专题6 考点13 解三角形 题组1 -【高考密码】备战2025年高考数学2020-2024五年真题分类汇编

。 专题六 三角函数与解三角形 考点131 解三角形 题组一 起录: 一、选择题 6.(2020·北京适应性考试)在△ABC中,a-4. b-5.c-6,则cosA- 1.(2024·全国甲卷·理)在△ABC中,内角A.B. ,△ABC的面积 为 ③ 三、解答题 sin A+sinC ( _ 1 7.(2024·天津卷)在△ABC中,角A.B.C所对的 A.23 13 边分别是a,b.c.已知cosB- 3 D (1)求a的值; (2)求sinA的值; 2.(2023·全国乙卷·文)在△ABC中,内角A,B (3)求cos(B-2A)的值. C的对边分别是a,b,c,若acosB-bcosA=c,且 C-,则_B= C __ B} 0 ) 3.(2020·全国卷II)在△ABC中,cosC- ,AC -4,BC-3,则cosB= ( ) ### C 二、填空题 8.(2024·新课标II卷)记△ABC的内角A,B.C 4.(2022·浙江卷)我国南宋著名数学家秦九韶,发 的对边分别为a,b,c,已知sinA+3cosA-2. 现了从三角形三边求面积的公式,他把这种方法 (1求A; 称为“三斜求积”,它填补了我国传统数学的一个 (2)若a-2.②bsinC-csin2B,求△ABC的 空白,如果把这个方法写成公式,就是S一 周长. 1][^-()]),其中ayb,c是三角 形的三边,S是三角形的面积,设某三角形的三 边a=v2,b-3,c-2.则该三角形的面 积S一 5.(2021·浙江6月卷)在△ABC中,B=60*, AB-2,M是BC的中点,AM-23,则AC ;cosMAC- 2③ 35 五年高考真题 分类集训 数学 9.(2023·全国甲卷·文)记△ABC的内角A,B,C 11.(2023·全国乙卷·理)在△ABC中,已知 BAC-120*,AB-2,AC-1. cosA (1)求sinABC; (1)求bc; (2)若D为BC上一点:具BAD-90^{*,求 △ADC的面积 acos B十bcosA c 10.(2023·天津卷)在△ABC中,角A,B,C所对 的边分别是a,b,c.已知a=39,b-2,A 12.(2022·新高考II卷)记△ABC的内角A,B,C -120{. 的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三 (1)求sinB的值; 个正三角形的面积依次为S,S,S.已知S (2)求;的值; S.十S (3)求sin(B-C). 3sinB-1. 3 (1)求△ABC的面积; (2)若sin Asin C-. 2},求. 36 1五 专题六 三角函数与解三角形 13.(2022·全国乙卷·理)记AABC的内角A、B. 15.(2021·新高考II卷)记△ABC的内角A,B,C C的对边分别为a、、c,已知 的对边分别为a,b,c.已知b-a十1,c=a+2. sin Csin(A-B)-sin B sin(C-A) (1)若2sinC-3sinA,求△ABC的面积; (1)证明:2②-b2+c2; (2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角 形?若存在,求a;若不存在,说明理由, 14.(2022·北京卷)在△ABC中,sin2C=3sinC (1)求C; (2)若6-6,且△ABC的面积为63,求△ABC 的周长. 37 五年高考真题 分类集训 数学 16.(2021·天津卷)在△ABC中,角A.B,C所对 17.(2020·新高考I卷)在①ac=3,②csinA-3. 的边分别为a,b,c,已知sinA:sinB:sinC- ③c一③这三个条件中任选一个,补充在下面 2.1:/②,6-/②. 问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若 (1)求a的值: 问题中的三角形不存在,说明理由. (2)求cosC的值; 问题:是否存在△ABC,它的内角A,B.C的对 (3)求sin(2c-")的值. 边分别为a,b.c,且sinA-3sinB.C-. ? 