重点专题4.3 线线角、线面角、二面角几何求法归纳【16类题型】- 【重难点突破】2024-2025学年高一下学期·人教A版必修第二册·重难点专题突破

【重难点突破】2024-2025学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 专题4-3 线线角、线面角、二面角的几何求法归纳 总览 题型·解读 模块一 线线角 【题型1】平行四边形平移法求线线角 【题型2】利用中位线求线线角 【题型3】补形平移法求线线角 【题型4】平移加构造中位线求异面直线夹角 模块二 线面角 【题型5】作垂线法求线面角 【题型6】等体积法求线面角 【题型7】已知线面角求其它量 【题型8】线面角的范围问题 模块三 二面角 【题型9】定义法求二面角 【题型10】三垂线法求二面角（重点题型） 【题型11】作2次交线的垂线求二面角 【题型12】把二面角转换成线线角 【题型13】投影面积法求二面角 【题型14】已知二面角求其它量 【题型15】找交线求线面角，二面角 【题型16】范围问题 【课后训练】 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 线线角 解题技巧 知识点01 线线角的定义与求解 线线角主要是求异面直线所成角 1. 线线角的定义：范围： ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，，把与所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角(或夹角) 2. 求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． （4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 3. 可通过多种方法平移产生，主要有三种方法： ①平行四边形平移法； ②中位线平移法； ③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)． 【题型1】平行四边形平移法求线线角 典型例题 【例题1】如图所示，在长方体中，，，点E，F，G分别是，，的中点，则异面直线与所成的角是 . 【例题2】（24-25高一上·辽宁·期中）已知正方体的棱长为1，则直线与所成角的正弦值为（   ） A．0 B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高一上·上海·阶段练习）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是弧的中点，设是弧上的一点，且，则与所成角的大小为（   ）    A． B． C． D． 【巩固练习2】已知是正方体的棱的中点，过、、三点作平面与平面相交，交线为，则直线与所成角的余弦值为 . 【巩固练习3】已知长方体，，，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【题型2】利用中位线求线线角 典型例题 【例题1】在正方体 中，、分别是面和的中心， 则和所成的角是 ． 【例题2】（23-24高一下·安徽合肥·期末）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【例题3】如图，在正方体中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于 ． 巩固练习 题型 【巩固练习1】如图，在三棱锥中，，且，，分别是棱，的中点，则和所成的角等于 . 【巩固练习2】在正四面体中，D为的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】如图，在四面体中，，，、分别为、的中点，，则异面直线与所成的角是 ． 【题型3】补形平移法求线线角 典型例题 【例题1】在正四棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【例题2】（2024·贵州黔东南·二模）平面过直三棱柱的顶点，平面平面，平面平面，且，，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】正方体中，M是的中点，则与所成角的余弦值为 ． 【巩固练习2】已知长方体中，，点为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为 . 【巩固练习3】在正方体中，为棱的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（    ） A．0 B． C． D． 【题型4】平移加构造中位线求异面直线夹角 典型例题 【例题1】如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，D，E，F分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 . 巩固练习 题型 【巩固练习1】在直三棱柱中，，，E是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 模块二 线面角 解题技巧 知识点02 线面角的定义与求解 1. 线面角的定义：一条直线与一个平面所成的角，是指这条直线与它在平面上的射影所成的锐角或直角。特别地，如果直线与平面垂直，那么它们之间的线面角就是直角90°；如果直线与平面平行或在平面内，那么可以认为它们之间的线面角是0°. 2. 垂线法求线面角（也称直接法）： （1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足H； （2）连结交点B与垂足H，BH为斜线AB在面上的投影；投影BH与斜线AB之间的夹角为线面角； （3）把投影BH与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。 如图，，作于H，∠ABH即为所求 3. 公式法求线面角（也称等体积法）： 用等体积法，求出斜线AB在面外的一点A到面的距离h，利用三角形的正弦公式进行求解, 公式为： 【题型5】作垂线法求线面角 典型例题 【例题1】正三棱锥中，，，则直线和平面所成的角的正弦值为 ． 【例题2】如图，等腰梯形是圆台的轴截面，，为下底面上的一点，且，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【例题3】 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·四川成都·期末）如图，在正方体中，点M，N分别为线段AC和线段的中点，求直线MN与平面所成角为（    ） A．60° B．45° C．30° D．75° 【巩固练习2】如图，在边长为的正方体中，点，分别为，的中点，则直线与平面所成角的大小为 . 【巩固练习3】（23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）如图，在直三棱柱中，． (1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的余弦值． 【题型6】等体积法求线面角 典型例题 【例题1】如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（23-24高一下·江苏苏州·期末）如图，四棱锥的体积为，底面为等腰梯形，， ，，，，是垂足，平面平面． (1)证明：；(2)若为的中点，求直线和平面所成角的正弦值． 巩固练习 题型 【巩固练习1】如图，是所在平面外一点，，，且面，，则与平面的夹角为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】三棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（23-24高一下·江苏苏州·期末）如图，四棱锥的体积为，底面为等腰梯形，， ，，，，是垂足，平面平面． (1)证明：；(2)若为的中点，求直线和平面所成角的正弦值． 【巩固练习4】（2025·浙江嘉兴·三模）如图，在边长为2的正三角形中，，分别为，的中点，将沿翻折至，使得.    (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【题型7】已知线面角求其它量 典型例题 【例题1】（23-24高一下·重庆·期末）三棱锥中， PA与面ABC所成角的余弦值为，，，则三棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（23-24高一下·辽宁·期末）正方体的棱长为，是线段上的动点. (1)求证：平面平面；(2)与平面所成的角的余弦值为，求的长． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱与底面所成的角为，则此四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在直三棱柱中，D、E分别是棱的中点，F为线段上的点． (1)证明：平面； (2)若，当与平面所成角的正弦值为时，求的值． 【巩固练习3】（23-24高一下·云南曲靖·期末）如图1，在梯形中，，，将沿翻折到如图2，使平面平面. (1)求证：平面； (2)已知点为棱上的点，若直线与平面所成的角的正弦值为. ①求三棱锥的体积； ②过点作平面，使平面平面，求平面截三棱锥所得截面的面积. 【巩固练习4】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在直三棱柱中，D、E分别是棱的中点，F为线段上的点． (1)证明：平面； (2)若，当与平面所成角的正弦值为时，求的值． 【巩固练习5】（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，三棱柱所有棱长都为2，，O为BC中点，D为与交点． (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小． 【题型8】线面角的范围问题 典型例题 【例题1】在正方体中，动点P在线段上，点E是的中点，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·浙江宁波·期末）如图，在三棱锥中，平面是以为直径的圆周上的一点，分别是上的动点，且平面，二面角的大小为. (1)求证：； (2)求证：平面； (3)当直线与平面所成的角最大时，求的值. 【巩固练习2】（23-24高一下·江苏无锡·期中）在直四棱柱中，底面为平行四边形， ，分别为线段的中点.    (1)证明：； (2)证明：平面//平面； (3)若，当与平面所成角的正弦值最大时，求四棱锥的体积． 模块三 二面角 解题技巧 知识点03 二面角与面面角的定义与求解 1. 二面角与面面角的区别 二面角的平面角建立在两个半平面的基础上，是一个张角概念，衡量打开程度；而平面与平面的夹角建立在两个整平面的基础上，类似于两条相交直线形成两组对顶角，人为选择不超过90°的角作为面面角二面角的平面角建立在两个半平面的基础上，是一个张角概念，衡量打开程度；而平面与平面的夹角建立在两个整平面的基础上，类似于两条相交直线形成两组对顶角，人为选择不超过90°的角作为面面角 二面角：由一条直线引出的2个半平面所成夹角，范围 面面角：两个平面的夹角，范围 2. 求二面角常用方法介绍 一、定义法：交线上取点等腰三角形共底边时 作二面角步骤 第一步：在交线l上取一点O 第二步：在α平面内过O点作l的垂线OA 第三步：在β平面内过O点作l的垂线OB ∠AOB即为二面角，余弦定理求角 二、三垂线法（作面的垂直）—后续计算小 使用情况：已知其中某个平面的垂线段 已知AB⊥β，过垂直B作l的垂线OB， ∠AOB即为二面角，且△AOB为直角三角形，邻比斜 三、作2次交线的垂线 作二面角步骤 第一步：作AO⊥l 第二步：作OB⊥l 连接AB，∠AOB即为二面角，余弦定理求角 四、转换成线面角 作二面角步骤 第一步：作AO⊥l 第二步：作AB⊥β(找不到垂足B的位置用等体积求AB长) 连接AB，∠AOB即为二面角 △AOB为直角三角形，邻比斜 五、转换成线线角—计算小，也是法向量的原理 提问：什么时候用？ 若平面α存在垂线AB，且β平面存在垂线AC 则平面α与平面β的夹角等于直线AC与AB的夹角 六、投影面积法——面积比（三垂线法进阶） 如图△ABC在平面α上的投影为△A1BC，则平面α与平面ABC的夹角余弦值 即 将从边之比面积之比，从一维到二维，多角度求出两三角形面积，最后求解 补充：即使交线没有画出来也可以直接用 【现学现练】（多种解法）如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，PQ是所在棱上的中点. （1）求平面APQ与平面ABCD夹角的余弦值;（2）补全截面APQ 【答案】 方法1：投影面积法 方法2：转换成线线夹角 简证：在平面AA1CC1A中，作CH⊥BM，易知CH⊥平面APQ，而CC1⊥平面ABCD，故，由相似可以算出CH的长 方法3：定义法—取中点 简证：平面APQ与平面ABCD的夹角转化为平面APQ与平面A1B1C1D1的夹角，此时PQ为交线 此时2个图形的对称轴垂直交线，故取交线的中点，∠A1MA即所求 方法4：找出交线，再作2次交线（平行线）垂线 简证：M为PQ中点，易知l为两平面交线，过AH⊥l，AC⊥l，故面面角的平面角为∠MAC 方法5：转换为线面角——只做1次交线的垂线 简证：易知平面APQ与平面ABCD的夹角即为平面APQ与平面A1B1C1D1的夹角 而A1M⊥交线PQ，此时平面APQ与平面A1B1C1D1的夹角等价于A1M与平面APQ的夹角 作A1G⊥平面APQ，连接MG，通过等体积法求出A1G，即可 （2）如图 【题型9】定义法求二面角 典型例题 【例题1】如图，在正方体中，点是的中点，则平面与底面所成角的正切值是（    ） A． B． C． D． 【例题2】假设是所在平面外一点，而和都是边长为2的正三角形，，那么二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【例题3】如图，二面角的棱上有两个点A，B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱.若，，，，则平面与的夹角是 ． 巩固练习 题型 【巩固练习1】在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，侧面PAB是等边三角形，，则平面PAB与平面ABCD的夹角为 【巩固练习2】如图，正方体中，，则二面角的余弦值为 . 【巩固练习3】如图，在三棱锥V-ABC中，，，，，且，，则二面角V-AB-C的余弦值是 【巩固练习4】（23-24高一下·广东中山·期中）如图,二面角等于,是棱上两点, 分别在半平面内, ,, 且则的长等于（    ） A．4 B． C． D． 【巩固练习5】（23-24高一下·河南新乡·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD，E是PC的中点，点F在棱BP上，且，四边形ABCD为正方形，.    (1)证明：；(2)求三棱锥的体积；(3)求二面角的余弦值. 【题型10】三垂线法求二面角（重点题型） 典型例题 【例题1】（23-24高一下·湖北·期末）在三棱锥中，，，，.点在平面上的射影恰好在上. (1)若为线段的中点，求证：平面；(2)求二面角的余弦值. 【例题2】（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，点M为PB的中点． (1)求证：平面PAD；(2)求二面角的余弦值． 