黄金卷07（内蒙古专用）（新中考题型）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一个题目符合选项要求） 1．砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案． 【解答】解：从上边看，可得如图： ． 故选：C． 2．【热点素材】2024年12月20日是澳门回归祖国25周年纪念日，二十五载沧桑巨变，二十五载春华秋实，日新月异的“濠江奇迹”在澳门写就——本地生产总值从1999年的519亿澳门元增长到2023年的3795亿澳门元．数据3795亿澳门元用科学记数法表示为（　　） A．3.795×108澳门元 B．3.795×1011澳门元 C．3.795×1010澳门元 D．3795×108澳门元 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：3795亿＝379500000000＝3.795×1011． 故选：B． 3．下列计算正确的是（　　） A．a3÷a2＝a B．＝a C．2a2+a2＝3a4 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2 【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解． 【解答】解：A、正确； B、当a≥0时，＝a，当a＜0时，＝﹣a，故选项错误； C、2a2+a2＝3a2，故选项错误； D、（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，故选项错误． 故选：A． 4．为增强学校之间的友谊，某市举办联合篮球比赛，如表是A校篮球队员的身高： 身高（cm） 176 178 180 181 182 185 人数 1 2 3 2 1 1 下列说法正确的是（　　） A．篮球队员身高的众数是185cm B．篮球队员的平均身高是180.1cm C．篮球队员身高的中位数是180.5cm D．篮球队员身高的方差是3.2cm2 【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的计算方法逐项分析即可． 【解答】解：根据平均数、中位数、众数、方差的计算方法逐项分析如下： A．∵180cm出现的次数最多， ∴众数是180cm，故不正确； B．平均数＝，正确； C．∵从小到大排列后排在第5和第6位的是180cm， ∴中位数是180cm，故不正确； D．由题意可得： ，故不正确． 故选：B． 5．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E．若∠ODA＝30°，则∠BOE的度数为（　　） A．45° B．60° C．65° D．75° 【分析】根据矩形的性质及AE平分∠BAD分别判定BE＝BA及△AOB为等边三角形，然后求得∠OBE＝30°，则可在△BOE中求得∠BOE的度数． 【解答】证明：在矩形ABCD中，AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠EAD＝45°，AD∥BC，OA＝OB， ∴∠AEB＝∠EAD＝45°， ∴BE＝BA． ∵∠OAD＝∠ODA＝30°， ∴∠BAC＝60°， 又∵OA＝OB， ∴△AOB为等边三角形， ∴BO＝BA， ∴BO＝BE ∵AD∥BC ∴∠OBE＝∠ADO＝30° ∴∠BOE＝（180°﹣30°）÷2＝75°． 故选：D． 6．如图，正六边形ABCDEF的边长为，以顶点A为圆心，AB长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正六边形的性质求出∠A的度数，再由扇形面积的计算方法进行计算即可． 【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠A＝＝120°，AB＝AF＝， ∴S阴影部分＝S扇形BAF＝＝π， 故选：B． 7．若正比例函数y＝kx的图象过第二、四象限，则关于x的一元二次方程x2+x+k＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【分析】根据正比例函数y＝kx的图象过第二、四象限，可知k＜0，再根据一元二次方程x2+x+k＝0，可以计算出Δ的正负情况，从而可以判断该方程根的情况． 【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象过第二、四象限， ∴k＜0， ∵一元二次方程x2+x+k＝0， ∴Δ＝12﹣4×1×k＝1﹣4k＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 8．抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（m﹣1，n）、B（﹣m﹣1，n）、C（1，p），且p＜2，则该抛物线的顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据二次函数的性质和题意，可以得到该抛物线的对称轴以及a、b的正负情况，再根据与y轴的交点位置，即可得到该抛物线顶点所在的位置． