专题4 考点7 函数与方程、函数的综合应用&考点8 函数模型及实际应用 -【高考密码】备战2025年高考数学2020-2024五年真题分类汇编

五年高考真题分类集训 数学 19解析：根据题意有 210g2=- 号，脚30取2- 当x= 时f(-）=-im(-）=-1y=× 1 5 20g2-2,设1-log.2(a>1D.则1>0，故3-司 1 (）-8m-1 8 号得=言=-1合去，所以lg2=言所以a=2, 当=平时/()-m-1y=×--3， 8 <1: 所以a=64. 答案：64 当=要时(）=m受=1=×-。 考点7函数与方程，函数的综合应用 >1: 题组 。1 1,B默值法，因为当x<3时，f（x)=x.所以f(1)=1,f(2) 所以由国可知f()与y=21一2的交点个数为3， 2.对于f(x)>f(x-1)十f(x-2),令x=3,得f(3)>f(2) 故选C. +f(1)=2+1=3:令x=4,得f(4)>f(3)+f(2)>3+2= 5,A由9=10，可得m=l0ga10∈(1,1,5).根据a,b的形式 5:依次类推，得f(5)>f(4)十f(3)>5十3=8：f(6)>f(5) 构造离数f(,x)=xm一x一1(r>1),则f(x)=mm-1一1，令 十f(4)>8十5-13：f(7)>f(6)+f(5)>13+8-21:f(8)> f(7)+f(6)>21+13=34:f(9)>f(8)+f(7)>34+21 了广(x)=0,解得m=m六，由m=1og10∈(1,1,5)知xo∈ 55:f(10》>f(9)+f(8)>55+34=89:f(11)>f(10)+ (0.1).f(x)在(1，十)上单调递增，所以f(10)>f(8).p f(9)>89+55=144:f(12)>f(11)+f(10)>144+89= a>b,又因为f八9)=9l0g)-10=0,所以a>0>h,答案遮A 233:f(13)>f(12)+/(11)>233+144=377:f(14)>f(13) 6.Ar2-2(a+1)x+a2+5=0最多有2个根， +f(12)>377+233=610:f(15)>f(14)+f(13)>610+ 所以c08(2r-2阳)=0至少有4个报， 377=987:…,显然f(16)>1000,所以f(20)>1000,故 选B. 由2一2am-受+k长z可得g专+号+e,6E乙 2.D由题意知f(x)=g(x),则a(x十1)2-1=cosx十2ax,即 由0++a<可得-2-<k-名 cosx=a(x2十1)-1，令h(x)=co9x-a(2十1)十1.易知 h(x)为偶函数，由通意知h(x)在（一1,1）上有唯一零点，所以 )r<a时，音-5<-2a-<-4时)有4个本点 h(0)=0,即cps0一a(0十1)十1=0，得a=2,故选D. 3.Bf(x)=2+a.r+2,则了(.r)=3x2+a. 脚子<a≤是 若f(x)要存在3个家点，则f(x)要存在板大值和板小值，则 a<0,令f()=32+a=0,解得x=√号减号 当-6≤-2a-号<-5fu)有5个零点 且当re(-m,√）u(√号+)fr>0, 中号< 当-7<-2a-名<-6)有6个家点 当（√层，层）<o 故的极大值为（√写）极小值为（√号） (2)当x≥a时，f(x)=x2-2(a+1)x+a2+5, 4=4(a+1)2-4(a2+5)=8(a-2), (√)>0 当a2时，△<0，f(x)无零点； 若f(x)要存在3个零点，则 即 当a=2时，△=0，f(x)有1个零点； (层)<0 当a>2时，令f(a)=a2-2a(a十1)十a+5=-2a十5≥0， 则2<a≤号，此时f)有2个零点：所以若a>号时(r) -a层+2>0 有1个零点. ,解得<一3，故选B. ++2< 综上，要使f(x)在区间(0，十○)内恰有6个零点，则应满足 好<4g 4.C周为y=cs(2r+答)向左年移答个单位所得高数为 。》多入5双44， 2<a≤号 y-co[2(+)+吾] 则可解得：的取位花国是(2，]U(受·门 =os(2r+受)=-sin2,所以f(r)=-sim2r, 7.C特珠值法：当6=-1.a=1时，(x-1)(x+1)(x-1)≥0 在x≥0时恒成立：当b=一1，a=一1时，(r十1)(x十1)(.x十 显然过(0，-2)与(1.0)两点， 3)≥0在x≥0时恒成主：当b=1,a=一1时，(x十1)(x一1) 作出f)与y=x一的部分大图知下， (x十1)≥0在x≥0时不一定成立，故选C. 8.D由题高知函数g(r)=f八r)一kr一2r哈有4个零点等 价于方程f(x)一kx2一2x=0.