精品解析：甘肃省陇南市西和县2024-2025学年九年级下学期第一次教学质量监测数学试卷

西和县2025年春季学期九年级第一次教学质量监测 数学 考生注意： 本试卷满分为150分，考试时间为20分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 下列各数，是无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是棱长为的正方体截去棱长为的正方体得到的几何体，这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 若运算的结果不是分式，则“（ ）”内的式子可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若，，则的度数是(　　) A 115° B. 105° C. 75° D. 65° 6. 如图，等腰直角三角形ABC的顶点都在上，点M为上一点，连接OM，CM，若，则的度数为（ ） A. 18° B. 9° C. 6° D. 3° 7. 若一次函数y＝（2m﹣3）x﹣1+m的图象不经过第三象限，则m的取值范围是（　　） A. 1＜m＜ B. 1≤m＜ C. 1＜m≤ D. 1≤m≤ 8. 如图是某市连续20天的平均气温折线统计图，则下列说法正确的是（ ） A. 平均数是9，众数是9.5． B. 中位数是9，平均数是10． C. 中位数是9.4，众数是9． D. 中位数是9.5，众数是10． 9. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别是D，E，连接与相交于点F．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，为矩形的边上一点，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们的运动速度都是，现，两点同时出发，设运动时间为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则矩形的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 把多项式a3﹣9ab2分解因式的结果是 _____． 12. 已知直线向下平移个单位后经过点，则的值为________． 13. 对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较小的值，如，按照这个规定，方程（其中）的解为___________． 14. 2025年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若两点的坐标分别为，则点的坐标为______ 15. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加______m. 16. 把量角器和含角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使圆弧与斜边相切（即的斜边与相切于点）时，发现量角器的中心恰好在三角板的刻度3处（即），短直角边过量角器的外沿刻度120处（即），则阴影部分的面积为__________． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，D是BC边的中点． （1）尺规作图：在AB上找一点E，使得△BDE∽△BAC；（保留作图痕迹，不写做法） （2）求DE的长． 21. 京剧，是我国的国粹艺术，素有“国剧"之称．李丽是一位京剧爱好者，她有四张如图所示印有生、旦、净、丑卡通形象的明信片（除卡通形象外，其余均相同），准备送给好友王娟两张，李丽将四张明信片背面朝上放在桌面上，洗匀后让王娟先随机抽取一张，再从剩下的三张中随机抽取一张． （1）“王娟抽取的第一张明信片上的卡通形象是旦”的概率是______； （2）用列表或画树状图的方法求王娟抽取的两张明信片上的卡通形象有一张为丑的概率． 22. 如图是某款手机支架摆放手机时的侧面示意图，现测得支撑板，，，，求手机底端E到底座的距离．（精确到，参考数据：，，，） 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 为弘扬向善、为善的优秀品质，助力爱心公益事业，某校组织开展“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，九年级全体同学参加了此次活动．随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图1和图2所示． （1）本次抽查的学生人数是_______，并补全条形统计图； （2）本次捐款金额众数为_______元，中位数为_______元； （3）若该校九年级学生为名，请你估算捐款金额为元及以上的学生人数． 24. 如图，在平面直角坐标系中．一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式； （2）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得的面积为18，求点P的坐标． 25. 如图，在中，，以为直径作交于点．过点作，垂足为，延长交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为5，求线段的长． 26. （1）【发现】如图1所示，在正方形中，E为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于G点．求证：； （2）【探究】如图2，在矩形中，E为边上一点，且，．将沿翻折到处，延长交边于G点，延长交边于点H，若，求的长； （3）【拓展】如图3，在菱形中，，，E为边上的三等分点，将沿翻折得到，直线交直线于点P，直接写出的长为____________． 27. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且，． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C，求面积最大值； （3）在（2）中面积最大条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 西和县2025年春季学期九年级第一次教学质量监测 数学 考生注意： 本试卷满分为150分，考试时间为20分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 下列各数，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数：无限不循环小数是无理数，求算术平方根与立方根，掌握无理数的概念是解题的关键；依次对各数进行判断即可． 【详解】解：因，则，，均是有理数，而是无理数； 故选：D． 2. 如图是棱长为的正方体截去棱长为的正方体得到的几何体，这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据几何体三视图解答． 【详解】该几何体的三视图如下： 主视图： 左视图： 俯视图： 故选：A． 