专题5 考点9&考点10 导数的综合应用 题组1 -【高考密码】备战2025年高考数学2020-2024五年真题分类汇编

专题五导数的运算与导数的几何窟义 专题五 导数的运算与导数的几何意义 考点9导数及其应用 题 组 用时： 易错记录： 一、选择题 9.(2020·全国卷I)曲线y=lnx十x+1的一条 1.(2024·全国甲卷·理)设函数f(x) 切线的斜率为2，则该切线的方程为一 +2sin1,则曲线y=了x)在点(0.1)处的切线 三、解答题 1+x2 10.(2020·新高考I卷)已知函数f(.x)=ae1 与两坐标轴所围成的三角形的面积为( In x+In a. A B号 (1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积： c n号 (2)若f(x)≥1，求a的取值范围. 2(②023·全国甲卷·文)曲线y=千在点(1， )处的切线方程为 Ay女 By=气 + C.y=9 D.y-gr+e 4 3.(2020·全国卷1)函数f(x)=x-2x3的图象 在点(1，f(1))处的切线方程为 A.y=-2.x-1 B.y=-2.x+1 C.y-2.x-3 D.y=2x+1 二、填空题 4.(2024·新课标I卷)若曲线y=e+x在点(0， 1)处的切线也是曲线y=ln(x十1)十a的切线， 则a= 5.(2022·新高考I卷)若曲线y=(.x+a)er有两 条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 6.(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y=lnx过坐标原点 的两条切线的方程为 7(2021·全国甲卷)曲线y=号在点（一 一3)处的切线方程为 8.(2021·上海卷)已知fx)=3+2,则厂1(1) -17 五年高考真要分类集训 数学 考点10 导数的综合应用 题组一 用时： 易错记承： 一、选择题 6.(2021·全国乙卷)设a≠0，若x=a为函数f(x) 1.(多选)(2024·新课标I卷)设函数∫(x)=(x =a(.x一a)2(x一b)的极大值点，则 () 1)2(x一4)，则 A.a<b B.a>b A.x=3是f(x)的极小值点 C.ab<a2 D.aba2 B.当0<x<1时，f(x)<f(x2) 二、填空题 C.当1<x<2时，-4<f(2.x-1)<0 7.(2021·新高考Ⅱ卷)设函数f(x)=e-1|, D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x) x1<0,x2>0,曲线y=f(x)在点A(x1,f(x1) 2.(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(.x)=2.x 处的切线与在点B(x2,f(x2)处的切线互相垂 -3a.x2+1,则 A.当a>1时，f（x)有三个零点 直，且分别交y轴于点M,N,则剑的取值范 B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点 围是 三、解答题 C.存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对 称轴 8.(2024·全国甲卷·文)已知函数f(x)=a(x 1)-lnx+1. D.存在a,使得点(1，f(1)为曲线y=f(x)的对 (1)求f(x)的单调区间： 称中心 (2)当a≤2时，证明：当x>1时，f(.x)<e-1恒 3.(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=ae一lnx 成立 在区间(1,2)单调递增，则4的最小值为() A.e2 B.e C.e-1 D.e-2 4.(多选)(2022·新高考I卷)已知函数f(.x)=x 一x十1，则 () A.f(x)有两个极值点 B.f(x)有三个零点 C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D.直线y=2.x是曲线y=f(x)的切线 5.