5 数学广角—鸽巢问题-【拔尖特训】2024-2025学年六年级下册数学（人教版 广东专用）

5 数学广角——鸽巢问题 第1课时 鸽巢问题(1) 1. ★(操作探究)摆一摆,画一画。 把3个 放进2个盘子里,可以怎样放? (用“○”表示 ) 方法一: 方法二: 2. 为了给同学们过一个欢乐、温馨的儿童节,汤 老师买来红、黄、蓝、绿、紫五种颜色的气球共 77个布置教室,至少有几个气球颜色相同? 3. (地域美食)斗门艾饼外形扁平,是珠海地区 的特色美食。李奶奶把12块斗门艾饼分给 小刚和其他4个小朋友吃,总有1个小朋友 至少分到3块斗门艾饼。为什么? (用算式 进行解释) 4. 选择。 (1) 某地2024年2月的天气有晴、多云、阴、 雨四种,总有一种天气至少有( )天。 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 (2) 给1个长方体的棱涂上5种不同的颜色,不 管怎么涂,至少有( )条棱所涂颜色相同。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. (环保意识)绿色植物不仅美化环境,还能净 化空气。实验小学买来160盆绿色植物,分 给各个班(每个年级4个班),总有一个班至 少分到几盆绿色植物? 6. 某少年宫合唱团的学生共有38人,最小的9 岁,最大的12岁。他们中至少有多少人是同 年出生的? 7. (五育并举)为了丰富学生的校园生活,实验 小学成立了篮球、诵读、书画等社团,其中篮 球社团有50名学生。现有A、B、C三种水 果,每人至少选一种喜欢的水果,每人有几种 选法? 篮球社团选法相同的至少有多少名 学生? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 05 第2课时 鸽巢问题(2) 1. (模型意识)一个不透明的盒子里有黄色和白 色乒乓球各6个。 (1) 要想摸出的乒乓球中一定有2个是同色 的,至少要摸出( )个乒乓球。 A. 2 B. 3 C. 6 D. 7 (2) 要想摸出的乒乓球中一定有2种颜色, 至少要摸出( )个乒乓球。 A. 2 B. 3 C. 6 D. 7 2. 在自然数1~20中,至少要取出几个不同的 数,才能保证取出的数中有一个数是5的 倍数? 3. (地域特色)缅茄挂件是广东非遗手信之一, 展现了广东的历史文化和人文情怀。萱萱将 4种不同形状的缅茄挂件各10个放入一个 布袋中,从中至少拿多少个,才能保证一定有 4种形状? 4. (生活体验)六(1)班的阳阳玩掷骰子游戏,要 保证掷出的点数至少有3次相同,他至少应 掷多少次? 5. 一个不透明的盒子里有同样大小的白棋子 3枚、黑棋子5枚、红棋子8枚。 (1) 要想摸出的棋子中一定有两种同色,至 少要摸出多少枚棋子? (2) 任意摸出一些棋子,要想保证摸出的棋 子有三种颜色,至少要摸出多少枚棋子? 6. (操作探究)在下面的方格图中的每个格子里 画“○”或“△”。 (1) 至少有( )列画法相同。 (2) 如果只画两行,至少有几列画法相同? 7. (探究创新)100名少先队员选大队长,候选 人有甲、乙、丙三人,选举时每人必须投票且 只能选一人,得票最多的人当选。计票中途 发现前61张选票中,甲得35张选票,乙得 10张选票,丙得16张选票。在剩下尚未统 计的选票中,甲至少要再得多少张选票才能 保证当选? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 15 5　数学广角——鸽巢问题 提分真题集训 1. 填空。 (1) (重庆九龙坡区)某旅游车上有47名乘 客,每名乘客都只带了一种水果。若乘客中 有人带梨,并且其中任何两名乘客中至少有 一人带苹果,则乘客中有( )人带苹果。 (2) (佛山高明区)把红、黄、蓝三种大小相同 的球各10个放进一个黑色的袋子里,至少要 取( )个球,才可以保证取到两个颜色相 同的球;至少要取( )个球,才可以保证取 到红球。 (3) (云浮云安区)口袋里有6个红球和3个 黄球,它们除颜色外其他完全相同。要保证 摸出2个红球,一次至少要摸出( )个球。 (4) (佛山南海区)班级图书角的经典名著有 3本《红楼梦》、2本《西游记》、4本《三国演 义》。从这些书中一次至少要取( )本书, 才能保证取到三种不同的书。 (5) (重庆渝北区)一个黑色的口袋中装有大 小、形状完全相同的30根筷子,颜色分别为 红、蓝、黄、绿、黑。每种颜色的筷子都有,但 具体数量未知,小明闭着眼睛,不停地从口袋 中拿出筷子,每次拿出2根,如果他希望口袋 中剩下的筷子一定能凑成完整的4双,那么 最多能拿出( )根筷子。(2根筷子必须 颜色相同才能凑成1双) (6) (深圳龙岗区)从3、5、7、9、…、27、29这 14个连续的奇数中至少任意取( )个数, 其中一定有两个数之和是32。 2. 选择。 (1) (广州番禺区)把25枚棋子放入图中的 三角形内,那么一定有一个小三角形中至少 放入( )枚。 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 (2) (汕尾陆丰)李叔叔要给房间的四面墙壁 涂上不同的颜色,但结果是至少有两面的颜色 是相同的,涂料的颜色最多有( )种。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 (3) (中山)兴趣小组有51名同学,至少有 ( )名同学的生日在同一个月。 A. 4 B. 5 C. 6 D. 12 (4) (保定唐县)10张卡片上面分别写着1~ 10,至少要抽出( )张才能保证既有奇数 又有偶数。 