即f(x)=|kx2一2x有4个 y 不同的极，即画数y=f(x)与y=kr一2x的图象有4个不 同的公共点， 当k=0时，在网一平面直角坐标系中，分别作出y=f(x)与 y=|2的图象如图1所示，由图1知两图象只有2个不同的 公共点，不满足题意 f几x) 当表<0时，y=1k2一2x1=y s(一》一共图象的对称轴为 r=f() 考虑2x= 3不 3π 3π 7 t= 直线x=名<0，直线r=与y 处f)与y=-号的大小关系， kr2-2的国象的交点为（合-）： 附1 120 可 详解答案 点（仁，一）在直线y=一上，在网一手西直角坐标系中： 在（一∞，一1），(0,1门上单调递减，在（一1,0）上单调递增 又h(一1)=0，h(1)=4,当n*一0时，h(m)1,当m*0 分列作出y=f(x)与y=k2一2x的图象如图2所示，由图 时，h(m)·十⊙∞，作出h(m)的大致圈象如图所示，数形站合 2易知函数y=f(x)与y=kx2一2x的图象有4个不同的公 共点，满足题意， 可知，希八)格有一个本点，则号<是<4，解得-<< 当k>0时，函数y=kx2一2x的图象与x ty y f) hx-2, 一1或1<a<√3，即a的取值范图为(-3.一1)U(1,√3). 轴的2个文点分别为原点(0,0)与（是0）小， 4 则当>是时，南r2-2=子，得2-r+ 2=0,令△=k2-8=0,得k=2√2，此时在同 一平面直角坐标系中，分割作出西数y=f(x)与y=|kx2一 2r的图象如图3所示，由图3知两图象有3个不同的公共 点，不满足题嘉.令4=2一8>0.得>22，此时在同一平 面直角坐标系中，分别作出函数y■f代x)与y■|kx2一2z的 图豪如图4所示，由图4知两图豪有4个不同的公共点，满足题 意.令4=一80.得0k<22,易如此时不满足题意.擦上可 0) 知，实数k的取值范国是（一∞，0）U(2√2，十∞)，故选D. r-21yf】 -2y -113 答案：（一3，一1）U(1,3) 12.解析：因为w>0,所以当xE[0,2π]时，@r∈[0,2ux].令 f(x)=osr一1=0.解得.x=2kπ(kEZ),由f(x)有且纹 0 有三个零点可知，k=0,1,2且不能取到3，作出y=c0sx的 图3 大致图象，结合图象可知，4π≤2or<6π，解得2≤<3. 9.A由2-2<31-3.得2-3+<2-3.p2 y (号）广<2-（号）'，这f)=2-(号）广，则f)< f.国为函数y=2在R上为增函数y=-(兮)广在R 上为增画数，所以fx)=2”一（号）广在R上为增画纸，则由 答案：[2,3) 13.解析：(1)当x2一4x十1≥0时， f(x)<f(y),得<y,所以y-x>0,所以y-x十1>1，所以 fx)=0=(a-1).x2+(a-2)x-1=0. ln(y一x+1)>0,故选A, p[(a-1)-1](x+1)=0, 10.解析：令x3-3x=-(x-1)2+a,则4=x1一3x+(x-1)2, 若a=1时，r=一1，此时x2一a.x十1≥0成立： 设h(x)=2-3r十(x-102,则'(x)=3x2-3+2(x-1) =(3r十5)(x-1).x>0,,3x十5>0，当0<x<1时，h 若a1时r一。与或二1， (x)<0,当x>1时，h(r)>0,.h(x)在(1，十o∞)上单调递 若f(x)有一零点为x=-1,则1十a十1≥0， 增，在(0,1)上单测递减.出线y=r一3x与y=一(x 即a≥一2且a≠1： 1)2+a在(0，十∞)上有两个不可的交点，h(0)-1,h(1) -2.a的取植范围为（一2,1）. 若)有二家点为。则-X十≥0， 答案：(-2.1) 解得：a≤2且a≠1： 11.解析：①当a=0时，f(r)=2|x一2十1=2x-1,令f(x) =0,得2引=1=士号即)有两个幸点，不瑞足题 若=。=-1时，0=0，此时1十a十1≥0成主 (2)当z2-a.x十1<0时，f（x)=0白(a十1)z-(a+2)r+1=0: 意，②当a≠0时，令ar=m,则2√2一a正-ax-2到十1 p[(a十1)x-1](x-1)=0. 若a=一1时，r=1,显然r2一ax+1<0不成立 2、/生四2十重-南之/12大10可 苏a≠-1时-1发 得2/-m=1m-2引一1，则m一2—1≥0，解得m≥3戒 若f(x)有一零点为x=1,则1一a十1<0，甲a>2: 苏)有一本点为则(。2-aX十1<0， m≤1.(1)若m≥3.影由2√停-m-m-2-1,可得 解得：a<一2： 2/m一3.化摘得1=—=1一2+ 若=干有=1时，a=0.是然-ar+1<0不成立 指2 mm 棕上， =9(日）产+◆m=(-）广+gm≥ 当“<-2时，零点为1，1 a+了'a-1 测g(m)在[3,9)上单调递减，在(9，十∞)上单调递增，又 g3)=令g(9)=8,当m+时，g(m)→1，作出g(m） 当-2≤a<0时，零点为 a-7-1, 当a=0时，只有一个零点一1： 的大致图象如图所示，（Ⅱ）若m≤1，因为x=0不是f(x)的 当0<a<1时，零点为。