【点睛】此题考查几何体的三视图，正确掌握几何体三视图的画法是解题的关键． 3. 如图，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，先由两直线平行，同旁内角互补得到，再根据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4. 若运算的结果不是分式，则“（ ）”内的式子可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．本题根据分式的乘除法的运算法则进行解题即可得到答案． 【详解】解： ∵运算的结果为不是分式， ∴“（ ）”内的式子一定是含的单项式， ∴只有A选项符合题意． 故选：A． 5. 如图所示，中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若，，则的度数是(　　) A. 115° B. 105° C. 75° D. 65° 【答案】A 【解析】 【分析】由AD∥BC，可得∠EAD=180°-∠AEC=75°，则∠BAD度数可求，依据平行四边形的对角相等可求∠C度数． 【详解】∵四边形AEFG是正方形， ∴∠AEF=90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠C=∠BAD， ∴∠EAD=180°-∠AEC=180°-90°-15°=75°， ∴∠BAD=40°+75°=115°， ∴∠C=115°． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、正方形的性质，解题的关键是运用平行四边形的对角相等及平行线的性质转化角． 6. 如图，等腰直角三角形ABC的顶点都在上，点M为上一点，连接OM，CM，若，则的度数为（ ） A. 18° B. 9° C. 6° D. 3° 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质和圆周角定理求得∠ACM=54°，再利用三角形的外角性质进行角度运算求解即可． 【详解】解：∵等腰直角三角形ABC的顶点都在上， ∴点O为AB的中点，，， 设AB，CM交于点G，则， ∵， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、圆周角定理、三角形的外角性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 7. 若一次函数y＝（2m﹣3）x﹣1+m的图象不经过第三象限，则m的取值范围是（　　） A. 1＜m＜ B. 1≤m＜ C. 1＜m≤ D. 1≤m≤ 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，根据不等式组即可解决问题； 【详解】∵一次函数y=（2m-3）x-1+m的图象不经过第三象限， ∴， 解得1≤m＜． 故选B． 【点睛】本题考查一次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 8. 如图是某市连续20天的平均气温折线统计图，则下列说法正确的是（ ） A. 平均数是9，众数是9.5． B. 中位数是9，平均数是10． C. 中位数是9.4，众数是9． D. 中位数是9.5，众数是10． 【答案】D 【解析】 【分析】根据样众数、中位数及加权平均数的定义分别求解即可． 【详解】解：平均数为：（°C）， 众数是10°C， 中位数是（°C）， 故选：D． 【点睛】本题主要考查众数、中位数、加权平均数，解题的关键是掌握众数、中位数及加权平均数的定义． 9. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别是D，E，连接与相交于点F．则下列结论一定正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得从而得到是等边三角形，即可求解． 【详解】解：将绕点C顺时针旋转得到， ， 是等边三角形， ， 故选：D． 10. 如图，为矩形的边上一点，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们的运动速度都是，现，两点同时出发，设运动时间为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则矩形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积等知识，熟练掌握数形结合思想方法是解题的关键． 过点作，由三角形面积公式求出，由图可知当时，点与点重合，则，可得出答案． 【详解】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点运动到点时，，，此时， 过点作于， 由三角形面积公式得：， 解得， ， 由图可知当时，点与点重合， ， 矩形的面积为 故选B． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 把多项式a3﹣9ab2分解因式的结果是 _____． 【答案】a（a+3b）（a-3b） 【解析】 【分析】根据题意直接提取公因式a，再利用平方差公式分解因式得出答案． 【详解】解：a3-9ab2 =a（a2-9b2） =a（a+3b）（a-3b）． 故答案为：a（a+3b）（a-3b）． 【点睛】本题主要考查提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题的关键． 12. 已知直线向下平移个单位后经过点，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的规律得到平移后的解析式为，然后把点的坐标代入求值即可． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移（）个单位后得到， 把代入，得，解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后函数解析式是解题的关键． 13. 对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较小的值，如，按照这个规定，方程（其中）的解为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意：分两种情况：（1）时；（2）时，由（其中），求出的值即可． 【详解】解：（1）时， ∵（其中） ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意； （2）时， ∵（其中） ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∵， ∴不符合题意； 综上所述，方程（其中）的解为． 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义，分式方程，实数的大小比较，运用了分类讨论的思想方法．根据题意列出分式方程并能正确解方程是解题的关键． 14. 