【例题3】（23-24高一下·广东中山·期中）在四棱锥中， 底面是边长为2的正方形， 平面. (1)求证：； (2)若与底面所成的角为45°； ①求点B到平面的距离； ②求二面角的余弦值. 巩固练习 题型 【巩固练习1】如图，正三棱柱的棱长都相等，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】如图，四边形是正方形，平面，且 求二面角的大小的正弦值．    【巩固练习3】（23-24高一下·四川凉山·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点. (1)求证：平面； (2)求侧面与底面所成二面角的正弦值. 【巩固练习4】如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点E满足，现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示. (1)在棱上是否存在点F，使直线平面，若存在，求出，若不存在，请说明理由； (2)求二面角的平面角的正切值. 【巩固练习5】（2023下·湖北武汉期末联考）如图，在三棱柱中，面为正方形，面为菱形，，侧面面. (1)求证：面；(2)求二面角的余弦值. 【巩固练习5】（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）已知如图甲，在梯形ABCD中，，，，E，F分别是AB，CD上的点，，，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面平面EBCF（如图乙）． (1)证明：平面ABE； (2)当时，求二面角的余弦值． 【巩固练习6】（2025·浙江金华·二模）如图，为圆锥的顶点，为底面圆的直径，为圆周上一点，为劣弧的中点，. (1)求证：； (2)在线段上且，当平面时，求平面与平面夹角的余弦值. 【题型11】作2次交线的垂线求二面角 典型例题 【例题1】如图，四边形是正方形，平面，且.求二面角的大小.    【例题2】（23-24高一下·广东深圳·期中）已知三棱柱中，平面平面ABC，四边形为菱形，且，，.    (1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值的大小. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·河南开封·期末）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．已知四面体为鳖臑，且，，记二面角的平面角为θ，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（23-24高一下·湖南株洲·期末）如图，在三棱柱中，，，在底面的射影为的中点，为的中点. (1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值. 【巩固练习3】（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面平面，是边长为2的正三角形，，是中点，过点，，的平面与交于点.    (1)求证：；(2)求证：；(3)求二面角的正切值. 【巩固练习4】在三棱锥中,底面△ABC为等腰直角三角形,. （1）求证：AC⊥SB；（2）若AB＝2，，求平面SAC与平面SBC夹角的余弦值． 【题型12】把二面角转换成线线角 典型例题 【例题1】在直三棱柱中，已知侧面为正方形，，D，F分别为AC，BC，CC1的中点，BF⊥B1D． （1）证明：平面B1DE⊥平面BCC1B1；(2)求平面BC1D与平面夹角的余弦值 巩固练习 题型 【巩固练习1】如图(1)，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥BC，且取AB的中点O，连结OD，并将△AOD沿着OD翻折，翻折后，点M，N分别是线段AD，AB的中点，如图(2)． （1）求证：AC⊥OM，（2）求平面OMN与平面OBCD夹角的余弦值． 【巩固练习2】（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，正三棱柱中，各棱长均相等，､､､分别为棱､､､的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值. 【题型13】投影面积法求二面角 典型例题 【例题1】如图与所在平面垂直，且，，则二面角的余弦值为 . 巩固练习 题型 【巩固练习1】在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD． （1）证明：AB⊥平面PAD； （2）求面PAD与面PDB所成的二面角的正切值． 【巩固练习2】（多选）如图所示，为正方体，以下四个结论中正确的有（ ） A．平面 B．直线与BD所成的角为60° C．二面角的正切值是 D．与底面ABCD所成角的正切值是 【巩固练习3】如图所示，已知圆柱的底面直径，母线长，且为圆柱底面圆周上的一点，．求： （1）圆柱的体积和侧面积； （2）二面角的正弦值． 【题型14】已知二面角求其它量 典型例题 【例题1】如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 【例题2】如图，为圆锥顶点，是圆锥底面圆的圆心，，是长度为的底面圆的两条直径，，且，为母线上一点． (1)求证：当为中点时，平面； (2)若，二面角的余弦值为，试确定P点的位置． 【例题3】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）如图，四棱锥中，底面，，，. (1)若，证明：∥平面； (2)若，且二面角的余弦值为，求. 【例题4】（23-24高一下·江苏盐城·期末）如图，在四棱锥中，，，，为的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求点到平面的距离. 巩固练习 题型 【巩固练习1】如图，两两垂直，过作，垂足为D. （1）求证：平面； （2）设，二面角的平面角为时，求三棱锥侧面积. 【巩固练习2】如图，在三棱锥中，平面平面，，点O为BD的中点．    （1）证明：； （2）若是边长为4的等边三角形，点E为AD中点，且二面角的大小为，求三棱锥的体积． 【巩固练习3】（广东佛山·高一统考期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，．    （1）证明：平面平面； （2）点在棱上，当二面角的余弦值为时，求． 【巩固练习4】（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知正三棱台的上､下底面的边长分别为6和12，且棱台的侧面与底面所成的二面角为，则此三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习5】（23-24高一下·甘肃兰州·期末）如图，在四棱锥中，平面PAB，且在四边形PACQ中，，，二面角的大小为，且． (1)点E为BC的中点，证明：平面PAB；(2)求直线BQ与平面PACQ所成角的正弦值． 【巩固练习6】（23-24高一下·广东广州·期末）如图，已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，体积为，平面平面，且. (1)证明：平面； (2)求点到面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 【题型15】找交线求线面角，二面角 典型例题 【例题1】如图， 在圆台 中，，点C是底面圆周上异于A、B的一点，, 点D是的中点， 为平面与平面的交线， 则交线与平面所成角的大小为 ． 【例题2】（23-24高一下·湖南株洲·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，为线段上的动点. (1)若为的中点，求三棱锥的体积； (2)若，问上是否存在点，使得平面？若存在，请指明点的位置；若不存在，请说明理由； (3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·浙江宁波·期末）如图，在多面体中，平面，，，四边形是正方形． (1)求直线与平面所成角的余弦值； (2)证明：平面； (3)求平面与平面所成的二面角的平面角的大小. 【巩固练习2】（23-24高一下·福建福州·期末）在四棱锥中，四边形为矩形，平面为垂足，，平面． (1)证明：为等腰三角形． (2)若为等腰直角三角形．设平面与平面的交线为 ，求二面角的余弦值． 【巩固练习3】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCI)是平行四边形，∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝2，PD⊥CD． (1)证明：AB⊥PB； (2)若平面PAB⊥平面PCD，且，求直线AC与平面PBC所成角的正弦值． 【题型16】范围问题 典型例题 【例题1】（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，，分别是线段的中点，点在平面内的射影为点.    (1)求证：平面； (2)设为棱上一点，，. ①若，请在图中作出三棱柱过三点的截面，并求该截面的面积； ②求二面角的取值范围. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图，在五棱锥中，平面平面，，．四边形为矩形，且，，． (1)证明：平面； (2)若，求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值的最小值． 【巩固练习2】（23-24高一下·江苏苏州·期末）在三棱柱中，，，，，分别为的中点. (1)证明：平面∥平面； (2)证明：平面⊥平面； (3)若为线段上的动点，求二面角的平面角的余弦值的取值范围． 【课后训练】 1. （24-25高一上·云南昆明·阶段练习）如图，在正方体中，，分别为，的中点，则直线和夹角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 2. （24-25高一上·广东广州·阶段练习）正四棱柱中，分别是的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3. 如图，在正方体中，点是的中点，则平面与底面所成角的正切值是（    ） A． B． C． D． 4. （23-24高一下·广东湛江·期末）如图，已知四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱长相等且为4，E为CD的中点，则异面直线CM与AE所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5. （23-24高一下·安徽马鞍山·期末）如图，圆柱中，是一条母线，是底面一条直径，C是的中点. (1)证明：平面平面； (2)若，求二面角的余弦值. 6. （23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在直三棱柱中，D、E分别是棱的中点，F为线段上的点． (1)证明：平面； (2)若，当与平面所成角的正弦值为时，求的值． 7. 如图，在三棱柱中，底面是正三角形，侧棱与底面垂直，且分别是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8. 如图，AB是半圆柱底面的直径，PA是半圆柱的高，C是上一点，且，D为PB的中点，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为 ． 9. 如图，已知空间四边形的四条边以及对角线的长均为2，M､N分别是与的中点，则异面直线和所成角的余弦值为 . 10. 如图，直三棱柱中，，，，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 11. 如图，在正三棱柱中，各棱长均为4，M，N分别是BC，的中点，则直线AB与平面所成角的余弦值为 . 12. 在三棱锥中（如图所示），，则二面角的余弦值为 .    13. （2025·广东佛山·二模）如图，将一个棱长为2的正方体沿相邻三个面的对角线截出多面体，E是的中点.过点C，E，的平面与该多面体的面相交，交线围成一个多边形. (1)在图中画出该多边形（说明作法和理由），并求其面积； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 14. （23-24高一下·浙江温州·期末）如图，绕边BC旋转得到，其中，平面ABC，∥． (1)证明：平面ACD； (2)若二面角的平面角为，求锐二面角平面角的正弦值． 15. 如图，在四棱锥中，已知，是等边三角形，且为的中点. (1)证明：平面； (2)当时，试判断在棱上是否存在点，使得二面角的大小为.若存在，请求出的值；否则，请说明理由. 16. （23-24高一下·广东深圳·期中）已知平面四边形，，，，，现将沿边折起，使得平面平面，点为线段的中点． (1)求证：平面； (2)若为的中点，求与平面所成角的余弦值． (3)在（2）的条件下，求平面与平面所成二面角的余弦值． 17. （23-24高一下·浙江宁波·期末）（用坐标法不给分）如图，在三棱锥中，侧面和底面均为正三角形，且 (1)求证: (2)已知 （i）若 ，求二面角的大小: （ii） 若直线与平面所成角的正弦值为 ，求实数的值. 18. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点． （1）证明：； （2）若是边长为2的等边三角形，点在棱上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积． 19. （23-24高一下·广东清远·期末）如图，在四棱锥中，为边上的中点，为边上的中点，平面平面，，，，. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若直线与底面所成角的余弦值为，求二面角的正切值. 20. 如图，在三棱柱中，底面平面，是正三角形，是棱上一点，且，. (1)求证：； (2)若且二面角的余弦值为，求点到侧面的距离. 39 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $$【重难点突破】2024-2025学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 专题4-3 线线角、线面角、二面角的几何求法归纳 总览 题型·解读 模块一 线线角 【题型1】平行四边形平移法求线线角 【题型2】利用中位线求线线角 【题型3】补形平移法求线线角 【题型4】平移加构造中位线求异面直线夹角 模块二 线面角 【题型5】作垂线法求线面角 【题型6】等体积法求线面角 【题型7】已知线面角求其它量 【题型8】线面角的范围问题 模块三 二面角 【题型9】定义法求二面角 【题型10】三垂线法求二面角（重点题型） 【题型11】作2次交线的垂线求二面角 【题型12】把二面角转换成线线角 【题型13】投影面积法求二面角 【题型14】已知二面角求其它量 【题型15】找交线求线面角，二面角 【题型16】范围问题 【课后训练】 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 线线角 解题技巧 知识点01 线线角的定义与求解 线线角主要是求异面直线所成角 1. 