专题8 考点16 等差数列及其前n项和&考点17等比数列及其前n项和 -【高考密码】备战2025年高考数学2020-2024五年真题分类汇编

五年高考真题分类集训 数学 专题八 数列 考点16 等差数列及其前n项和 题 组 用时： 易错记录： 一、选择题 9.(2020·全国卷)记S.为等差数列{an}的前n项 1.(2024·全国甲卷·理)记Sn为等差数列{am}的 和.若a1=-2,a2十a6=2,则S10=· 前n项和，已知S5=S10,a5=1,则a1=( 三、解答题 A号 R号 c.-3 D-品 10.(2022·新高考I卷)记Sm为数列{am}的前n 2.(2024·全国甲卷·文)已知等差数列{a.}的前 项和，已知a1=1,()是公差为号的等差 n项和为Sm,若Sg=1,则a3十a,= 数列， A.-2 B号 C.1 n号 (1)求{an}的通项公式； 3.(2023·全国甲卷·文)记Sm为等差数列{am}的 (2)证明，++…+1<2. a142 an 前n项和.若a2十a6=10,a4ag=45,则S5= ( A.25 B.22 C.20 D.15 4.(2023·全国乙卷·理)已知等差数列{an}的公 差为，集合S=(cos∈N”,若S= {a,b),则ab= ( ) A.-1 吉 C.0 11.(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正 5.(2020·北京卷)在等差数列{am}中，a1=一9，a5 数，记S.为{an)的前n项和，从下面①②③中 =一1.记Tm=a1a2…am(n=1,2,…),则数列 选取两个作为条件，证明另外一个成立 (T) () ①数列{a.}是等差数列；②数列{√Sm}是等差 A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项 数列；③a2=3a1, C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解 二、填空题 答计分 6.(2024·新课标Ⅱ卷)记Snm为等差数列{an}的前 n项和，若a3十a4=7,3a2十a5=5, 则S1o= 7.(2022·全国乙卷·文)记Sn为等差数列{an}的 前n项和.若2Sg=3S2十6，则公差d= 8.(2020·新高考I卷)将数列{2n一1}与{3n一2} 的公共项从小到大排列得到数列{am},则{an}的 前n项和为 46 专题八数列 考点17等比数列及其前n项和 题 组 用时： 易错记录： 一、选择题 9.(2020·江苏卷)设{an}是公差为d的等差数列， 1.(2023·天津卷)已知{an}为等比数列，Sn为数 {bn}是公比为g的等比数列.已知数列{an十bn} 列{an)的前n项和，an+1=2Sn十2，则a4的值为 的前n项和Sn=n2一n十2一1(n∈N"),则d+ () q的值是 A.3 B.18 C.54 D.152 三、解答题 2.(2023·全国甲卷·理)已知正项等比数列 10.(2024·全国甲卷·文)已知等比数列{an}的前 {am}中，a1=1,Sm为{an}前n项和，S5=5S3 n项和为Sm,且2Sm=3an+1一3. 4,则S4= ( (1)求{an}的通项公式： A.7 B.9 C.15 D.30 (2)求数列{S.}的前n项和. 3.(2023·新课标Ⅱ卷)记Sm为等比数列{am}的前 n项和，若S1=-5,S6=21S2,则S8=() A.120 B.85 C.-85 D.-120 4.(2022·全国乙卷·理)已知等比数列{am}的前3 项和为168，a2-a5=42,则a6= () A.14 B.12 C.6 D.3 5.(2020·全国卷I)设{am}是等比数列，且a1十a2 十a3=1,a2十ag十a4=2,则a6十a2+ag= ( A.12 B.24 C.30 D.32 6.(2020·全国卷Ⅱ)数列{an}中，a1=2,am+m= anam.