精品解析：山东省临沂第一中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题

山东省临沂第一中学2024-2025学年高三下学期 四月阶段性检测 命题人：朱洪彦 审题人：刘锦程 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足（是虚数单位），则复数的虚部是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 已知向量，满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，则（ ） A. 21 B. 64 C. 78 D. 156 5. 曲线在点 处的切线与直线和 围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 1 6. 已知的半径为，直线恒过点，且成等差数列，过点作的切线，则点到切点的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 只用1，2，3这三个数字组成一个五位数，规定这三个数字必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数共有（ ） A. 30个 B. 36个 C. 42个 D. 48个 8. 已知函数，对任意，都有，且存在，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组样本数据的平均数为，标准差为s．另一组样本数据，的平均数为，标准差为s．两组数据合成一组新数据，新数据的平均数为，标准差为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的导函数为，下列判断正确的是（ ） A. 函数关于中心对称，函数关于轴对称 B. 在复数范围内方程有三个根，且三个根的和为3 C 时， D. 四次函数必为轴对称函数 11. 如图，在直棱柱中，，是中点.过作与平面平行的平面，若平面平面，则（ ） A. 四点共面 B. 棱柱没有外接球 C. 直线所成角为 D. 四面体与四面体的公共部分的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则____________. 13. 无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和.若对任意，，则k的最大值为______. 14. 已知的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A的大小； （2）若边上的中线，求的面积. 16. 如图，四棱锥中，平面平面，棱上一点. （1）证明：； （2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴. （1）求方程； （2）过点的直线交于两点，求面积的最大值. 18. 深圳是一个沿海城市，拥有大梅沙等多样的海滨景点，每年夏天都有大量游客来游玩.为了合理配置旅游资源，文旅部门对来大梅沙游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人选择只游览海滨栈道，另外的人选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩.每位游客若选择只游览海滨栈道，则记1分；若选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，则记2分.假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，视频率为概率. （1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望； （2）从游客中随机抽取个人，记这个人的合计得分恰为分的概率为，求； （3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由. 19. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与轴平行，求的值； （2）设函数，给出的定义域，并证明：曲线是轴对称图形； （3）证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山东省临沂第一中学2024-2025学年高三下学期 四月阶段性检测 命题人：朱洪彦 审题人：刘锦程 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解绝对值不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得，所以， 又，所以， 则. 故选：C 2. 若复数满足（是虚数单位），则复数的虚部是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法可得； 【详解】，所以复数的虚部是2. 故选：B. 3. 已知向量，满足，，且，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量模长公式及向量垂直的表示可列方程，解方程可得解. 【详解】由已知，即， 又，则， 解得，， 故选：A. 4. 设，则（ ） A. 21 B. 64 C. 78 D. 156 【答案】A 【解析】 【分析】首先写出展开式的通项，再根据等差数列前项和公式计算可得； 【详解】解：的展开式的通项为，， 所以. 故选：A. 5. 曲线在点 处的切线与直线和 围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】，所以在点处的切线方程为，它与的交点为，与的交点为，所以三角形面积为 故选：A 6. 已知的半径为，直线恒过点，且成等差数列，过点作的切线，则点到切点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件可得，代入的方程，求出直线所过定点坐标，结合切线性质求结论. 【详解】因为成等差数列， 所以， 代入方程可得， 令，解得， 故直线恒过点，即圆心， 故， 设切点为，则， 故． 所以点到切点的距离为. 故选：A. 7. 