线线角的定义：范围： ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，，把与所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角(或夹角) 2. 求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． （4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 3. 可通过多种方法平移产生，主要有三种方法： ①平行四边形平移法； ②中位线平移法； ③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)． 【题型1】平行四边形平移法求线线角 典型例题 【例题1】如图所示，在长方体中，，，点E，F，G分别是，，的中点，则异面直线与所成的角是 . 【答案】 【详解】连接，，，点E，F，G分别是，，的中点， ，， ，四边形为平行四边形， 则，故或其补角即为与所成的角， 易得，， ，所以，所以. 故答案为：. 【例题2】（24-25高一上·辽宁·期中）已知正方体的棱长为1，则直线与所成角的正弦值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】由正方体可得，可得是异面直线直线与所成的角，进而求解即可. 【详解】在正方体中，可得，， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以是异面直线直线与所成的角， 又易得是等边三角形，所以， 所以，所以直线与所成角的正弦值为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高一上·上海·阶段练习）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是弧的中点，设是弧上的一点，且，则与所成角的大小为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用线面垂直判定定理可证明平面，再由异面直线所成角的定义可得结果. 【详解】取为弧的中点，连接，如下图所示：    由圆柱性质可得平面， 又平面，所以， 又因为，且，且平面， 可得平面，又平面， 所以，即， 易知，所以； 显然，所以与所成的角的即为与所成的角； 易知，所以. 【巩固练习2】已知是正方体的棱的中点，过、、三点作平面与平面相交，交线为，则直线与所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】由面面平行的性质与异面直线所成的角的求法求解即可 【详解】因为过三点的平面与平面相交于， 平面与平面相交于，平面与平面平行， 所以, 又，故 所以直线与所成的角就是直线与所成的角，也即是（或补角） 又易知为等边三角形，所以直线与所成角的余弦值为，故答案为： 【巩固练习3】已知长方体，，，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由长方体的性质可得，所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角，即，由余弦定理求解即可. 【分析】连接，由长方体的性质可得， 所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角，即（或其补角）， 在中，， ， 所以. 故选：B. 【题型2】利用中位线求线线角 典型例题 【例题1】在正方体 中，、分别是面和的中心， 则和所成的角是 ． 【答案】 【分析】连接、，则点为的中点，利用中位线的性质可得出，从而可知和所成的角为，即为所求. 【详解】连接、，则点为的中点，如下图所示： 易知点为的中点，又因为为的中点，所以，， 所以，和所成的角为. 故答案为：. 【例题2】（23-24高一下·安徽合肥·期末）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】做辅助线，分析可知异面直线与所成角为（或其补角），结合余弦定理分析求解. 【详解】取的中点，连接， 设正方体的棱长为2，则， 因为分别为的中点，则∥，且， 可知异面直线与所成角为（或其补角）， 在中，由余弦定理可得， 所以面直线与所成角的余弦值为. 【例题3】如图，在正方体中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于 ． 【答案】 【分析】根据中点，得到∥，∥，然后根据平行得到为异面直线与所成角或其补角，最后求角即可. 【详解】 如图，连接，，， 因为，，，分别为，，，的中点，所以∥，∥，为异面直线与所成角或其补角， 因为为正方体，所以三角形为正三角形，所以. 巩固练习 题型 【巩固练习1】如图，在三棱锥中，，且，，分别是棱，的中点，则和所成的角等于 . 【答案】 【分析】取BC的中点G，连接FG、EG，则为EF与AC所成的角．解． 【详解】如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG． ，F分别是CD，AB的中点， ，，且，． 为EF与AC所成的角（或其补角）． 又，． 又，，， 为直角三角形，，又为锐角， ，即EF与AC所成的角为． 【巩固练习2】在正四面体中，D为的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出直线与所成角，并利用余弦定理求得其余弦值. 【详解】取的中点为E，连接，，则， 所以为与所成的角（或其补角）. 设正四面体的棱长为，则，，， 所以在中，. 故选：C 【巩固练习3】如图，在四面体中，，，、分别为、的中点，，则异面直线与所成的角是 ． 【答案】/ 【分析】取的中点，连接，，即可得到即为异面直线与所成的角，再由线段关系及勾股定理逆定理得到为等腰直角三角形，即可得解； 【详解】解：取的中点，连接，，因为为的中点，为的中点， 所以且，且， 所以即为异面直线与所成的角或其补角， 又，，， 所以，，所以，所以， 所以为等腰直角三角形，所以； 【题型3】补形平移法求线线角 典型例题 【例题1】在正四棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】 【解析】如图，在正四棱柱下方补一个完全相同的正四棱柱， 连接， 因为，所以四边形为平行四边形， 则，所以或其补角为异面直线与所成的角， 在中，. 所以，异面直线与所成角的余弦值为. 【例题2】（2024·贵州黔东南·二模）平面过直三棱柱的顶点，平面平面，平面平面，且，，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直三棱柱向上补一个直三棱柱，证得平面平面，得到平面即为平面，得出交线即为直线，结合为等边三角形，即可求解. 【详解】如图所示，将直三棱柱向上补一个全等的直三棱柱， 则，， 因为平面，平面，且平面，平面， 所以平面，且平面， 又因为，且平面， 所以平面平面，且平面，故平面即为平面， 所以交线即为直线， 因为，则与所成角为， 设，则，，可得， 所以为等边三角形，所以，所以 即与所成角的正弦值为. 故选：A.    巩固练习 题型 【巩固练习1】正方体中，M是的中点，则与所成角的余弦值为 ． 【答案】 【解析】在正方体右侧作出一个全等的正方体， 连接，如图， 易知，所以四边形是平行四边形，则， 所以是与所成角的平面角或补角， 不妨设正方体的棱长为， 则在正方体中，， 在中，， 在中，， 所以在中，， 所以与所成角的余弦值为. 【巩固练习2】已知长方体中，，点为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为 . 【答案】 【解析】如图所示，在长方体中，延长， 构造一个与全等的长方体，且点为棱的中点， 所以，所以（或其补角）为异面直线所成角， 由题意得， 所以由余弦定理得， 所以. 【巩固练习3】在正方体中，为棱的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【解析】取中点，连接，延长至点，使得，连接， 则， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为,，所以四边形是平行四边形， 所以，所以， 所以是异面直线与夹角或其补角， 设正方体棱长为1，则， 在中，， 在中，， 在中，由余弦定理得，， 所以异面直线与夹角的余弦值为.故选：D 【题型4】平移加构造中位线求异面直线夹角 典型例题 【例题1】如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，D，E，F分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 . 【答案】 【分析】通过构造平行线将异面直线所成角转化为相交线的夹角，解三角形即可. 【详解】如图，在棱上取一点，使得，取的中点，连接，，，由于，分别是棱，的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，进而， 又因为，分别是，的中点，所以，所以，则或其补角是异面直线与所成的角. 设，则，，. 从而，， ，， 故， 故异面直线与所成角的余弦值是. 故答案为：. 巩固练习 题型 【巩固练习1】在直三棱柱中，，，E是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据异面直线所成角的定义，取中点，中点，连接，可得为异面直线与所成的角或其补角，结合余弦定理求解即可得答案. 【详解】如图，取中点，中点，连接    在直三棱柱中，，所以平面，有平面，所以，则 因为分别为中点，所以 又可得，则四边形为平行四边形 所以，则为异面直线与所成的角或其补角 由平面，平面，可得，所以， 在中，，，由余弦定理得， 所以， 所以在中，由余弦定理得 所以异面直线与所成的角的余弦值. 模块二 线面角 解题技巧 知识点02 线面角的定义与求解 1. 线面角的定义：一条直线与一个平面所成的角，是指这条直线与它在平面上的射影所成的锐角或直角。特别地，如果直线与平面垂直，那么它们之间的线面角就是直角90°；如果直线与平面平行或在平面内，那么可以认为它们之间的线面角是0°. 2. 垂线法求线面角（也称直接法）： （1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足H； （2）连结交点B与垂足H，BH为斜线AB在面上的投影；投影BH与斜线AB之间的夹角为线面角； （3）把投影BH与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。 如图，，作于H，∠ABH即为所求 3. 公式法求线面角（也称等体积法）： 用等体积法，求出斜线AB在面外的一点A到面的距离h，利用三角形的正弦公式进行求解, 公式为： 【题型5】作垂线法求线面角 典型例题 【例题1】正三棱锥中，，，则直线和平面所成的角的正弦值为 ． 【答案】 【解析】取正中心为O，连接并延长交于D，连接， 则D为中点，平面， 则为直线和平面所成的角， 中，，，，则， 中，，，， 则，则. 则直线和平面所成的角的正弦值为. 【例题2】如图，等腰梯形是圆台的轴截面，，为下底面上的一点，且，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接，过点作交于点，如下图： 因为几何体为圆台，所以平面，所以， 又因为，所以为等腰直角三角形， 因为为中点，所以， 又因为，所以平面， 所以直线与平面所成的角为， 因为，所以， 所以，所以， 所以，所以，故选：B. 【例题3】 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·四川成都·期末）如图，在正方体中，点M，N分别为线段AC和线段的中点，求直线MN与平面所成角为（    ） A．60° B．45° C．30° D．75° 【答案】B 【分析】取的中点,连接，证明平面，即得即直线MN与平面所成角，解三角形即得. 【详解】 如图，取的中点,连接,因是的中点，故, 又因正方体中，平面,故平面, 即是在平面上的射影，故即直线MN与平面所成角， 因是的中点,故,易得，, 即直线MN与平面所成角为. 【巩固练习2】如图，在边长为的正方体中，点，分别为，的中点，则直线与平面所成角的大小为 . 【答案】 【分析】如图，取中点，连接、，利用，即可得就是直线与平面所成的角，解即可． 【详解】如图，取中点，连接、，则， ∵平面，平面， ，平面， ， 就是直线与平面所成的角， ，． 故答案为：． 【巩固练习3】（23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）如图，在直三棱柱中，． (1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）勾股定理证得，线面垂直的性质证得，得平面，所以平面平面； （2）连接，与相交于点，可证平面，直线与平面所成角为，求出，由，代入求值即可. 【详解】（1），有，则， 直三棱柱中，平面，平面，， 平面，，平面， 平面，平面平面； （2）连接，与相交于点，连接， ，侧面为正方形，则有 平面，平面，， 平面，，平面， 则直线与平面所成角为， ，则，，又，则， 则， 所以直线与平面所成角的余弦值为． 【题型6】等体积法求线面角 典型例题 【例题1】如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用等体积法求到平面的距离，结合的长，即可求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】由题设，且到平面的距离为. 又，，故到上高为，所以. 设到平面的距离为，由得：，解得， 故直线与平面所成角的正弦值为. 【例题2】（23-24高一下·江苏苏州·期末）如图，四棱锥的体积为，底面为等腰梯形，， ，，，，是垂足，平面平面． (1)证明：；(2)若为的中点，求直线和平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只需结合已知证明平面，再由线面平行的判定定理即可得证； （2）只需结合已知求出B到平面的距离以及的长度即可得解. 【详解】（1） 连接，∵平面平面，，平面平面，平面， ∴平面，因为平面，所以， 由题意可知，等腰梯形的高为1，故等腰梯形的面积为：， 又梯形的高为，故， ∴， ∴，在中，，．∴，即， ∴为的三等分点，所以， 所以，∴． 又∵，面，面， ∴平面，∵平面，∴． （2）， 连接，在梯形中可得，， 因此，即， 因为平面，因为平面，所以， 又因为，平面， 所以平面， 由平面，可得， 因为平面，因为平面， 所以， 所以，所以，所以B到平面的距离为， 在中由，，得， 设直线和平面所成角为，则， 所以直线和平面所成角得正弦值为． 巩固练习 题型 【巩固练习1】如图，是所在平面外一点，，，且面，，则与平面的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，，； 平面，平面，，， 又，， ，， ， ，， 设点到平面的距离为，与平面的夹角为， ，解得：， ， 又，，即直线与平面的夹角为.故选：C. 【巩固练习2】三棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取中点，连接， ， ≌，，， ，是边长为的正三角形， ， 面，面， 作于， 面， 面，面， 在中由余弦定理得， ， ， ，， ， ， 设点到平面的距离为， 由得， 即，解得， 所以直线与平面所成角的正弦值为.故选：A. 