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答 计分, 38详解答案 13,解析：将函数y=3sm(2x十开)的图象向右平移若个单位长 6解折旅样余微定理，得mA十装活-是 2bc 度，得到y=3m[(c-晋)十]-3(2x一是)的图象，由 :mA十cdA=l,i血A=巨（负值已含去》. 2江-受=受十长乙，得对林轴方程为x费+之：Z 头中与)精最近的对格的方程为。一一器 六5w-号mA=号X5X6×9-155 1 4 答案：是15 4 答案=一贸 解，①由=号得a=号 2 14.解析：由题意知f(x)的定义城为{xx≠kπ，∈Z},且关于原点 对称又f-)=血(-)+-（血x十） 由余孩定理得d+2-8=2amsB,即合2+2-25=2·号 一f代x),所以孟数f代x)为奇函数，其图象关于原点对称，所以① 为餐命题，四为真命题.图为（受-）=血（受-）十 得2-25=2得=6, 1 血（受-） =asx+f(受+)=血（受+）+ 故a= 3=4 1 mx十所以（受+）-f(受一-小所 (2②)图为sB=是，所以如B=个-万=5 9 16 m(受+) A品B中A5得血A 由正孩定理得“ 以画数f八)的图象关于直线x=受对称，③为真命题，当血工 mA571 16 <0时，f(x)<0,所以④为假命题， (3)因为a<b,所以A<B,则0sA>0, 答案：②③ 由smA=7 考点13解三角形 得mA是， 题组一 则ms2A=2m时A-1=g血2A=2如AsA-3 8 1C由正孩定理得号血A如C=前B,周为B=子，所以血 A如C合证B=子由余滨定理得份-2+2-2ac·mB= tmB-2Aw=mBa2M+血Bm2A-是×号+昭× 9 37_57 864 G+2-ac=是ac,所以r+2=是ac,所以s赋A+C=号 8.解：1)解法一（辅助角法）第1步：利用辅助角公式化简已知 等式 sin Asin C.所以(sA+mC2=sim2A+si2C+2 sin Asin C-2斗 4 由血A+V5msA=2,得号如A+号心 2c0sA=1, sin Asin C-7,又simA0,inC>0,所以sinA十sinC=号. 所以mA+子)=1. 2.C由题意结合正弦定理可得sin Acos B-sin Boos A=simC, 第2步：判断角的范围，求出角A的大小 sin Acos B-sin Boos A=sin(A+B)=sin Acos B+sin Beos A. 整理可得sin Bcos A=0,由于B∈(0，x),故sinB>0, 周为0KAK,所以晋<A十晋<号 将此可得A=0A-受剥B=A一-C=一受-号-器 所以A+号-受，故A-若 故选C 解法二（同角三角函数的基本关系法） 3.A由余孩定理得AB形=AC+BC-2 ACX BCX co5C=16+9 第1步：利用同角三角函数的基本关系求snA的值 -2X4X3X号-9AB-3,所以mB-9生g6-号故选N 由sinA+√3cosA=2,得，3cosA=2-sinA, 2×9 两边同时平方，得3cos2A=4一4sinA十sin2A, 4,解析：周为a=√2，b=5,c=2, 则3(1一in2A)=4一4sinA十simA, 片以s√F-(刃 整理，得1一4sinA+4sim2A=0. 1 x2-(= 所以(1-2snA)2=0,则snA=2 4 第2步：求角A的大小 答案：四 国为0<AK,所以A=吾减A=。 4 5解析：Af=AB+BE-2BM·BA·cosB, 当4一若时，血A+50sA-2成立，特合条件 中12-4+Bf-2BM2·2 当A-晋时，血A+5csA=2不成立，不持合条件 所以Bf-2BM一8=0→BM=4,所以BC=8 所以AC=AB+BC-2AB·BC·cosB=4十64-2·2·8· 数A=后 2=68-16=52,故AC-21E 解法三（同角三角画数的基本关系法）第1步：利用同角三角面 数的基本关系求DsA的值 由余弦定理得cos∠MAC= ACe+AM-MC 由simA+√3cosA=2,得sinA=2-√3cosA, 2AM·AC 两边同时平方，得sin2A■4一4√3cosA+3cosA 52+12-16_=48=2/39 则1-c0s2A=4-4√3c0sA+3c0s2A, 2×2V13×2138√39131 整理，得3-43cosA十4cos2A-0, 答案：2√/323级 13 所以(5-2m心=0，则mA-号 141 五年高考真题分类集训 数学 第2步：求角A的大小 1239 图为0<A<,所以A=吾 26 (2)第1步：利用正弦定理求B的值 故sin(B-C)=-sin Beos C--cos Bsin C=厘x33E 13 26 由，2 bsin C=csin2B,得2 bsin C=2 csin Bcos B, 23细×53-7E 由正接定理，得/2k=2bosB,所以cosB= 13 26 26 2 11.