(2022·新高考1卷)设a=0.1e.1,b=1 -ln0.9,则 A.a<<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b 18 可 专题五导数的运算与导数的几何意义 9.(2023·全国甲卷·理)已知f(x)=ar sin t cosr' 0,(2022·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C,二-岁3 xe(o,)】 1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),渐近线方程 为y=士3.x. (1)若a=8,讨论f(x)的单调性： (1)求C的方程： (2)若f(x)<sin2.x恒成立，求a的取值范围. (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A, B两点，点P(x1,y1),Q(x2,2)在C上，且 1>x2>0,y1>0.,过P且斜率为一√3的直线 与过Q且斜率为3的直线交于点M.从下面① ②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立. ①M在AB上：②PQ∥AB:③MA=|MBI. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解 答计分. 19 五年高考真题分类集训 数学 11.(2022·全国乙卷·文)已知函数f(x)=a.x- 13.(2020·浙江卷)已知1<a≤2，函数f(.x)= -(a+1)In e-x一a,其中e=2.71828…是自然对数的 底数」 (1)当a=0时，求f(x)的最大值： (1)证明：函数y=f(x)在(0，十c∞)上有唯一 (2)若f(.x)恰有一个零点，求a的取值范围. 零点： (2)记x0为函数y=f(.x)在(0，+o)上的零 点，证明： (1)Wa-1≤xo≤/2(a-1): (i).x0f(e.)≥(e-1)(a-1)a. 12.(2020·北京卷)已知函数f(x)=12-x2 (1)求曲线y=f(x)的斜率等于一2的切线 方程： (2)设曲线y=f(x)在点(t,f(t)处的切线与 坐标轴围成的三角形的面积为S(t),求S(t)的 最小值. 20 可 专题五导数的运算与导数的几何窟义 14.(2020·全国卷I·理)已知函数f(.x)=e2+ 15.(2020·全国卷Ⅲ·理)设函数f(x)=x3+ ax2-x. bx+c,曲线y=f(x)在点（侵f(侵）)处的切 (1)当a=1时，讨论f(x)的单调性： 线与y轴垂直. (2)当x≥0时，f(x)≥2r+1,求a的取值 (1)求b: 范围。 (2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证 明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1. 21五年高考真题 分类集训 数学 14.解析:当a<0时,函数f(x)一一ax十1在(一o,a)上单调 液态,故选项B错误;当T-300,P-9987时,lgP-lg9987 递增,函数f(x)无最小值,不符合题意;当a一0时,函数 <lg10000-4,且此时lgP远大于3,趋近于4,由图象知二 f(x)=-ar十1=1在(一xo,a)上恒为1,函数f(x)=(x一 氧化碳处于圈态,故选项C错误;当T-360,P-729时,3> 2){}在[a,十oo)上存在最小值f(2)一0,符合题意;当0 lP一lg729>2,由图象知二氧化碳处于超临界状态,故选项 a<2时,画数f(x)一一az十1在(一o,a)上单调递减,所以 D正确,综上所述,故选D. f(x)>f(a)--a2+1,&数f(x)-(x-2)?在[a,+co)上 2.C 将L-4.9代入L-5+lgV得lgV--0.1-- -10,所以 取得最小值f(2)一0,要使得函数有最小值,则雪满足-a^②} +1>0,解得-1<a1,即0<a<1;当a>2时,函数f(x) V-10-_1 1 =-ax十1在(一oo,a)上单调递减,所以f(x)>f(a)=- V10~1.259~0.8,故选C. a+1,函数f(x)-(x-2)②在[a,十o)上取得最小值f(a) 3.