若at+1十ak+2十…十at+10=2l5-25,则尼 () A.2 B.3 C.4 D.5 二、填空题 7.(2023·全国甲卷·文)记Sm为等比数列{an}的 前n项和.若8S6=7S3,则{am}的公比为 8.(2023·全国乙卷·理)已知{a.)为等比数列， a2a4a5=a3a6,aga10=-8,则a7= 47 五年高考真题分类集训 数学 11.(2024·全国甲卷·理)记S,为数列{an}的前 13.(2020·北京适应性考试)已知{am}是公比为q n项和，已知4Sn=3an+4. 的无穷等比数列，其前n项和为Sm,满足ag= (1)求{an}的通项公式； 12, (2)设bn=(一1)n-1am,求数列{bn}的前n项 是否存在正整数k,使得Sg>2020？若存在， 和T 求出k的最小值：若不存在，请说明理由。 从①g=2,②g=7,③g=-2这三个条件中任 选一个，补充在上面的问题中并作答 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个 解答计分， 12.(2020·山东适应性考试)在①b1十b3=a2, ②a4=b4,③Ss=一25这三个条件中任选一 个，补充在下面问题中.若问题中的k存在，求 出k的值：若k不存在，请说明理由. 设等差数列{an}的前n项和为Sn,{bn}是等比 数列， b1=a5,b2=3,b5=一81，是否 存在，使得S6>Sk+1且S+1<Sk+2? 48详解答案 又针影在[是十)上单调递增， 显然画数y=m[要十（如一行门的月期为3，而∈N”… 所以cms2024十3=28 即osam最多3个不同取值，又(cosa.n∈N)={a,b1, 则在cosa1co8a2,cosa1中，cosa1=cosa2≠c0sag或 所以0的藏小维为器 于是有c0s0=co(0+专）： 苦案器 即有0叶(0+号)=2kx,k∈五 23.解析：依题意得AD∥BC,∠BAD=120°，由AD·AB=AD A·ms∠BAD=-是AD=-是得1Ad-,因 解得0=一哥长 所以kEZ.ab-=cos(kx-吾)os[(kx-吾）+5]=一co 、此A一A巴一古取N的中点E,连接DE对D+D (kk-晋)osk=-o音-2 -2 DE.DM.DN-(DM+DN)-(DM-DN)] 故选B. 5,B疫等差毁列{an}的公差为d,:1=一9,45=一1.45= D亦-}N游=D庐-注意到线段MN在线段BC上 -9十4d=-1.∴d=2.∴am=-9+(n-1)×2=2n-11.令 运动时，DE的最小值等于点D到直线BC的距离，即AB· aw=2n-11≤0，则n≤5.5…n5时a,<0:n≥6时.am> 0..T1=-9<0,Tg=(-9)×(-7)=63>0,T1=(一9)× 如∠B=3,周此D庐-的最小值为()-- (-7)×(-5)=-315<0,T:=(-9)×(-7)×(-5)× (-3)=945>0.T=(-9)×(-7)×(-5)×(-3)×(-1) 号脚Di,D成的最小值为号 =一945<0.当n≥6时a.>0,且an≥1，.T+1<T。<0, 答案日号 T。=a2:an(n=1,2,…)有最大项T,无最小项，故 选B. 24.解折：由题意，得a·b=口1·bc0s45°=写.周为向受 6.解析：解法一（基本量法）设{a,的公差为d,由ag十a4=a1 2 +2d+a1+3d=2a1+5d=7,3a2+as=3(a1+d)+a1+4d =4a1十7d=5,解得a1=-4,d=3,别519=10a1十45d=95. 如-b与a垂直，所以（如-b)·a=如2-a·b=k-号=0. 解法二（利用下标和性质）设{n}的公益为，由g十a! 服释一兽 4十ag=7,十a=5,得4s=-1d5=8:故d=专号- 者案：号 3,a6=11,剩5n=a+a业×10=5(a,十a:)=5×19=95. 2 答案：95 专题八数列 7.解析：转化条件为2(a1+2d)=2a1十d+6.即可得解.