专题8 考点18 递推数列与数列求和 -【高考密码】备战2025年高考数学2020-2024五年真题分类汇编

D 专题八 数列 考点18 递推数列与数列求和 题组 易数记录: 一、选择题 三、解答题 1.(2021·浙江6月)已知数列a。)满足a-1 6.(2024·天津卷)已知数列a。是等比数列,公比 “(nN),记数列(a)的前n项和 大于0,其前n项和为S,若a=1,S=a3-1. 1-- 1十/a (1)求数列a的前n项和S。 (2)设- (n- 为S.,则 _ ( ,N. lb,+2k,a<n<a1 B.3<So04 (1)当k2,n=+,时,求证:b-a·b。; (|)求. C.4<S$t00 2.(2020·浙江卷)已知等差数列a。)的前n项和 S22一S..nN*,下列等式不可能成立的是 A. 2a.-a2+a B$2b.-b+b C.a-aas D.b-bbs 二、填空题 3.(2022·北京卷)已知数列(a.)的各项均为正数 其前n项和S.满足a。·S.-9(n-1,2...).给 出下列四个结论 ①a.)的第2项小于3; ②)为等比数列; ③a。为递减数列; 其中所有正确结论的序号是 4.(2021·上海卷)已知无穷等比数列a.和b 满足a-3,b。一a2,a.的各项和为9,则数列 的各项和为 5.(2020·全国卷I)数列a.)满足a+十(-1) a-3n-1,前16项和为540,则a 49 五年高考真题 分类集训 数学 7.(2023·新课标I卷)设等差数列a.)的公差为 9.(2023·全国甲卷·理)已知数列a。中,a=1, d,且d1,令b。-”2}n.记s.,T。分别为数列 设S.为(a。)前n项和,2S.-na。. a (1)求)的通项公式; a。,的前n项和. a十1 (2)求数列 {2 {的前:项和T.. (1)若3a =3a +a,S+T=21,求(a.)的通 项公式; (2)若b.)为等差数列,且S。-T。=99,求d 10.(2022·全国甲卷·理)记S.为数列。的前 8.(2023·全国乙卷·文)记S.为等差数列(a。的 前n项和,已知a-11,S。-40. ) (1)求a.的通项公式; (1)证明:a是等差数列; (2)求数列(a。)的前”项和T。 (2)若at.a7,a。成等比数列,求S.的最小值 专题八数列 11.(2021·全国乙卷)记S.为数列a.的前n项 13.(2020·全国卷I)设a.是公比不为1的等比 数列,a为a,a:的等差中项. (1)求a的公比; -2. (2)若a-1,求数列na。)的前n项和 (1D)证明:数列么)是等差数列; (2)求a。的通项公式。 12.(2021·新高考I卷)已知数列a.)满足a=1 14.(2020·全国卷II·理)设数列(a。满足a1-3. a。十1,n为奇数. an1= a+!-3a.-4n. a.十2,n为偶数. (1)计算a2,a,猜想a。)的通项公式并加以 (1)记b.一a,写出b,b,并求数列b)的通 证明; 项公式; (2)求数列(2”a。)的前n项和S。 (2)求a.的前20项和可 详解答案 2)因为25，=31-3，所以S=是(ar1-10 45=-1a4=b=(-3)3=27..a1=111,d=-28, .S-125k-14k2, [()-]: S+1=125k-14k2-28k+111,S6+:=125k-14k2-56k +194. 设数列{5)的前用项和为工，则工。一号× 要使S+1<S且S+1<S-2 -1--9(唱-号 R委十6+19. 1- >器显<器不存在特合题意的心 选③S=一25时： 11.解：(1)第1步：根据数列中a。和S。的关系求数列a}的逆 设等差数列{an)的公差为d. 推关系 因为45，=3am十4①，所以当n≥2时，45。-1=3G。-1+4 (aitas)x5 2 =-25a5■-1a1=-9,d=2 则当n≥2时，①-②得4a。=3an-34u-1,即an=-3aw-1 同理可得份欲9-18.品号<<号存在6-4特合 第2步：求出a1. 避含 当n=1时，由4S。=3a。十4得4a1=3a1+4,所以a1= 4≠0， 1解：多g2时山号-号=3 第3步：求数列{a,}的通项公式 所以数列{w是以4为首项，一3为公比的等比数列 则S-3=32-3·2-3. 1-2 所以aw=4×(一3)"1 (2)解法一（错位相减法）第1步：求出数列{}的通项 由3·2-3>2020.