-1： 零点，所以m≠0.由2√ E一m=m一2|一1可得 当a=1时，只有一个零点-1： 当1<a≤2时，零点为，1 -7-1: 当4>2时，零点为1，一1，所以，当函数有两个零，点时，≠0 =(品+H),◆(m)=(结+)'m≤1且m0,到6(m 且4≠1.故答案为：(-oo,0)U(0.1)U(1,+6o), 答案：(-0,0)U(0,1)U(1,+∞) 121 五年高考真题分类集训 数学 14.解析：当a<0时，函数f(x)=一ax十1在（一oo,a)上单调 液态，故选项B错误：当T=300P=9987时，lgP=1g9987 递增，函数f(x)无最小值，不符合题意：当口=0时，函数 <g10000=4,且此时1gP递大于3，趋近于4，由图象知二 f(x)=一ax十1=1在（一o∞，a)上恒为1，函数f(x)=( 氧化碳处于园态，故选项C错误：当T=360,P=729时，3 2)”在[a.十∞)上存在最小值f(2)=0,符合题意：当0 1gP■1g729>2,由图象知二氧化碳处于延格界状态，故选项 a2时，函数f(r)=一ar+1在（一oo,a)上单调追减，所以 D正确.综上所遂，故选D. f(r)>fa)=-a2+1.函数f(r)=(r-2)2在[a,+o∞)上 取得最小值f(2)=0,要使得函数有最小值，别需满足一a 2.C将L=49代入L=5+lgV得gV=一0.1=一0，所以 十1≥0，解得-1≤u≤1，即0<a≤1，当a>2时，函数f(r) 00,8，这C 1 =一ar十1在（一o∞，a)上单调遂减，所以f(r》>f(a)= a2十1，虽数f(x)=(x一2)2在[a,+∞)上取得最小值f(a) 3解析：由避图可知甲企业的污水掩放量在4时刻尚于乙企 =(a一2)2，要使得函数有最小值，则需满足一a十1≥( 业，而在2时刻甲、乙两企业的污水排放量相习，故在[1妇] 2),p2a2-4a十3≤0.△=(-4)2-4X2×3=-8<0,所 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确： 以此不等式无解，不符合题意，综上所述，实数的取值范国 由题图知在时刻，甲企业对应的关系图象针牵的绝对值大 是0≤≤1，G的一个取位可以为0（答案不唯一），a的最大 于乙企业的，故②正确：在红时剂，甲，乙两企业的污水排效 值为1. 量都低于污水达标排放量，故都已达标，③正确：甲企业在 答案：0（答案不唯一）1 [0,11门，[t1,1门，[t红，ts]这三段时间中，在[0，t门的污水治理 1解桥：周为（）-（）广+2=子 能力明显低于[t12]时的，故④错误 答案：①②网 37 专题五导数的运算与导数的几何意义 易得(x)在（一，0）上是增或数，在(0,1)上是减面数，在 考点9导数及其应用 (1,十∞)上是增函数，且f(一1)=1，f(0)=2<3,f(1)=1, 题组 则◆x+-1=3>0,得x=2计瓦.所以当a=-16 1.A了r)=c+2os21+2)-(e+2sim)·2z (1+x2)2 2十5时，-a取得最大值.为3十3. 所以f(0)=3,所以画线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程 答案品 3+√3 为y一1■3(x-0),即3x一y+1■0，切线与两坐标抽的交，点 16.解析：函数g(x)是定义战为R的奇画数，g(0)=0, 分列为0,1).（一言0小所以切线与两坐标轴所国成的三 .①正确.g(2一x)十g(x)=0,∴.当x=0时，g(2)十g(0) =0,解得g(2)=0:当x=1时，g(1)十g(1)■0，解得g(1) 角形的而款为号×1X写-言，故选入 :函数g(x)是奇函数，.g(一1)=一g(1)=0,g(一2)= 2.C设曲线y=在点(1，受)处的切线方程为y-号 一g(2)=0.令x=一1，则g(3)十g(-1)=0, k(x-1), .g(3)=-g(一1)=0.令x=-2,别g(4)十g(-2)=0, re g(4)=一（一2）=0，，.②错误. 周为名所以y=巴)巴 (x十1)2 (x+1)2 "f（-x)0 .由山题图可得0<一x<1,解得一1<x<0,.③正确。 所以-y1=1-，所以y受-1) 答案：①③ 17,解：(1)第1步：代入求a 所以南线=片在点(1，受)处的切线方程为y=受叶 f(x)的图象过点(4,2)，，0g.4=2,解得a=2 第2步：研究西数单测性解不等式 子，故选C …f八.x)=logr,显然其在定义城(0，十o∞)上单调递增， 3.Bf(x)=x-2x2.f(x)=4x3-6x2..f(1)=-2. 12x-2>0 又f(1)=1一2=一1，.所求的切线方程为y十1=一2(x 由f《2xr一2)<fx)有(x>0 ,解得1<r<2 1).即y=一2x十1.故迭B. 2x-2<x .