专题7 平面向量 -【高考密码】备战2025年高考数学2020-2024五年真题分类汇编

可 详解答案 由(1)知6=11-a=3. 19.解：(1)在△ABC中，由余弦定理及a=22,b=5,c=√/13， 有mC-兰-号又因为Ce0,所以C=票 2ub 选 osA=gA∈(o,号）smA-3 (2)在△ABC中，由正孩定理及C=于，a=2E,c=丽， 81 ”msB-6Be(o,受）mB-5 可得sinA=asin C_2I3 13 16 由正张定理后 )由a发加A=2,可得mA=小m不 得“=14a=6. -313 13 3757 8 16 连6n2A-2AsA-号ms2A=2mA-1-音 (2)sin C=sin(-A-B)=sin(A+B)=sin Acos B+cos A 血B-要 所以m2A+号）如2Am普+2Am子-号×号 4 ,a+b=11,a=6,.b=5. +×号- 26 Sam=之ahin C=号x8X5x9-15 4 专题七平面向量 17,解：1)如图1， D为BC的中点，BD=DC 考点14平面向量的线性运算与基本定理 :∠A=90.SauC-2AC·AB. 题组 1.C图为存在不全为0的实数，2,3·使得入OP,十 :DFLBC.∴SAC=ZDC·DE OP2+入OP=0,所以OP,OP,OP共面.只要三点对应的 由AC=DF,Saw=SAmF,释AB=DC=号BC 向量共面就有(0,0,1)E0,否割就能得到(0,0,1)任2.对于 选项A,(0,0,0)对应的向量是雾向量，零向量与任意向量共 在Rt△ABC中，∠A=90°，∴.ACB=30°， 线，故三点对应的向量共面，不能推出(0,0,1)任，故A错 ,∠ABC-60 溪：对于选项B,若(1,0,0)，（一1,0,0》∈2，且(1,0,0）， (一1,0,0)两点对应的向量共线，所以(0,0,1)可以属于，故 B错误：对于选项C,显然，(1,0,0)，(0.1,0)，(0,0,1)三点对 应的向量不共面，故可以推出(0,0,1)任0，故C正确：对于选 项D,(0,0,一1》与(0.0,1)两点对应的向量共线，(1.0,0)， (0.0,一1)，(0,0,1)三点对应的向量共面，故不能推出(0,0， 1)任？，故D错误.故透C, 2.D图为a十b十c=0,所以a+b=-e, 图 图2 即a2++2a·b=c2,即1+1+2a·b=2, (2)如图2. 所以a·b=0. 设CD=a,别BD=3CD=3a,BC=CD十BD=a十3a=4a. 如图，设0i=a,OB=b,OC-c 在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=45", 题知，O0A=OB=1,OC=√2，△OAB是 .DF=AC=2√2a. 等腰直角三角形。 在Rt△DFC中，FC=√CD+DF√a+(22a)2-3a 在Rt△FDB中，FB=√BD+DF-√(3a)2+(2√2a)2 AB造上的高OD-号AD-号 17a. 所以CD=G0+OD=2+2=32 在△FBC中，由余孩定理，得os∠CFB=FW十FC-BC 22 2FB·FC tan∠ACD=AD-L =17a)2+(3a)2-(4a)257 2×/17a×3a 51 ms∠ACD=3 √/1o 18.解：(1)由正孩定理得2 sin Bsin A=√3sinA, os(a-c,b-c=as∠ACB=as2∠ACD=2cs∠ACD-1 此血B一号由超老得后吾 =2x(-1- /10 2)曲A+B+C=x得C=要-A 故选D. 由△ABC是锐角三角形得A∈（若，艺）： 3,B法一：以(AB.AD为基底向量，可知AB=AD1=2, AB.AD=0. 由msC=o(学-A）-名osA+nA得 则武=E成+胶=合A苏+A,E前=成+市=-号店 A十osB+oC=号mA+mA+ +AD. (A+晋)+号∈(，] 所以·E市-（号A店+AD)·（-2A店+AD)- 收@msA+omB+cC的取值花周足(，号] -A弦+A市--1+4=3： 法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系， 147 五年高考真题分类集训 数学 在△ABC中，根搭余弦定理：BC=x2+y2-2.ry00s60= 2+y2-xy=1, 干是正.