【巩固练习3】（23-24高一下·江苏苏州·期末）如图，四棱锥的体积为，底面为等腰梯形，， ，，，，是垂足，平面平面． (1)证明：；(2)若为的中点，求直线和平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只需结合已知证明平面，再由线面平行的判定定理即可得证； （2）只需结合已知求出B到平面的距离以及的长度即可得解. 【详解】（1） 连接，∵平面平面，，平面平面，平面， ∴平面，因为平面，所以， 由题意可知，等腰梯形的高为1，故等腰梯形的面积为：， 又梯形的高为，故， ∴， ∴，在中，，．∴，即， ∴为的三等分点，所以， 所以，∴． 又∵，面，面， ∴平面，∵平面，∴． （2）， 连接，在梯形中可得，， 因此，即， 因为平面，因为平面，所以， 又因为，平面， 所以平面， 由平面，可得， 因为平面，因为平面， 所以， 所以，所以，所以B到平面的距离为， 在中由，，得， 设直线和平面所成角为，则， 所以直线和平面所成角得正弦值为． 【巩固练习4】（2025·浙江嘉兴·三模）如图，在边长为2的正三角形中，，分别为，的中点，将沿翻折至，使得.    (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）要证面面垂直，首先证线面垂直，即先证面，再由垂直于平面内两条相交直线即可证明； （2）可以利用等体积法求得点到面的距离，再由线面角的定义可得夹角的正弦值为， 当然也可以利用几何法作辅助线或者直接建系利用空间向量的数量积求得线面角. 【详解】（1）连接，因为为等边三角形，为中点，则， 又，且面，面，，面， 又面，所以平面平面. （2）解法一：（等体积法） 过点作，垂足为， 平面平面，且平面平面，面； 又，分别为，中点， 翻折后，，，由对称性可知， 又，所以，由等面积得， 设直线和平面所成角为，点到面的距离为， 由得：， 又，， 所以，，故直线与平面所成角的正弦值为.    解法二：（几何法） 分别取，的中点，，连接，，，过点作， 为等边三角形，，分别为，中点， ，，且，则面； 面，面面， 平面平面，又，面， ，面，所以点到面的距离即为， 翻折后，，，由对称性可知， 又，由勾股定理的逆定理可知，所以， 在中，，，故边上的高为， 由等面积得， 设直线和平面所成角为，所以， 故直线与平面所成角的正弦值为.    【题型7】已知线面角求其它量 典型例题 【例题1】（23-24高一下·重庆·期末）三棱锥中， PA与面ABC所成角的余弦值为，，，则三棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出三棱锥的高及底面积，再利用锥体体积公式计算即得. 【详解】由，，得，则， 的面积，由PA与平面所成角的余弦值为， 得PA与平面所成角的正弦值为，又， 三棱锥的高，所以三棱锥的体积. 【例题2】（23-24高一下·辽宁·期末）正方体的棱长为，是线段上的动点. (1)求证：平面平面；(2)与平面所成的角的余弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意可得，，进而可证平面，即可得结果； （2）设在平面上的射影点为，连接，利用等体积法可得，结合线面夹角可得，再利用余弦定理计算可得. 【详解】（1）因为平面，且平面，可得， 四边形为正方形，则， 且平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）设在平面上的射影点为，连接， 可知是以边长为的等边三角形，则， 因为，即，解得， 设与平面所成的角的大小为，因为，则， 则，可得， 在中，由余弦定理得， 即，解得. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱与底面所成的角为，则此四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，根据条件求出棱台的高，利用棱台体积公式求出答案. 【详解】如图，分别为上底面和下底面的中心，连接， 则⊥底面，过点作⊥于点，则⊥底面， 因为上、下底面边长分别为2和4，所以， 故，， ，因为棱与底面所成的角为，则，故，则， 故该正四棱台的体积为. 【巩固练习2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在直三棱柱中，D、E分别是棱的中点，F为线段上的点． (1)证明：平面； (2)若，当与平面所成角的正弦值为时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明平面平面即可证明平面. （2）设，先利用已知条件结合等体积法求出点F到平面的距离，则可由与平面所成角的正弦值求出，进而得解. 【详解】（1）如图，连接、、、、， 由直棱柱性质且， 所以四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，故平面； 又由直棱柱性质有且，且， 所以且， 所以四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面， 因为，、平面， 所以平面平面，因为平面， 所以平面. （2）因为， 所以，，， 设，则，所以， 由（1）可知点F到平面的距离是一个定值，将其设为， 由直棱柱性质平面，平面，故， 又，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以， ， 又，所以. 所以与平面所成角的正弦值为即， 所以即，故. 【巩固练习3】（23-24高一下·云南曲靖·期末）如图1，在梯形中，，，将沿翻折到如图2，使平面平面. (1)求证：平面； (2)已知点为棱上的点，若直线与平面所成的角的正弦值为. ①求三棱锥的体积； ②过点作平面，使平面平面，求平面截三棱锥所得截面的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②作图见解析， 【分析】（1）在平面图形中可得，由平面平面可得平面，进一步得到，由线线垂直即可得线面垂直； （2）①由（1）知为直线与平面所成的角，可得，通过转换顶点即可求解；②过点作平面交于，交于，由已知平面截三棱锥所得截面图形为，由面积比等于相似比的平方即可求解. 【详解】（1）因为，，， 所以，，， ， 所以， 所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面， 所以， 又，，平面，平面， 所以平面； （2）①连接，由（1）知平面， 所以为直线与平面所成的角， 所以，又，所以， 在中，， 因为平面，平面，所以， 所以为直角三角形， ； ②过点作交于，交于， 则平面截三棱锥所得截面图形为， 由平面平面，所以，由①知，， 所以，所以平面截三棱锥所得截面的面积为. 【巩固练习4】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在直三棱柱中，D、E分别是棱的中点，F为线段上的点． (1)证明：平面； (2)若，当与平面所成角的正弦值为时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明平面平面即可证明平面. （2）设，先利用已知条件结合等体积法求出点F到平面的距离，则可由与平面所成角的正弦值求出，进而得解. 【详解】（1）如图，连接、、、、， 由直棱柱性质且， 所以四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，故平面； 又由直棱柱性质有且，且， 所以且， 所以四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面， 因为，、平面， 所以平面平面，因为平面， 所以平面. （2）因为， 所以，，， 设，则，所以， 由（1）可知点F到平面的距离是一个定值，将其设为， 由直棱柱性质平面，平面，故， 又，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以， ， 又，所以. 所以与平面所成角的正弦值为即， 所以即，故. 【巩固练习5】（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，三棱柱所有棱长都为2，，O为BC中点，D为与交点． (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取中点，连接，证明四边形为平行四边形，得出，从而证明平面. （2）利用线面垂直的判定证得平面，进而得为直线与平面所成角并求出，利用勾股定理求出，再由余弦定理求出，利用二面角的定义即可得答案. 【详解】（1）在三棱柱中，取中点，连接， 由分别为和的中点，得且， 由O为BC中点，得且，则且， 即四边形为平行四边形，于是，又平面，平面， 所以平面. （2）由三棱柱所有棱长都为2，，得都是正三角形， 而O为BC中点，则，，平面，， 于是平面，又，则平面， 为直线与平面所成角， 因此，，而平面，则， 又为中点，则， 在中，，，则， 由，，得是二面角的平面角， 所以二面角的大小. 【题型8】线面角的范围问题 典型例题 【例题1】在正方体中，动点P在线段上，点E是的中点，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点E到平面的距离为h，直线与平面所成的角为，则. 不妨设正方体的棱长为2， 则， . 因为，所以以.连接，过点作，垂足为. 易得，当时，最小，当时，最大，则， .故.故选：D. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·浙江宁波·期末）如图，在三棱锥中，平面是以为直径的圆周上的一点，分别是上的动点，且平面，二面角的大小为. (1)求证：； (2)求证：平面； (3)当直线与平面所成的角最大时，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据线面平行的性质定理得出线线平行； （2）先证明平面，再由即可得证； （3）先找出线面角，再由转化为求最小值，此时可得. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 所以. （2）因为平面平面， 所以平面平面， 因为是以为直径的圆周上一点，所以， 又平面平面平面， 所以平面，由（1）得， 所以平面. （3）由（2）可知平面平面，所以平面平面 当为中点时，因为是等腰直角三角形，则，且，则， 由平面平面，为交线，平面，，可得平面， 所以在平面上的射影为，则直线和平面所成的角为. .所以当最小时，最大. 此时，由，， 可得. 【巩固练习2】（23-24高一下·江苏无锡·期中）在直四棱柱中，底面为平行四边形， ，分别为线段的中点.    (1)证明：； (2)证明：平面//平面； (3)若，当与平面所成角的正弦值最大时，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，设，连接，通过证明以及得到为等腰三角形，进而可得结论； （2）结交于，连结，通过证明平面以及平面可得面面平行； （3）利用体积法求点到平面的距离，设与平面所成的角为，表示出，求其最值，进而可得体积. 【详解】（1）如图，连接，设，连接.    因为，平面，平面，故， 而，，平面， 故平面，而平面，故， 由四边形为平行四边形可得， 故为等腰三角形，即； （2）延长交于，连结，由中位线性质可得，且，所以， 因为平面平面，所以平面， 可得为中点，所以， 因为平面平面， 所以平面， 因为平面平面， 所以平面//平面；.    （3）设，， 由（1）可得平面，而平面，故， 故四边形为菱形，而，故. 因为平面，平面，故， 故，同理. 而，故. 设为点到平面的距离，与平面所成的角为， 故. 又， 而， 故，故， 故， 当且仅当即时等号成立， 故此时. 模块三 二面角 解题技巧 知识点03 二面角与面面角的定义与求解 1. 二面角与面面角的区别 二面角的平面角建立在两个半平面的基础上，是一个张角概念，衡量打开程度；而平面与平面的夹角建立在两个整平面的基础上，类似于两条相交直线形成两组对顶角，人为选择不超过90°的角作为面面角二面角的平面角建立在两个半平面的基础上，是一个张角概念，衡量打开程度；而平面与平面的夹角建立在两个整平面的基础上，类似于两条相交直线形成两组对顶角，人为选择不超过90°的角作为面面角 二面角：由一条直线引出的2个半平面所成夹角，范围 面面角：两个平面的夹角，范围 2. 求二面角常用方法介绍 一、定义法：交线上取点等腰三角形共底边时 作二面角步骤 第一步：在交线l上取一点O 第二步：在α平面内过O点作l的垂线OA 第三步：在β平面内过O点作l的垂线OB ∠AOB即为二面角，余弦定理求角 二、三垂线法（作面的垂直）—后续计算小 使用情况：已知其中某个平面的垂线段 已知AB⊥β，过垂直B作l的垂线OB， ∠AOB即为二面角，且△AOB为直角三角形，邻比斜 三、作2次交线的垂线 作二面角步骤 第一步：作AO⊥l 第二步：作OB⊥l 连接AB，∠AOB即为二面角，余弦定理求角 四、转换成线面角 作二面角步骤 第一步：作AO⊥l 第二步：作AB⊥β(找不到垂足B的位置用等体积求AB长) 连接AB，∠AOB即为二面角 △AOB为直角三角形，邻比斜 五、转换成线线角—计算小，也是法向量的原理 提问：什么时候用？ 若平面α存在垂线AB，且β平面存在垂线AC 则平面α与平面β的夹角等于直线AC与AB的夹角 六、投影面积法——面积比（三垂线法进阶） 如图△ABC在平面α上的投影为△A1BC，则平面α与平面ABC的夹角余弦值 即 将从边之比面积之比，从一维到二维，多角度求出两三角形面积，最后求解 补充：即使交线没有画出来也可以直接用 【现学现练】（多种解法）如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，PQ是所在棱上的中点. （1）求平面APQ与平面ABCD夹角的余弦值;（2）补全截面APQ 【答案】 方法1：投影面积法 方法2：转换成线线夹角 简证：在平面AA1CC1A中，作CH⊥BM，易知CH⊥平面APQ，而CC1⊥平面ABCD，故，由相似可以算出CH的长 方法3：定义法—取中点 简证：平面APQ与平面ABCD的夹角转化为平面APQ与平面A1B1C1D1的夹角，此时PQ为交线 此时2个图形的对称轴垂直交线，故取交线的中点，∠A1MA即所求 方法4：找出交线，再作2次交线（平行线）垂线 简证：M为PQ中点，易知l为两平面交线，过AH⊥l，AC⊥l，故面面角的平面角为∠MAC 方法5：转换为线面角——只做1次交线的垂线 简证：易知平面APQ与平面ABCD的夹角即为平面APQ与平面A1B1C1D1的夹角 而A1M⊥交线PQ，此时平面APQ与平面A1B1C1D1的夹角等价于A1M与平面APQ的夹角 作A1G⊥平面APQ，连接MG，通过等体积法求出A1G，即可 （2）如图 【题型9】定义法求二面角 典型例题 【例题1】如图，在正方体中，点是的中点，则平面与底面所成角的正切值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正方体的性质可得，，即可得到为平面与底面所成角的平面角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】依题意平面，平面， 所以，， 所以为平面与底面所成角的平面角， 设正方体的棱长为，则，， 又，所以， 即平面与底面所成角的正切值为. 【例题2】假设是所在平面外一点，而和都是边长为2的正三角形，，那么二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取的中点，连接， ∵和都是边长为2的正三角形，则， 所以为二面角的平面角， 又因为，则， 所以，即二面角的大小为.故选：D. 【例题3】如图，二面角的棱上有两个点A，B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱.若，，，，则平面与的夹角是 ． 