原不等式的解集为{x1<x<2 4.解析：由题，令f(r)=e十x,则f(x)=e十1，所以f(0) (2)第1步：由等差数列得方程 2,所以曲线y=心+r在点(0,1)处的切线方程为y=2r+1, ”f(x+1),f(a),fr+2)依次成等差数列， ∴.2f(a.x)=fx+1)+fx+2), 令gr)=lnr+1D+a.则g(x)=有设直线y=2x+1 即2log(a.r)=log(r+1)十log(r+2),x>0,a>0, 且a≠1， 与南线y一8)相切于点，则有2，得- 第2步：通过对数运算分离出a 合则%一2+1-0，所以0-n(-号+1)+a,所 聊log(a,r)2=log[(x+1)(x+2)],由f(r)=logx是单 以a=ln2. 调画数得(r)=（r+10(r+2),得d-子+3r+2-2× 答案：ln2 ()'+3x+1>0. 5.解析：y'=e+(x十a)e=(x十a+1)e.设切点为(x(x 十a)e5),则切线方程为y-(xo十a)e=(ro十a十1)e2(r 第3步：运用函数的单调性求范国 一工u),又切线过，点(0,0)，所以一（十a)e。=(,xu十a十1） 设1=子剩>0，。2=2r+31+1在>0时有解，设g0= e(一o),所以o十d=后十4r0十0+即后十a.ro一4=0， 由题可知此方程有两个不相苹的实数根，所以△=a2十> 2十31+1，则g(1)在(0，十9)上单调递增，故g(1)>1,甲 0,解得4<一4成a>0,即4的取值范围为（一9，一4）U(0, a2>1,得a>1. +a), ,a的取值范国是(1，十∞). 答案：（一，-4）U(0,十) 考点8面数模型及实际应用 6,解析：设切点为(%)，当>0时，由y=】,得切线斜率 题组 1.D当T=220,P=1026时，lgP=1g1026>lg1000=3.由 为女=人.又切线的斜率为”，于是=兰，解得为=1，代 图象知二氧化碗处于固态，故选项A错误：当T=270,P 128时，3>gP=lg128>g100=2,由图象知二氧化碳处于 入y=n,得0=e,所以切线斜率为=上，初线方程为y e 122五年高考真题分类集训 数学 考点7函数与方程、函数的综合应用 题 组 用时： 易错记承： 一、选择题 若f(.x)在区间(0，十∞)内恰有6个零点，则a 1.(2024·新课标I卷)已知函数f(x)的定义域为 的取值范围是 () R,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x<3时 A.(2.](2.4 f(x)=x,则下列结论中一定正确的是( A.f(10)>100 B.f(20)>1000 B(子2U(号》 C.f(10)<1000 D.f(20)<10000 c(2.]U[43) 2.(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(.x)=a(x+1)2一 1,g(x)=cosx+2a.x.当x∈(-1.1)时.曲线y D.(2u3) =f(x)与y=g(x)恰有一个交点.则a=( 7.(2020·浙江高考)已知a,b∈R且ab≠0，对于 A.-1 &日 任意x≥0均有(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0， 则 () C.1 D.2 A.a<0 B.a>0 3.(2023·全国乙卷·文)函数f(x)=x3十a.x+2 D.b>0 存在3个零点，则a的取值范围是 C.b<0 () A.(-∞，-2) B.(-o∞，-3) 8.(2020·天津高考)已知函数∫(x)= C.(-4,-1) D.(-3,0) x3,x≥0， 若函数g(x)=f(x)一|k.x2一2x 4.(2023·全国甲卷·理)已知f(x)为函数y= -x,x<0. (k∈R)恰有4个零点，则k的取值范围是() os(2x+若)向左平移答个单位所得函数，则 A.(-o,-2)U(22,+o) fx与y=名r-的交点个数为 ( B.(-,-2)U(0.22 A.1 B.2 C.3 D.4 C.(-∞，0)U(0,22) 5.(2022·全国甲卷·文)已知9m=10,d=10m- D.(-o,0)U(22.+o∞) 11,b=8m一9，则 ( 9.(2020·全国卷Ⅱ)若2r-2v<31一3￥，则 A.a0b B.a>>0 C.b>a>0 D.b0a A.ln(y-x+1)>0 6.(2021·天津卷)设a∈R,函数f(x) B.l1n(y-x+1)<0 |cos(2r.x-2πa),rd C.Inlr-yl>0 x2-2(a+1).x+a2+5,x≥a D.Inlx-yl<0 14 可 专题四函数概念与基本初等函数 二、填空题 三、解答题 10.(2024·全国甲卷·文)曲线y=x3-3.x与y= 17.