正-(2+受+2）-（学+2小 由x2十y2一xy=1和基本不等式，x2+y2一xy=1≥2y ry=ry, 故xy≤1，当且仪营x=y=1取得等号， 则=y-1时，正：正有最大值是 北器家为：a叶b:是 13 则E(1,0),C(2,2),D(0,2) 可得EC=(1,2),ED=(-1,2). 答案：+0是 所以EC.ED=-1+4=3: 8,解析：依题意，在△ABC中，令BC=a.CA=b,AB=c,则BC =1,AC-AB=2,所以B=C,所以由余弦定理得cosA 法三：由题意可得：ED=C=5,CD=2, 在△CDE中，由余弦定理可得 AB+AC-BC+4-17 C0s/DEC-DECE-DC5+5-4 3 2AB·AC 2X2×2g,0sB=AB+BC-AC 2AB·BC 2DE·CE 2X5×55 装名所以sC-cmsB-片以ab+ac+6 所以E.E市-BIE1cos∠DC=5×5×是=3. ·c=al·1b·cos(T-C)+fa·cl·cos(x-B)+lbl· 玫选B. 1c·os(m-A)=1x2×(-）+1×2×(-）+2×2 4.BBD=CD-CB,DA=CA-CD,BD=2D4.所以CD-C3 =2(CA-CD),所以CB=CD-2CA+2CD=-2CA+3CD ×(-)=-号 =一2m十3n,故选B. 5.AC对于选项A,OP11=√cosa+$ima=1,1OP2= √cos8+(-sin)F=1,所以|OP1=OP2,故选项A正 答案：-号 确对于选项B,若a=0g-受.AP1-0≠2-AP1,故 9.解析：由题设加a一b=(1一3入，3一4入)， 选项B错误；对于接项C.OA·OP1■1×cos(a十)十0X 由(a-b)⊥b得(a-b)·b=(1-3λ，3-4n)·(3,4)=3(1 -3)+4(3-4A) sin(a+3)=cos(a十B),OP1·OP:=cos acos月-sin asinB cos(a+,所以OA·OP=OP1·OP.故送项C正确：对于 =15-25=0,解得X=号 选项D,OA·OP1=1×cosa十0 X sin a=cosa,OP2·OP 答案：号 osos(a+一sin Asin(a十)=os(9+a+)=cos(a+23), 10.解析：c=a十仙=(3,1)+k(1,0)=(k十3,1).由a上c得a·c= 故选项D错误，故选AC, 6.15因为a∥b.所以2k=5×6,得k=15, 0,所以30+3)+1-0，解释-号 7,解析：空1：因为E为CD的中点，则 (AE+ED-AD 答案，-10 市+武=，可释正+武- 3 11,解析：由数量积AB.AC-AB=9, 两式相加，可得到2AE=AD+AC, 答案：9 即2A正=名a十b,期正=是a十 12.解析：如图，由题意及平面向量的平行D 四边形法别可知，点P为BC的中点， 2b9 在三角形PCD中，|PD|=√5. 堂2：国为甙-号成 哈 os∠DPB=-cos∠DPC=- 解2成+元-0，可得斤+西酒 AF+元=AG PB.PD=IPB·IPDIcos∠DPB= 1x5x()=-1 得到AF+FC+2(AF+FB)=AC+2AB. 答案：5一1 即3正=2a+6:即正=号a+号6 13.解析：以点A为坐标原，点，AC的方向为x抽的正方向，AC的 于是A正·求=（片a+b)·(号a+号b)= 方向为y轴的正方向建立平西直角坐标系，设CD-ACB, A∈[0,1]，则D(4A,3-3A),AD=AC+ACB=XAB+(1 2(2a+5a…b+2b). A)AC,又，点P在AD的是长线上，则可设AP=红AD,>1, 记AB=x,AC=y, 又Pi=m(P-心)+是元=m店+是P心，则Pi 则花.亦=b(2r+a·b+2w)=立(22+50ms60+ m店-O)十是（花-护）.