【答案】 【解析】如图，在二面角中，过A在平面内作，并取AE=BD=4，连接DE，CE， 所以AE//BD，所以四边形AEDB为矩形，为二面角的平面角. ，面ACE，AE面ACE， 所以面ACE，面ACE，故， 又四边形AEDB为矩形，所以AB//ED，所以. 在直角三角形CED中，DE=AB=2，，所以. 在三角形CEA中，AC=3，AE=4，CE=， 由余弦定理得：， 又，所以,即平面与的夹角是. 巩固练习 题型 【巩固练习1】在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，侧面PAB是等边三角形，，则平面PAB与平面ABCD的夹角为 【答案】 【解析】分别取的中点，连接， 因为侧面PAB是等边三角形，，四边形ABCD是边长为2的正方形， 所以， ， 又，平面平面, 所以是平面PAB与平面ABCD的平面角， 又， 所以，所以， 所以平面PAB与平面ABCD的夹角为 【巩固练习2】如图，正方体中，，则二面角的余弦值为 . 【答案】 【解析】取BD的中点O，连接A1O，C1O，A1C1，如图所示： 因为长方体中， 所以，即 ， 所以，，且. 所以为二面角的平面角， 【巩固练习3】如图，在三棱锥V-ABC中，，，，，且，，则二面角V-AB-C的余弦值是 【答案】 【分析】取的中点，连接、，证明出，，可得出二面角的平面角为，计算出、，利用余弦定理求得，由此可得出二面角的余弦值. 【详解】取的中点，连接、，如下图所示： ，为的中点，则，且，，， 因为，为的中点，可得，又因为所以， 则二面角的平面角为， 由余弦定理得， 因此，二面角的余弦值为. 【巩固练习4】（23-24高一下·广东中山·期中）如图,二面角等于,是棱上两点, 分别在半平面内, ,, 且则的长等于（    ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】借助向量来解决,由二面角的平面角的定义可得,求的模即为的长. 【详解】由二面角的平面角的定义知,, 由,,得,,, , 所以,即． 【巩固练习5】（23-24高一下·河南新乡·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD，E是PC的中点，点F在棱BP上，且，四边形ABCD为正方形，.    (1)证明：；(2)求三棱锥的体积；(3)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【分析】（1）由线面垂直的判定求证； （2）由转化求解； （3）由线面垂直的性质得即二面角的平面角，即可求解． 【详解】（1）证明：因为底面，底面，所以. 因为四边形为正方形，所以. 因为，所以平面. 因为平面，所以. 在中，，E是PC的中点，则. 因为，所以平面. 因为平面，所以. 因为，，所以平面. 因为平面，所以. （2）连接交于点，如图所示：    则，又底面，平面，得， 而，则平面，则点C到平面的距离为， 因为E是PC的中点，所以 ，，，， 所以，， 所以. （3）解：由（1）可得平面，因为平面，平面，所以，. 为二面角的平面角. ，. 因为，所以，解得. 因为，即，所以. 故二面角的余弦值为. 【题型10】三垂线法求二面角（重点题型） 典型例题 【例题1】（23-24高一下·湖北·期末）在三棱锥中，，，，.点在平面上的射影恰好在上. (1)若为线段的中点，求证：平面；(2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）连接，，由平面，得，再由中位线定理得平行从而得，从而证得线面垂直； （2）作于，连接，证明即为二面角的平面角，然后在直角三角形中求解. 【详解】（1）证明：连接，， 平面，平面，平面， ，， 又，为中点. 又为中点， 又，， ，平面，平面. （2）作于，连接， 平面，平面，则， 又因为，平面， 平面，而平面，. 又，为的中点，所以， 又，. 则即为二面角的平面角. 在中，. 设，，则. 因为，在中，， 则，，. 【例题2】（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，点M为PB的中点． (1)求证：平面PAD；(2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据中点特征，平面PAD内找一条与平行的直线，运用中位线性质和平行线传递性，证明线线平行，最终得到线面平行即可； （2）运用中点特征，作辅助线找出二面角的平面角后，转化用余弦定理来解三角形即可． 【详解】（1）如图，取中点，连接． 由于点M为PB的中点，则，且，且， 故四边形为平行四边形，则. 又，，则平面PAD． （2）如图， 由于平面平面， 为两平面交线，且，平面， 则平面，平面，则，； 取中点O，连接DO，OP，则， ，且， 则四边形DOBC为正方形，则，由（1）知道， 平面，故平面． 又，则，则两两垂直． 可以求得，，， 则和都为等腰三角形. 取DB中点R， 连接CR，RP，则 则∠CRP即为二面角P−BD−C的平面角. ，，前面已经求得，． 在中，用余弦定理得， 由图可知，二面角为钝角，则余弦值为． 【例题3】（23-24高一下·广东中山·期中）在四棱锥中， 底面是边长为2的正方形， 平面. (1)求证：； (2)若与底面所成的角为45°； ①求点B到平面的距离； ②求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据题意，证得和，得到平面，进而证得； （2）①解法1、记点到平面的距离为，根据，列出方程，即可求得点到平面的距离；解法2、由平面，转化为点到平面的距离，在直角中，结合三角形的面积相等，即可求解； ②过点作过点作，证得，得到二面角的平面角为，在直角中，求得，进而求得二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：因为底面是正方形，可得， 又因为平面，平面，所以， 因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）解：①解法1、因为平面，平面，所以， 所以与平面所成的角为， 所以，且，所以，所以， 因为正方形边长为，所以，所以， 又因为平面，平面，所以，所以， 在中，，所以， 记点到平面的距离为，由，可得， 所以点到平面的距离为. 解法2、因为平面， 所以点到平面的距离即为点到平面的距离， 因为平面，平面，所以， 又因为，且，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 过点作，由平面平面，且平面， 所以平面，即为点到平面的距离， 所以点到平面的距离即为点到平面的距离，设距离为， 在直角中，，，， 由，可得，即点到平面的距离为. ②过点作于点， 设交于点，过点作于点，连接， 由①知，因为，且平面， 所以平面，又因为平面，所以， 所以二面角的平面角为， 因为，所以， 因为为的中点，，所以， 在正方形中，， 所以，在直角中，，可得， 所以二面角的余弦值为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】如图，正三棱柱的棱长都相等，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点，连接， 因为为等边三角形，则， 又因为平面，平面， 则， 可知，可得，则， 所以二面角的平面角为， 设，则， 所以.故选：B. 【巩固练习2】如图，四边形是正方形，平面，且 求二面角的大小的正弦值．    【答案】 【分析】根据已知得，，可知二面角的大小的平面角，在直角三角形中求其正弦值即可. 【详解】连接,    ∵,,∴, ∴,∴二面角的大小的平面角， 又∵,,平面,且, ∴平面,∴, ∵,∴,∴, ∴ ,即二面角的大小的正弦值. 【巩固练习3】（23-24高一下·四川凉山·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点. (1)求证：平面； (2)求侧面与底面所成二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而根据线线垂直即可求证； （2）根据面面垂直的性质可得为平面与面所成二面角的平面角，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】（1）因为是正三角形，且是的中点.，所以， 又底面 是正方形，所以 ， 又因为平面平面， 且平面平面，平面，所以平面， 又因为平面 ，所以平面， 所以平面. （2）如图，取的中点的中点，连接， 因为是正三角形，所以 又因为平面平面，且平面平面 ，平面， 所以平面 ，平面，故， 由题意可知平面，故平面 平面故， 故为平面与面所成二面角的平面角， 设 ， 则， ， 所以 . 综上所述：侧面与底面所成二面角的正弦值为. 【巩固练习4】如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点E满足，现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示. (1)在棱上是否存在点F，使直线平面，若存在，求出，若不存在，请说明理由； (2)求二面角的平面角的正切值. 【答案】(1)存在，；(2)2 【分析】（1）设的中点为N，证得四边形DENF是平行四边形，得到，得出平面，进而得到结论； （2）连接CE，取BE中点O，作于M，证得，得到为二面角的平面角，在直角中，即可求解． 【详解】（1）解：当F是AC的中点时，直线平面. 证明如下： 设的中点为N，连接EN，FN， 因为，，且，， 所以且，所以四边形DENF是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 所以存在点F，使平面，且. （2）解：在平面图形中，连接CE，则，， 所以， 如图所示，取BE中点O，连接，则， 因为平面，平面平面，且平面平面， 所以平面，又因为平面，所以 作于M，连接， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在直角中，，，可得， 故二面角的平面角的正切值为． 【巩固练习5】（2023下·湖北武汉期末联考）如图，在三棱柱中，面为正方形，面为菱形，，侧面面. (1)求证：面；(2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理即可得证. （2）过作于，过作于，连接，利用线面垂直的性质定理得出为二面角的平面角，在中直接求解即可. 【详解】（1）由菱形可得， 面面，面面， 又正方形中， 面，又平面，， ，平面，面. （2）过作于，则面. 过作于，连接， 因平面，则， 又平面，，故平面， 又平面，所以， 故为二面角的平面角， 在中，设，，， ，，， . 即二面角的余弦值为. 【巩固练习5】（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）已知如图甲，在梯形ABCD中，，，，E，F分别是AB，CD上的点，，，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面平面EBCF（如图乙）． (1)证明：平面ABE； (2)当时，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）由题意得到，，从而得到线面垂直； （2）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，从而，进而证明出故，所以为二面角的平面角，求出各边长，求出，进而求出二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：在直角梯形ABCD中，因为，故，， 因为，故． 所以在折叠后的几何体中，有，， 而，平面， 故平面ABE． （2）如图，在平面AEFD中，过D作且交EF于G． 在平面DBF中，过D作且交BF于H，连接GH． 因为平面平面EBCF，平面平面，平面AEFD， 故平面EBCF， 因为平面EBCF，故，而，故平面DGH， 又平面DGH，故，所以为二面角的平面角， 在平面AEFD中，因为，，故， 又在直角梯形ABCD中，且， 故，故四边形AEGD为平行四边形，故，， 在直角中，， 因为为三角形内角，所以为锐角， ，，解得， 故，故， 因为三角形内角，故为锐角， ，，解得， 所以二面角的平面角的余弦值为． 【巩固练习6】（2025·浙江金华·二模）如图，为圆锥的顶点，为底面圆的直径，为圆周上一点，为劣弧的中点，. (1)求证：； (2)在线段上且，当平面时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面，即可证明； （2）解法一：在上取点，使得，连接，由线面平行的性质定理可得，然后设与交于点，连接，即可得到就是平面与平面夹角，代入计算，即可得到结果；解法二：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）证明：如图，连接，因为为的中点，所以， 又因为平面，故， ，平面， 所以平面，平面，则. （2） 解法一：在上取点，使得，连接，则， 又平面，平面，故平面， 又平面，且，平面， 所以平面平面， 且平面平面，平面平面， 所以， 则，又， 所以，所以，则， 设与交于点，连接，则， 又因为，所以， 所以就是平面与平面夹角， 因为，所以，所以 即平面与平面夹角的余弦值为. 【题型11】作2次交线的垂线求二面角 典型例题 【例题1】如图，四边形是正方形，平面，且.求二面角的大小.    【答案】 【分析】由已知可得平面，作的中点,的中点,连接,，,可知为二面角的平面角，即可求解 【详解】作的中点,的中点,连接,,,    ∵平面，面,∴, ∵，∴为等腰直角三角形， ∵为的中点，∴, 又∵,,平面,且, ∴平面,∴, ∵分别为和的中点，∴, ∴为二面角的平面角， ∵,∴平面,∴,∴, 即二面角的大小为 【例题2】（23-24高一下·广东深圳·期中）已知三棱柱中，平面平面ABC，四边形为菱形，且，，.    (1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值的大小. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）由面面垂直的性质可证得，由四边形为菱形，得，再利用线面垂直的判定定理可证得结论； （2）设，作于E，连AE，则可证得为二面角的平面角，然后在中求解即可. 【详解】（1）证明：因为平面平面ABC，平面平面，，平面，所以平面.又平面，所以， 因为四边形为菱形，所以.又，，平面.所以平面. （2）解：设，作于E，连AE，如图所示    由（1）平面，平面，所以， 又，，，平面AEO，所以平面AEO， 又因为平面AEO，所以， 所以为二面角的平面角， 又四边形1是菱形，，所以， 所以是等边三角形，则，， 在中，，则，，， 由平面，平面知，即， 所以，所以，所以二面角的余弦值为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·河南开封·期末）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．已知四面体为鳖臑，且，，记二面角的平面角为θ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，过点作交于点，证明二面角的平面角为θ就是，结合解三角形知识即可求解. 【详解】由题意设， 取的中点，过点作交于点，连接，如图所示： 因为，，点是等腰直角三角形斜边上的中点， 所以， 又因为，平面，平面，平面平面， 所以二面角的平面角为θ就是， 设，则，，，， 从而，所以， 又， 所以，所以， 所以，. 