(2024·上海卷)已知函数f(.x)=logx(a>0, 一(x-1)2+a在(0，+∞)上有两个不同的交 a≠1). 点，则a的取值范围为 (1)若函数f(x)的图象过点(4,2)，求不等式 11.(2024·天津卷)若函数f(x）=2√2-a.x f(2x-2)<f(x)的解集； |ax一2|+1恰有一个零点，则a的取值范围为 (2)若存在x使得f(x十1)，f(ax),f(x十2)依 次成等差数列，求实数a的取值范围. 12.(2023·新课标I卷)已知函数f(x)=cosx一 1(>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点，则w 的取值范围是 13.(2023·天津卷)若函数f(x)=a.x2-2x x2一ax十1有且仅有两个零点，则a的取值范 围为 14.(2022·北京卷)设函数f(x)= -a.x+1,x<a, 若f(.x)存在最小值，则a的 (x-2)2,xa. 一个取值为 :a的最大值为 15.(2022·浙江卷)已知函数f(x)= -x2十2，x≤1， x+1-1x>1 则(2)= 若 当x∈[a,b]时，1≤f(x)≤3，则b-a的最大值 是 16.(2020·北京适应性 考试)函数f(.x)的定 义域为[一1,1)，其图 象如图.函数g(x)是定义域为R的奇函数，满 足g(2-x)+g(x)=0,且当x∈(0,1)时， g(x)=f(x).给出下列三个结论： ①g(0)=0: ②函数g(x)在（一1,5）内有且仅有3个零点： ③不等式f(-x)<0的解集为{x一1<x<0. 其中，正确结论的序号是 -15 五年高考真要分类集训 数学 考点8函数模型及实际应用 题 组 刚时： 易错记录： 一、选择题 4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(10≈ 1.(2022·北京卷)在北京冬奥会上，国家速滑馆 1.259) “冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷 A.1.5 B.1.2 制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描 C.0.8 D.0.6 二、填空题 述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和g 3.(2020·北京卷)为满足人民对美好生活的向往， P的关系，其中T表示温度，单位是K:P表示压 环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达 强，单位是bar.下列结论中正确的是 标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W lg P 与时间1的关系为w=f),用-f6)二fa)的 b-a 问态 3 超桁界状态 大小评价在[a,b们这段时间内企业污水治理能力 液态 的强弱.已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放 气态 量与时间的关系如图所示 0 2002503003504007 W个甲企业 A.当T=220,P=1026时，二氧化碳处于液态 乙企业 乙企业 污水达标排放录 B.当T=270,P=128时，二氧化碳处于气态 甲业 C.当T=300,P=9987时，二氧化碳处于超临 给出下列四个结论： 界状态 ①在[11，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力 D.当T=360,P=729时，二氧化碳处于超临界 比乙企业强： 状态 ②在2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企 2.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注 业强： ③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已 的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五 达标： 分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录 ④甲企业在[0，t],[t1,t2],[t2,ta]这三段时间 法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+ 中，在[0,1门的污水治理能力最强.其中所有正 lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为 确结论的序号是 16