解析:由题图可知甲企业的污水排放量在1时刻高于乙企 一(a一2){},要使得函数有最小值,则需满足一a^{}十1一(a 业,而在t。时刻甲、乙两企业的污水排放量相同,故在[t,[] $,即2a}-4a+3<0,△-(-4)②-4×2×3--8<0,所 这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强,故①正确; 以此不等式无解,不符合题意,综上所述,实数a的取值范围 由题图知在1。时刻,甲企业对应的关系图象斜率的绝对值大 是0 a<1,a的一个取值可以为0(答案不唯一),a的最大 于乙企业的,故②正确;在么。时刻,甲、乙两企业的污水排放 值为1. 量都低于污水达标排放量,故都已达标,③正确;甲企业在 答案:0(答案不唯一)1 [0,],[,2],[,]这三段时间中,在[0,]的污水治理 15.解析:因为/()--(){+2-7. 能力明显低于[t,]时的,故④错误。 答案:①②③ 所以/(#())-#()-+4-1- 专题五 导数的运算与导数的几何意义 易得f(x)在(一oo,0)上是增函数,在(0,1)上是减函数,在 考点9 导数及其应用 (1,+oo)上是增函数,且/(-1)-1,f(0)-2<3,f(1)=1, 题组 则令x+--1=3(x→0),得=2+3.所以当a--1,6- 1.A f()-(e+2cos z)(1+)-(er+2sin z)·2x (1十)2 2+3时,b一a取得最大值,为3十③ 所以f(0)-3,所以曲线y-f(x)在点(0,1)处的切线方程 答案:行 33 分别为(0.1).(一-.0),所以切线与两坐标轴所因成的三 为y-1-3(x-0),即3x-y+1-0,切线与两坐标轴的交点 16.解析:'.'函数g(x)是定义域为R的奇画数.i.g(0)-0。 角形的面积为xi#一#故选A. '①正确..g(2-x)+g(x)-0..当x-0时,g(2)+g(0) -0,解得g(2)-0;当x-1时,g(1)+g(1)-0,解得g(1) -0. 2.C 设曲线y-#在点(1,)处的切线方程为y-一# .函数g(x)是奇画数,i.g(-1)--g(1)-0,g(-2)- -g(2)=0.令x=-1,则g(3)+g(-1)-0, (r-1). 'g(3)--g(-1)-0.令x--2,则g(4)+g(-2)-0. 'g(4)--g(-2)-0..②错误. (r十1)2 “/(-)<0. (十1){ &.由题图可得0一r<1,解得一1<x<0.^,③正确。 所以 -yl---,所以y--(x-1) 答案:①③ 17.解:(1)第1步:代入求a .f(x)的图象过点(4,2)..'log。4-2,解得a-2 第2步:研究函数单调性解不等式 .故选C '.f(x)-logx,显然其在定义域(0,十oo)上单调递增, 3.B ·f(x)--2,.f(x)-4-6r*.i.f(1)--2 (2-2>0 又f(1)-1-2--1,所求的切线方程为y+1=-2(x- 由f(2x-2)<f(x)有x>0 ,解得1<x2. 1.即y=-2x+1.故选B. 2x-2x &原不等式的解集为(xl1<x<2) 4.解析:由题,令f(x)-e{十x,则f(x)-e十1,所以f(0)- (2)第1步:由等差数列得方程 2.所以曲线y=e十x在点(0,1)处的切线方程为y-2x+1. “.*f(x十1),f(ax),f(x十2)依次成等差数列。 令(x)-=ln(x+1)+a,则(x)-1,设直线y-2x+1 .2f(ar)-f(r+1)+f(x+2). 即2log.(ax)-log.(r十1)+log.(x十2),r>0,a>0. 且a1: 第2步:通过对数运算分离出a②} 1.,则yo-2xo+1-0,所以0=ln(-+1)+a,所 即log(ax)2-log.[(x十1)(x+2)],由f(x)-logx是单 调画数得(az)2-(x+1)(a+2),得*--2+3x+2-2× 以a-ln2. 答案:ln2 _2 5.解析:y'-e+(x+a)e-(x十a十1)e{,设切点为(x。,(x。 ()*+3x1+1,>o. +a)e),则切线方程为y-(x+a)e=(x+a十1)e( 第3步:运用函数的单调性求范围 -xo。).