由 2S=3S2十6可得2(a1十a2十a1)=3(a1+a2)+6,化简得 考点16等差数列及其前n项和 2a1=a1+4g十6，即2(a1十2d)=2a1十d+6,解得d=2. 题组 LB由s-5n得@a寸a_10u+an).所以5a,=5a 故答案为：2. 答案2 2 2 8.解析：由题意，数列{。}是以1为首项，6为公差的等差数列， +a.所以，=0，公差dg号=-子所以1=4一d 根据等差数列的前n项和公式，得数列{。】的前n项和S。= -1-4×(号)子故选取 m+u",1D×6=3m2-2m. 2 答案：3川2一2n 2.D解法一设等差数列a,的公差为d,由S=9u1+9X8 2 9,解析：设等差数列{a.)的公差为d,则由a2十a6=2,得a1十 d-=96a十》=L,得a+4d=号，别a+4,=4,十2a+a d十a1+5d=2,即-4+6d=2,解得d=1,所以S0=10× (-2)+10X9×1=25. +6d=2a,+8d=2(a1+4d0=号 2 ，赶选D 答案：25 解法二国为a,为等差数列，所以S,=9@1十a》=9u= 10.解：1)由题意得-1， 2 1得a=号，别a+a=2a=子，故选D, 3 3,C法一：设等差数列(n的公差为d,首项为41，依题意 可得， ·S=n+2。 3 a2 +as=a+d+a+5d=10,a+3d=5, 又aa4=(a1十3d)(a1十7d)=45.解得：d=1a1=2. 事时8及子。- 34m-1, 所以S=5a1+5X4×d=5×2+10=20. 2 故选C. 法二：a2十a6=2a1=10,a1ag=45,所以a4=5,dg=9, 从而d=g二4=1，于是4=@4-d=5-1=4. “=+1 8-4 w-1-1” 所以S5=5aa=20. =十1 故选C aT'a2a=3'a=4“ 4B依超意：等差载到a)中a-十国一D·智-要 将以上各式相，得-×××号X…X +(a-) =(n十1) 2 151 五年高考真题分类集训 数学 故an=m(n十) 5=-4,S6-5=-16,S-S6=-64,则S。=-85:当 2 (2)证明：由(1)得1 是D-2}》 5=号时5-5=-草与55-S成-5，的公北为 >0矛盾（易错：等比数列的每一项断不能为0，当公比为 +1+…+ -1时，S,S,一S,S一S每项都为0，不构成等比数列).综 上.5.=一85，故选C =1-+号号++) 4.D设等比数列(a。)首项为1，公比为g(≠0)由题意， -2-） {ta:tu=168.即a1+g十g)=168 az-as=42 a1(1-)=42 :n∈N”,.H+1>1, 中a,1+g+)=168 1-1 a1g(1-g)(1+g+g)=42. n+11, 解得，g=2a1=96,所以a=a19=3.故选D. 2(1-中)<2 5.D设等比数列(@}的公比为g,所以士十a= a1十ag十d 故1十上+…+<2得证 11.解：一，选择条件①③ a+a+9=q=2,由a1+2+a=a1++)= a1十a2十a1 已知{a。】为等益数列，t2=31,设公差为d, 11+2+2)=1,解释e1=号，所以o+a+as=a1矿+ 则a=3a1=a1十d,即d=2a1· 因为8=a+d=a, g+g)=7×(2+20+2)=7×2×1+2+2)=32. 故选D. 则√S=√a·n(a1>0), 所以数列（√S}为等差数列。 6.C令m=1.则由am+n=aaan,得au+1=aaw,即“=a 4 二，选捧条件①② =2,所以数列{a。1是首项为2、公比为2的等比数列，所以4。 已知{a)为等差数列，数列(S。〉为等差数列，设{a。}的公 =2”,所以a4+1十a4+2十…十a+1o=ae(a1十a十…十ao) 差为d, 则aw=a41十(n-1)d, 2*×2X-2)=2+1×(20-10=24-2=20×(20 1-2 s=a+2d=d+(a-号)加 1),解得k=4,故这C. 7.解析：若9=1，则由8S:=7S。得8·6d1=7·3a1,则a1=0. 若数列S为等差数列，则a1=兰 不合题意， 所以≠1. 