得2>674号 公式 又：2"=512,2w=1024,k∈N,kmm=10. 因为b=(-1)1a.=(-1)"-1n×4X(-3)”1=4n ·31 当g-号时1-2-是-48， 第2步：利用错位相减法求T。 4 所以T.-4×3°+8×3+12×32+…十4m·3”-1, 48-48·(” 所以3T。=4×3+8×32+12×38+…十4m·3", 则S =96-96(} 两式相减得一2T。=4十4(3十32+…十31)一4m·3” 1一立 4+4×31-3)-4m·3-2+2-4m.3. 1一3 由96-96·（）广>2020，得->（宁 所以T.=1+(2m一1)·3. 此时不等式无解，·不存在足题意的。 解法二（裂项求和）第1步：求出数列(，}的通项公式 b=(-1)"-1na.=(-1)-n×4×(-3)m-1=4n·3-1. 当=-2时1号-号=3 第2步：利用待定系数法对b。进行裂项 则8。=3-3·(-2 令6。=(km十b)·3”-[k(n-1)十】·3-1. 1-(-22=1-(-29 由1-(-2)>2020，得(-2)<-2019. 则b.=(kn+b)·3-[k(m1)+b]·3"-1=3"-1[3km+36 :(-2)9=-512,(-2)10=1024,(-2)11=-2048, -k(n-1)-6们=(2km十2b+k)·3"-1. kEN”, 所以歌-0每释合二2 .k=11. 考点18递推数列与数列求和 聊bn=(2m-1)·3”-[2(n-1)-1门·31=(2m-1)·3" 题组 -(2m-3)·3-1, 1.A 第3步：求和 2.D由bn+1=S2w+2-S2m…得o=a3十a4=2a1十5d.b=a 所以T。=4+:+4+…+,=1×31-(-1)×3+3X3 十ag=2a1十13l,hs=a11十a12,b=a15十a16=2a1+29d.由 -1×31+5×33一3×32+…+(2m-1)·3"-(2n-3)· 等差数列的性质易知A成主：若2b,=bg十b,剥2(ar十ag) 3-1=(2m-1)·3"-(-1)×3”-(2n-1)·3"+1. =ag十a1十a11十a12=2a7十2a8,故B成主：若ai=a2ug,即 12.解：设等比数列(b.}的公比为9（≠0） (a1+3d)2=(a1+(a1+7d),则a1=d,故C可能成立：若 b2=3,b=-81..b1=-1.q=一3， b=-(-3)-1. 房=h6,p(2a1+13d)2=(2a,+5d)(2a1+29d).则号 又b=a5∴46=-1. 是与已知矛盾，收D不可能成立 选①b1十b=ag时： 设等差数列(aw}的公差为d 3.解析：对于①，由数列(4.}的各项均为正数，H·S。=9(刊= 4,=+=-1+(-1)×(-3)2=-10,a5=-1, 1,2,…),得a1·S1=9,呷a1=9,解得a1=3.由ag·Sg=9, d=3a1=-13. 得2·(3十a)=9,解得a2=一3十35（合负），所以a 5=-1+“x3=-号， 2 35-3<3,所以①正确：对于②，图为4。·5=9(n=1,2, 51=昌-号+3-18,5：=含-号+6动 2 ),所以3=2对当≥2时得51-》两式相减得 -23. da-1 要使S+1<S且S4+1<S+: ,=9-9,所以=9-2=9 9 9- 只-8- an du-1 ag4红ay35-30g 2 “9<<号香在=4特合题意 35+3则+3写+3。-9=0(*.若a,为举比数 2 2 选②a=b,时： 设等差数列{aw的公差为d. 列，则=14则--9-子5，不满足()式，所以 a1 2 153 五年高考真题分类集训 数学 a山dg不成等比数列，所以量列{an不为等北教列，所以 ②错误：对于③，由②知当≥2时山，=9-9，周为数列 所以1十1十…十的-1-：2沙：2 =k·41 2 dn an-1 的各项为正载，所以，一-号>0.所以a 第3步：利用错位相减法求出 4,所以数列(m)为单调递减数列，所以③正确：对于④，假设 所以26，=6=十h十…+r-1=1X40+2×41+…十 数列{口，中不存在小于的项，所以所有的项都不小于 n×4-1,426-1×1+2×42+…+n×4, 品则对任高a,≥5>品则由9=4·5≥高× 11 两式相减：得-3含6，=+4十…+1一×4=胃 100,所以n≤90000，故当n>90000时算设不成立，所以④ 3 正确.踪上所述，正确结论序号为①③① 答案：①③① 所以26=（号-）4+ 4.