又切线过点(0,0),所以-(xo+a)e。=(x。十a+1) 设1-1,则t>o,a2}-2^2+3t十1在t>o时有解,设g(t)= (-x。),所以xo+a=x+ax。+xo,即+aro-a=0.$ 由题可知此方程有两个不相等的实数根,所以A一a②十4“> 2t*+3t十1,则g(t)在(0,+oo)上单调递增,故g(t)1.即 0.解得a-4或a>0,即a的取值范围为(一x,-4)(0; a>1,得a>1. 士). 'a的取值范围是(1,十oo) 答案:(-o.-4)U(0,+oo) 考点8 函数模型及实际应用 6.解析:设切点为(xo,yo),当x0时,由y'-一,得切线料率 题组 为 -1.又切线的率为,于是1-,解得yo-1,代 $. D 当T-220,P-1026时,lgP-lg1026 lg1000-3,由$ {二020 图象知二氧化碳处于围态,故选项A错误;当T一270,P一 $28时,3>lgP-lg128>lg100-2,由图象知二氧化碳处于 122 __ 详解答案 化为g(t)-2^*-32t+1-,由y-2--3^{}:为奇画$$ 可知,两条切线方程分别为y-1x,y=一 数,且其图象关于原点对称,可知g(2)的图象关于点(0,1一 ##)对称,则(1)的象关于点(一)对称,故存在。 7.解析:由题y2(x十2)-(2x-1)5 一2,使得点(1,f(1))为曲线y一/(x)的对称中心,D正确,故 (2),以在点 (十2)2 选AD. 解法二(二级结论) 任意三次函数/(x)一ax3十bx2十c十 (一1,-3)处的切线的斜率k一5,故切线方程为y十3-5( +1).即5x-y+2-0. d(azo)的图象均关于点(一#(一)成中心对称,D 答案:5x-y+2-0 正确.故选AD. .f(-3)-1→f1(1)=-3. 答案:-3 9.解析:设切点坐标为(ro,lnx。+xo+1).由题意得y-1+ 1,则该切线的斜率是-1+1-2,解得x。-1,所以切点坐标 a,即a的最小值为。-1,故选C. 为(1,2),所以该切线的方程为y-2-2(x-1),即y-2x. 答案:y-2x 4.AC 由题知,/(x)-3-1-(3x-1)(3x+1). 令/(s)-o,得x-士,所以画数/(2)在(1,+). ($1)当a-e时,fx)-e-lnx+1,f(1)-e-1, (-, )上单调增,在(-)上单调减,所以# 曲线y一f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y-(e+1)=(e-1)(x-1). 画数f(2)有两个极值点,分别为和-一,故选项 即-(e-1)x+2. 直线y-(e-1)x十2在x轴,y轴上的截距分别为二2,2. $#确:#为({1)---△+1-2+ 1, ()--+-+1-21→>0.-时.(n) (2)当0<a<1时,/(1)=a+lna<1. 当-1时,f(a)-e-1-lnx,f(z)-e-1-1 →-x,所以f(x)有一个零点,故选项B错误;令g(x) 3-x,则g(-x)--x3十x-g(x),所以点(0,0)是曲线 当x(0.1时,f(x)<0; y-g(x)的对称中心,将曲线y一g(x)向上平移1个单位长 当x(1,+oo)时./(x)0. 所以当x一1时,f(x)取得最小值, 度得到曲线一f(x),所以点(0,1)是曲线y一f(x)的对称中 最小值为/(1)-1,从而f(x)>1. 心,故选项C正确;令/(x)-3x*-1-2,解得x-士1,当x 当a>1时,f(x)=ae-1-lnx+lna>e-1-lnx>1 -1时,f(1)-1,y-2子1,不符合题意;当x-一1时,f( 综上,a的取值范围是[1,十oo). 1)-1,y-一2≠1,不符合题意,所以直线y-2x不是曲线y 一f(x)的切线,故选项D错误,综上,故选AC. 考点10 导数的综合应用 题组一 1.ACD 代数推理法十作差比较法.因为f(x)一(x一1){(x一 4).所以f(x)=2(x-1)(x-4)+(-1)=3(x-1)(x 3),令/(x)-0,解得x-1或x-3,当x1或x>3时, ln(1-x)]=x+ln(1-x).