专题6 考点13 解三角形 题组2 -【高考密码】备战2025年高考数学2020-2024五年真题分类汇编

专题六三角函数与解三角形 题组二 用时： 易错记录： 一、选择题 二、填空题 1.(2023·全国甲卷·理)在四棱锥P一ABCD中， 4.(2024·上海卷)海上有灯塔O, 底面ABCD为正方形，AB=4,PC=PD=3, A,B,货船T,如图，已知A在O ∠PCA=45°，则△PBC的面积为 的正东方向，B在O的正北方 向，O到A,B的距离相等， A.22 B.32 ∠BT0=16.5°，∠AT0=37°， C.42 D.52 则∠BOT= .(结果精确到0.1°) 2.(2021·全国乙卷)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算 5.(2023·全国甲卷·理)在△ABC中，AB=2, 经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量 ∠BAC=60°，BC=√6，D为BC上一点，AD为 海岛的高.如图，点E,H,G在水平线AC上，DE ∠BAC的平分线，则AD= 和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆 6.(2022·全国甲卷·理)已知△ABC中，点D在 的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH 边BC上，∠ADB=120°，AD=2,CD=2BD.当 都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的 AS取得最小值时，BD 差”，则海岛的高AB 7.(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A,B,C的 对边分别为a,b,c,面积为3，B=60°，a2+c2 3ac,则b= 表高×表距十表高 三、解答题 A.表日距的差 B. 表高×表距 表目距的 一表高 8.(2024·新课标I卷)记△ABC的内角A,B,C C囊育论要+表南 表高×表距 的对边分别为a,b,c,已知sinC=√2cosB,a2+ D.表目距的差 一表距 b-c2=√2ab. 3.(2021·全国甲卷)2020年12 (1)求B: 月8日，中国和尼泊尔联合公 (2)若△ABC的面积为3十√3，求c. 布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m),三角高程测C 量法是珠峰高程测量方法之 一，右图是三角高程测量法的一个示意图，现有 A,B,C三点，且A,B,C在同一水平面上的投影 A',B,C满足∠A'C'B'=45,∠A'B'C'=60 由C点测得B点的仰角为15°，BB与CC'的差 为100：由B点测得A点的仰角为45°，则A,C 两点到水平面A'BC'的高度差AA'一CC约为 (5≈1.732) A.346 B.373 C.446 D.473 39 五年高考真题分类集训 数学 9.(2024·北京卷)在△ABC中，内角A,B,C的对 10.(2023·新课标I卷)已知在△ABC中，A十B 边分别为a,b,c,∠A为钝角，a=7,sin2B= =3C,2sin(A-C)=sin B. os B. (1)求sinA; (2)设AB=5,求AB边上的高， (1)求∠A: (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选 择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的 面积 条件①：b=7: 条件@：eosB=1品 条件③：csin A=53 2 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0 分：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按 第一个解答计分。 11.(2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为√5，D 为BC的中点，且AD=1. 1)若∠ADC=5,求anB: (2)若b2+c2=8,求b,c 40 回 专题六三角函数与解三角形 12.