广东省惠州市第一中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

惠州市第一中学2027届高一下学期第二次阶段性考试 数学科 试题 2025.4 命题人：2027届命题核心组 (满分 150 分。考试时间 120 分钟。) 注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回。 一、单选题(本大题共8小题，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) 1.在下列向量组中，可以把向量 表示出来的是( ) 2. 如图, 在矩形ABCD中, O为AC与BD 的交点, 则 B. AC 3. 若复数z满足z-1=z(2-i), 则= ( ) A. - 1+i B. - 1-i 4. 在△ABC中, 角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 若 则B=( ) A. C. D. 或 5.堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》.如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱(堑堵).如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑.则图2中的阳马与图1中的长方体的体积比是( ) A. B. C. D. 6.已知平面向量，满足=(cosθ,sinθ)(θ∈[0,2π)),||=2,在方向上的投影为1，则|+2|=( ) A. 4 C. 5 D.与θ有关 7. 在△ABC中, (a, b, c分别为角A, B, C的对边), 则△ABC的形状可能是( ) A.正三角形. B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 8.已知圆锥SO的母线SA=5，侧面积为15π，若正四面体A1—B₁C₁D₁能在圆锥SO内任意转动，则正四面体A₁-B₁C₁D₁的最大棱长为( ) 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分。) 9.设复数 对应的向量分别为 (O为坐标原点)，则（ ） A. |z1|=2 B. 若 则 C. 若 且 则 D.若 ,则|z₂|的最大值为 10.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中, AA₁=2, AB=BC=1, ∠ABC=90°,侧面AA1C1C的对角线交点O,点E是侧棱BB1上的一个动点，下列结论正确的是（ ） A.直三棱柱的体积是1 B.直三棱柱的外接球表面积是6π C.三棱锥E-AA1O的体积与点E的位置有关 D. AE+EC1的最小值为2 11. 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且 则下列说法正确的是( ) A. 若B+C=2A, 则△ABC的外接圆的面积为3π B. 若 且△ABC有两解，则b的取值范围为 C.若C=2A，且△ABC为锐角三角形，则c的取值范围为 D. 若A=2C, 且sinB=2sinC, O为△ABC的内心, 则△AOB的面积为 三、填空题(本大题3小题，每小题5分，共15分) 12.已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，则正四棱台的高为 . 13.如图，计划在两个山顶M，N间架设一条索道.为测量M，N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高 在BC同一水平面上选一点A，在A处测得山顶M，N的仰角分别为60°和30°, 且测得∠MAN=45°, 则M,N间的距离为 . 14. 在复平面中,已知点A(-1,0)、B(0,3),复数z₁、z₂对应的点分别为Z₁、Z₂,且满足 则 的最大值为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15.(13分)设复数 i为虚数单位. (1)若a=2, 求. (2)若 是纯虚数, 求|z1| 16.(15分)用斜二测画法画一个水平放管的平面图，其直观图如图所示，已知. 且A'D'∥B'C'. (1)求原平面图形ABCD的面积； (2)将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积. 17.(15分) 在△ABC中, 内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 已知 (1)证明: a=c; (2)如图, 若c=2b, 点D在边BC上, 且 ACD的面积为 求△ACD的周长. 18.(17分)已知锐角△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c, 若D是线段BC上一点, 且 (1)求角A的大小； (2)若△ABC的面积为4 ，且AD为内角A的角平分线，求AD的最大值. (3)若D是线段BC上靠近点B的三等分点，a=3，求AD的最大值. 