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（m﹣1，n）、B（﹣m﹣1，n）， ∴该抛物线的对称轴为直线x＝＝＝﹣1， ∴﹣＝﹣1， ∴b＝2a， ∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点C（1，p），且p＜2， ∴a+b+2＜2， ∴a+b＜0， ∴a+2a＜0， ∴a＜0， ∴b＝2a＜0， ∴该抛物线的对称轴在y轴左侧，开口向下， 又∵x＝0时y＝2， ∴该抛物线的顶点坐标在第二象限， 故选：B． 二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9．分解因式：2ax2﹣4ax+2a＝　2a（x﹣1）2　 ． 【分析】先提取公因式，再用完全平方公式分解因式． 【解答】解：原式＝2a（x2﹣2x+1） ＝2a（x﹣1）2． 故答案为：2a（x﹣1）2． 10．反比例函数的图象在第一、三象限，那么＝ 　2﹣m　 ． 【分析】根据反比例函数的性质可得2﹣m＞0，再根据二次根式的性质即可得到结论． 【解答】解：∵的图象在第一、三象限， ∴2﹣m＞0， ∴m﹣2＜0， ∴＝|m﹣2|＝2﹣m， 故答案为：2﹣m． 11．如图，渔船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向，轮船从A处以15海里/小时的速度沿南偏西50°方向匀速航行，2小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向，则灯塔C与码头B相距　15　 海里． 【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D，根据垂直定义可得：∠ADB＝∠BDC＝90°，根据题意可得：AB＝30海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，从而利用三角形内角和定理∠C＝45°，然后在Rt△ADB中，利用锐角三角函数的定义可求出AD，BD的长，再在Rt△BDC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，即可解答． 【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D， ∴∠ADB＝∠BDC＝90°， 由题意得： AB＝15×2＝30（海里），∠BAC＝180°﹣50°﹣70°＝60°，∠ABC＝50°+25°＝75°， ∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝45°， 在Rt△ADB中，AD＝AB•cos60°＝30×＝15（海里）， BD＝AB•sin60°＝30×＝15（海里）， 在Rt△BDC中，BC＝＝＝15（海里）， ∴灯塔C与码头B相距15海里， 故答案为：15． 12．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E是对角线AC的中点，点F在线段AE上，且∠FBE＝30°，以F为旋转中心，将线段FB逆时针旋转90°得到FG，此时点G恰好落在线段CD上，则CG的长为 　　 ． 【分析】连接BG，由正方形的性质得BC＝AB＝2，∠ABC＝∠BCD＝90°，求得AC＝2，因为点E是AC的中点，所以BF⊥AC，BE＝AC＝，则∠AEB＝90°，而∠FBE＝30°，则EF＝BF，由BE＝＝FB＝，求得BF＝，由旋转得FG＝FB，∠BFG＝90°，则BG＝FB＝，即可求得CG＝＝，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接BG， ∵四边形ABCD是正方形，AB＝2， ∴BC＝AB＝2，∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴AC＝＝＝2， ∵点E是AC的中点， ∴BF⊥AC，BE＝AC＝， ∴∠AEB＝90°， ∵∠FBE＝30°， ∴EF＝BF， ∵BE＝＝＝FB＝， ∴BF＝， ∵以F为旋转中心，将线段FB逆时针旋转90°得到FG，点G恰好落在线段CD上， ∴FG＝FB，∠BFG＝90°， ∴BG＝＝FB＝×＝， ∴CG＝＝＝， 故答案为：． 三．解答题（共6小题，共64分） 13．解方程和不等式组： （1）； （2）． 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 【解答】解：（1）去分母得：x（x+1）＝（x﹣2）（x﹣3）， 解得：x＝1， 检验：把x＝1代入得：（x﹣2）（x+1）≠0， ∴分式方程的解为x＝1； （2）， 由①得：x≤3， 由②得：x＞， ∴不等式组的解集为＜x≤3． 14．现我省中考体育是必考科目，各校都在加强学生的体育锻炼．我校七年级数学兴趣小组为了了解本校学生喜爱运动的情况，随机抽取了50名学生进行问卷调查，经过统计后绘制了两幅不完整的统计图（注：每一名学生在任何一种分类统计中只有一种选择） 请根据统计图完成下列问题： （1）扇形统计图中，“很喜欢”所对应的圆心角度数为　144　 度；条形统计图中，喜欢篮球的人数为　35　 人； （2）我校初中人数为1600人，请根据上述调查结果，估计我校学生中“很喜欢”和“比较喜欢”锻炼的人数总和； （3）小雷喜欢篮球，小正喜欢羽毛球，现有写着篮球、足球、排球、羽毛球的四张卡片，让两人各抽取一张，请用画树状图法或列表法求小雷和小正两人中有且只有一人选中自己喜欢的项目的概率． 