解折：ma十++a,)=己gp号ain42 2 7.解：(1D由3a2=3a1+a3,得3(a1+d0=3a1+(a1+2d).甲 a1=d, 六im(a:+a+十a,)-产可写 uz 18 所以aw=d+(m-1Dd三d,所以b,=””=子（n+1D(关 nd 答案：9 键：观察出(b为等差数列，为后面的T:=36作铺垫)， 又53十T=21.得3a2+3h=21.即a2十=7， 5.解析：因为数列(aw}满足a+g十(-1)a。=3n一1，所以当 =2k(k∈N”)时，a-:+ah=6k-1(是∈N),所以(ag+ 所以2d+是-1，中2d-7d+3=0, a）+(a6+ag)+(a1a+a:)+(a4十a1s)=5+17+29+41 =92.当n=2k-1(k∈N”)时，a2+1一a-1=6k-4(k∈ 解择d=3成d=(合去).所以0，=3mm∈N N”),所以当≥2时，a2g-1=a1+(a一a1)十(a-aa)十 (2)设4。=dn+b,b.=kn十1， (a,一46)+…+(a2-1-42-3)=a1+2+8+14+…+[6(为 则(dn+b)(n+t)=n2+n, -1)-41=a,+2+66-0)-D=4,+(3k-0(k-1). 即dkn2+(d+kb)n十b=n2+n, 2 d=1, 当k=1时上式也成立，所以a24-1=a1+(3k一4)(k-1)(k∈ 所以《十b=1, N”).pa4-1-a+32-7k+4k∈N. bM=0. 又S9-Tgg=99,即a50-b0=1. 所以a1十a十a5十a:十…+a6=8a1十3×(1+22+32+… ①当b=0时， 十82)一7×(1十2十3+…十8)+4×8=841十3X (dk=1, 8X(8+1D×(2×8+D-7×1+8)X8+32=8a1+612 则d=1, 6 2 50d-(50k+t)=1, 252+32=8a1十392.又前16项和为540，所以92十8a1+392 得50产-(50kd+d0=d. =540,解得a1=7, 答案：7 中50-51=d,解释1-品或d=-1合 6.解：(1)第1步：求公比 ②当1=0时， 设{a.的公比为q(g>0),则1+q=g-1,得q=2, dk=1, 第2市：求S. 则(b=1, 所以8-号-2”-1。 ((50d+b)-50k=1, 得(50dk+k)-50k2=k. (2)(1)第1步：写出b 南1)知@=24-1，所以6，=k,n=2 即1-50k=,解释1或6=一动 b,-1十2k,20-1<n<2… 则d=1或d=一，此时均不满足>1（为错：不要忽视 第2步：求出bw-1 “d>1”这一条件). 当=a+1=2时，bn=k十1， -1=-1=g-g十2=g-1十=…=g1十2张· 蜂上d-别 (2-1一1)=k十2k·(21一1)=k·2*-k, 8.解：(1)设等差数列的公差为d, 第3步：作差并化简 a:=a+d=1 所以bw-1一ag·6,=k·2-k-(k十1)2-￥=(k-1)2- 由题意可得 0=10a1+10X94=40 一k. 2 第4步：构造函数并求乎，判断函数的单调性，求出画数的最 即/a+d=11 小值 2a十8解得{912所以，=132(n 设f八x)=(x-1)2-1-r,x≥2，则广(x)=2-1+(x-1) =15-2n, 2-1n2-1≥2+21n2-1>0.所以f八x)在[2，+o∞]上单调 (2)因为s.=m13+5-2m=14m-, 递增，(x)≥f《2)=0, 2 第5步：证明不等式 15 所以b。-1一d5·bn0,脚bn-1≥d·bn 令4，=15-2>0，解得w<之，且n∈N, (Ⅱ)第1步：分析数列(b,1的结构特点 当n≤7时.则a.>0,可得T。=a1十a2十十a.=a 令k=1,得1=1，令k=2,得b=2,b=b十2k=6, 十ay十…十a。=Sn=14n一nt 令k=3,得b=3,b=b十2k=9,bs=h十2k=15,bm十 当n8时，则a.<0,可得T.=a+lag十+a.|=(a 2k=21, 十g十…十4灯)-(g十…+an) 所以以+…，g-1是一个以为首项，2张为公差 =S,-(S.-S,)=2S-S。=2(14×7-72)-(14m-m2) 的等差数列. n2-14n+98: 第2步：求出以，b以+1帆-的和 14n一n2,≤7 因为以1=k,所以似-1=友·2一k, 综上所迷：工，={-14a十98，n≥8 154 可 详解答案 9.解：(1)因为25。