只用1，2，3这三个数字组成一个五位数，规定这三个数字必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数共有（ ） A. 30个 B. 36个 C. 42个 D. 48个 【答案】C 【解析】 【分析】分同一个数字出现3次和两个数字出现两次，第三个数字出现1次两种情况，求出各个情况数，相加得到答案. 【详解】同一个数字出现3次时，其他两个数字进行插空， 故有种情况， 有两个数字出现两次，第三个数字出现1次时，此时有种情况， 以两个1，两个2，一个3为例， 若两个1出现在万位和百位，此时2可以在千位和十位或千位和个位，有2种情况， 若两个1出现在万位和十位，此时2可以在千位和个位或百位和个位，有2种情况， 若两个1出现在万位和个位，此时2只能在千位和十位，有1种情况， 若两个1出现在千位和十位，此时2可以在万位和百位或万位和个位或百位和个位，有3种情况， 若两个1出现在千位和个位，此时2可以在万位和百位或万位和十位，有2种情况， 若两个1出现在百位和个位，此时2可以在万位和十位或千位和十位，有2种情况， 故有种情况， 所以，共有种情况， 综上，这样的五位数共有种. 故选：C 8. 已知函数，对任意，都有，且存在，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对求导，得到，利用导数与函数单调性间的关系，得出在区间和上单调性，进而求出在这两个区间上的取值范围， 再根据条件构造函数，再结合条件，利用二次函数性质，即可求解. 【详解】因为，则在区间恒成立， 即在区间上单调递增，所以，当时，， 令，由题有对恒成立， 则，又的对称轴为， 所以，得到， 解得. 又当时，，即在区间上单调递减， 所以当时，， 又存在，使得，所以， 得到，解得或， 综上，实数的取值范围是. 故选：C. 【点晴】关键点点晴，本题的关键在于利用导数，求出在区间和上单调性，进而得到在这两个区间上的取值范围，从而将问题转化成二次函数在区间上恒成立和有解问题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组样本数据的平均数为，标准差为s．另一组样本数据，的平均数为，标准差为s．两组数据合成一组新数据，新数据的平均数为，标准差为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由平均数与标准差的定义求解判断． 【详解】由题意， ， 同理 两式相加得， ， 所以，． 故选：BC． 10. 已知函数的导函数为，下列判断正确的是（ ） A. 函数关于中心对称，函数关于轴对称 B. 在复数范围内方程有三个根，且三个根的和为3 C. 时， D. 四次函数必为轴对称函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：根据对称性的定义分析判断；对于B：整理可得，进而分析的根即可；对于C：分析可知函数在内单调递减，结合单调性分析判断；对于D：举反例说明即可. 【详解】对于选项A：因为， 可知函数关于中心对称， 由，可得， 则， 所以函数关于轴对称，故A正确； 对于选项B：因为， 设在复数范围内方程有2个根为，则， 可知在复数范围内方程有三个根为，则 所以三个根的和为3，故B正确； 对于选项C：若，则， 可知函数在内单调递减， 且，可得，所以，故C正确； 对于选项D：例如， 假设为轴对称函数，则存在，使得， 因为， 可得，方程组无解， 即假设不成立，可知不为轴对称函数，故D错误； 故选：ABC. 11. 如图，在直棱柱中，，是中点.过作与平面平行的平面，若平面平面，则（ ） A. 四点共面 B. 棱柱没有外接球 C. 直线所成的角为 D. 四面体与四面体的公共部分的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用异面直线夹角的向量求法判断C；确定直角梯形是否有外接圆判断C；作图求出体积判断D. 【详解】在直棱柱中，平面，又，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 对于A，，即，又直线， 因此，即四点共面，A正确； 对于B，在梯形中，，则为锐角，， 因此，梯形无外接圆，则棱柱没有外接球，B正确； 对于C，平面，平面，平面平面， 则，令，连接，平面平面，同理， 因此直线所成的角等于直线所成的角，由，得， 则，，， 直线所成的角不为，C错误； 对于D，令， 则点是直棱柱所在侧面矩形的中心， ，四边形是平行四边形， 平面，则平面，同理平面，而， 平面，因此平面平面，同选项C得， 而，则四边形为平行四边形，，则平面， 平面，四边形的面积， 四面体与四面体的公共部分为八面体， 所以四面体与四面体的公共部分的体积为，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：作出图形确定两个四面体的公共部分是求出其体积的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式得出，再应用二倍角正弦公式计算即可求值. 【详解】 因为，所以， 所以. 故答案为：. 13. 无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和.若对任意，，则k的最大值为______. 【答案】4 【解析】 【详解】试题分析：当时，或；当时，若，，于是， 若，，于是， 若，，于是， 若，，于是， 所以当时，， 所以要涉及最多的不同的项数列可以为：2,1，−1,0,0…，从而可看出. 【考点】数列的项与和 【名师点睛】从研究与的关系入手，推断数列的构成特点，解题时应特别注意“数列由k个不同的数组成”和“k的最大值”.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等. 14. 已知的最小值为__________. 【答案】 【解析】 分析】根据条件得到，再通过转化和构造，利用基本不等式，即可求解. 【详解】由，得到，所以， 则， 又，所以， 当且仅当，即时取等号， 又， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故答案为：. 