(2022·新高考I卷)记△ABC的内角A,B,C 14.(2021·新高考I卷)记△ABC的内角A,B,C的 的对边分别为a,b,c,已知千nA cos A 对边分别为a,b,c.已知子=ac,点D在边AC上， BDsin∠ABC=asin C. sin 2B =1十cos2B (1)证明：BD=b: 1若C-受求B时 (2)若AD=2DC,求cos∠ABC. 2)求告”的最小值。 15.(2021·上海卷)已知在△ABC中，A、B、C所对 13.(2022·浙江卷)在△ABC中，角A,B,C所对 边分别为a,b,c,且a=3,b=2c. 的边分别为a,6c已知4a=5c,casC-号 若A-经求S△AC的面积， (1)求sinA的值； (2)若2sinB-sinC=1,求△ABC的周长. (2)若b=11,求△ABC的面积. 41 五年高考真题分类集训 数学 16.(2020·北京卷)在△ABC中，a+b=11,再从 18.(2020·浙江高考)在锐角△ABC中，角A,B,C 条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已 所对的边分别为a,b,c.已知2 bsin A-√3a=0. 知，求： (1)求角B的大小： (1)a的值； (2)求cosA十cosB+cosC的取值范围. (2)sinC和△ABC的面积. 条件①：c=7,c0sA=-7; 条件@：6osA-日cosB-6 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一 个解答计分. 17.(2020·山东适应性考试)在△ABC中，∠A= 19.(2020·天津高考)在△ABC中，角A,B,C所 90°，点D在BC边上.在平面ABC内，过点D 对的边分别为a,b,c.已知a=2√2，b=5, 作DF⊥BC且DF=AC. c=√/13. (1)若D为BC的中点，且△CDF的面积等于 (1)求角C的大小： △ABC的面积，求∠ABC. (2)求sinA的值； (2)若∠ABC=45°，且BD=3CD,求 (3)求sin(2A+于)的值。 cos∠CFB. 42可 详解答案 14.解：1)由题设，2 sin C'cos C=3sinC 由sinA=w3sinB及正孩定理得a=3b. 因为0<∠C<π，所以sinC≠0. 于是张+之-5，由北可得6= 从两mC-号 236 2 由③c=3h,与=e矛盾. 所以∠C=吾 国此，选条件③时问题中的三角形不存在 题组二 (2)由△ABC的面积为6原，得号absinC=6y瓦 1.C法一：逢接AC,BD交于O,违接 P).则O为AC,BD的中点，如图， 又周为b=6inC=之 因为底面ABCD为正方形，AB=4, 所以a=45 所以AC=BD=4√2，则D)=C) 由余弦定理2=a2+b2-2 abeos C.得c=25. 22, 又PC=PD=3,PO=OP,所以 所以△ABC的周长为a+b+c=6+63. △PDO≌△PO.剧∠PDO 15,解：(1)，2inC=3inA,由正弦定理得2e=3a. =∠PCO, 又c=a十2，.a=4,c=6, .b=a+1=5, 又PC=PD=3,AC=BD=42,所以△PDB≌△PCA,则 ÷e0sc-2+2-2=16+25-36.1 PA=PB. 2ab 2×4X5 8 在△PAC中，PC=3,AC=42,∠PCA=45, cE (0.)..sin c-3 则由余弦定理可得PA2=Ae+Pe一2AC·PC%∠PCA=32 8 s=号×4x5×3g-15 +9-2x4Ex3×号-1n. 4 故PA=√/7，别PB=7 (2)显然>b>a,要使△ABC为钝角三角形，则只需角C为 故在△PBC中，PC=3,PB=√I7,BC=4, 纯角， eosC=2+a+12-a+2y<0. 所以eOs∠PCB=PC+BC_PB=9+16-1?_1 2PC·BC 2×3×4=3· 2a(a+1) 即a2-2a-3<0,∴0<a<3. 又0K∠PB<x,所以sm∠PCB=V-s∠PCB=2g2 又，a+a+1>a+2, a>1..1<a<3. 所以△PBC的面积为S=号PC·BCsin∠PCB=号X3X a∈Z,a=2, .存在正整数a=2使得△ABC为纯角三角形. ×2厘=4反. 3 16.