所以g=41十d=3a1 当y≠1时，因为8S6=7S1, 三，选择条件② 所以8.10二2)=7.1-》. 已知数列{√Sn}为等差数列a2=3u1设公差为d, 1-g 1-g 则√⑤-S=d,即4a-@=d, 即8·(1一)=7·(1-g), 则a1=d,√/S=/S+(n-1)d=nd, p8·(1+q2)(1-)=7·(1-g). 则S。=n,aw=Sw-Sn-1=2dn-, 中81+分)=7，解得4=-名： 所以数列(aw}为等益绿列. 考点17等比数列及其前n项和 救答案为：一之 题组 1,C由题意可得：当n=1时，ag=241+2,即a19=2a1+2,① 答案：一 当n=2时，a1=2(a1+a)+2,即a192=2(a1+a19)+2,② 8.解析：设{an}的公比为q(q≠D),则aea1a5=asa6=a2g· 联立①②可得41=2，q=3,剩a1=a14=54. agq,显然an≠0， 故选C. 则aa=g,即aq2=g,则a1g=1,因为d4do=-8.剥a1g 2.C由题知1+日+++=5(1十g+)一4， ·d12=-8. 即+=4q+4r.即十-4g-4=0,即(9-2)(W+1) 则=(g)2=一8=(-2)3，则=一2，则ay=a14· (q+2)=0. =q=-2, 由题知9>0，所以g=2.所以S:=1+2+4+8=15,故选C 故答案为：一2. 3.C解法一：设等比数列{m》的公比为g,若q=1,别S,=4 答案：一2 -5,p4-号8-u-58-2a,-号与8 5 9.解析：当n=1时.S1=a1十h1=1①，当n≥2时a,十bn=S -S.-1=2m-2+2-1,割a2+6m=4②，a3十6=8③，a1+b, =21S:矛盾，故g≠1（易错：等比数列求前n项和需要对公比 =14④，②-①得d+M(g-1)=3⑤，③-②得d+(w-1) 是香为1选行特论.南5=兰，1-).5-巴1 =4@,①一③得d+4(g一1)=6⑦，⑥-⑤得M(q一1)2=1，⑦ 一0得(g一1)2=2，期g=2,6=1d=2,所以d十g=4 1,释=二生=1+日+g=21,解得可=4（合负）.又 答案：4 51-g 10.解：(1)第1步：将关系式中的n换为n十1 =,1-)-兰×-15=-5以，青所 因为2sw=34+1一3，所以25w+1=30m+1一3， 第2步：两式相诚，利用S+1一S。=a转化，求等比数列 以8=1-)=号×1-256)=-85：故选C (aw的公比 两式相减可得24+1一3w+2一3au+1· 解法二：易知数列(a。}的公比g≠一1，由等比数列的性质可 知S5,S,一SS6一S1,S4一S6成等比数列，公比为g>0. 甲a,+t=号a1所以等比数到a,}的公比为号 由8，S,-5258一5成等比数列可得(-5-S2)2=S:× 第3步：利用S=41求出首项a1,进而得{a的通项公式 [5,-(-5)],解得S=-1或5：=号.当5=-1时，S, 图为28=3a:-3=50,-3.所以41=1，故4.=（倍） 152 可 详解答案 2)因为25，=31-3，所以S=是(ar1-1) 45=-1a4=b=(-3)3=27..a1=111,d=-28, .S-125k-14k2, [()-]: S+1=125k-14k2-28k+111,S6+:=125k-14k2-56k +194. 设餐列8)的箭”项和为T,则工。一是× 要使S+1<S且S+1<S-2 -1--9(唱-号 R委十6+19. 1- >器显<器不存在特合题意的心 选③S=一25时： 1l.解：(1)第1步：根据数列中a。和S。的关系卓数列(an}的递 设等差数列{an)的公差为d. 推关系 因为45，=3am十4①，所以当n≥2时，45。-1=3G。-1+4 (aitas)x5 2 =-25a5■-1a1=-9,d=2 则当n≥2时，①-②得4a。=3an-34u-1,即an=-3aw-1 同理可得份欲9-18.品号<<号存在6-4特合 第2步：求出a1. 