【巩固练习2】（23-24高一下·湖南株洲·期末）如图，在三棱柱中，，，在底面的射影为的中点，为的中点. (1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）设为的中点，由线面垂直得到，由三线合一得到，从而得到线面垂直，证明出四边形为平行四边形，得到，证明出结论； （2）作出辅助线，证明出为二面角的平面角，结合（1）得到，求出各边长，利用余弦定理求出的余弦值，进而得到线面角的正弦值. 【详解】（1）设为的中点，由题意得平面， ∵平面， ， ，为的中点， ， ∵，平面， 故平面， 由，分别为，的中点，得且， 从而， 四边形为平行四边形， 故， 又平面， 平面； （2）作，且，连结， 由，，得， 由，，得≌，由，得， 因此为二面角的平面角， 由（1）得平面，平面， 所以， 由，，，得， 故， 由余弦定理得，， 所以. 【巩固练习3】（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面平面，是边长为2的正三角形，，是中点，过点，，的平面与交于点.    (1)求证：；(2)求证：；(3)求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意得，则由线面平行的判定定理可得平面，再利用线面平行的性质定理可证得结论； （2）由题意可得是中点，则，再利用面面垂直的性质可得平面，则，而，则可得结论； （3）过作于，连接，则可证得就是二面角的平面角，然后在中求解即可. 【详解】（1）因为底面是菱形，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面平面，平面， 所以； （2）由（1）知，，所以， 因为是中点，所以是中点， 因为是正三角形，所以， 因为平面平面， 平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以； （3）过作于，连接， 由（2）知平面， 又因为平面，平面， 所以，， 因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以就是二面角的平面角， 在正三角形中，，， 在中，，，所以， 在中，， 在中，， 所以二面角的正切值为.    【巩固练习4】在三棱锥中,底面△ABC为等腰直角三角形,. （1）求证：AC⊥SB；（2）若AB＝2，，求平面SAC与平面SBC夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析;(2) 【详解】（1） 证明：取的中点为E，连结， ∵，∴， 在和中， ∴，∴， ∵的中点为E，∴， ∵，∴面， ∵面，∴ （2）几何法：作2次交线的垂线得出二面角，即AM⊥SC，MN⊥SC，∠AMN即所求，易知MN均为中点，答案为 【题型12】把二面角转换成线线角 典型例题 【例题1】在直三棱柱中，已知侧面为正方形，，D，F分别为AC，BC，CC1的中点，BF⊥B1D． （1）证明：平面B1DE⊥平面BCC1B1；(2)求平面BC1D与平面夹角的余弦值 【答案】 【详解】（1）解：（1）由题设条件可知， ∵ 四边形为正方形 ∴ ∵ E，F分别为BC，的中点 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴， 又∵且 ∴平面， 又BF平面， ∴平面⊥平面. （2）考虑补成正方形，易知A1C⊥平面BDC1，故平面BC1D与平面夹角即为直线BF与直线A1C的夹角，取A1C1的中点G，A1C∥GF，，,， 巩固练习 题型 【巩固练习1】如图(1)，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥BC，且取AB的中点O，连结OD，并将△AOD沿着OD翻折，翻折后，点M，N分别是线段AD，AB的中点，如图(2)． （1）求证：AC⊥OM，（2）求平面OMN与平面OBCD夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）连接， ，，，为中点， 四边形为正方形，， 翻折后，，，； 又，，平面，平面， 平面，， 又，，平面，平面， 平面，； ，为中点，， 又，平面，平面， 平面，. （2）法1：以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，； 轴平面，平面的一个法向量； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； ，即平面与平面夹角的余弦值为 法二：找出交线l，再用三垂线法 设平面OMN∩平面OBC=l，由线面平行的性质定理，MN//l，所以l//BD， 在平面OBCD内，过点O作 BD 的平行线，即为平面 OMN 与平面 OBCD的交线取OD的中点E，在平面OBCD 内，过点E作EF⊥l于F，连结ME，MF， ∵ME∥OA，∴ME⊥平面OBCD， ∴∠MFE即为平面OMN与平面OBCD的夹角， 易知 法三：线线角最快（AC⊥平面OMN,故∠OAC即所求）， 法四：投影面积法计算量也不大， 法五：还可以用定义法：取MN中点G， 【巩固练习2】（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，正三棱柱中，各棱长均相等，､､､分别为棱､､､的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先根据证明平行四边形得出线线平行，再应用线面平行判定定理证明即可； （2）应用线面垂直判定定理及面面垂直判定定理证明即可； （3）根据面面垂直结合二面角定义找到二面角，再应用边长求正弦及余弦值即可. 【详解】（1） 连接，，， 又为的中点，，， 四边形是平行四边形， 又平面，平面， 平面， （2）平面，， 是的中点，，又，平面， 平面， 又因为平面，， 在正方形中，､分别为棱､的中点， ，平面， 平面， 又平面，平面平面. （3）由（2）知平面，平面， 平面平面平面，且平面平面， ，设与交于点，则平面， 过作垂直，连接，则， 为二面角的平面角， 令，则，， ， 又因为，， 为的中点，， 在直角三角形中，， 由图知，为锐角，， 思路一：由图知二面角的平面角与二面角的平面角互补， 故二面角的平面角的余弦值为. 思路二：易知平面，故直线与的夹角与二面角的平面角互补，又，故即所求 【题型13】投影面积法求二面角 典型例题 【例题1】如图与所在平面垂直，且，，则二面角的余弦值为 . 【答案】 【分析】根据题意以及面面垂直的性质定理，可作出在平面内的射影，再利用摄影面积法求出二面角的余弦值，再根据所求角与二面角互补即可求得结果. 【详解】过 A作的延长线于E， 连结 DE， ∵平面平面，平面平面， ∴ 平面 ∴ E点即为点A在平面内的射影， ∴ 为在平面内的射影，                                                                        设，则， ∴由余弦定理可得，∴， ∴ ， 又，∴ ， 设二面角为，∴ . 而二面角与互补， ∴二面角 的余弦值为. 故答案为： 巩固练习 题型 【巩固练习1】在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD． （1）证明：AB⊥平面PAD； （2）求面PAD与面PDB所成的二面角的正切值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴AB⊥AD， ∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD， ∴由面面垂直的性质定理得，AB⊥平面PAD； （2）(法一)由题意，△PBD在面PAD上的射影为△PAD． 设AD＝a，则S△PAD， △PBD中，PD＝a，BDa，PBa， ∴S△PBD， ∴面PAD与面PDB所成的二面角的余弦值为， ∴面PAD与面PDB所成的二面角的正切值为． （法二）如图所示：取中点，连接. 设AD＝a，则，所以, 所以是平面PAD与平面PDB所成的二面角的平面角， 在中，,所以. 【巩固练习2】（多选）如图所示，为正方体，以下四个结论中正确的有（ ） A．平面 B．直线与BD所成的角为60° C．二面角的正切值是 D．与底面ABCD所成角的正切值是 【答案】AB 【解析】如图，因为正方体中对角线在平面上的射影为， 而，，， 所以平面，所以，同理可得， 又，可得平面，故A正确； 因为，所以直线与BD所成的角为直线与所成的角， 即为所求，又正方体中为正三角形，所以，故B正确； 因为在上底面的射影三角形为， 所以二面角的余弦为， 所以，故C错误； 因为平面ABCD，所以与底面ABCD所成角为， 所以，故D错误.故选：AB 【巩固练习3】如图所示，已知圆柱的底面直径，母线长，且为圆柱底面圆周上的一点，．求： （1）圆柱的体积和侧面积； （2）二面角的正弦值． 【答案】（1）体积，圆柱的侧面积；（2） 【解析】（1）因为圆柱的底面直径，母线长， 所以，圆柱的体积为，圆柱的侧面积为. （2）因为是圆柱的底面直径，所以， 因为是圆柱的母线，所以平面， 在中，，，所以， ∴， 由勾股定理得， 在中，∴， 则， 设二面角为，则由射影面积法可得 所以，因此，二面角的正弦值为. 【题型14】已知二面角求其它量 典型例题 【例题1】如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可； (2)利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可. 【详解】（1）因为，O是中点，所以， 因为平面，平面平面， 且平面平面，所以平面． 因为平面，所以. （2）如图所示，作，垂足为点G． 作，垂足为点F，连结，则． 因为平面，所以平面， 为二面角的平面角． 因为，所以． 由已知得，故． 又，所以． 因为， ． 【例题2】如图，为圆锥顶点，是圆锥底面圆的圆心，，是长度为的底面圆的两条直径，，且，为母线上一点． (1)求证：当为中点时，平面； (2)若，二面角的余弦值为，试确定P点的位置． 【答案】(1)证明见详解;(2)是线段靠近点的四等分点 【详解】（1）连接，因为，分别为，的中点， 所以为的中位线，所以， 又平面，平面，所以平面； （2作PF⊥AB于F，因为,故⊥平面，即；再作FG⊥CD于G，则∠PGF为二面角的平面角，即，可知 ，设，则，，，由解得. 【例题3】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）如图，四棱锥中，底面，，，. (1)若，证明：∥平面； (2)若，且二面角的余弦值为，求. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据线面垂直关系可得，由勾股定理可得，则∥，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）做辅助线，根据三垂线法分析可知可知二面角的平面角为，设，根据题意结合三角知识运算求解即可. 【详解】（1）因为底面，且底面，则， 又因为，，平面， 可得平面，由平面，所以， 因为，，，即， 可得，则∥， 且平面，平面，所以∥平面. （2）若，设，则， 过作，垂足为，过作，垂足为，连接， 可得，， 因为底面，且底面，则， 且，则，可得， 因为底面，且底面，则， 且，平面，可得平面， 由平面，可得， 且，平面，可得平面， 由平面，可得， 可知二面角的平面角为，则， 可得，， 则，即， 可得， 整理可得，解得或（舍去）， 且，则，所以. 【例题4】（23-24高一下·江苏盐城·期末）如图，在四棱锥中，，，，为的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）依题意可得四边形为平行四边形，即可得到，从而得证； （2）连接，即可说明四边形为菱形，得到，从而得到，再由线面垂直得到，从而证明平面，即可得证； （3）首先证明平面，即可得到为二面角的平面角，从而求出，再由，利用等体积法求出点到平面的距离. 【详解】（1）因为，，为的中点， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面； （2）连接，因为，，为的中点， 则，所以四边形为菱形，所以， 又，所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （3）因为平面，平面， 所以，，，又， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角，即， 所以为等腰直角三角形， 所以，又，，， 所以，又平面，平面，所以， 所以， 设点到平面的距离为，则，即， 即，解得，即点到平面的距离为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】如图，两两垂直，过作，垂足为D. （1）求证：平面； （2）设，二面角的平面角为时，求三棱锥侧面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理及性质定理可证得； （2）利用二面角的定义知，进而求得，由此能求出三棱锥侧面积. 【详解】（1）证明：，，，平面， 平面， 又平面， 又，，平面 平面 （2），且，为BC中点， ，， ， 是二面角的平面角，即， 在直角中，，， 又平面，又平面， 在直角中，，， ， 所以三棱锥的侧面积为： 【巩固练习2】如图，在三棱锥中，平面平面，，点O为BD的中点．    （1）证明：； （2）若是边长为4的等边三角形，点E为AD中点，且二面角的大小为，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可证明AO⊥平面BCD，进而得出结论； （2）过点E作EF∥AO交BD于点F，过点F作FM⊥BC，则EF⊥平面BCD，进而得BC⊥平面EFM，可知二面角的平面角为，且，为直角三角形，求出，利用锥体体积公式可得解. 【详解】（1）AB＝AD，点O为BD中点，AO⊥BD， 又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD平面BCD,平面ABD， AO⊥平面BCD， 又平面BCD，AO⊥BC； （2）过点E作EF∥AO交BD于点F，过点F作FM⊥BC，垂足为M，连接EM，    AO⊥平面BCD，EF∥AO，EF⊥平面BCD， 又平面BCD，EF⊥BC， FM⊥BC，，EF、FM在面EFM内，BC⊥平面EFM， 又平面EFM，BC⊥EM， 二面角的平面角为，且， ,为正三角形， 为直角三角形，， FM∥CD，点F为BD的靠近点D四等分点， ， ， ， 平面BCD， . 【巩固练习3】（广东佛山·高一统考期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，．    （1）证明：平面平面； （2）点在棱上，当二面角的余弦值为时，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，，可得平面，进而可得结论； （2）过作交于，过作于，连接，先证明平面，可得为二面角的平面角，设，列方程求解即可. 【详解】（1）连结，∵侧棱底面， 平面，∴． 又∵底面是正方形，∴． 而且，平面． ∴平面．又平面， ∴平面平面．    （2）过作交于，过作于，连接． 在平面中，，， ∴，因为底面，∴平面， 又平面，∴， 又∵，，平面， ∴平面，又平面，∴， ∴为二面角的平面角． 故，则． 设，则，，． 在Rt中，，∴． 在Rt中，， ∴．所以，当二面角的余弦值为时，． 