分析】（1）利用勾股定理求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解； （2）求出该模型的表面积，进而可得出答案. 【详解】（1）设圆锥的高为， 由题意得圆锥母线为10cm， 则， ； （2）圆柱的侧面积为，圆柱的上底面的面积为， 圆锥侧面积为. ， 故总费用为（元）. 21．（24-25高一下·重庆·期中）如图所示，四边形是矩形，且，若将图中阴影部分绕旋转一周. (1)求阴影部分形成的几何体的体积； (2)求阴影部分形成的几何体的表面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由圆柱的体积减去半球的体积即可求解． （2）分别求圆柱下底面、侧面和半球面的面积，即可求解； 【详解】（1），，所求几何体的体积为． （2）由题意知，旋转体的表面由三部分组成，圆柱下底面、侧面和半球面， 因为，，，， 故所求几何体的表面积为； 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$