号市-mA店+ 2)=(2+号+2y） 148 可 详解答案 (号-m)C,则2mA店+(3-2m)AC-=AP=rA市 设∠OPC=a,0≤a≤开， AB+(1一A)AC,所以2m=,3-2m=H-,所以性 则：Pi.Pi=pii·PDlcos(a+于) 3又AP=9,则AD=3,降以(4F+(8-3产=9，得A=号 =1x,2 cs acos(e+） 或=0，则1C-8-8×√3+-我= 0×1CB=0. 答案：8或0 =cosa-sin acos a -1+cos2a1」 14.解析：a.b为单位向量，且a+b=1. 2 sin 2a .(a+b)8=1, .1+1+2a·b=1. 0a≤开，则-开≤2a-开<开 ∴a-b12=a2+B2-2a…b=1+1-2×(-号）=3 当2a-平=一平时，Pi,P币有最大值1 .a-bl=3. 答案：3 考点15平面向量的数量积及应用 题组 1,D解法一（向量法十坐标法）因为b上(b一4a),所以b·(b -4a)=0,即b=4a·h.图为a=(0,1),b=(2,x),所以b =4+x2,0·b=x,得4十x2=4.r,所以(x一2)2=0，解得x= 2,故选D. 当点A,D位于直线PO同侧时， 解法二（坐标法）因为a=(0,1),b=(2,x),所以b一4a (2,x)-4(0,1)=(2,x)一(0,4)=(2，x一4)，圆为b⊥(b 设∠OPC=a,0<a≤， 4a),所以b·(b一4a)=0.所以2×2十x(x一4)=0.所以 (x-2)2■0，解得x=2,故选D. 则：P成，P市=pi·P市ms(a-开)】 2.B由(b-2a)⊥b,得(b-2a)·b=b2-2a·b=0,所以b2= 2a·b.将a+2b=2的两边同时平方，得a2+4a·b十4b= =1xv2 os(a-开） 4,即1+28+46=1+61b12=4,解得b=号所以B1- 号，t选 =cos'a+sin acos a 3.B由(a+b)·(a-b)=0,得a-b=0,即a2-1b12-0. _1±g2a+号in2a 2 所以a=b,当a=(1,1),b=(一1,1)时，a=b,但a中 b且a≠-b,放充分性不成立：当a=-b或a=b时，(a十b) -+m(2+） ·(a一b)=0,故必要性成主.所以“(a十b)·(a-b)=0”是“a =一b或a=b”的必要不充分条件， 0<a≤年，则平<2a+号≤受 4,D解法一：a十b■(1十A,1一1)，a+b■(1十2,1一a),图 为(a十b)⊥(a十b).所以(a十b》·(a十b)=0,即(1+A “当2如+牙-艺时，·币有藏大值 2 1一A)·(1十1一)=(1十)(1+)+(1-A)(1一)=2+ 2=0,放=一1，故选D. 综上可得，P·P币的藏大值为士2 2 解法二：由题意知，a=b2=2.且a·b=0.因为(a十b) 故选A. ⊥(a十h),所以(a+h)·(a+b)=0,即a2+(a+r)(a· 7.C由题意，得c=a十b=(3十t,4),所以a·e=3X(3十1)十 b)十b2=0,则2十2=0，故1=一1，故选D. 4×4=25十31，b·c=1×(3十1)十0×4=3+k.图为《ac》= 5,B图为a=(3,1),b=(2,2),所以a+b=(5,3),a一b b·e ■(1，一1)+ (be,所以m(ac)-m(e,即治-B治即 则|a+b|=√5+32=√34.|a-b1=√/1+1=2， 25+3=3十1，解得1=5，故选C (a+b)·(a-b)=5×1+3×(-1)=2,所以cos(a+b, 5 a-b)=《a+b）:(a-b)=2 V17 8.D先求得a一b,然后求得a-b.因为a-b=(2,1) a+ba-b √3X217,故选B (-2,4)=(4,一3).所以|a-b=√4+(-3)产=5.故 选D. 6,A如图所示，|OA=1,OP|=2,则由题意可知：∠APO =45, 9,C由题授，a-2b=3,得|a2-a·b+4b2=9,代入a =1,b■3，有4a·b=4,故a·b=1.选择C 10.D以点C为坐标原点，CB, CA所在直战分别为工，y轴 建主如图所示的平面直角坐 标系，则A(0,3),B(4,0).