【分析】（1）用360度乘以扇形统计图中“很喜欢”所占的百分比即可得到“很喜欢”所对应的圆心角度数；用样本容量分别减去除喜欢篮球的人数可得到条形统计图中，喜欢篮球的人数； （2）根据用样本估计总体，用1600乘以“很喜欢”和“比较喜欢”所占的百分比的和即可； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出小雷和小正两人中有且只有一人选中自己喜欢的项目的结果数．然后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）“很喜欢”所对应的圆心角度数＝360°×（1﹣35%﹣25%）＝144°； 在条形统计图中，喜欢篮球的人数＝50﹣7﹣3﹣5＝35（人）； 故答案为144；35； （2）1600×（1﹣25%）＝1200， 所以估计我校学生中“很喜欢”和“比较喜欢”锻炼的人数总和为1200人； （3）画树状图为：（用A、B、C、D分别表示篮球、足球、排球、羽毛球的四张卡片） 共有12种等可能的结果数，其中小雷和小正两人中有且只有一人选中自己喜欢的项目的结果数为4， 所以小雷和小正两人中有且只有一人选中自己喜欢的项目的概率＝＝． 15．第九届亚洲冬季运动会已于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行，期间吉祥物“滨滨”和“妮妮”在市场热销．A商场购进“滨滨”和“妮妮”共1000个，总共花费18000元，其中一个“滨滨”进价20元，一个“妮妮”进价15元． （1）求商场购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ （2）某中学八年级春季运动会上准备用吉祥物“滨滨”和“妮妮”作为奖品，计划从A商场购买两种吉祥物共90个，要求购买“滨滨”数量不少于“妮妮”数量的2倍，A商场若一个“滨滨”、“妮妮”分别加价8元、5元出售．问该校从A商场购买“滨滨”多少个时，可使花费总额最少？ 【分析】（1）设商场购进“滨滨”x个，购进“妮妮”y个，根据某商场购进“滨滨”和“妮妮”共1000个，总共花费18000元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）该校从A商场购买“滨滨”m个，则购买“妮妮”（90﹣m）个，根据“购买“滨滨”数量不少于“妮妮”数量的2倍”列出关于m的不等式，求出m的取值范围；再设该校从A商场购买“滨滨”和“妮妮”的总额为w元，根据总额等于＝购买“滨滨”的费用+“妮妮”的费用列出函数解析式，再根据函数的性质求出费用最小时m的值即可． 【解答】解：（1）设商场购进“滨滨”x个，购进“妮妮”y个， 由题意得：， 解得：， 答：商场购进“滨滨”600个，“妮妮”400个； （2）该校从A商场购买“滨滨”m个，则购买“妮妮”（90﹣m）个， 根据题意得：m≥2（90﹣m）， 解得m≥60， 又∵m≤90， ∴60≤m≤90， 设该校从A商场购买“滨滨”和“妮妮”的总额为w元， 根据题意得：w＝（20+8）m+（15+5）（90﹣m）＝8m+1800， ∵8＞0， ∴当m＝60时，w最小，最小值为2280， 此时m﹣60＝30， ∴该校从A商场购买“滨滨”60个时，可使花费总额最少． 16．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上两点，∠ABD＝2∠BAC，CE⊥BD于点E． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若BC＝3，BD＝7，求线段BE的长； （3）在（2）的条件下，求cos∠DCA的值． 【分析】（1）连接OC，则∠BOC＝2∠BAC，证明∠BOC＝∠ABD，可得OC∥BD，结合CE⊥BD，可得OC⊥CE，从而可得结论； （2）先证明∠BCE＝∠BDC，结合∠E＝∠E，证明△EBC∽△ECD，可得，设BE＝x，则DE＝x+7，则CE2＝BE⋅DE＝x2+7x，结合CE2＝CB2﹣BE2＝9﹣x2，从而可得答案； （3）求解，可得，则AB＝9，可得，从而可得答案． 【解答】（1）证明：连接OC，则∠BOC＝2∠BAC， ∵∠ABD＝2∠BAC， ∴∠BOC＝∠ABD， ∴OC∥BD， ∵CE⊥BD， ∴OC⊥CE， ∴CE是⊙O的切线； （2）∵OC⊥CE， ∠BCE+∠OCB＝90°， ∵AB为直径， ∴∠ACO+∠BCO＝∠ACB＝90°，∠ADB＝90°， ∴∠ACO＝∠BCE， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC＝∠BDC， ∴∠BCE＝∠BDC， ∵∠E＝∠E， ∴△EBC∽△ECD， ∴，设BE＝x，则DE＝x+7， ∴CE2＝BE⋅DE＝x2+7x， ∵CE2＝CB2﹣BE2＝9﹣x2， ∴x2+7x＝9﹣x2， 解得：x1＝1，（不合题意舍去） ∴BE＝1； （3）∵BC＝3，BE＝1，∠BEC＝90°，∠OAC＝∠BCE， ∴， 而∠ACB＝90°， ∴，则AB＝9， ∵BD＝7，∠ADB＝90°，∠DCA＝∠DBA， ∴． 