=um· agw+:=d2m十3，即6+1=6n十3 当n=1时，2a1=41,即a1=0: 且6=a2=a1+1=2, 当n=3时，2(1十a1)=3a3,脚a=2, ,{b}是以2为首项，3为公差的等差数列， 当n≥2时，2S.-1=(n-1)a-1,所以2(S。-S。-1)=a .b1=2,b=5,b.=3n-1. (2)当n为奇数时，4n=an+1一1， 化商得：(0-2)4，=(m-10事≥8时马一经号 .{a。}的前20项和为 a1+ag++a如=(a1+41+…+am)+(a4+a4十+ 4e） =[(a2-1)+(a1-1)十…十(a0-1)]十(ag+a:+…+ 当n=1,2,3时都满足上式，所以an=n一1(n∈N”) 4g0） ②度为”是以工，-1x(号）广+2×（号）广+× =2(a2十a1+…十a20)-10. 2 山(1)可知， (号）'+…+x(分）”，2工，=1×（合）广+2×（号）广 ag+a+…+a0=b+b加+…+b0 =2×10+10X9×3=155. 2 …+(m-1Dx(号）”+m×(2) .{4.1的前20项和为2×155-10=300. 两或相减得号工，-（受）广+（兮）+()广'+…+（受） 13.解：(1)设{a,的公比为g,由题设得2a1=an十a8, p2a1=a1g十a1q, x(传》】（传》 所以2十g-2=0,解得q=1(含去)或q=一2. 故{a。)的公比为一2. 1一 (2)记S。为{@。）的前n项和，由(1)及题授可得， 4w=(-2)"-1.所以5。=1+2×(-2)+…十n×(-2)"1. (1+g)(3)” -25。=-2十2×(-2)2+…+(n-1)×(-2)1十 n×(-2). 即工，=2-(2+m)(2)”n∈N 可得35.=1十(-2)+(-2)2+…+(-2)1-m×(-2)" 10.解：1)证明：周为2S+M=2a.十1，即25，+=2a,十 =1-(-2)” 一n×(一2)"， 3 ①， 所以3-号-3t1-2少nEN 当n≥2时，25。-1十(n-1)2=2(n-1)aw-1+(m-1)②， 9 ①-②得，2Sn十n2-25。-1-(n-1)2=2n8.十n-2(n-1) 14.解：(1)42=5,4g=7. 猜想a。=2n十1.由已知可得 aw-1-(n-1), 即2a。十2n-1=2a。-2(m-1)aw-1+1, aw+1-(2+3)=3[a。-(2n+1D]. 即2(n-1)a。-2(n-1)a-1=2(n-1),所以aa,-1=1. aw-(2m+1)-3[am-1-(2n-1)]. 。行”中 H≥2且n∈N”, g-5=3(a1-3). 所以{an}是以1为公差的等差数列. (2)由(1)可祥a4=a1十3，a,=a1十6.ay=a1十8， 因为a1=3,所以an=2十1.m∈N (2)由(1)得2a.=(2n十1)2，所以 又a4a7dg成等比数列，所以a时=a·a, 脚(a1十6)2=(a1+3)·(a1十8)，解得a1=-12, 5w=3×2+5×22+7×23+…+(2m+1)×2".① 所以，=有-13.将以5=-12m+02-之-受 2Sn=3×22+5×23+7×2+…+(2m+1)×2+1.② 2 ①-②得-5.=3×2+2×22+2×28+…+2×2"-(2m十 1)×2+1.所以S。=(2n-1)2+1+2.n∈N 考点19数列的综合应用 所以，当n=12或n=13时(S。）m=一78. 1山解：1运明：喜日=1时=5，汤得=2。 题组一 1D由巴知三1十=1+1·>1 当≥2时b 2b-1十 、a1十a故 2, 1 6>:同理可得<山>s·又因为上>1 44+1 1 化简符b。一b。-1=立1 a 六6，)是以受为首项，号为公差的等益数到。 故4<6：于是得山>M>5>b…,排除A,上> 1 (2)易得a=5=h=是 一，故<，排除C,而>b>,排除B.故 g+ a 选择D. 当2时0=8-5-胃日 2.B由a1=a。一名，得e日一，=-了<0从而数列 (n十显然山不满足孩式。 1 {an}是单调递减数列，所以a。≤1，n∈N,当n=I时，a1= 3 1>0,假设当n=为时，a4>0成立，则当n=k十1时，a4+1 2· n=1, 1 4-3i=a(1-34人因为a∈(01门.所以1-3a∈ n(n十1)” n≥2： 12.解：(1)2n为偶数， [号)所以41=a(1-子a)>0,故，>0对于所有 则aw+1=a2m十2，a生w+2=a2n+1十1， 155