由 PC=1,得点P的运动轨迹 为图x2十y2=1,所以设高 P(cos0,sin0),则PA=(- 由句殿定理可得PA=√OP-OA=1 co59,3-sin8),PB=(4 当点A,D位于直线PO异侧时， os8,-sin0),所以PA·PB=-cos84-cos8)-sin8(3 149 五年高考真题分类集训 数学 sin 0)=1-(3sin 0+4cos 0)=1-5sin(),cos PA-(PO+0A )+(PO+OA+(PO+0A+(PO 5,im9=5,因为-1≤sin(0十9)≤1，所以一4≤1-5sin 3 +OA)2+(P0+OA1)2+(P0-OA1)2+(P0-0A2)2+ (0+p)≤6，脚PA·PB的取值范围是[一4,6]，故选D. (P0-OA)2+(P0-OA)2=8PY+2(OA2+OA22+ 1山，A如图，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意 OA2+OA,2)=8PY+8. 得A(0,0).B(2,0),C(3,5).F(-15).设P(x:y.则 1<r<3,所以AP=(T,y),又AB=(2,0),所以AP·AB= os+1 2.r∈（一2,6），故选A. 为得ms晋<P0<1,co音 2—/ 2士巨≤1响1≤1，所以8P心+8的取值范周是[12+ 2 2√2,16] 答案：[12十2√2,16] 1,解析：设BE=rE(O,2）“△ABC为边长为1的等边 三角形，DE LAB, 12.A因为(a-b)⊥c=0,即a·e=0,即a·c一b·c=0.又 ./BDE=30,BD=2.DE=3r.DC=1-22. a=(1,1),b=(-1,3),c=(2,1),所以1×2十1×1-A(-1 :DF/1AB,.△DFC为边长为1一2x的等边三角形， ×2十3×1)=3-（一2十3）=0，解得A=3.故送A. DE⊥DF, 13.D由题意，据a·(a十b)=a+a·b=25-6=19,la十b ∴(2BE+DF)=ABE+4BE.DF+D产=42+4r(1 ■√/a+2a·b+b2=√25-12+36=7，所以os(a,a+b) -2.x)×c0s0+(1-2x)2=1. -00-是号故选D .|2BE+DF=1 14.解析：坐标法，以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角 :(DE+DF)·DA=(DE+DF)·(DE+EA)=DE+Di 坐标系， ·EA =(W5r)2+(1-2x)×(1-r)=5x2-3x+1 =5()广+品 所以当一品时，(D+D丽·D叭的最小植为品 则A(0.0),B1.0),C1.1.D0.1.E(号，1)，所以成 故答套为：1品 (-子1)Bi=(-1,0.成=01，圈为证=xBi+ 答案1品 20.解析：令a=(1,0),b=(2,0),c=(m,n),图为(a-b)·c C,所以(-言）=-10)+01，所以=号 0,故m一21=0，故c=(2h,n), 因为d在a,b方向，（即x轴和y轴正方向）上的授影分别为 1,所以计-亭由B1,0).E(号)可得直线BE的方 x,y,故可设d=(r,y), 因为d-a在c方向上的投影为：=（d二a)·e-2r+y-2 5 程为y=-3x-D,设Fa,3-3a)(号≤a≤1)，则G(受 故2x+y-5x=2, 3,）所以正=u8-a,d=(告2）所以正 故2++2=2 E+一5≥2+y5 5 4+1十5 d=a…号+8-a.122=5d2-u+是=5(e 2 2 )广-是所以室a=号时亦，心取得爱小值，为一高 答案：一 当且仅当 5 时取学号，故摊导 15,解析：由a+b=12a-bl,两边平方得a++2a·b=4a2+ 2.x+y-5:=2 b-4a·b,脚a2=2a·b,代入a2+b-2a·b=3,得|bl=5. - 答案：⑤ 省案：号 16.解析：由a16:得m十3m+3=0,解得m=一是 21.解析：：a⊥b,.a·b=0,又a=(1,m),b=(2,1), .2十m=0.