17．如图，AH是△ABC的高，CD是△ABC的中线，AH＝CD，DE∥AC，BE∥CD，直线AH交CD于点M，交CE于点N． （1）求证：四边形BDCE是平行四边形； （2）求∠BCD的度数； （3）当BC＝，CN＝4EN时，求线段MH的长． 【分析】（1）证△ADC≌△DBE（ASA），得CD＝BE，再由BE∥CD，即可得出结论； （2）取BH的中点G，连接DG，由三角形中位线定理得DG＝AH，DG∥AH，再证DG＝CD，得∠DCG＝30°，即∠BCD＝30°； （3）设MH＝x，由含30°角的直角三角形的性质得CH＝MH＝x，则BH＝BC﹣CH＝﹣x，再由平行四边形的性质得CE＝BD＝AB，CE∥AB，然后证△CHN∽△BHA，得出CN＝CE，则CN＝AB，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵DE∥AC， ∴∠CAD＝∠EDB， ∵BE∥CD， ∴∠CDA＝∠EBD， ∵CD是△ABC的中线， ∴AD＝BD， 在△ADC和△DBE中， ， ∴△ADC≌△DBE（ASA）， ∴CD＝BE， ∵BE∥CD， ∴四边形BDCE是平行四边形； （2）解：取BH的中点G，连接DG，如图所示： ∵CD是△ABC的中线， ∴DG是△ABH的中位线， ∴DG＝AH，DG∥AH， ∵AH是△ABC的高， ∴DG⊥BC， ∴∠CGD＝90°， ∵AH＝CD， ∴DG＝CD， ∴∠DCG＝30°， 即∠BCD＝30°； （3）解：设MH＝x， ∵AH⊥BC，∠BCD＝30°， ∴CH＝MH＝x， ∴BH＝BC﹣CH＝﹣x， 由（1）得：四边形BDCE是平行四边形， ∴CE＝BD＝AB，CE∥AB， ∴△CHN∽△BHA， ∴＝， ∵CN＝4EN， ∴CN＝CE， ∴CN＝AB， ∴＝， 解得：x＝， ∴线段MH的长为． 18．如图甲，抛物线y＝ax2+bx﹣3的对称轴为x＝﹣＝，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知：A（﹣1，0），点P是第四象限抛物线上一动点，PD⊥BC于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）求PD的最大值； （3）如图乙，点E在y轴上，且OA＝OE，连接PE交BC于点F，记△PBF的面积为S1，△CEF的面积为S2，当S1﹣S2的值最大时，求点P的坐标． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由PD＝PHcos∠ABC＝（﹣x2+3x），即可求解； （3）由S1﹣S2＝S△BEP﹣S△BEC＝CE×OB﹣PN×OB，即可求解． 【解答】解：（1）抛物线的对称轴为x＝﹣＝，A（﹣1，0），则点B（4，0）， 则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4）， 则﹣4a＝﹣3，则a＝， 则抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3； （2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3）， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝x﹣3，则tan∠ABC＝， 作PH∥y轴交BC于点H，则∠DPH＝∠ABC， 则tan∠DPH＝tan∠ABC＝，则cos∠ABC＝， 设点P（x，x2﹣x﹣3），则点H（x，x﹣3），则PH＝﹣x2+3x， 则PD＝PHcos∠ABC＝（﹣x2+3x）＝﹣（x﹣2）2+≤， 故PD的最大值为； （3）连接BE，过点P作PN和y轴平行交BE于点N， 由点B、E的坐标得，直线BE的表达式为：y＝x﹣1， 设点P（x，x2﹣x﹣3），则点H（x，x﹣1）， 则PN＝﹣x2+x+2， S1﹣S2＝S△BEP﹣S△BEC＝CE×OB﹣PN×OB＝×（﹣1+3）×4﹣4×（﹣x2+x+2）＝﹣x2+5x， 当x＝时，S1﹣S2存在值最大值，则点P（，﹣）． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一个题目符合选项要求） 1．砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 2．【热点素材】2024年12月20日是澳门回归祖国25周年纪念日，二十五载沧桑巨变，二十五载春华秋实，日新月异的“濠江奇迹”在澳门写就——本地生产总值从1999年的519亿澳门元增长到2023年的3795亿澳门元．数据3795亿澳门元用科学记数法表示为（　　） A．3.795×108澳门元 B．3.795×1011澳门元 C．3.795×1010澳门元 D．3795×108澳门元 3．下列计算正确的是（　　） A．a3÷a2＝a B．＝a C．2a2+a2＝3a4 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2 4．为增强学校之间的友谊，某市举办联合篮球比赛，如表是A校篮球队员的身高： 身高（cm） 176 178 180 181 182 185 人数 1 2 3 2 1 1 下列说法正确的是（　　） A．