令n(x)=r+ln(1-x),xé(0. f(x)>0,当1<x<3时,f(x)<0,所以函数f(x)的单调递 0.1],则(c)-1-1--1- -<o,所以函数n(x)-x十 增区间为(-,1),(3,+o),单调递减区间为(1,3),故x 1是函数f(x)的极大值点,x一3是函数f(x)的极小值点,所 ln(1一x)在(0,0.1]上单调递减,所以n(x)<0,所以f(x)< 以A正确,当0{ 1时,x-r=x(1-x)>0,即0{ $ g(x),即b>a;令m(x)-f(x)-h(x)-xe+ln(1-x), r<1,又函数f(x)在(0,1)上单调递增,所以f(x})<f(x), 1(1+t)(1-x)e-1. 所以B错误,当1<x2时,1<2x-1<3,函数f(x)在(1, 3)上单调递减,所以-4-f(3)<f(2x-1)<f(1)-0,所以 1-1 令(x)-(1+x)(1-x)e-1,所以 (x)-(1-r2-2)e C正确,当-1{ x 0时,f(2-x)-f(x)-(2-x-1)(2$ >0.所以函数(x)在(0,0.1上单调递增,所以处(x)>走(0) x-4)-(r-1)?(x-4)-(r-1(-r-2)-(x-1)(x- -0,所以m'(x)>0,所以函数m(x)在(0,0.1]上单调递增, 4)-(-1)2(-2x+2)--2(x-1)>0,所以f(2-) 所以m(x)>m(0)一0,所以f(x)>h(x),即a>c.综上所述; f(x),所以D正确,综上,选ACD. >a>c,故选C. 2.AD由题可知,f(x)-6x(r-q) 6.D当a>0,f(x)大致图象如下图左所示,易得b>a>0.当a 对于A,当a>1时,由/(x)<0得0<x<a,由/(x)>0得 0.f(x)大致图象如下图右所示,易得0>a>b. 1<0或x>a,则f(x)在(一xo,0)上单调递增,在(0,a)上单 1 调递减,在(a,+oo)上单调递增,且当x→一oo时,f(x)→ ##7## .f(0)=1,f(a)=-a+1<0,当x→+oo时,f(x)→十 o,故f(x)有三个家点,A正确;对于B,当a<0时,由f(x) <0得ax<0,由/(x)>0得x>0或xa,则f(x)在(一 .a)上单调递增,在(a,0)上单调递减,在(0,十o)上单调 递增,故x一0是f(x)的极小值点,B错误; 对于C,当x→十0o时,f(z)→十oo,当x→-oo时,f(x)→ 综上所述,得ab>a^2,故答案选D. 一,故曲线y一f(x)必不存在对称轴,C错误; 7.解析:因为x<0,>0,所以函数f(x)在A(x,f(x))处 对于D,解法一(配方、平移)f(x)-2x3-3ar*+1-2(x 的切线方程为y=一ex十e十1一e,同理可得函数 #-(-)(#1-},#--,则(n)可转 f(x)在B(x,f(x))处的切线方程为y=e1r十e:-ne} -1,所以M(0,xe+1-e),N(0,e-xe-1).因为 123 五年高考真题 分类集训 数学 这两条切线互相垂直,所以一·e--+--1,解得 当#E(o,),即x(),/(2)<0. 当tE(,1),即xE(o),f(z)>0. 所以f(t)在(0,吾)上单调递增,在(吾,)上单调通减 答案:(0.1) 8.解:(1)第1步:求导函数 (2)设g(x)=f(x)-sin2x 因为f(x)=a(x-1)-lnx+1,所以/(c)=a-1 g $($)=f(x)-2cos 2x-g(t)-2(2cosx-1)= -1>0. (-a+2-4--3 第2步:分类讨论,求/(x)的单调区间 若a0,则f(x){0愧成立,所以f(x)在(0,+o)上单调递 减,即f(x)的单调递减区间为(0,十o),无单调递增区间; -2(-1)(2+2+3)。 ,) 若a→o,则当0<x<-时,f()<o,当x→-时,f(x)> 0.所以f(1)的单调遂减区间为(o,一),单调递增区间为 所以g(t)g(1)-a-3. (~). ①若a(-oo,3],g’(x)-g(t)<a-3<o 即g(x)在(o,吾)上单调递减,所以g(x)<g(0)-0. 综上,当a0时,/(x)的单调通减区间为(0,十o),无单调 所以当a(-oo,3],f(x)<sin2x,符合题意. 