2025年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若两点的坐标分别为，则点的坐标为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置．先根据A，C两点的坐标建立好坐标系，即可确定点B的坐标． 【详解】解：∵A，C两点的坐标分别为， ∴建立坐标系如图所示： ∴点B的坐标为． 故答案为：． 15. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加______m. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点， 抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为 通过以上条件可设顶点式，其中可通过将A点坐标 代入到抛物线解析式得出：所以抛物线解析式为 当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把代入抛物线解析式得出： 解得： 所以水面宽度增加到米，比原先的宽度当然是增加了 故答案是： 【点睛】考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 16. 把量角器和含角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使圆弧与斜边相切（即的斜边与相切于点）时，发现量角器的中心恰好在三角板的刻度3处（即），短直角边过量角器的外沿刻度120处（即），则阴影部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，进而求出，再求出，进而求出，最后用三角形的面积减去扇形的面积，即可求出答案． 【详解】解：在中，， ， ， ， 连接，则， 在中，， ，， 根据勾股定理得，， ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了切线的性质，含角的直角三角形的性质，三角形的面积公式和扇形的面积公式，求出圆的半径是解本题的关键． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘除运算．先计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 【答案】，正整数解为 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的正整数解等知识，正确求出两个不等式的解集是解题的关键；分别求出两个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分得不等式组的解集，最后求出正整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以原不等式组的解集为：， 则原不等式组的正整数解为． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】此题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟知整式的混合运算法则．先根据完全平方公式、平方差公式将多项式展开，再去括号、合并同类项，最后代入值计算即可． 【详解】解： 原式 当，时， 原式 20. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，D是BC边的中点． （1）尺规作图：在AB上找一点E，使得△BDE∽△BAC；（保留作图痕迹，不写做法） （2）求DE的长． 【答案】（1）详见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图，过D作DE⊥AB于E，于是得到结论； （2）根据勾股定理得到AB的长，根据线段中点的定义得到BD的长，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）如图所示，用尺规作图，过D作DE⊥AB于E，则点E即为所求，且△BDE∽△BAC； （2）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，∴AB13． ∵D是BC边的中点，∴BDBC=6． ∵△BDE∽△BAC，∴，∴，∴DE． 【点睛】本题考查了作图﹣相似变换，勾股定理，线段中点的定义，正确的作出图形是解题的关键． 21. 京剧，是我国的国粹艺术，素有“国剧"之称．李丽是一位京剧爱好者，她有四张如图所示印有生、旦、净、丑卡通形象的明信片（除卡通形象外，其余均相同），准备送给好友王娟两张，李丽将四张明信片背面朝上放在桌面上，洗匀后让王娟先随机抽取一张，再从剩下的三张中随机抽取一张． （1）“王娟抽取的第一张明信片上的卡通形象是旦”的概率是______； （2）用列表或画树状图的方法求王娟抽取的两张明信片上的卡通形象有一张为丑的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式： （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中“王娟抽取的第一张明信片上的卡通形象是旦”的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及王娟抽取的两张明信片上的卡通形象有一张为丑的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中“王娟抽取的第一张明信片上的卡通形象是旦”的结果有1种， ∴“王娟抽取的第一张明信片上的卡通形象是旦”的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 列表如下： 生 旦 净 丑 生 （生，旦） （生，净） （生，丑） 旦 （旦，生） （旦，净） （旦，丑） 净 （净，生） （净，旦） （净，丑） 丑 （丑，生） （丑，旦） （丑，净） 共有12种等可能的结果，其中王娟抽取的两张明信片上的卡通形象有一张为丑的结果有：（生，丑），（旦，丑），（净，丑），（丑，生），（丑，旦），（丑，净），共6种， ∴王娟抽取的两张明信片上的卡通形象有一张为丑的概率为． 22. 如图是某款手机支架摆放手机时的侧面示意图，现测得支撑板，，，，求手机底端E到底座的距离．（精确到，参考数据：，，，） 【答案】手机底端E到底座的距离大约为． 【解析】 【分析】此题主要考查解直角三角形的应用，分别过点C，E作于点F，于G，于H，构造直角三角形，利用三角形的边角关系，求出、，即可求出E到底座的距离． 【详解】解：分别过点C，E作于点F，于G，于H． 在中，，， ∴． ∵ ∴． 在中，，， ∵， ∴ ∴． 答：手机底端E到底座的距离大约为． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 为弘扬向善、为善的优秀品质，助力爱心公益事业，某校组织开展“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，九年级全体同学参加了此次活动．