4.2.1两角和与差的余弦公式及其应用（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第二册）

4.2.1两角和与差的余弦公式及其应用 题型一 两角和与差的余弦公式求值 1．（24-25高一下·四川德阳·阶段练习）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）已知，，则的值为（ ） A． B． C． D．或 3．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知，则 ． 4．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，是第三象限角，则的值是 ． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）若，是第二象限角，，是第三象限角，求的值. 题型二 两角和与差的余弦公式的逆用 1．（24-25高一下·江苏扬州·期中）（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·辽宁辽阳·阶段练习） . 3．（24-25高一下·四川广元·阶段练习） ． 4．（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）的值为 . 5．（24-25高一下·四川泸州·阶段练习） . 题型三 两角和与差的余弦公式的化简求值 1．（23-24高三上·北京·开学考试）（   ） A． B． C． D．2 2.（24-25高一下·四川眉山·阶段练习） . 3.（24-25高一上·全国·课后作业） ． 4.（24-25高一下·全国·课后作业） ． 5.（24-25高一上·上海·期末）已知，则 ． 题型四 凑角求值 1．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）若，为锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知，都是锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知α为钝角，且，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·山东临沂·阶段练习）若，，，，则 . 5．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）已知都是锐角，． (1)求的值； (2)求的值． 题型五 两角和与差的余弦公式在三角形中的应用 1．（24-25高一下·上海浦东新·开学考试）在中，若，则（    ） A． B． C． 或 D． 或 2.（24-25高一上·全国·课后作业）在中，，则（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高一下·全国·课后作业）在中，有关系式成立，则为（    ） A．等腰三角形 B．的三角形 C．等腰三角形或的三角形 D．不能确定 4.（24-25高一上·浙江温州·期末）在中，，则 . 5.（23-24高一下·上海徐汇·期中）如图所示，已知线段是直角三角形与直角三角形的公共斜边，且满足，则 ． 1．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，直角三角形中较大的锐角为，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国·专题练习）已知，函数，若，则 . 3．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知函数，若，，则 ． 4．（24-25高一上·福建福州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，角和角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A，B两点，已知，点B的横坐标为，点C与点B关于x轴对称. (1)求的值； (2)求的值. 5．（24-25高一上·广西南宁·期末）函数（，）的部分图象如图所示． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)若，，求的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2.1两角和与差的余弦公式及其应用 题型一 两角和与差的余弦公式求值 1．（24-25高一下·四川德阳·阶段练习）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由同角三角函数基本关系可求得，，再结合两角差的余弦公式即可求解. 【详解】由，，得，同理，，可得， 所以. 故选：A. 2．（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）已知，，则的值为（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据同角关系以及余弦的和角公式即可求解. 【详解】由于，，故， ， 故选：C 3．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】由同角三角函数商得关系及两角和得余弦公式即可求解； 【详解】，又， 所以， 所以， 故答案为： 4．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，是第三象限角，则的值是 ． 【答案】 【分析】利用三角函数的平方关系得出，，再利用两角差的余弦公式求解即可. 【详解】由，得， 又由，是第三象限角，得， 所以. 故答案为：. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）若，是第二象限角，，是第三象限角，求的值. 【答案】 【分析】先利用诱导公式和同角三角函数关系求出的值，再根据两角差的余弦公式求解即可. 【详解】因为，所以， 又是第二象限角，所以， 因为，且是第三象限角，所以， 所以 . 题型二 两角和与差的余弦公式的逆用 1．（24-25高一下·江苏扬州·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，逆用差角的余弦公式求解. 【详解】. 故选：C 2．（24-25高一下·辽宁辽阳·阶段练习） . 【答案】 【分析】根据诱导公式及两角和的余弦公式求解即可. 【详解】 . 故答案为：. 3．（24-25高一下·四川广元·阶段练习） ． 【答案】 【分析】利用两角差的余弦函数公式化简，再根据特殊角的三角函数值即可得到结果． 【详解】. 故答案为：． 4．（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）的值为 . 【答案】/ 【分析】先运用诱导公式化简，再应用两角差余弦公式计算即可. 【详解】 . 故答案为：##. 5．（24-25高一下·四川泸州·阶段练习） . 【答案】/ 【分析】利用诱导公式和两角差的余弦公式进行计算得出结果； 【详解】. 故答案为： 题型三 两角和与差的余弦公式的化简求值 1．（23-24高三上·北京·开学考试）（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】将转化为，然后利用三角函数的两角和公式展开进行化简计算. 【详解】根据三角函数两角和公式，则. 代入原式化简, 将代入原式可得： . 