【点晴】关键点点晴，本题的关键在于将条件变形为，再利用基本不等进行求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A的大小； （2）若边上的中线，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，利用正弦定理转化为，再利用两角和的正弦公式求解； （2）在中，由余弦定理得到，然后分别在和中，利用余弦定理结合，两式相加得到，联立求得c，再利用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 解；因为， 所以， 所以， 即 ， 因为 ， 所以 ， 所以； 【小问2详解】 在中，由余弦定理得， 即①， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 因为， 两式相加得②， 由①②得， 所以 16. 如图，四棱锥中，平面平面，为棱上一点. （1）证明：； （2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由面面垂直证明线面垂直，可得，再证明，则可得平面，从而可证明； （2）分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求直线的方向向量与平面的一个法向量，即可利用空间向量夹角公式求解. 【小问1详解】 取中点，连接 平面平面，平面平面平面 平面 平面 ，即 又平面平面 平面 小问2详解】 连接，设，连接 平面平面，平面平面 ，易知 取中点，连接，则两两互相垂直. 分别以为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系 则 ， ， 设平面的一个法向量 则即令，则 设直线与平面所成角为，则 即直线与平面所成角的.正弦值为 17. 已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴. （1）求的方程； （2）过点的直线交于两点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出椭圆的焦点坐标，再利用椭圆定义求出即可. （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理表示出三角形面积，利用基本不等式求出最大值. 【小问1详解】 依题意，右焦点，则左焦点，而，轴， 则，于是， 解得，，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 依题意，直线不垂直于轴，设其方程为， 由消去并整理得， ，解得， 设，则 则面积， 令，则，且， ，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为. 18. 深圳是一个沿海城市，拥有大梅沙等多样的海滨景点，每年夏天都有大量游客来游玩.为了合理配置旅游资源，文旅部门对来大梅沙游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人选择只游览海滨栈道，另外的人选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩.每位游客若选择只游览海滨栈道，则记1分；若选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，则记2分.假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，视频率为概率. （1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望； （2）从游客中随机抽取个人，记这个人的合计得分恰为分的概率为，求； （3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由. 【答案】（1）分布列见解析， （2） （3）是， 【解析】 【分析】（1）根据题意得到变量的可能取值为，结合独立事件的概率乘法公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，求得期望. （2）由这人的合计得分为分，得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解. （3）记“合计得分”为事件，“合计得分”为事件，得到，结合数列的递推关系式，进而求得数列的通项公式，得到答案. 【小问1详解】 依题意，随机变量的可能取值为， 则，， 所以的分布列如下表所示： 2 3 4 数学期望为. 【小问2详解】 由这人的合计得分为分，得其中只有1人既游览海滨栈道又到海滨公园游玩， 于是，令数列的前项和为， 则， 于是， 两式相减得 ，因此， 所以. 【小问3详解】 在随机抽取的若干人的合计得分为分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为分或分， 记“合计得分”为事件，“合计得分”为事件，与是对立事件， 则，，，即， 由，得，则数列是首项为，公比为的等比数列， ，因此， 随着的无限增大，无限趋近于0，无限趋近于， 所以随着抽取人数的无限增加，趋近于常数. 【点睛】方法点睛：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解． 19. 已知函数. （1）若曲线在点处切线与轴平行，求的值； （2）设函数，给出的定义域，并证明：曲线是轴对称图形； （3）证明：. 【答案】（1） （2）函数的定义域为，证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出，由题意可得，由此可求得实数的值； （2）求出函数的解析式，可得出其定义域，可知函数的定义域关于直线对称，然后证明出，即可证得结论成立； （3）当时，求出函数的解析式，利用导数分析函数在上的单调性，可得出，再利用对数函数的单调性化简可得出所证不等式. 【小问1详解】 因为， 则， 由题意可知，，解得. 【小问2详解】 ， 对于函数， 有，解得，即函数的定义域为， 对于函数，则，可得，解得或， 所以，函数的定义域为，故该定义域关于直线对称， 因为 ， 故函数的图象关于直线对称，所以曲线是轴对称图形. 【小问3详解】 当时，， 则，令， 则， 当时，，则函数在上为增函数，此时，， 即，所以，函数在上为增函数，此时，， 取，可得， 于是，即， 所以，， 故. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$