【巩固练习4】（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知正三棱台的上､下底面的边长分别为6和12，且棱台的侧面与底面所成的二面角为，则此三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正三棱台的几何特征求出棱台的高，再求出上下底面积，利用棱台的体积公式求解即可. 【详解】由题意可知正三棱台的上底面面积为，下底面面积为， 设中点为，为下、上底面中心，连接，过作底面交于， 由正三棱台的性质可知，， 因为平面平面，所以为棱台的侧面与底面所成的二面角的平面角，即， 因为，， 所以，， 所以此三棱台的体积 【巩固练习5】（23-24高一下·甘肃兰州·期末）如图，在四棱锥中，平面PAB，且在四边形PACQ中，，，二面角的大小为，且． (1)点E为BC的中点，证明：平面PAB；(2)求直线BQ与平面PACQ所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）运用垂直条件找出二面角的平面角，得到，借助中位线证明平行，进而得到四边形PQEF为平行四边形，再运用线面平行的判定定理即可； （2）过B作于点M，得到平面，得到平面平面ABC，运用面面垂直性质得到平面PACQ， 得到即为所求线面角.再结合勾股定理和余弦定理求线段长度，借助锐角三角函数求解角的正弦值即可. 【详解】（1）证明：∵平面PAB，平面PAB∴， ∵∴， ∵，∴平面ABC，∵平面ABC，∴． ∵，，∴二面角的平面角即为，∴， ∵平面PAB，平面PAB，∴， ∵，∴， 取AB中点F，连接EF，则， 又，∴， ∴四边形PQEF为平行四边形， ∴，又平面PAB，平面PAB，∴平面PAB； （2）解：过B作于点M，∵平面PACQ，平面， ∴平面平面ABC，交线为AC，则平面PACQ，连接QM， ∴即为所求线面角， ，而， 由勾股定理可得：， 在中，过点Q作于点N，则， 因为，则，是等腰直角三角形，所以，， 由余弦定理得：， 由勾股定理得：， ∴，即BQ与平面PACQ所成角正弦值为． 【巩固练习6】（23-24高一下·广东广州·期末）如图，已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，体积为，平面平面，且. (1)证明：平面； (2)求点到面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）利用面面垂直的性质推理即得. （2）延长交于一点，根据可求得，利用等体积法构造方程求解. （3）根据线面垂直和面面垂直性质可作出二面角的平面角，设，根据几何关系可表示出，由二面角大小可构造方程求得，进而得到结果. 【详解】（1）在三棱台中，平面平面，， 而平面平面，平面， 所以平面. （2）由棱台性质知：延长交于一点，    由，得，点到平面的距离为到平面距离的2倍，则， 于是，由平面，得为点到平面的距离， 又，则是的中点，，即为正三角形，为正三角形， 设，则， ，解得， ，由平面，得，， ，设点到平面的距离为， 由，得，解得：. 即点到平面的距离为. （3）由平面，平面，得平面平面，取中点，连接， 在正中，，而平面平面，则平面，而平面， 则，又平面，则平面平面，作于， 平面平面，则平面，，而平面，则， 作于，连接，，平面，则平面， 而平面，于是，即二面角的平面角， 设，由（2）知：，， 由，得，， 由，得， 若存在使得二面角的大小为， 则，解得， ， 所以存在满足题意的点，. 【题型15】找交线求线面角，二面角 典型例题 【例题1】如图， 在圆台 中，，点C是底面圆周上异于A、B的一点，, 点D是的中点， 为平面与平面的交线， 则交线与平面所成角的大小为 ． 【答案】/ 【分析】根据中位线的性质与线面平行的判定与性质转化交线与平面所成角为与平面所成角，根据线面角定义、线面垂直的判定与性质解三角形即可. 【详解】因为，D分别是，BC的中点，所以， 所以平面，平面，所以平面， 平面，平面平面， 所以，，所以， 所以直线l与平面所成角即直线与平面所成角， 因为为直径，所以，因为，即， 又因为平面， 平面，所以，平面， 所以平面，过点作交于点， 因为平面，所以，， ，平面，所以平面， 所以为交线l与平面所成角， 因为，， . 所以，结合图知. 故答案为：. 【例题2】（23-24高一下·湖南株洲·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，为线段上的动点. (1)若为的中点，求三棱锥的体积； (2)若，问上是否存在点，使得平面？若存在，请指明点的位置；若不存在，请说明理由； (3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1) (2)存在，AB的中点 (3) 【分析】（1）根据题意，由条件可得点与点到平面的距离之比为，再由锥体的体积公式，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由线面平行的判定定理，即可证明； （3）根据题意，由二面角的定义可得是面与面所成锐二面角的平面角，代入计算，即可求解. 【详解】（1）因为为的中点，所以点与点到平面的距离之比为， 故. （2） 存在，取AB的中点，连接DM交AC于点，连接EG， 则EG为面AEC与面PMD的交线. 易得， 在三角形中，，所以，所以平面EAC， 即存在点，且当为AB中点时，平面. （3）过点P作，因为， 所以，面面， 因为面，所以，又，， 所以面， 又因为，所以面，，， 所以是面与面所成锐二面角的平面角， 因为是等腰直角三角形，所以. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·浙江宁波·期末）如图，在多面体中，平面，，，四边形是正方形． (1)求直线与平面所成角的余弦值； (2)证明：平面； (3)求平面与平面所成的二面角的平面角的大小. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）首先证明平面， 即可得到就是直线与平面所成角，再由锐角三角函数计算可得； （2）由勾股定理逆定理说明，，即可得证； （3）取的中点，连接、，即可证明、、、四点共面，再证明平面，从而得到为平面与平面所成的二面角的平面角，即可得解. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 因为为正方形，所以， 又，，平面， 所以平面， 故就是直线与平面所成角， 又平面，所以， 因为平面，，所以平面， 平面，所以，所以， 在中 ，所以， 所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为； （2）因为平面，平面， 所以， 因为，， 所以四边形为直角梯形， 所以，， 在中，，则， 故， 因为平面，平面， 所以， 在中，， 在中，，， 所以，又，，平面， 所以平面； （3）取的中点，连接、，则且， 所以四边形为平行四边形，所以，又， 所以，所以、、、四点共面，又，，， 平面， 所以平面，则平面，平面， 所以，， 所以为平面与平面所成的二面角的平面角， 又，，即为等腰直角三角形，所以， 所以平面与平面所成的二面角的平面角的大小为. 【巩固练习2】（23-24高一下·福建福州·期末）在四棱锥中，四边形为矩形，平面为垂足，，平面． (1)证明：为等腰三角形． (2)若为等腰直角三角形．设平面与平面的交线为 ，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据线线平行可得面面平行，进而根据面面平行的性质可得，线线垂直可求证线面垂直，进而根据线面垂直的性质即可求证， （2）延长交于点，连接，分析可知即为二面角 的平面角，结合余弦定理运算求解. 【详解】（1）取的中点，连接，，， 因为为的中点，所以． 又平面，平面，所以平面． 因为平面，，平面， 所以平面平面． 因为平面平面，平面平面，所以． 因为，所以． 由平面，平面，可得． 又，平面,所以平面，平面, 从而． 因为是的中垂线，所以． （2）延长交于点，连接， 由平面，平面， 则， 因为∥，平面，平面，则∥平面， 且平面，平面平面，则∥， 即∥∥， 因为为等腰直角三角形．则，且， 且，可得，则， 又因为为矩形，则，可知∥， 则为矩形，则， 可得，， 由（1）可知：，则， 且，，平面， 则平面，且平面，可得， 即，可知即为二面角 的平面角， 可得， 所以二面角 的余弦值为. 【巩固练习3】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCI)是平行四边形，∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝2，PD⊥CD． (1)证明：AB⊥PB； (2)若平面PAB⊥平面PCD，且，求直线AC与平面PBC所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）利用余弦定理和勾股定理可得，进而根据线面垂直的判定和性质分析判断； （2）方法一：建系，利用空间向量求线面夹角；方法二：利用等体积法求点A到平面PBC的距离，结合线面夹角的定义分析运算. 【详解】（1）如图1，连接BD， 因为四边形ABCD是平行四边形，且，，， 所以，，， 所以， 所以， 所以，所以， 又因为，，BD，PD平面PBD， 所以平面PBD， 因为PB平面PBD，所以， 因为，所以． （2）如图2，设平面PAB和平面PCD的交线为直线l， 因为，CD平面PAB，AB平面PAB，所以平面PAB， 因为CD平面PCD，平面PAD平面， 所以， 因为平面PBD，所以平面PBD， 因为PB，PD平面PBD，所以∠BPD是平面PAB与平面PCD的二面角， 因为平面平面PCD，所以，即 在Rt△ABP中，因为，，所以 在Rt△BPD中，因为，则，所以△BPD为等腰直角三角形， 在△ABC中，因为，，，则 ， 设点A到平面PBC的距离为d， 由（1）知CD⊥平面PBD，因为四边形ABCD是平行四边形，所以， 又因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC， 所以， 因为，所以， 设点A到平面PBC的距离为d，由（1）知CD⊥平面PBD， 所以， 在△PBC中，，，， 因为，所以， 所以， 所以，解得， 记直线AC与平面PBC所成角为θ，则， 所以直线AC与平面PBC所成角的正弦值为． 【题型16】范围问题 典型例题 【例题1】（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，，分别是线段的中点，点在平面内的射影为点.    (1)求证：平面； (2)设为棱上一点，，. ①若，请在图中作出三棱柱过三点的截面，并求该截面的面积； ②求二面角的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)①截面图见解析，面积为；② 【分析】（1）连接，先证明面，则，易得，再根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）①取的中点，取的中点，连接，证明，即可得出图形，再求出四边形面积即可； ②过作交于，连接，根据线面垂直的性质可得，则二面角的平面角即为，再解即可. 【详解】（1）如图所示，连接， 由题意可知面ABC，四边形是菱形， ∵面， ∴， 又∵D是AC中点，是正三角形， ∴， 又面， ∴面， ∵面，∴， 在菱形中，有， 而D，E分别是线段的中点，则，∴， ∵面， ∴面；    （2）①取的中点，取的中点，连接， 则且， 又且，∴且， ∴四边形是平行四边形，∴且， ∵分别为的中点，∴且， ∴， ∴过三点的截面即为四边形，   平面，平面，， 故截面为直角梯形， 又底面是边长为4的等边三角形且， ， ， ∴截面面积为； ②过作交于，连接，则， 平面，平面，， 故二面角的平面角即为， G为棱上一点，且，， ，， ， ， ， 令， ， 由双勾函数的性质可得在上单调递减， ∴，∴ ， 故二面角的取值范围.    巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图，在五棱锥中，平面平面，，．四边形为矩形，且，，． (1)证明：平面； (2)若，求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值的最小值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据面面垂直，得到线面垂直，⊥，结合得到线面垂直； （2）作出辅助线，找到即为二面角的平面角，由勾股定理和余弦定理求出各边，最后由余弦定理求出二面角的余弦值； （3）设点到平面的距离为，直线与平面所成角大小为，则，要想直线与平面所成角的正弦值的最小，则最小即可，设，由等体积法和余弦定理，面积公式得到，从而求出的最小值，得到正弦的最小值. 【详解】（1）平面平面，交线为，又，平面， 所以⊥平面， 又平面，所以⊥， 因为，，平面， 故⊥平面； （2），，， 由勾股定理得， 平面，平面， 所以， 因为，，由勾股定理得， 过点作⊥于点，则， 故， 过点作⊥，交于点，连接， 故即为二面角的平面角， 由勾股定理得， 又， 由余弦定理得，故， 在Rt中，，即，解得， 故， 在Rt中，， 由余弦定理得， 故， 在中，由余弦定理得， 故二面角的余弦值为； （3）连接，因为，，所以， 又，⊥，由勾股定理得， 设点到平面的距离为，直线与平面所成角大小为， 则， 要想直线与平面所成角的正弦值的最小，则最小即可， ， 由（1）得平面，故， 设，则，， 故， 在中，由余弦定理得 ， 故， 则， 因为，所以， 故， 当时，取得最小值，最小值为， 故直线与平面所成角的正弦值的最小值为. 【巩固练习2】（23-24高一下·江苏苏州·期末）在三棱柱中，，，，，分别为的中点. (1)证明：平面∥平面； (2)证明：平面⊥平面； (3)若为线段上的动点，求二面角的平面角的余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）只需分别证明面，面，结合面面平行的判定定理即可得证； （2）只需证明 平面，再结合面面垂直的判定定理即可得证； （3）引入参数，将所求表示为的函数即可进一步求解. 【详解】（1）三棱柱中，四边形为平行四边形，分别为的中点，所以，且， 又因为，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又由于面，面，所以面， 在中，，且，同理，且， 所以，又由于面，面，所以面， 又面，，平面， 所以平面∥平面； （2）连接 ， ， 因为 ，所以 ，又因为 ，且，所以 ， 因为 ， 平面 ，且 ， 所以 平面 ，因为 平面 ， 所以 ，在 中， ， ， ， 由余弦定理求得 ， 则 ， ， 因为，所以 ，解得 ， 在，， ，可知，又， 在中，，因此 ． 由（1）知， ，且 ， 平面 ，且 ， 所以 平面， 因为 平面 ，因此平面 平面 ． （3）设，，， 所以到平面的距离为， 在平行四边形中，计算得， 在中可得， 在平行四边形中，计算得， 在中可得， 在中，， 所以到的距离为， 设二面角的平面角为，. 【课后训练】 1. （24-25高一上·云南昆明·阶段练习）如图，在正方体中，，分别为，的中点，则直线和夹角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正方体结构特征证得，化为求直线和夹角余弦值，应用余弦定理求结果. 【详解】连接，由正方体的性质，知也是的中点，且，即， 又，故为平行四边形，则， 所以直线和夹角，即为直线和夹角， 若正方体棱长为2，则， 所以，即直线和夹角余弦值为. 故选：C    2. （24-25高一上·广东广州·阶段练习）正四棱柱中，分别是的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令分别是的中点，是中点，连接，化为求直线与所成角，即，应用余弦定理求其余弦值即可. 