解：(1)由余弦定理可得： 因为0<B<,所以B=子 BC2=a2=2+c2-2 bccos A=4+1-2×2×1×cos120 =7, 第2步：利用两角和的正弦公式及三角彩的内角和定理求si即C 的值 则BC-万，osB=+2-27+4-15E 2ac C=-A+B围=登， 2×2×714, 所以血C=血登=a(肾+）=如吾w子十m吾如 2 XABXADXsin 90 -×号+×号-6 (2②)由三角形面积公式可得4如 4 S△AD 1 xACXADXsin 30' 第3步：求△ABC的周长 2 b =4, 解法一（基本量法）由正孩定理ABmC得6 asin B 2如 =22, 12.解：(1)由三角形的面积公式得S1= sin A 7开 网理S,-,5- 4 4c. asin C2sn12=6+反 sin A 5-+5-县， 所以△ABC的周长为a十b十c-2+√6+32. 。-+-, 解法二（整体思8）由正孩定理入品BC得品入 a2+2-2=2. a+b+c =4, 如 由余定理的推论得@B=2十-品-品>0 6 所以a+计。=4(A+如B叶血G0=4X(合+竖+6中） aoB-m万-√-（传》- 3 4 12 =2+6+3√2. ac 3,ac-3 41 所以△ABC的周长为2十√6+3√2. 9解：（)因为。2-+2-2asA,所以+上一2_2o08A △ABC的面积S= acB=×32x号- 38 2b=2,解得：6c=1. (2)由三角形的面积公式得△ABC的面款S=之absin C, (2)由正弦定理可得acB-esA acos B-++boos A 由正丝光理品品Ba=始合 sin B sin Acos B-sin Beos A sin B sin Acos B+sin Bcos A sin C sin B =s血(A-B) sinB =血(A-B)mB=1, sin(A+B)sin(A十B) sin(A+B) sin B 变形可得：sin(A一B)一sin(A十B)-sinB, 即-2 cos Asin B=sinB, 而0<inB≤1，所以c0sA=一2 8 3 又0CA<,所以mA= 21 即8=6=合奥). l3.解：(1)证明：已知sin C sin(A一B)=sin Bsin(C-A)可化简 故△MBC的面积为S6c=名mA-子X1X号-号 为 241 sin Csin Acos B-sin Ccos Asin B=sin B sin Ccos A-sin B 39 2 10.解：)由正狱定理可得AmB即n1四mB解得： cosCsin A, 由正弦定理可得accos B-bccos A=becos A一abcos C,即 B=13 accos B-2bccos A-abcos C, 13 (2)由余弦定理可得，c2=+e2-2 csin A,即39=4+2-2X2 由余徐定理可得ae。+8=2次2+-d 2ac 2bc ex(-) a62+C,即证2a-8+2. 2ab 解得：c=5或c=-7(舍去). 3 (③)由正弦定理可得，AC即2如 5 C,解得：sn 2)由(1D可知∥+2-2a2=50,cosA2+之-a2_50-25 c=5压，而A=120, -2c=1 26 :b+c2+2bc=(b+c)2=81,b+c=9,∴a+b+c=14, 所以B,C都为锐角， .△ABC的周长为14. 142 可 详解答案 14.解：(1)由题设，2 sin Ceos C=√3simC 由sinA=√3sinB及正弦定理得a=√3b. 因为0<∠C<π，所以simC≠0. 从mC-号 于是士二三一冬，由此可得6一幻 2v362 由③c=√3b,与b=c矛盾。 所以∠C=吾。 因此，选条件③时问题中的三角形不存在 题组二 (2)由△ABC的面积为6，得之anC=6瓦 1.C法一：连接AC,BD交于O,连接 PO,则O为AC,BD的中点，如图， 又周为6=6，s血C=子 因为底面ABCD为正方形，AB=4, 所以a=4√5. 