随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图1和图2所示． （1）本次抽查的学生人数是_______，并补全条形统计图； （2）本次捐款金额的众数为_______元，中位数为_______元； （3）若该校九年级学生为名，请你估算捐款金额为元及以上的学生人数． 【答案】（1），补全条形统计图见解析 （2）， （3）人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、众数、中位数以及样本估计总体，理解两个统计图中数量之间的关系，掌握众数、中位数的定义是解题的关键． （1）从两个统计图中可知，样本中捐款为元的学生有人，占调查人数的，计算可求出答案； （2）根据众数、中位数的定义进行计算即可； （3）根据样本估计总体进行计算即可． 【小问1详解】 解：（人）， 故答案为：； 捐款为15元的学生有（人），补全条形统计图如图， 【小问2详解】 捐款金额出现次数最多是元，共出现次， ∴捐款金额的众数是元， 将这名学生捐款金额从小到大排列，处在第，位的两个数都是元， ∴中位数是元， 故答案为：，； 【小问3详解】 （人）， ∴若该校九年级学生为600名，捐款金额为20元及以上的学生约有120人． 24. 如图，在平面直角坐标系中．一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式； （2）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得的面积为18，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2）点P坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题； （1）将代入，即可确定，将，代入，即可确定一次函数表达式； （2）先求出一次函数与轴交点坐标，可以得到的长度，通过设点坐标为，再利用三角形面积建立等量关系即可确定点坐标； 【小问1详解】 解：将代入，得：， 反比例函数解析式为， 把，代入一次函数， 得， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：点C坐标为，点P在反比例函数的图象上， 设P点坐标为， ， ， 解得：或， 又点P在第三象限， 点P坐标为． 25. 如图，在中，，以直径作交于点．过点作，垂足为，延长交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为5，求线段的长． 【答案】（1）见解析； （2）线段的长为16． 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理及其推论、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． （1）根据切线的性质得到，证明，根据平行线的性质得到； （2）连接，，根据余弦的定义求出，进而求出，根据平行线分线段成比例定理得到，得到答案． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ∴， ，是半径， ， 是的切线； 【小问2详解】 解：连接，， 为的直径， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ，， ， 为的直径， ， ， ∴， ∴， ， ． 26. （1）【发现】如图1所示，在正方形中，E为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于G点．求证：； （2）【探究】如图2，在矩形中，E为边上一点，且，．将沿翻折到处，延长交边于G点，延长交边于点H，若，求的长； （3）【拓展】如图3，在菱形中，，，E为边上的三等分点，将沿翻折得到，直线交直线于点P，直接写出的长为____________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）的长为或 【解析】 【分析】（1）先证明，，结合公共边从而可得结论； （2）延长，交于，如图：设，则，由，可得，证明，求出、，再证明，利用相似三角形的性质可得答案； （3）分两种情况讨论：当时，延长交于，过作于，如图：设，，则，证明，可得，再根据等面积法证明，即①，由，可得②，联立①②可解得，可得答案；当时，延长交延长线于，过作交延长线于，如图：设，，则，同理同理可得：，即，由得：，可解得，从而可得答案． 【详解】（1）证明：将沿翻折到处，四边形是正方形， ，， ， ，， ； （2）解：延长，交于，如图： 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， ， ，即， 解得，， ，， ， ，即， 解得， 由翻折知：； （3）（Ⅰ）当时，如图：延长交于，延长交于，过作于， 设，，则， ， ， ， ， 沿翻折得到， ，，， 是的角平分线， ∴E到，的距离相等，设这个距离为， ∴， ，即①， ， ，，， 在中，， ②， 联立①②可解得，（不符合题意的根舍去） ； （Ⅱ）当时，如图：延长交延长线于，过作交延长线于， ∴ 设，，则， 同理， 同理可得：，即， 由得：， 可解得，（不符合题意的根舍去） 同理可得：， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，矩形，菱形，正方形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键． 27. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且，． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C，求面积的最大值； （3）在（2）中面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）4；（3）存在，Q的坐标为或 【解析】 【分析】根据题意将、的坐标代入抛物线表达式，即可求解； 由题意设点M的坐标为，则点，，即可求解； 由题意和如图所示可知，，在中，，，，进行分析计算即可求解． 【详解】解：将、的坐标代入抛物线表达式得：，解得：， 则抛物线的解析式为：； 过点M作y轴平行线，交直线BC于点K， 将点B、C的坐标代入一次函数表达式：得：，解得：， 则直线BC的表达式为：， 设点M的坐标为，则点， ， ，有最大值， 当时， 最大值为4， 点M的坐标为； 如图所示，存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，切点为N， 过点M作直线平行于y轴，交直线AC于点H， 点M坐标为，设：点Q坐标为， 点A、C的坐标为、，， 轴， ， ，则， 将点A、C的坐标代入一次函数表达式：得：， 则直线AC的表达式为：， 则点， 在中，，， ， 解得：或， 即点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到解直角三角形、圆的基本知识，本题难点是，核心是通过画图确定圆的位置，本题综合性较强． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$