【详解】令分别是的中点，是中点，连接， 由正四棱柱的性质及题设，易知且，则为平行四边形， 所以，直线与所成角即为直线与所成角，即， 若，则，，， . 故选：D 3. 如图，在正方体中，点是的中点，则平面与底面所成角的正切值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正方体的性质可得，，即可得到为平面与底面所成角的平面角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】依题意平面，平面， 所以，， 所以为平面与底面所成角的平面角， 设正方体的棱长为，则，， 又，所以， 即平面与底面所成角的正切值为. 4. （23-24高一下·广东湛江·期末）如图，已知四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱长相等且为4，E为CD的中点，则异面直线CM与AE所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取有中点，利用几何法，结合余弦定理求出异面直线夹角的余弦. 【详解】取的中点，连接，由E为CD的中点，得，， 则是异面直线CM与AE所成的角或其补角， 正方形中，，在中，， ，， 于是， 所以异面直线CM与AE所成的角的余弦值为. 故选：D 5. （23-24高一下·安徽马鞍山·期末）如图，圆柱中，是一条母线，是底面一条直径，C是的中点. (1)证明：平面平面； (2)若，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由线面垂直的性质可得，然后由直径所对的圆周角等于可得，进而由线面垂直的判定定理可得平面，从而面面垂直的判定定理得证平面平面. （2）设，作,垂足于，并求的长度，进而由可得，易知是二面角的平面角，从而用余弦定理即可即可求解. 【详解】（1）证明：因为是一条母线，所以平面，而平面，则， 因为是底面一条直径，C是的中点，所以，即， 又平面且， 所以平面，而平面，则平面平面. （2）设，则，. 取的中点，则，， 作，垂足于，则，即， 进而，所以. 因为分别是的中点，连接， 所以，又，. 由，可知，是二面角的平面角. 所以. 故二面角的余弦值为. 6. （23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在直三棱柱中，D、E分别是棱的中点，F为线段上的点． (1)证明：平面； (2)若，当与平面所成角的正弦值为时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明平面平面即可证明平面. （2）设，先利用已知条件结合等体积法求出点F到平面的距离，则可由与平面所成角的正弦值求出，进而得解. 【详解】（1）如图，连接、、、、， 由直棱柱性质且， 所以四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，故平面； 又由直棱柱性质有且，且， 所以且， 所以四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面， 因为，、平面， 所以平面平面，因为平面， 所以平面. （2）因为， 所以，，， 设，则，所以， 由（1）可知点F到平面的距离是一个定值，将其设为， 由直棱柱性质平面，平面，故， 又，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以， ， 又，所以. 所以与平面所成角的正弦值为即， 所以即，故. 7. 如图，在三棱柱中，底面是正三角形，侧棱与底面垂直，且分别是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，取的中点D，连接， 则，且，所以为异面直线与所成的角（或其补角）， 又因为F是的中点，则，又因为三棱柱的侧棱与底面垂直， 则平面，且平面，所以，在中，，所以.故选：D． 8. 如图，AB是半圆柱底面的直径，PA是半圆柱的高，C是上一点，且，D为PB的中点，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为 ． 【答案】 【解析】设， 如图，取PC的中点E，连接DE，AE，可得， 所以异面直线AD与BC所成的角为（或其补角）． 又因为平面，平面，则，且，，平面PAC，所以平面PAC． 且平面PAC，则，所以． 因为，所以在中，． 9. 如图，已知空间四边形的四条边以及对角线的长均为2，M､N分别是与的中点，则异面直线和所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】根据异面直线所成的角的定义，借助平行关系作出平行直线，从而找到异面直线所成角（或补角），即可求解 【详解】如图：连接，设为的中点，连接， 则且， 所以为异面直线和所成的角（或补角）， 由题意可得，所以， ， 在中由余弦定理可得：，故答案为： 10. 如图，直三棱柱中，，，，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 【答案】 【分析】首先构造线面角，再计算线面角的正弦值. 【详解】由条件可知平面平面，且平面平面， ，平面，是直线与平面所成角， , 11. 如图，在正三棱柱中，各棱长均为4，M，N分别是BC，的中点，则直线AB与平面所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】根据线面角的定义及面面垂直的性质定理，再利用线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理，结合锐角三角函数即可求解. 【详解】因为，且为的中点，所以. 在正三棱柱中,平面平面 平面且平面平面,所以平面. 因为平面,所以. 因为M，N分别是BC，的中点，所以 又因为，所以 所以 所以所以 又因为平面,平面,, 所以平面. 设,连接.由平面.如图所示 可知平面，所以为直线AB与平面所成角. 连接AN，由题可知， 所以为等腰三角形，作于，则为的中点， 所以 所以. 所以直线AB与平面所成角的余弦值为. 12. 在三棱锥中（如图所示），，则二面角的余弦值为 .    【答案】 【分析】利用二面角平面角的定义作出二面角的平面角，利用余弦定理求解即可. 【详解】   如图，取AB的中点M，连接PM，CM，在中，，所以，， 同理可得，，，所以即为二面角的平面角. 因为，，在中，由余弦定理得， ，所以二面角的余弦值为. 13. （2025·广东佛山·二模）如图，将一个棱长为2的正方体沿相邻三个面的对角线截出多面体，E是的中点.过点C，E，的平面与该多面体的面相交，交线围成一个多边形. (1)在图中画出该多边形（说明作法和理由），并求其面积； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)作图、理由见解析，多边形面积为； (2). 【分析】（1）若为的中点，连接，结合正方体的结构易得共面，即得多边形，进而求其面积； （2）先证平面平面，再求平面与平面的夹角的余弦值即可. 【详解】（1）若为的中点，连接，显然， 所以共面，即交线围成的多边形为， 由题意，为等腰梯形，且，， 所以. （2）由正方体的结构特征，易知， 由平面，平面，则平面， 同理得平面，都在平面内， 所以平面平面， 故平面与平面的夹角，即为平面与平面的夹角， 而是棱长为的正四面体，所以. 14. （23-24高一下·浙江温州·期末）如图，绕边BC旋转得到，其中，平面ABC，∥． (1)证明：平面ACD； (2)若二面角的平面角为，求锐二面角平面角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据题意可得，结合线面垂直的判定定理分析证明； （2）作辅助线，根据三垂线法分析可知二面角的平面角为，可得，结合（1）分析可知锐二面角平面角为，运算求解即可. 【详解】（1）由题意可知：，且，平面， 所以平面ACD. （2）过作，垂足为，连接，即， 因为平面ACD，平面ACD，则， 且，平面，则平面， 由平面，可得， 可知二面角的平面角为，且，可得， 由（1）可知：，则锐二面角平面角为， 且∥，可知， 可得， 所以锐二面角平面角的正弦值为. 15. 如图，在四棱锥中，已知，是等边三角形，且为的中点. (1)证明：平面； (2)当时，试判断在棱上是否存在点，使得二面角的大小为.若存在，请求出的值；否则，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在， 【详解】（1）证明：在四棱锥中，已知，如图，取的中点，连接， 是等边三角形，且为的中点. ， 是棱的中点，为的中点， ，且. ， ，且. 四边形是平行四边形， . 平面平面， 平面.    （2）是等边三角形，为的中点， ，且为的中点，， ， 又，且平面平面， 平面,平面, ，又，且平面， 平面， 平面， 法一：简析:作MH⊥AD于H，再作HG⊥AP于G，则∠MGH即为二面角的平面角， 接下来解形即可，注意到△AGH和△MGH均为含有60°的直角三角形，故设，则，,在△MPB中，，故 16. （23-24高一下·广东深圳·期中）已知平面四边形，，，，，现将沿边折起，使得平面平面，点为线段的中点． (1)求证：平面； (2)若为的中点，求与平面所成角的余弦值． (3)在（2）的条件下，求平面与平面所成二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，即可得，又由等边三角形可得，即可求证， （2）根据平面可得为与平面所成角，即可利用三角形的边角关系求解， （3）根据二面角的几何法可得为二面角的平面角，利用三角形的边角关系即可求解. 【详解】（1）因为，，所以为等边三角形， 因为为的中点，所以． 因为平面平面，平面平面，,平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面． （2）过点作，垂足为．如图所示， 由（1）知，平面，因为平面，所以， ，，平面，所以平面， 所以为与平面所成角． 在中，因为，，所以 因为为的中点，所以， 在中，， 在中，， 在中，， 所以与平面所成角的余弦值为． （3）取的中点，连接，，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 取的中点为，连接，因为为线段的中点， 所以，， 因为平面，所以平面，平面． 所以，过点作，垂足为，连接， ，，平面，所以平面． 平面，所以， 所以为二面角的平面角． 在中，， 由（1）知，为等边三角形，为线段的中点， 所以， 由（1）知，平面，平面．所以， 在中，， 由（2）知，，即，解得． 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以， 即二面角的平面角的余弦值为． 17. （23-24高一下·浙江宁波·期末）（用坐标法不给分）如图，在三棱锥中，侧面和底面均为正三角形，且 (1)求证: (2)已知 （i）若 ，求二面角的大小: （ii） 若直线与平面所成角的正弦值为 ，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）二面角的大小为 （ii） 【分析】（1）取的中点，连接，通过线线垂直可得平面，进而可证结论； （2）（i）由题意可得为的中点，进而可得是二面角的平面角，计算可求二面角的大小； （ii）由已知可得与平面的距离为进而利用等体积法可求得. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为侧面和底面均为正三角形，所以，， 又，平面，所以平面， 又平面，所以； （2）（i）连接，由，又，所以为的中点， 由（1）可知平面，又平面，所以， 所以是二面角的平面角， 又侧面和底面均为正三角形，，所以， 所以平分，又， 在中，由余弦定理可得， 所以，所以， 所以二面角的大小为； （ii）因为，又直线AC与平面PBC所成角的正弦值为 所以与平面的距离为 由（i）可得，由可得， 在中，由余弦定理可得: ， 由， 可得， 解得. 18. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点． （1）证明：； （2）若是边长为2的等边三角形，点在棱上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）4． 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，而平面平面，则由面面垂直的性质定理可得面，再由线面垂直的性质定理可得， （2）过点作∥交于．过点作∥交干点，连接，则可得面，由可得三角形为直角三角形，从而可得为所求的二面角的平面角，所以由，可得，再结合平行关系和是边长为2的等边三角形，可求出三棱锥的体积 【详解】（1），为中点，， 面，面面，且面面， 面， ∵面， ． （2）过点作∥交于．过点作∥交干点，连接，因为∥且由（1）知面， 所以面， ∵面， 在中，， ， ∥，， 面 为所求的二面角的平面角 ， ，∥， ， ∥，， ，． ，． ． 19. （23-24高一下·广东清远·期末）如图，在四棱锥中，为边上的中点，为边上的中点，平面平面，，，，. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若直线与底面所成角的余弦值为，求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）如图，连接，可得，则得平面； （2）由已知，可得都是等腰直角三角形，则，又得平面，则得，则平面，得； （3）由已知和（2）可得，为直线与底面所成的角，进而证得即为二面角的平面角，再利用三角形相似求得，从而得解. 【详解】（1） 如图，连接， 因为为边上的中点，为边上的中点， 所以，又平面，又平面， 所以平面. （2）在四边形中，，，， 则， 所以，则， 所以都是等腰直角三角形，则， 又平面平面，，即， 平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以，又，又平面， 所以平面，又平面， 所以. （3）已知，直线与底面所成角的余弦值为， 由（2）知，，平面， 则为直线与底面所成的角，则， 所以在中，则，， 取的中点，连接，过作的垂线交于，连接， 由，平面，平面平面，平面平面， 则平面， 又平面，所以，， ，平面，， 所以平面，又平面，所以， 则即为二面角的平面角， 因为，， 又，所以，又， 则在中，由勾股定理， 则，所以. 20. 如图，在三棱柱中，底面平面，是正三角形，是棱上一点，且，. (1)求证：； (2)若且二面角的余弦值为，求点到侧面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）取的中点，根据等腰三角形三线合一性质、面面垂直的性质，结合线面垂直的判定可证得平面，由平行关系和线面垂直的性质可证得结论； （2）取中点，作，由二面角平面角定义和线面垂直的判定可知，所求距离为；设，根据长度关系，在中，利用余弦定理可构造方程求得，利用面积可求得. 【详解】（1）取的中点，连接， 为等边三角形，； ，为中点，， ，为中点，为中点，又为中点， ，； 平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，； ，平面，平面， 平面，，又，. （2）取中点，连接， 由三棱柱结构特征知：，又，，即四点共面， 由（1）知：平面， 平面，，， 是二面角的平面角，， 作，垂足为， ，，，平面， 平面， 设，则， 又，， ，， ，解得：， 又，， 即，解得：， 即点到侧面的距离为. 3 / 126 学科网（北京）股份有限公司 $$