递增区间;当a→0时,/(2)的单调减区间为(o,士),单调 #(→---3(-)+1-0 ②若a(3,十oo) 递增区间为(,+). 所以e(t)→-xo.(1)-a-3>0. (2)解法一(放缩法) 第1步:利用a的范围放缩不等式,将 问题转化 所以t(0:1),使得x(to)-0. 因为a<2,所以当x>1时,e-1-/(x)=r-l-a(x-1)+ 即xo(o,吾),使得(x。)-0. lnx-1-1-2x+lnr+1. 令g(c)-{-1-2x+lnx+1,则只需证当x→1时g(x)>0. 当t(t,1),(t)>0,即当x(0,xo).g'(x)0,g(x)单 第2步:利用导数研究g(x)在(1,十o0)上的单调性,证明不 调递增。 所以当x(0,x。),g(x)>g(0)-0,不合题意. 等式 易知$’(n)-~-2+. 综上.a的取值范围为(一,3. (c一2. [a-1 10.解:(1)由题意得{ 解得-③, a+辞-2, 1-2, 递增, 则当x>1时,h'(x)>h'(1)-0,所以h(x)-g'(x)在(1. 十oo)上单调递增, 所以当x>1时,g’(x)>g'(1)-0,故g(x)在(1,+)上单 (2)设直线PQ的方程为y一kx十b(k士0),将直线PQ的方 调递增,所以当x1时,g(x)>g(1)-0,即当x>1时,f(x) 程代入C的方程得(3-h2)r?-2kbx-b2-3-0. <恒成立. 则+2-2 3-,-- 解法二(作差法直接求导证明) 第1步:作差并构造函数 设g(x)=a(x-1)-lnx+1-e1,只需证当x>1时g(x) 1-x2(x+22)-4r2o-23(6+3-b) 之0即可。 3-^2} 第2步:利用导数研究g(x)的单调性,证明不等式 设点M的坐标为(xM,M). 易知g’(y)-a-1-。-1. {y---3(cx-x)① 联立 y--v③(r-x),② ①②两式相减得y-y=2③x-3(r+x) 由基本初等函数的单调性可知h'(x)在(1,十o)上单调 而y-y-(kx.+b-(kx+b)-(x-x). 递减。 则当x>1时,h(x)<h'(1)-1-1-0. 故2v3x-(x.-o)+3(x.+x), 所以h(x)一g’(x)在(1,十)上单调递减 解得工-668+3-+h6 于是当x>1时,g(x)<g(1)-a-2. 3一起 又a2,所以a-2<0,则当x1时,g(x)<0,故g(x)在 ①②两式相加得2y-(y+y)-③(x一x”). (1,十)上单调递减, 而y+y=(kx+b)+(kx+b)=k(xì+x)+2b 所以当x>1时,g(x) g(1)-0,即当x>1时,f(x)<l 幅成立。 故2y-k(x+x)+3(x-x)+2. 9.解:(1)/(x)一 -cos r cos{ x+3sin x cos2 xsinr 3-) cos6x 故点M的轨迹为直线y-3x,其中&为直线PQ的斜率。 -_cos*x+3sin2:_-3-2 cos{ cosr cosx 若选择①②作为条件证明③: 令cos}x-t,则((0,1) 设直线AB的方程为y=k(x-2),A(xa,y),B(xn,yn). 则/(r)-g(t)--3-2t_ar2+2t-3 1y-3xrA, -2v3 , -3 当a-8,f(z)-g(o)-8+2+2t-3(21-1)(4t+3) 同理可得:-2^ 82v3 2 十③ 124 详解答案 42 f(1)-a-1-0, 所以f(工)有唯一零点,符合题意; [yM= (x-2), 当1时,<1,在(,).(1,+)上,f(2)→o, 而点M的坐标满足 3-3M 2“+是,- f(x)单调递增; 66 yA+28 解得x一3] 在(,1)上,f(2)<0,f(2)单调通减;此时/(1)-a 2 故M为AB的中点,即|MA 一|MBl. -10. 又#()--a”十n(a十1)ìna,当”趋近正无穷大 若选择①③作为条件证明②: 当直线AB的斜率不存在时,点M即为点F(2,0),此时M 不在直线y-3x上,不符合题意; 时,/()趋近负无穷, 当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y一 所以f(x)在(o,一)有一个零点,在(士,+oo)无零点, m(x-2)(m字0),A(rA.yA),B(xB·y). 