篮球队员身高的众数是185cm B．篮球队员的平均身高是180.1cm C．篮球队员身高的中位数是180.5cm D．篮球队员身高的方差是3.2cm2 5．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E．若∠ODA＝30°，则∠BOE的度数为（　　） A．45° B．60° C．65° D．75° 5题 6题 6．如图，正六边形ABCDEF的边长为，以顶点A为圆心，AB长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 7．若正比例函数y＝kx的图象过第二、四象限，则关于x的一元二次方程x2+x+k＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 8．抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（m﹣1，n）、B（﹣m﹣1，n）、C（1，p），且p＜2，则该抛物线的顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9．分解因式：2ax2﹣4ax+2a＝　 　 ． 10．反比例函数的图象在第一、三象限，那么＝ 　 　 ． 11．如图，渔船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向，轮船从A处以15海里/小时的速度沿南偏西50°方向匀速航行，2小时到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向，灯塔C与码头B相距　 　 海里． 12．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E是对角线AC的中点，点F在线段AE上，且∠FBE＝30°，以F为旋转中心，将线段FB逆时针旋转90°得到FG，此时点G恰好落在线段CD上，则CG的长为 　 　 ． 11题 12题 三．解答题（共6小题，共64分） 13．解方程和不等式组： （1）； （2）． 14．现我省中考体育是必考科目，各校都在加强学生的体育锻炼．我校七年级数学兴趣小组为了了解本校学生喜爱运动的情况，随机抽取了50名学生进行问卷调查，经过统计后绘制了两幅不完整的统计图（注：每一名学生在任何一种分类统计中只有一种选择） 请根据统计图完成下列问题： （1）扇形统计图中，“很喜欢”所对应的圆心角度数为　 度；条形统计图中，喜欢篮球的人数为　 　 人； （2）我校初中人数为1600人，请根据上述调查结果，估计我校学生中“很喜欢”和“比较喜欢”锻炼的人数总和； （3）小雷喜欢篮球，小正喜欢羽毛球，现有写着篮球、足球、排球、羽毛球的四张卡片，让两人各抽取一张，请用画树状图法或列表法求小雷和小正两人中有且只有一人选中自己喜欢的项目的概率． 15．第九届亚洲冬季运动会已于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行，期间吉祥物“滨滨”和“妮妮”在市场热销．A商场购进“滨滨”和“妮妮”共1000个，总共花费18000元，其中一个“滨滨”进价20元，一个“妮妮”进价15元． （1）求商场购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ （2）某中学八年级春季运动会上准备用吉祥物“滨滨”和“妮妮”作为奖品，计划从A商场购买两种吉祥物共90个，要求购买“滨滨”数量不少于“妮妮”数量的2倍，A商场若一个“滨滨”、“妮妮”分别加价8元、5元出售．问该校从A商场购买“滨滨”多少个时，可使花费总额最少？ 16．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上两点，∠ABD＝2∠BAC，CE⊥BD于点E． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若BC＝3，BD＝7，求线段BE的长； （3）在（2）的条件下，求cos∠DCA的值． 17．如图，AH是△ABC的高，CD是△ABC的中线，AH＝CD，DE∥AC，BE∥CD，直线AH交CD于点M，交CE于点N． （1）求证：四边形BDCE是平行四边形； （2）求∠BCD的度数； （3）当BC＝，CN＝4EN时，求线段MH的长． 18．如图甲，抛物线y＝ax2+bx﹣3的对称轴为x＝﹣＝，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知：A（﹣1，0），点P是第四象限抛物线上一动点，PD⊥BC于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）求PD的最大值； （3）如图乙，点E在y轴上，且OA＝OE，连接PE交BC于点F，记△PBF的面积为S1，△CEF的面积为S2，当S1﹣S2的值最大时，求点P的坐标． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一个题目符合选项要求） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B． A B D B A B 二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9．