19.(17分)利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对(z₁,z₂)(其中z₁,z₂∈C)视为一个向量，记作 =(z₁，z₂).类比平面向量可以定义其运算，两个复向量 的数量积定义为一个复数，记作ā.β，满足 复向量α的模定义为 (1)设 =(1-i,i), =(3,4),i为虚数单位，求复向量α、β的模； (2)设 、是两个复向量. ①已知对于任意两个平面向量 =(x₁,y₁), =(x₂,y₂),(其中x₁,x₂,y₁,y₂∈R), |·|≤|||||成立, 证明:对于复向量、,|.|≤||||也成立; ②当 时，称复向量与平行.若复向量=(1+i,1-2i)与 平行(其中i为虚数单位，z∈C), 求复数z 学科网（北京）股份有限公司 $$数学答案评分标准 一、单选题(每小题5分,共40分) 题号 答案 B B C 二、多选题(每小题6分,共18分) 题号 10 9 11 答案 ACD ABD ACD 三、填空题(每小题5分,共15分) 12. 2 13. 100v2m 14. 2V0-4 四、解答题(本大题共5小题,共77分) 15.(13分) 【解析》】(1)当=2时,,1-21,,-:(1-21(2131)-2-1+6-8-1.....5分 [2-3a=0 =二2+3i(2+32-3) 13 13 3 ..................... 16.(15分) 【解析】(1)还原平面图形ABCD,如图,因为AB'-3,BC-1,AD-3,且.AD//BC, 所以AB=3,BC-2,AD=6,且.AD//BC,AB1AD,原平面图形ABCD为宜角形,故 $.no-2+)x3 2 过) 乙 (2)将原平面图形ABCD绕BC旋转一周,所得儿何体是一个圆柱挖去一个圆锥,如图 其中圆在面半径为3..、.为...锥..面半径为3...为....每.长为...-10分 所以儿几....-........种背...1..3.6.............分 几何体的草.........4.......5 17.(17分) 【解析】(1)由条件及正弦定理得sinA cosA sinC coSC.所以sin4cosC-co AsinC=0,即sin(4-C)-0, 因为一#.0-.-...以..-....-......-............5分 (2)由(1)及条件知a=c=2. 所以oanc-#从-( 46 2ab ...... 设CD=x×>),则$co” 163 5,得 ................ 4 4 由余弦定理得4AD?-6?2+2-2xb.-b2+x2-x=1,所以b+x2:13、,②...-12分 由①②,得(b+x)2}=25,所以b+x5,所以△ACD的长为b+x+AD=5+10....15分 18.(17分) 【解析】(1)acosC+3asinC-b-c=0,由正弦定理得sinAcosC+3sinAsinC=sinB+sinC 文sinB=sin(A+C)=sin AcosC+cos AsinC,所以sin AcosC'+3sin AsinC:=sin AcosC+cos AsinC+sinC 由sinC>o得-3sn4c0:4=一1,即sin①4-)-),部得-<-5,又4(0=). 因为AD为角的平线.所以 in .BDs s CA,.于A.-S. SA.....1分 2 2 2 __10 #C 8 ...............1.. B 当且,.了.....-,....一.了........1. (3)方法一.-.....--..-.....-.-.-..-..........-12分 因为CD-2B得D-1C2 两边平方得D-04+080-(6040 260)-4+20。 74-b (.............. 3 -4+23 (x+1)-3(x+1)+3 +(x1)3-3 -x1 x1 方法二:设BC的中点为ExABC外接圆的圆心为0,则AD-A0+OD. 所以-[00#,0#22,所以5 所以AD<3+1,当且仅当A.0.D三点共线时等号成立,此时ABC为锐角三角形 9.(17分) 【解析】(1)因为-(1-i,ì),所以--(1-)(i-i)+i-i=(1-i)(+i)+i·(-i)-2+1-3, 可.............. 因为}.3..,.以...-3.4分.-13.4.8.2...所..模1.......-4分 (2)因为=(二,),=(“,),所以引=三+:司习 ....... 由复数的三不等式+习-习+习-1同+ ........... 所以同=同f+ 、+--+-la ..................1.. 分 综上所................... ②考虑①中等号成立的条件知,对于复数的三角不答式,复向最各分最均不为零时,其等号成立的条件是 _........... “2 1_2i 根-同+1-、+-fR同 中等号成立的条件,应有=l-=:同 则1-11-210 11.-if 络合=三二#),#)#(1)#1## 以:一---)-.-....1