解得m=一2. 答案：- 答案：一2 17,解析：设a与b的夹角为0，周为a与b的夹角的余弦值为 22,解析：固为单位向量ee2满足2e一e≤2， 3牌cos0=3,又a=1.b1=3, 所以2e1-e2=5-4e1·eg≤2， 所以ab=a·bcos0=1X3×号=1 即40>是 国为a=g十e,b=3e十e2,a,b的夹角为0， 所以(2a+b)·b=2a·b+b=2a·b+b2=2×1+3 =11. m80a 故答案为：11 (4+4e1·ee) 4+4e1*e 答案：11 18.解析：设单位圆的圆心为O,则点A1与AA:与AA与 (2+2e·e2)10+6e1·e)5+3e1·e AA:与A分别美于点O对称，所以PA+PA+…+ 不封设1=时≥受o0一 150 详解答案 又针影在[子+)上单调选培， 显然画数y=m[要十（如一行门的月期为3，而n∈N”… 所以cms2024+3=28 + 即coam最多3个不同取值.又(cosa,n∈N)={b, 291 则在cosa1·cosa2,cosa1中，cosa1=cosa2≠csag或 所以时0的藏小维为器 于是有c0s0=cos(0+专）： 答案器 即有0叶(0+号)=2x,k∈五， 23.解析：依题意得AD∥BC,∠BAD=120°，由AD·AB=AD A·ms∠BAD-是AD=-号得1Ad-,因 解得0=标一牙长 所以∈，b=eo(x-誓）os[(kx-晋）+]=一co 、此A-A巴=。取MN的中点E,连接DE,别DM+D (kk-晋)osk标=-o音-2 -2 DE.DM.DN-[(DM+DN)-(DM-DN)] 故选B. 5,B设等差毁列{an}的公差为d,:a1=一9,45=一1，.45 D亦-}N游=D形-注意到线段MN在线段BC上 -9十4d=-1.∴d=2.∴.am=-9+(n-1)×2=2n-11.令 运动时，DE的最小值等于点D到直线BC的距离，即AB· aw=2n-11≤0，则n≤5.5…u≤5时，m<0:n≥6时.am> 0..T1=-9<0,Tg=(-9)×(-7)=63>0,T1=(-9)× 血∠B=3,用先D应-青的最小值为(3）-青 (-7)×(5)=-315<0,T:=(-9)×(-7)×(-5)× (-3)=945>0.T=(-9)×(-7)×(-5)×(-3)×(-1) 号脚Di,D示的最小值为号 =一945<0.当n≥6时a.>0,且an≥1，.Tn+1<T。<0, 答案日号 T。=a12an(n=1,2,…)有最大项T,无最小项，故 选B. 24.解析：由题意，得a·b=a1·bc0s45°=写.周为向受 6.解析：解法一（基本量法）设{a,}的公差为d,由ag十a4=a1 2 +2d+a1+3d=2a1+5d=7,32+as=3(a1+d)+a1+4d =4a1十7d=5,解得a1=一4，d=3,别510=10a1十45d=95. a-b与a垂直，所以(a-b)·a=加2-a·b=k一号=0， 解法二（利用下标和性质）设{am}的公益为d,由g十a! 部释兽 4十a=7,十a=5,得4=-1ag=8:故d=专号- 者案号 3,a6=11,周50=+a×10=5(a,十ag)=5×19=95. 2 答案：95 专题八数列 7.解析：转化条件为2(a1十2d)=2a1十d十6，即可得解.由 2S=3S2十6可得2(a1十a2十a1)=3(a1+ag)十6，化简得 考点16等差数列及其前n项和 题组 2a1=a1十ag+6,即2(a1十2d)=2a1十d十6，解得d=2. LB由s,-5n,得@a寸a_10u+aw.所以5a,=5a 故答案为：2. 答案2 2 2 8.解析：由题意，数列{an}是以1为首项，6为公差的等差数列， 十a).所以，=0，公益d=g号=-子所以41=4-d 根据等差数列的前n项和公式，得数列{。】的前项和S。