解：(1)图为inA:inB:inC=2:1:√2，由正弦定理可 法二：连接AC,BD交于O,连 得a1btc=2111√2，h=2,.a=22,e=2: 接PO,则O为AC,BD的中 (2)由余俄定理可样cmsC=+-C=8+2-4 点，如图， 2ab 2×22×2 因为底面ABCD为正方彩 AB=4,所以AC=BD=42, 在△PAC中，PC=3,∠PCAA =45°， 8:aC-寻nc--mC-只， 则由余续定理可得PA=AC m2C=2ncsC=2x9×是-8 +PCe-2AC·PCos∠PA L.cos 2C=2cosC -1=2×是-1=言，片以m(2c-晋)=m2os音 32+9-2X42X3×号=17.故PA=, 所以cos∠APC= A+PC-AC=17+9-32=-17 2PA·PC 2×/17×317 16 则Pi·P元=|PA1IP心eos∠APC=17×3× 17.解：方案一：选条件①， 由C=音和参孩定现得心十二-号 (-)-3. 17 2 不粉记PB=m,∠BPD=0, 由sinA=√3sinB及正俄定理得a=√3h 于是沙2-要南北了得6。 因为Pi=(pi+P心)=(Pi+pi 256 所以(PA+PC)=(PB+PD)2, 由①ac■√3，解得a=√3，b=c=1, 即PA+PC+2PA·PC=PB+PD+2Pi.Pi 因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时=1. 则17+9+2×(-3)=m2+9+2×3×m0s0,整理得m2+ 方案二：选条件②， 6no50-11=0①. 由C若和余徐宠理得十一2区 又在△PBD中，BD=PB十PD一2PB·PDos∠BPD,即32 2ab 2 =m2+9-6mc0s0,则m2一6e0s6-23=0②， 由sinA=√3sinB及正弦定理得a=√3b. 两式相加得2m2一34=0，故PB=m=17, 于是3孙+-2-区 故在△PBC中，PC=3,PB=√17，BC=4, 236 2 所以cos∠PCB=PCBC-PE_9+16-17= 2PC·BC 2×3×4 3 由此可得6=6，B=C=若A=经 由②cinA=3.所以c=b=23,a=6. 又0K∠PB<,所以sin∠PB=V-s∠PCB-22 3 因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时〔=23 方案三：选条件③， 所以△PBC的西款为S-号PC,BC∠PCB-号×8X 由C-吾和条孩定理得十一上区 ×2巨=4反.故选C. 2ab 2 143 五年高考真题分类集训 数学 2.A 脂-器厮-器故程-脚 EH 12 12 (m十1》十 324 =4-2原 B+品-GC解得AB-所AH=AE+EH,放AB CG m+1 2(m+1)·m ”E品-0+E 当且仅当m+1= 甲m厅-1时，等号度 EH EH 3,B过C作BB'的垂线交BB'于点M,过B作AA'的垂线交 所以当福取最小值时m=原- AA'于点N,设BC'=CM=m,A'B'=BN=n,在三角形△A' 故签紫为：3一1. BC中，石=m”5,在三角形△CBM中·n7万= 品器：联立表得n=20≈273，得A.C两点列水年面 100 3-1 A‘B'C的高度差AA'一CC约为273十100■373，故选B. 答案：3一1 7.解折：由Sae=之ucsin B,得，B=号acsin60,即5=日 ac,得ae=4,所以2+2=3ac=12, C B 则由余孩定现，得-：2+2-2acos60-12-2X4×号 4,解析：设∠BOT=8,别∠AOT=90一B,在△BOT中，由正弦 8,所以b=2√2. 交厘得，n限g-ng+在△A0T中，由正欢定理 OT 答案：2√2 8.解：(1)第1步：利用余孩定理求C 得37=n370-:0A=0B,两式相降得 OA OT 5in37 sin(37°+90°-0) 由余孩定理得cosC=。+-2 2ab 2 in16.5= in(16.5+),in37”sin(16.5°+0)= sin16.5sin(37+90°-0)，sin0(cos16.5"-sin16.5)sin37 又0<C<C=吾 1 第2步：将C代入已知等式求B -cos (cos 37-sin 37)sin 16.5*,."tan 0=- n371 EosB=s咖C=号omsB= nn16,5-1 0.1376.