因为，，所以. 则原式变为. 故选：C. 2.（24-25高一下·四川眉山·阶段练习） . 【答案】 【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合诱导公式、两角和的余弦公式计算可得结果. 【详解】 . 故答案为：. 3.（24-25高一上·全国·课后作业） ． 【答案】 【分析】首先变换角，再结合两角和的余弦公式，即可求解. 【详解】 ． 故答案为： 4.（24-25高一下·全国·课后作业） ． 【答案】 【分析】利用和（差）角的余弦公式计算可得. 【详解】 ． 故答案为： 5.（24-25高一上·上海·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】利用两角和、差的余弦公式可求的值，从而可求的值，利用对数的运算性质可求的值. 【详解】因为，所以， 所以，故， 所以. 故答案为： 题型四 凑角求值 1．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）若，为锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，结合平方关系和和差公式求出的余弦即可得解. 【详解】因为， 所以， 因为，， 所以，， 所以， 所以 ， 因为，所以. 故选：B 2．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知，都是锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查两角和与差的三角函数公式和同角三角函数的基本关系，，由两角差的余弦公式展开可得，根据同角三角函数的基本关系可得和的值，代入即可求解. 【详解】解：，都是锐角，，， ，， . 故选：D. 3．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知α为钝角，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用平方关系求出，再根据，利用和角的余弦公式计算求解. 【详解】，则， ， . 故选：D. 4．（24-25高一下·山东临沂·阶段练习）若，，，，则 . 【答案】 【分析】首先求出、，再由及两角和的余弦公式计算可得. 【详解】由，得，而， 则， 又，所以，而， 所以， 所以 . 故答案为： 5．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）已知都是锐角，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数关系结合角的范围应用两角和的余弦公式计算求解； （2）根据同角三角函数关系结合角的范围应用两角和的余弦公式计算求解； 【详解】（1）因为，都是锐角，，， 所以，，， （2）由（1）知，，， 因为是锐角，所以， 题型五 两角和与差的余弦公式在三角形中的应用 1．（24-25高一下·上海浦东新·开学考试）在中，若，则（    ） A． B． C． 或 D． 或 【答案】A 【分析】根据A、B、C的范围及题中条件，可求得，的值，代入两角和的余弦公式，化简整理，即可得答案. 【详解】因为在中，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以 . 故选：A 2.（24-25高一上·全国·课后作业）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由利用同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的内角和性质以及两角和的余弦公式即可求解. 【详解】中，， 可得，则， 故 ． 故选：A. 3.（24-25高一下·全国·课后作业）在中，有关系式成立，则为（    ） A．等腰三角形 B．的三角形 C．等腰三角形或的三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】依题意可得，由同角三角函数的基本关系将切化弦，再由两角差的余弦公式得到，结合三角形内角和定理求出，即可判断. 【详解】由题意知，则， 又， 所以， 所以， 即， 又，，且， 所以或， 所以（舍去）或，所以为的三角形． 故选：B 4.（24-25高一上·浙江温州·期末）在中，，则 . 【答案】 【分析】由已知条件，利用三角恒等变换化简求出即可得解. 【详解】由， 化弦可得, 又，, 所以，解得， 因为，所以. 故答案为： 5.（23-24高一下·上海徐汇·期中）如图所示，已知线段是直角三角形与直角三角形的公共斜边，且满足，则 ． 【答案】 【分析】设，结合题意可得，结合两家和差公式整理即可. 【详解】设， 由题意可得：， 因为，即，则， 两式平方相加可得，则， 所以. 故答案为：. 1．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，直角三角形中较大的锐角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件求出和的值，利用两角和与差的三角函数公式求出结果即可. 【详解】由题意可知，设直角三角形两直角边为a，， 则，解得， ， ， 故选：B 2．（2025高一·全国·专题练习）已知，函数，若，则 . 【答案】/ 【分析】由已知条件，结合三角函数的性质可得，从而利用同角三角函数的基本关系以及即可求解. 【详解】因为，可得，同理可得， 因为，所以，，所以，， 则， ， 所以 . 故答案为：. 3．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知函数，若，，则 ． 【答案】 【分析】根据已知分段函数，结合x的范围代入计算，应用同角三角函数关系结合两角差的余弦公式计算求解. 【详解】 ， ，； 又∵， 即；① 得，即；② ①²+②²得， 即． 故答案为： 4．（24-25高一上·福建福州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，角和角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A，B两点，已知，点B的横坐标为，点C与点B关于x轴对称. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用诱导公式化简原式为，再弦化切代入即可求解； （2）求出的正弦值与余弦值，根据，利用两角和的余弦公式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以 ， （2）因为点B的横坐标为，且B是第二象限单位圆上的点， 所以B的纵坐标为，即， 则， 因为①，②， 由①②结合可得，， 因为点C与点B关于x轴对称，所以， 因为， 5．（24-25高一上·广西南宁·期末）函数（，）的部分图象如图所示． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)若，，求的值． 【答案】(1)， ； (2). 【分析】（1）利用余弦函数性质，把相位看成一个整体来解不等式，即可得单调区间； （2）利用相位整体角思想，把所求的角转化，再用余弦两角和公式求解即可. 【详解】（1）由图象可知：，解得：， ， ； ，，解得：， 又，，， 令，解得：； 的最小正周期为，单调递增区间为. （2），， 又，， 又 ， . 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$