2a（x﹣1）2． 10．2﹣m． 11．15　 海里 12． 三．解答题（共6小题，共64分） 13．解方程和不等式组：（本小题满分10分） 【解答】解：（1）去分母得：x（x+1）＝（x﹣2）（x﹣3）， 解得：x＝1， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分 检验：把x＝1代入得：（x﹣2）（x+1）≠0，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 ∴分式方程的解为x＝1；┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 （2）， 由①得：x≤3， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 由②得：x＞，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 ∴不等式组的解集为＜x≤3．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 14．（本小题满分10分） 【解答】解：（1）“很喜欢”所对应的圆心角度数＝360°×（1﹣35%﹣25%）＝144°┅┅┅┅2分 在条形统计图中，喜欢篮球的人数＝50﹣7﹣3﹣5＝35（人）； ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 故答案为144；35； （2）1600×（1﹣25%）＝1200，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 所以估计我校学生中“很喜欢”和“比较喜欢”锻炼的人数总和为1200人； （3）画树状图为：（用A、B、C、D分别表示篮球、足球、排球、羽毛球的四张卡片） ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 共有12种等可能的结果数，其中小雷和小正两人中有且只有一人选中自己喜欢的项目的结果数为4， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 所以小雷和小正两人中有且只有一人选中自己喜欢的项目的概率＝＝． ┅┅┅┅┅┅1分 15．（本小题满分8分） 【解答】解：（1）设商场购进“滨滨”x个，购进“妮妮”y个， 由题意得：， 解得：， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 答：商场购进“滨滨”600个，“妮妮”400个；┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 （2）该校从A商场购买“滨滨”m个，则购买“妮妮”（90﹣m）个， 根据题意得：m≥2（90﹣m）， 解得m≥60， 又∵m≤90， ∴60≤m≤90，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 设该校从A商场购买“滨滨”和“妮妮”的总额为w元， 根据题意得：w＝（20+8）m+（15+5）（90﹣m）＝8m+1800， ∵8＞0， ∴当m＝60时，w最小，最小值为2280， 此时m﹣60＝30，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 ∴该校从A商场购买“滨滨”60个时，可使花费总额最少．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 16．（本小题满分11分） 【解答】（1）证明：连接OC，则∠BOC＝2∠BAC， ∵∠ABD＝2∠BAC， ∴∠BOC＝∠ABD， ∴OC∥BD，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 ∵CE⊥BD， ∴OC⊥CE，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 ∴CE是⊙O的切线；┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 （2）∵OC⊥CE， ∠BCE+∠OCB＝90°， ∵AB为直径， ∴∠ACO+∠BCO＝∠ACB＝90°，∠ADB＝90°， ∴∠ACO＝∠BCE， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC＝∠BDC， ∴∠BCE＝∠BDC， ∵∠E＝∠E， ∴△EBC∽△ECD，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 ∴，设BE＝x，则DE＝x+7， ∴CE2＝BE⋅DE＝x2+7x， ∵CE2＝CB2﹣BE2＝9﹣x2， ∴x2+7x＝9﹣x2， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 解得：x1＝1，（不合题意舍去） ∴BE＝1；┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 （3）∵BC＝3，BE＝1，∠BEC＝90°，∠OAC＝∠BCE， ∴，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 而∠ACB＝90°， ∴，则AB＝9，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 ∵BD＝7，∠ADB＝90°，∠DCA＝∠DBA， ∴．