又0为概角，.0=7.8 又0<B<π，∴b=开 3 答案：7.8 (2)第1步：求A 5.解析：如图所示：记AB=c, AC=bBC=a 由D样A=-B-C=晋， 法一：由余弦定理可得，22十 第2步：利用正缤定理得出a,心的关系 b2-2×2×bXc0s60°=6， 由正弦定 因为b>0,解得：b=1十3， sin A sin C,得a 由S△x=S△AiD+S△MDB 4 可得， 第3步：利用三角形面积公式求 号×2 sin60=号X2 XADX sin30+号XADX8X ·△ABC的面积S=】 ucsin B=1+2×号=3+5， sin30°， 得=22 解得AD=36 23(1+2=2. 9.解：(1)第1步：利用二倍角的正孩公式化简 1+6 3+√3 由是知，2snB·cosB-马sB 故答聚为：2. 又A为钝角，所以B为锐角， 法二：由余弦定理可得，22十b2一2×2×h×0s60°=6，因为 b>0,解：b=1十3， 故osB0.所以2nB= 6 2 第2步：利用正弦定理建立a,b,A,B的关系，从而计算出A 由正孩定理可得，60=snB一nC,解得：sinB 的正弦值 mc-号 又146 后B品品所以mA= 7 因为1十3>V6>√2，所以C=45,B180°-60°-45=75°. 第3步：由角的范围及正弦值求出角A 义∠BAD=30°，所以∠ADB=75, 即AD=AB=2. 又A为能角，所以A-子 故芸紫为：2 答案：2 (2)若选①，进合1)得2mB=9×7:所以mB=B 6.解析：设CD=2BD=2m>0. 则在△ABD中，AB形=BD+A序-2BD·ADms∠ADB=m2+ 受A+B= 4十2m, 则△ABC不存在，所以条件①不符合要求，故不选择条件①」 在△ACD中，AC=CD+AD3-2CD·ADeos∠ADC=4m 若选的，第1步：由网角三角西数的基本关弧及正弦定理求 十4一4m 出b 所以A _4m2+4-4w_4(m+4+2m)-12(1+m)=4 ABm2+4+2m m+4十2m 由莲知血mB-酒 144 详解答案 支mAnB中之 ,所以b=3 又DB=DC, 23 sin3 14 所以E=号×DAX DBX sin∠ADB+号xDAx DCx sin 第2步：利用诱导公式及两角和的正盆公式求i加C 又C=r一(A十B),所以sinC=sin(A十B)=sin Acos B十cos Asin B= 解得a=4,即BC=4,则DB=DC=2. 在△ADB中，由余弦定理得2=DB+DA2-2DB·DA· 149 os∠ADB=7,即c=7. 第3步：利用三角形面积公式得结果 在△ADB中， 所以56e=名血C-名×7X3x5-15 4 由余弦定理的推论得cosB=DB十-DA_5匠 2DB·c 14 若选③，第1步：由已知求出G 由随知c…5所以c= 又在钝商△ADB中，B∈(0，受) 第2步：由余孩定理建立方程求出b 财inB=V个-osB=y2 14 由a2=+2-2bco5A得，49=2+25+5b.即(6+8)(b 3)=0, 故tanB-目 解得=3（负值舍去）. 法二：过点A作AE⊥BC于点E,如图， 第3步：利用三角形面积公式得站果 所以S=inA=号×3X5x号-l15 2 10.解：(1)法一：A十B=3C,且A十B十C=x, D E C- 2sin(A-C)=sin B. 在R△ADE中，∠ADE=答AD=1, “2in(A-平）=in(A+平)（提示：求出角C后用sinB 则AE=.DE= =sin(A十C)转化为A), 化简得1anA=3. 又Sar-号CXAE,即安a×号-尽，解得a=4, A∈(0，）∴mA=3 10 所以DB=DC=2,BE=DB+DE=号 法二：'2sin(A一C)=sinB. .2sin(A一C)=sin(A十C)(方法：求出角A与角C的关 在△ABE中，mB=能-复 系)， (2)因为∠ADB+∠ADC=π， .2sin Acos C-2cos Asin C 所以cos∠ADB+cos∠ADC=0, =sin Acos C+cos Asin C. 在△ADB与△ADC中，由余弦定理的推论得 sin Acos C=3cos Asin C.tan A=3tan C. A十B=3C,且A十B十C=r· DB+DA:DCDA0. 