= -1-4×(号)子故选取 m+u"21D×6=3m2-2m. 2 答案：32一2n 2.D解法一设等差数列a,的公差为d,由S=9如1+9X8 2 9,解析：设等差数列{a.1的公差为d,则由a2十6=2，得a1十 d=96a十》=L得4+4d=号，期a+4,=a,十2+a d十a1+5d=2,即-4+6d=2,解得d=1,所以S0=10× (-23+10X9×1=25. +6d=2a1+8d=2(a1+4d0=2 2 ，校选D 答案：25 解法二国为a,为等差数列，所以S,=9@1十a》=9u, 10.解：1)由题意得S-1, 2 1,得c-号，时a+a=2a:-号，故选D 4湖 3 3,C法一：设等差数列(4n的公差为d,首项为41，依题意 可得， S=n+2。 3d. ag十a6=a1+d+a1+5d=10,即a1+3d=5, 又a4ag=(a1十3d)(a1十7d)=45.解得：d=1a=2. 事时5-及子。- 所以S=5a1+5X4×d=5×2+10=20. 2 故选C. 法二：a2十a6=2a1=10,a:ag=45,所以a1=5,dg=9, 从两d-8=1,子是a=a:-d=-5-1=4 “。=+1 g-1-1 所以S=54a=20. “=十1 故选C aT'a2a=3a=4“ 4w-1n- 4B依题念等差载到a,中a-十(m-D…警-警 将以上各式相，得-×××XX +(a-) =(n十1) 2 151专题七 平面向量 专题七 平面向量 考点14 平面向量的线性运算与基本定理 题 组 易记录: 用时: 一、选择题 7.(2023·天津卷)在△ABC中,A=60{。 1.(2024·上海卷)定义一个集合0,其元素是空间 BC-1,点D为AB的中点,点E为CD的中点; 内的点,任取P,P。,PEO,存在不全为0的实 若设AB=a,AC=b,则AE可用a,b表示为 数,,,使得aOP+OP+OP= (其中0为坐标原点).已知(1,0,0)E0,则(0. 0.1)0的充分条件是 _ A.(0,0.0)-Q B.(-1,0.0)Q 8.(2021·新高考ll卷)已知向量a.b.c满足=a C.(0.1.0)0 D.(0.0.-1)0 $ =o,|al-1,lbl-lcl=2,则a·b+b·c+ 2.(2023·全国甲卷·理)已知向量a,b.c满足lal c.a = bl=1,lcl-②,且a+b+c=o,则cos<a-c. 9.(2021·全国乙卷)已知向量a=(1,3),b= b-c- ( 。 (3,4),若(a一b)1b,则一 B.-2C.2 1# D 10.(2021·全国甲卷)已知向量a=(3,1),b= 3.(2023·全国乙卷·文)正方形ABCD的边长是 (1,0),c=a十b.若a c,则 - 2,E是AB的中点,则EC·ED ( 11.(2021·上海卷)如图,正方形 A.5 B.3 C.2/5 D.5 ABCD的边长为3,求AB· 4.(2022·新高考I卷)在△ABC中,点D在边AB AC 上,BD=2DA.记CA-m.CD-n.则CB- 12.(2020·北京)已知正方形ABCD的边长为2.点P ) A.3m-2n B.-2n+3n C.3m+2n D. 2m+3n PB·PD- 5.(多选)(2021·新高考I卷)已知O为坐标原点; 13.(2020·江苏卷)在Cr 点 P.(cos a,sin a),P(cos{.-sin③),P(cos(a ) △ABC 中,AB=4, 十③,sin(a+③)).A(1,0),则 r A. OP|-1oP{ AC-3. BAC-90*,D B.|AP-|AP 在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若PA C.O OP-OPOP =mPB+(3-m)PC(m为常数),则CD的 _ D.OA·OP-OP·OP _ 长度是 _. 二、填空题 14.(2020·全国卷I)设a,b为单位向量,且 6.(2024·上海卷)已知a=(2,5),b-(6,k),a/b a+bl-1,则a-bl=_. 则的值为 _. 43 五年高考真题 分类集训 数学 考点15 平面向量的数量积及应用 题 组 错记王。 易错记录: 一、选择题 7.(2022·新高考lI卷)已知向量a=(3,4),b=(1; 1.