所以AC=BD=4√2，则DO=CO= 由余弦定理c2=a2+-2 abeos C,得c=25. 22, 又PC=PD=3,PO=OP,所以 所以△ABC的周长为a+b十c=6十6√3. △PDO≌△PCO,刚∠PDO 15.解：(1)，'2inC=3sinA,由正孩定理得2c=3a =∠PCO, 又'c=a十2，.a=4,c=6, .b-a+1=5, 又PC=PD=3,AC=BD=42,所以△PDB≌△PCA,则 c0sC=a2+-2-16+25-36=1 PA=PB. 2ab 2×4×5 8 在△PAC中，PC=3,AC=42,∠PCA=45", Ce(0,),sinc-37. 则由余弦定理可得PA=AC十PC一2AC·PCcos,∠PCA=32 8" se=2×4X5x3-15 +9-2x4Ex3x号-1n 故PA=17,则PB=√17， (2)显然e>b>a,要使△ABC为纯角三角形，则只需角C为 故在△PBC中，PC=3,PB=√17，BC=4, 纯角， osC-42+aD2-（a+2)2<0. 所以cos∠PCB=PC+BC-PB9+16-17_1 2PC·BC 2X3X4=3 2a(a+1) pa2-2a-3<0,∴.0<a<3. 又0K∠PCB<,所以sin∠PCB=-os∠PCB=2E, 文，a十a十1>a十2， a>1,.1<a<3. 所以△PBC的面积为S=号PC,BCn∠PCB=号×3X4 a∈Z,a=2, .存在正整数a=2使得△ABC为钝角三角形. ×2E=42 3 16,解：(1)因为sinA1sinB:sinC=2:11√2，由正孩定理可 法二：进接AC,BD交于O,连 得atb1c=2t1t√2，：b=2,a=22,c-2; 接PO,别O为AC,BD的中 (2)由余孩定理可得0sC=。+-2.8+2-4 点，如图， 2ab 2×2√2X,/2 图为底面ABCD为正方形， AB=4,所以AC=BD=42, 在△PAC中，PC=3,∠PCA (3osC-是mC--sC-只， =45°， 则由余缤定理可得PA2=AC sn2C-2 sin oc-2x9×是-3g +PC-2AC·PCcos.∠PCA= I.cos 2C-2cosC 32+9-2X4E×3×号=17，故PA=m -1=2x是-1=日，所以sm(2c-若）=sim20cos吾 所以cos∠APC-PA+PC-AC-17+9-32-7 w20吾-3x9-×-3 2PA·PC 2×/17X317' 16 则PA·P元=|PA1 PCI cos∠APC=7X3X 17,解：方案一：选条件①. 由C=晋和余孩定理得十一之-区 （)-3, 2ab 2 不妨记PB=m,∠BPD=8, 由sinA=3sinB及正孩定理得a=3b, 于是当之-号由光可得6= 因为P而-是(+P心)-(P+市) 2362 所以(PA+PC)2-(PB+PD)2, 由①ac=3,解得a=√3，b=c=1. PA2+PC2+2 PA PC-PB2 +PD:+2 PB.PD, 因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时=1， 则17+9+2X(一3)-m2+9+2X3×mcos0,整理得m2+ 方案二：选条件②. 6mc0s0-11=0①， 由C-晋和余孩定理得+-上-区 又在△PBD中，BD=PB+PD-2PB·PDos∠BPD,即32 2ab 2 =m2+9-6mc0s0,则m2一6mc0s0-23=0②， 由sinA=√3sinB及正弦定理得a=√5b. 两式相加得2m2一34=0，故PB=m=√17， 于是3动+-2区 故在△PBC中，PC=3,PB=√17，BC=4, 2362 2 所以cos∠PCB-PC+BC-PB_916=1- 由光可得6=6，B=C=晋A= 2PC·BC 2×3×4 3 由②cinA=3,所以c=b=2V3,a=6. 又0C∠PCBK,所以sm∠PCB=V-Os∠PCB=2,2 因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时=2√3， 所以△PBC的面款为S=合PC,BCn∠PCB=宁×3X4 方案三：速条件③ 南C-各和余张定现得+兰-号 ×2E=4反.故选C 3 2ab 143