2DBX DA 2DCXDA C=年anA=3amC=3. )广+-2（-公 A∈(0，人mA-3 101 2×受×1 2×号×1 (2)法-：在△AC中，由运孩定理品=入 =豆+2-(+ a 得BC=35. -=0 mB=m(A+晋）=3×号+×竖-2 文6+2=8，解得a2=12 10 5 在△ABC中，由余孩定理的推论得 ∴AB边上的高h=BC:血B-35X25-6 osA+d82是-一是 2bc 2be 法二：在△ABC中，过点B作BH⊥AC于点H 在△ABC中，由三角形而积公式得 B 后=Sa=mA 化商可得snA=23 3m 又sA=是 3m 所以anA=升-后 设AH=m,则BH=CH=3m(提示：利用tanA=3以及 A∈(0，x), C=开表示出各边长)， 所以小-子则@mA=一名一忌得众=4 1 在R△ABH中.m2+(3m)2=25,解得m=四 2 解方程组亿十(=8·可得6=6二8。 设AB边上的高为A:由等面款法得号AB·A=子AC· 12.解：(1)由题意得sin2B+sin Asin2B=c0sA+c0s Acos 2B. BH,即5·h■4m·3m=30,解得h■6. 则sin2B=eosA十cos Acos2B-sin Asin2B 1L,解：(1)法一：由题高得S△A=SAB十SAA =C05A十c0s(A十2B) 因为∠ADC-吾，所以∠ADB-要 =s[x-(B+C)]+0s[π一(B+C)+2B] =-cos(B+C)-cos(B-C) 145 五年高考真题分类集训 数学 =-2c0s Bcos C. 所以2 sin Bcos B=-2c0 s Beos C, +(台）-6 cos B(sin B+cos C)=0. △BCD中，cosC= ④ 由已知条件得1+c0s2B≠0，且B∈(0，π)， 2a…号 所以B≠受可得c0sB≠0， ③=④ 所以nB=-osC=且Be(o,受）U(受： (a2+8-2)=3[2+(台)）-] 所以B=吾或晋 基理得公+F-=3+号-弥， 又C-要，所以B-吾 ∴2a2-号+=0 .=ac, (2)由(1)知simB=-c0sC>0,剩B=C-受， .6a2-11ae+32=0. 所以sinA=sin(B+C)=sim(2C-2）=-cos2C, 山正孩定理得 若a=亏时=r= 3· hsinA+sin'B sin'C 则cOs∠ABC-0+2- 2·4· -cos'2C+cos'c 7 sin'C (1-2sin'C)+(1-sin'C) sinC =2+4sin'C-5sin'C 7 c+c-g sinC =6含). ≥2高rc-5 则cos∠ABCa+2- =42-5, 、具2+22子2 2 7 当且收自C-号，等号成 3r2 =312 所以十的最小值为4反-5。 15.解：1)osA=+-d。-=4+-9c=3 26c 2 4c2 7 13.解：(1)依题意，在△ABC中， “cosC=是，sinC=-coC=专 (2)使题意，正孩定理+nBmC之sinB=2sinC 由4a=√5，结合正法定理可得4sinA=5imC, 代入讲其：4如C一如C=1→如C-号对血B=号 5 当B为镜角时，sinA=sin(B十C)=sin Beos C-十cos Bsin C 2由1可知.mC-号>0msC-号>0a-5 =名×2+6×1-4+5 5 c, 3 3 3 3 9 A<C<,c0A-Tsin-25 =4②-5 b 4 3 在△ABC中，sinB=sin[x-(A+C)]=sin(A+C)=sinA sin A-sin B-sin C 6=82-25 C叶in C.-寻a+25-1.5合=5c,可 51 .∠△ABC=42-√5+3 求得a=5. 当B为钝角时，sinA=sin(B+C)=sin Beos C+cos Bsin C △ABC的面教S-nC-支X5XI1X号-2 =号×29×号-4， 3 3 3 9 14.解：运明：在△ABC中n折① AC =4E+5 6 3 :'BDsin.∠ABC=asin C, .BD "sin C sina∠ABC·② sin A sin li si C 3 联200释部C,即a-6:D, ∴∠△ABC=42+5+3 16,解：选① =ac.BD=b. (1)由余孩定理a2=2+2-2hkc0sA.b=11-a,c=7. 