(2024·新课标I卷)已知向量a-(0,1),b-(2, 0).c-a十tb,若a,c)=(b,c),则/ ( ) ( x).若b(b-4a),则x= ~ A.-6 B.-5 A.-2 B-1 C.5 D.6 C.1 D.2 8.(2022·全国乙卷·文)已知向量a-(2,1),b- 2.(2024·新课标II卷)已知向量a:b满足a=1; (-2,4),则a一b ) l$a+2b -2,且b-2a] b,则|bl= ) A.2 B.3 C.4 D.5 9.(2022·全国乙卷·理)已知向量a,b满足la D.1 -1:bl-③,a-2b -3,则a·b ) A.-2 B.-1 3.(2024·北京卷)设a,b是向量,则“(a十b)·(a C.1 D.2 1 -b)-o”是“a--b或a-b"的 ) 10.(2022·北京卷)在△ABC中,AC=3,BC-4. A.充分不必要条件 C-90{*}.P为△ABC所在平面内的动点,且 B.必要不充分条件 PC-1,则PA·PB的取值范围是 _ ) C. 充要条件 A.[-5,3] B.[-3,5] D.既不充分也不必要条件 C.[-6,4] D.[-4.6] 4.(2023·新课标I卷)已知向量a=(1,1),b一(1. 11.(2020·新高考I卷)已知P是边长为2的正六 -1).若(a十b)I(a十b),则 C ) 边形ABCDEF内的一点,则AP·AB的取值范 A.十-1 B+--1 围是 C.-1 ) D.--1 A.(-2,6) B.(-6,2) 5.(2023·全国甲卷·文)已知向量a=(3,1),b C.(-2,4) ( ) D.(-4,6) (2.2),则cos(a+b,a-b)- B7# 7 12.(2020·山东适应性考试)设向量a-(1,1),b= (-1,3),c-(2,1),且(a-xb)c,则a →_ D.25 ~ A.3 B.2 6.(2023·全国乙卷·理)已知⊙O的半径为1,直 C.-2 D.-3 线PA与O相切于点A,直线PB与O交于 13.(2020·全国卷Il)已知向量a:b满足a=5. B.C两点,D为BC的中点,若 PO -/②,则PA $b-6,a·b--6,则cos(a,a十b)=( .PD的最大值为 ( ) B.-0# A.12 1十2 1+22 35 B -2 C.17 D. C.1十2 D.2十/2 44 . 专题七 平面向量 二、填空题 20.(2021·浙江6月卷)已知平面向量a,b,c 14.(2024·天津卷)在边长为1的正方形ABCD ()满足a-1,bl-2,a·b-0,(a-b)· c-0,记平面向量d在a,b方向上的投影分别 为x,y,d-a在c方向上的投影为;,则x2+y2 -BA+BC,则+- ;F为线段 十的最小值是 BE 上的动点,G为AF中点,则AF·DG的最 21.(2020·北京适应性考试)已知向量a=(1,m). b-(2,1),目alb,则n- 小值为 22.(2020·浙江高考)已知平面单位向量e,满 15.(2023·新课标II卷)已知向量a,b满足 足l2e -e</2.设a=e+e,b-3e+e,向 la-bl-③,|a+b|=2a-b|,则|b= 量a,b的夹角为θ,则cos②e的最小值是_ 16.(2022·全国甲卷·文)已知向量a三(n,3). 23.(2020·天津高考)如图,在四边形ABCD中. $B-60{*,AB=3,BC-6$且AD-$ BC,AD·$ b=(1,m+1),若ab,则n= AB-- ,若M,N 17.(2022·全国甲卷·理)设向量a,b的夹角的余 是线段BC上的动点,且|MN|-1,则DM· DN的最小值为 18.(2022·渐江卷)设点P在单位圆的内接正八边 形A:A。...A的边AA 上,则PA^{}+PA③ .. +PA{}的取值范围是 24.(2020·全国卷II)已知单位向量a,b的夹角为 19.(2021·天津卷)在边长为1的等边三角形 45{},a-b与a垂直,则- ABC中,D为线段BC上的动点,DE1AB且 交AB于点E.DF/AB且交AC于点F,则 2BE+DF|的值为 ;(DE+DF) .DA的最小值为 45