所以f(x)有唯一零点,符合题意; 则 1-3rA. m-4~2v3 m-③ 综上,a的取值范围为(0,十). 12.解:(1)函数f(x)-12-x2的定义域为R,f(x)=-2x,令 同理可得2m # 823m f$()=-2x=-2,得x-1,.f(1)--2,又f(1)-11, m十③ .曲线y-f(x)的斜率等于-2的切线方程为y-11--2 此时x-4+82r^{ 2-3.-2+y6n (r-1),即2x+y-13-0. ($)由(1)知(x)=-2x,则f(t)=-2t,又ft)=12- 由于点M同时在直线y-3x上,故6m-3.2m^{, 所以曲线y-f(x)在点(t,f(t))处的切线方程为y一(12一 )-2(x-t),即y-2tx+r*+12.若t-0,则围不成三 解得k-m,因此PQ/AB. 角形,故0. 若选择②③作为条件证明①。 10A1-12,今-0,得 12,记B(“12-),则 设直线AB的方程为y-k(x-2),A(xA,yA),B(xB,y). 令x-0,得y-r2十12,记A(0,^*}十12),0为坐标原点,则 “。),一) 则{ 10142 2t 1-3xA. 一3 ③ .sc-10A11oB-(2+12). 设AB的中点为C(xc,yc). 4t .S()为偶函数: 则1-4+2起} 224+)86 ,仅考虑0即可。 ,2一③ 当。时,s()-(2+24+1). 由于|MAl-|MBl,故M在AB的垂直平分线上, 即点M在直线y-yc--1(x-xc)上. 则$-(a-+24-1)-(-4)(+12), 将该直线与y-3联立, 令S(t)-0,得1-2. b 2} 解得x-2-2-c.2M-6-3-yc .当:变化时,S(t)与S(t)的变化情况如表: (0,2) 2 , (2.十oo) 即点M恰为AB中点, 故点M在直线AB上. s(t) 。 11.解:(1)当a-o时,f(x)--1-lnx,x>o. 士 #### S(t) 极小值 → 当x(0,1)时,f(x)>0,f(x)单调递增; .S(t)n-S(2)-32. 当x(1,+o)时,f(x)<0,f(x)单调递减; 13.证明:(1)因为f(0)-1-a<0.f(2)-e-2-a>e-4> 所以f(x)m=f(1)=-1; 0,所以y=f(x)在(0,十oo)上存在零点。 (2)/(x)-ax-1-(a+1)lnx,x→o. 因为f'(x)=e-1,所以当x>0时,f'(x)>0,故函数 。 f(x)在[0,十oo)上单调递增,所以函数y一f(x)在(0,十 则/(c)-a+1-a+1-(ar-1)(x-1. ()上有唯一零点。 3二x 2 ($2)(1)令g(x)--1*--1(x→o),g(x)--- 当a0时,ar-1<0. 所以当x(0,1)时,/(x)0,f(x)单调递增; -1-f(x)十a-1,由(1)知函数g’(x)在[0,十o)上单调递 当x(1,+o)时,/(x)<0,f(x)单调递减; 增,故当x>0时,g’(x)>g’(0)-0,所以晶数g(x)在[0,十 所以f(x)mx=f(1)=a-1<0,此时函数无零点,不合 (o)单调递增,故g(x)g(0)-0. 题意; 由g(v2(a-1))>0得f(v2(a-1))-G-1- 当0<<1时,1→1,在(0,1).(,+)上,/()→0, ②(a-1)-a>0-f(x。). /(x)单调递增: 因为f(x)在[o,十oo)单调递增,故v2(a-1)三xo. 在(1,)上,/(x)<0./(z)单调遂减; 令(x)= -2--1(0 1),h()=-2-1. 令h(x)-e-2x-1(0<>1),h (x)-e-2,所以 又f(1)-a-1<0,当x趋近正无穷大时,f(x)趋近于正 (0.n2) ln2 无穷大, (ln2,1) 所以/(x)仅在(一,十)有唯一零点,符合题意; 局() 一1 -2 当a-1时,r(c)(-1)2}→0,所以/(2)单调增,又 { (r) 125 五年高考真题 分类集训 数学 故当0<x<1时,h.(x)0,即h'(x)<0,所以h(x)在[0. (- -1 1 1]单调递减,因此当0 x1时,h(x)<h(0)-0. 