避含 当n=1时，由4S。=3a。十4得4a1=3a1+4,所以a1= 4≠0， 1解：多g2时山号-号=3 第3步：求数列{a,}的通项公式 所以数列{w是以4为首项，一3为公比的等比数列 则S-3=32-3·2-3. 1-2 所以aw=4×(一3)"1 (2)解法一（错位相减法）第1步：求出数列{}的通项 由3·2-3>2020.得2>674号 公式 又：2"=512,2w=1024,k∈N,kmm=10. 因为b=(-1)1a.=(-1)"-1n×4X(-3)”1=4n ·31 当g-号时1-2-是-48， 第2步：利用错位相减法求T。 4 所以T.-4×3°+8×3+12×32+…十4m·3”-1, 48-48·(” 所以3T。=4×3+8×32+12×38+…十4m·3", 则S =96-96(} 两式相减得一2T。=4十4(3十32+…十31)一4m·3” 1一立 4+4×31-3)-4m·3-2+2-4m.3. 1一3 由96-96·（）广>2020，得->（宁 所以T.=1+(2m一1)·3. 此时不等式无解，·不存在足题意的。 解法二（裂项求和）第1步：求出数列(，}的通项公式 b=(-1)"-1na.=(-1)-n×4×(-3)m-1=4n·3-1. 当=-2时1号-号=3 第2步：利用待定系数法对b。进行裂项 则8。=3-3·(-2 令6。=(km十b)·3”-[k(n-1)十】·3-1. 1-(-22=1-(-29 由1-(-2)>2020，得(-2)<-2019. 则b.=(kn+b)·3-[k(m1)+b]·3"-1=3"-1[3km+36 :(-2)9=-512,(-2)10=1024,(-2)11=-2048, -k(n-1)-6们=(2km十2b+k)·3"-1. kEN”, 所以歌-0每释合二2 .k=11. 考点18递推数列与数列求和 聊bn=(2m-1)·3”-[2(n-1)-1门·31=(2m-1)·3" 题组 -(2m-3)·3-1, 1.A 第3步：求和 2.D由bn+1=S2w+2-S2m…得o=a3十a4=2a1十5d.b=a 所以T。=4+:+4+…+,=1×31-(-1)×3+3X3 十ag=2a1十13l,hs=a11十a12,b=a15十a16=2a1+29d.由 -1×31+5×33一3×32+…+(2m-1)·3"-(2n-3)· 等差数列的性质易知A成主：若2b,=bg十b,剥2(ar十ag) 3-1=(2m-1)·3"-(-1)×3”-(2n-1)·3"+1. =ag十a1十a11十a12=2a7十2a8,故B成主：若ai=a2ug,即 12.解：设等比数列(b.}的公比为9（≠0） (a1+3d)2=(a1+(a1+7d),则a1=d,故C可能成立：若 b2=3,b=-81..b1=-1.q=一3， b=-(-3)-1. 房=h6,p(2a1+13d)2=(2a,+5d)(2a1+29d).则号 又b=a5∴46=-1. 是与已知矛盾，收D不可能成立 选①b1十b=ag时： 设等差数列(aw}的公差为d 3.解析：对于①，由数列(4.}的各项均为正数，H·S。=9(刊= 4,=+=-1+(-1)×(-3)2=-10,a5=-1, 1,2,…),得a1·S1=9,呷a1=9,解得a1=3.由ag·Sg=9, d=3a1=-13. 得2·(3十a)=9,解得a2=一3十35（合负），所以a 5=-1+“x3=-号， 2 35-3<3,所以①正确：对于②，图为4。·5=9(n=1,2, 51=昌-号+3-18,5：=含-号+6动 2 ),所以3=2对当≥2时得51-》两式相减得 -23. da-1 要使S+1<S且S4+1<S+: ,=9-9,所以=9-2=9 9 9- 只-8- an du-1 ag4红ay35-30g 2 “9<<号香在=4特合题意 35+3则+3写+3。-9=0(*.若a,为举比数 2 2 选②a=b,时： 设等差数列{aw的公差为d. 列，则=14则--9-子5，不满足()式，所以 a1 2 153