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 17． （本小题满分12分） 18． 【解答】（1）证明：∵DE∥AC， ∴∠CAD＝∠EDB， ∵BE∥CD， ∴∠CDA＝∠EBD，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 ∵CD是△ABC的中线， ∴AD＝BD，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 在△ADC和△DBE中， ， ∴△ADC≌△DBE（ASA），┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 ∴CD＝BE， ∵BE∥CD， ∴四边形BDCE是平行四边形；┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 （2）解：取BH的中点G，连接DG，如图所示： ∵CD是△ABC的中线， ∴DG是△ABH的中位线， ∴DG＝AH，DG∥AH，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 ∵AH是△ABC的高， ∴DG⊥BC， ∴∠CGD＝90°， ∵AH＝CD， ∴DG＝CD， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 ∴∠DCG＝30°， 即∠BCD＝30°；┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 （3）解：设MH＝x， ∵AH⊥BC，∠BCD＝30°， ∴CH＝MH＝x， ∴BH＝BC﹣CH＝﹣x，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 由（1）得：四边形BDCE是平行四边形， ∴CE＝BD＝AB，CE∥AB， ∴△CHN∽△BHA，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 ∴＝， ∵CN＝4EN， ∴CN＝CE， ∴CN＝AB， ∴＝， 解得：x＝，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 ∴线段MH的长为．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 18．（本小题满分13分） 【解答】解：（1）抛物线的对称轴为x＝﹣＝，A（﹣1，0），则点B（4，0）， 则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 则﹣4a＝﹣3，则a＝， 则抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3；┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 （2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3）， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝x﹣3，则tan∠ABC＝，┅┅┅┅┅┅2分 作PH∥y轴交BC于点H，则∠DPH＝∠ABC， 则tan∠DPH＝tan∠ABC＝，则cos∠ABC＝， 设点P（x，x2﹣x﹣3），则点H（x，x﹣3），则PH＝﹣x2+3x，┅┅┅┅┅┅┅┅1分 则PD＝PHcos∠ABC＝（﹣x2+3x）＝﹣（x﹣2）2+≤，┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 故PD的最大值为；┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 （3）连接BE，过点P作PN和y轴平行交BE于点N， 由点B、E的坐标得，直线BE的表达式为：y＝x﹣1，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 设点P（x，x2﹣x﹣3），则点H（x，x﹣1）， 则PN＝﹣x2+x+2，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 S1﹣S2＝S△BEP﹣S△BEC＝CE×OB﹣PN×OB＝×（﹣1+3）×4﹣4×（﹣x2+x+2）＝﹣x2+5x， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 当x＝时，S1﹣S2存在值最大值，则点P（，﹣）．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$