择a2=a1-a+49-211-a)×7×(-号） 2 a=8. 6 (2):csA=-号A∈0.a.siA=1g 3 a 由正孩定理4。 sin Asin C' (2)若AD=2DC, △ABC中，osC+F-E 2·a·6,③ 得血C-物4_7x 4 8 2 146- 可 详解答案 由(1)知6=11-a=3, 19.解：(1)在△ABC中，由余孩定理及a=22,b=5,c=√13， 有mC=兰-号.又因为Ce0.所以C=亭 选 DosA=gAe(o,号）mA-3 (2)在△ABC中，由正孩定理及C=于a=2E.c=丽， 81 ”omsB-是Be(o,受）mB-5 可得sinA=4sinC_2I3 13 16 由正张定理后名 3)由a<及如A=2,可得mA=V个A 得“=4a=6. -3/13 13 3757 8 16 连5n2A=2AmsA-号os2A-2mA-1-言 (2)sin C=sin(-A-B)=sin(A+B)=sin Acos B+cos A 血B- 所以m2A+子)m2Am际子+am2n子-吕×号 4 a+b=11.a=6,.b=5. +×号- 26 .Soue-uhin C 4 专题七平面向量 17,解：1)如图1， D为BC的中点，BD=DC 考点14平面向量的线性运算与基本定理 “∠A=90,SC-2AC·AB. 题组 1.C因为存在不全为0的实数，2，，使得OP十 :DFLBC.∴SamF=ZDC·DE. OP2+入OP=0,所以OP,OP,OP共面.只要三点对应的 由AC=DF,Saw=SAF,释AB=DC=BC 向量共面就有(0,0,1)∈0，否割就能得到(0,0,1)任2.对于 选项A,(0,0,0)对应的向量是零向量，零向量与任意向量共 在Rt△ABC中，∠A=90°，.ACB=30°， 线，故三点对应的向量共面，不能推出(0,0,1)任Q,故A错 ,∠ABC-60 溪：对于选项B.若(1,0,0)，（一1,0,0》E2,且(1,0,0）， (一1,0,0)两点对应的向量共线，所以(0,0,1)可以属于，故 B错误：对于选项C,显然，(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)三点对 应的向量不共面，故可以推出(0,0,1)廷0，故C正确：对于选 项D,(0,0,一1)与(0,0,1)两点对应的向量共线，(1,0，D), (0,0,一1)，(0,0,1)三点对应的向量共面，故不能推出(0,0， 1)任，故D错误.故透C, 2.D图为a十b十c=0,所以a+b=-c 图 图2 即a2++2a·b=c2,即1+1+2a·b=2, (2)如图2. 所以a·b=0. 设CD=a,则BD=3CD=3a,BC=CD十BD=a十3a=4a. 如图，设OA=a,OB=b,0-c, 在R1△ABC中，∠A=90°，∠ABC=45", 由题知，OA=OB=1,OC=w2,△OAB是 .DF=AC=2√2a. 等腰直角三角形， 在Rt△DFC中，FC=√CD+DF√a+(22a)2=3a 在Rt△FDB中，FB=√BD+DF-√(3a)+(2√2a)2 AB造上的高0D-号.AD-号， 17a. 所以CD=G0+OD=2+2=32 在△FBC中，由余孩定理，得cos∠CFB=FB+FC-BC 22 2FB·FC tan∠ACD=AD_L =（17a)2+(3a)2-(4a)257 2X/17a×3a 51 m5∠ACD=3 10 18.解：(1)由正孩定理祥2 sin Bsin A=3sinA. o8a-c,b-c>=cas∠ACB=cas2∠ACD=2cs∠ACD-1 故sinB=,由题意得B=受 2 =2×(-1= /10 2)曲A+B+C=x得C=要-A 故选D. 3.B法一：以(AB.AD为基底向量，可知AB1=|AD=2, 由△ABC是锐角三角形得A∈（日，受）： AB.AD=0. 南omsC=m(经-A）=-言sA+受nA释 则武-E成+胶=2A苏+A市.成=E+币=-A成 A十osB十oC=号mA+mA+ +AD. m(A+晋)+(，] 所以成·E市-（号A店+A)·(-A店+AD)- 收oms+omB+csC的取值花国足(，] -A弦+A市=-1+4=3： 法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系， 147