士_ 由(Va-D)<o得f(Va-l)-ev-丁-a-T-a<0 f(xo). r , 因为f(x)在[0,+oo)单调递增,故va-1<xo. r 上,a-1<x。<2(a-1. __士 (l)念(x)=e-(e-1)x-1,'(r)=e-(e-1),所以 因为/(1)-(一)-c十,所以当c<一时,f(x)只有 当x1时,u'(x)0,故函数a(x)在区间[l,十o)上单调 递增,因此u(x)一u(1)-0. 大于1的零点. 由e-x。十a可得 因为f(-1)-/()-c-士,所以当c>-时,f(x)只有小 rof(e)=xπof(x+a)=(e-1)+a(e-2)xo 于一1的零点. >(e-1ar2. 由题设可知一<二士. 由xa-1得xf(e{。)>(e-1)(a-1)a. 14.解;(1)当a=1时,f(x)=e+2-x,f'$(x)=e+2-1. 当c--寸时,/(2)只有两个零点一和1. 故当x(-oo,0)时,f(x) 0;当x(0,+o)时,/(x) >0. 当c一士时,f(2)只有两个零点-1和. 所以f(x)在(-oo,0)单调递减,在(0,十oo)单调递增。 (2)f(x)>吾x3+1等价于(-ar*+x+1)e-<. 当-<<-时,f(2)有三个零点z,,g,且x 设画数g(x)-(-ax”+x+1)e-(x→0), (-1,-)(-)(1). 则g()--(1-》-a”+x+1-32+2ar-1)e-* (三次函数存在三个零点,则f(x)&大值·f(x)级小值 0) 综上,若f(x)有一个绝对值不大于1的零点,则f(x)所有零 --1aa2-(2a+3)x+4a+2]e-: 点的绝对值都不大于1. 题组二 1.B 因为函数f(x)定义域为(0,十o0),所以依题可知,f(1) (1)若2a+1<o,即a<-, 即a--2,b--2,所以/(n)-22,因此画数(2)在 则当x(0,2)时,g(x)>0. 所以g(x)在(0,2)单调道增,而g(0)-1. (0,1)上递增,在(1,十o)上递减,x一1时取最大值,满足题意,即 故当x(0,2)时,g(x)>1,不合题意. 有/(2)--1+--.故选B. (1)若0<a+1<2,-<}# 2.A 因为号=4tan,因为当xe(o.),sinx<<tanx 则当xf(0,2a+1)U(2,+oo)时,g'(x)<0; 当xé(2a+1,2)时,g'(x)>0. 所以tan寸→l,即→1,所以→6; 所以g(x)在(0,2a十1),(2,十o)单调递减, 在(2a十1,2)单调递增,由于g(0)-1, 设/(x)-cosx+吾-1,x(0,1). 所以g(x)1当且仅当g(2)-(7-4a)e*<1; 来()()#0以 → ##。>7-} /(x)=一sinx十x>0,所以f(x)在(o,1)单调递增, 所以当7_#{时:g(2)1. 。 所以b>a,所以c>b>a, (I)若2a+1>2,即a→. 故选A 3.解析:由画数的解析式可得/(x)=a{lna十(1十a)ln 则g(x)<(+x+1)e-. (1十a)→0在区间(0,十o0)上恒成立, 则(1+a)*ln(1+a)三-a*lna, 由子o[7),# a 故由(l)可得(1十x十1)e-<1. 故当a>l时,g(x)<1. =1)n0)}<1. 故ln(1+a)>0. l0<a<1 结合题意可得实数a的取值范因是5-1.1). 15.解:(1)/(x)-3*+b. 依题意得/”()-0.即3+6-0,故6b--3. 故答案为:[5-1). (画数在点(,/()处的切线与y轴垂直,则/()-0, 答案,[一1.1) 由此列方程求的值) 4.解析:/(x)-2(alna-ex)至少要有两个零点x-x1和x= (2)由(1)知f(x)-x+c.#'(2)-3--3. x,我们对其求导,/”(2)-2a”(lna)?-2e, (1)若a>1,则f”(x)在R上单调递增,此时若f”(x。)一0,则 f(x)在(一o,。)上单调递减,在(o,十o)上单调递增,此 时若有工-x1和x-x分别是函数f(x)-2a一er②}(a>0 f(x)与f(x)的情况为: 且al)的极小值点和极大值点,则x习>x,不符合题意。 (2)若0{a<l,则f”(x)在R上单调递减,此时若f”(x。) 126