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 (5) (庆阳西峰区)在六(1)班的学生中,有 8人都订阅了《小作文》《小读者》《儿童时代》 三种杂志中的一种或几种,则这8人中至 少有( )人所订阅的杂志种类相同。 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. (济南历城区)“六一”儿童节,李老师拿 133个小礼物发给本班的所有学生,如果至 少有一名学生拿到了4个小礼物,那么李老 师班上最多有多少名学生? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 25 数学(人教版·广东专用)六年级下 第5单元整合提升 类型一 先明确“鸽子”与“鸽巢”再解决问题 解决鸽巢问题时,先根据题意找出“鸽子”与“鸽巢”,再用 “鸽子”数÷“鸽巢”数=商……余数,至少数=商+1。 1. (模型意识)某校开展“最美青少年”评选活 动,把54个“最美青少年”的名额分配给 13个班,则至少有1个班分得的名额多于 4个,为什么? (用算式进行解释) 类型二 逆向运用鸽巢原理或从最不利的情况 考虑解决问题 逆向运用鸽巢原理解决实际问题时,要先根据问题构 造“鸽巢”,即“鸽巢”是什么,有几个“鸽巢”,再根据 “鸽子”只数至少比“鸽巢”个数多1解决问题;也可以 从最不利的情况考虑解决问题。 2. 一个盒子里有红、白、蓝三种颜色的袜子各 5只。(袜子不分左右) (1) 从中至少拿几只才能保证一定有一双同 色的袜子? (2) 从中至少拿多少只才能保证三种颜色的 袜子各有一双? 类型三 求鸽巢问题中的“鸽子”数量 在鸽巢问题中,“鸽子”数=“鸽巢”数×(至少数-1)+1。 3. (五育并举)学校开设了合唱、美术、篮球3个 社团,规定每名学生至少参加其中的1个社 团。至少有多少名学生参加,才能保证至少 有20名学生参加社团的情况完全相同? 易错点 未能正确理解鸽巢问题中的“鸽子” 数量而导致出错 “鸽巢”里飞进“鸽子”的至少只数不是“商+余数”,而 是“商+1”。 4. (地域特色)岭南插花在中国插花中占据一席 之地。吴阿姨准备了彩虹朱蕉、使君子、晚香 玉共29枝,她要把这些花插在5个花瓶里,至 少有一个花瓶里的花不少于多少枝? 素养点 运用排列组合及“鸽巢原理”的知识 解决问题 5. (创新应用)图书馆里有甲、乙、丙、丁4类图 书,规定每名同学可以借1本图书或者借 2本不同种类的图书。六年级的52名同学去 借书,至少有多少名同学借的图书种类相同? 思路提示:一共有几种借书方法相当于一共有几 个“鸽巢”。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 35 5　数学广角——鸽巢问题 解析:根据“路程 时间=速度(一定)”列比例解答,本题 需注意的地方是笑笑从家到音乐喷泉处的路程为 (260+520)米。 10. 解:设这样可以提前x 天完成任务,原来张师 傅每天加工零件的数量为1。 1×(1+20%)×(24-x)=24×1 x=4 解析:本题中工作效率虽然发生了变化,但工作总 量不变,即工作效率与工作时间的乘积一定,即工 作效率与工作时间成反比例关系。由于原来每天 加工零件的数量未知,因此可以设为1,根据题意 列出含有未知数的比例解答即可。 11. 解:设刘老师原来可以买x 个足球,原来足球 的单价为1。 1×x=(x+10)×1×90% x=90 解析:由题意,可知总价一定,所以足球的单价和数 量成反比例关系。由于原来足球的单价未知,所以 可以设为1,再根据“单价×数量=总价”列出比例 并解答。 12. 连接AC 三角形ACD 的面积是14×2= 28(cm2) 三角形 ABC 的面积是30-14= 16(cm2) 上底AB 与下底CD 的长度比是16∶ 28=4∶7 解析:如图,连接AC,因为E 是AD 的 中点,则三角形ACE 的面积与三角形CDE 的面 积相等,都是14cm2,所以三角形ACD 的面积是 14×2=28(cm2),三角形ABC 的面积是30-14= 16(cm2)。由于三角形ABC 和三角形ACD 的高 相等,所以上底AB与下底CD 的长度比等于三角形 ABC与三角形ACD 的面积比,进而求出上底AB 与下底CD 的长度比。 自行车里的数学 1. (1) 前齿轮转动圈数 后齿轮转动圈数 前齿轮齿数×1 后齿轮齿数 (2) 4 9 (3) 反 2. (1) 5∶4 9∶8 10∶7 9∶7 5∶3 3∶2 20∶9 2∶1 (2) 8 (3) ① 40 18 解析:40∶18的比值最大,蹬同样 的圈数时,这种组合能使变速自行车走得最远。 ② 36 32 解析:36∶32的比值最小,蹬同样的 圈数时,这种组合能使变速自行车最省力。 3. 解:设这款共享单车的后齿轮齿数是x 个。 (3.14×60)×40×1x =376.8 x=20 解析:根据“共享单车蹬一圈前进的路程=车轮周 长× 前齿轮齿数×1 后齿轮齿数 ”列方程解答。 4. (1) 解:设甲齿轮转动x圈。 6048= x 60 x=75 (2) 解:设乙齿轮有y 个齿。 60×36=48y y=45 5. 3×64×53=320 (厘米) 320厘米=3.2米 (1267+1.6)÷3.2≈397(圈) 解析:根据“自行车 蹬一圈前进的路程=车轮周长× 前齿轮齿数×1 后齿轮齿数 ”, 求出自行车蹬一圈前进的路程为3×64×53= 320(厘米),即3.2米。黄阿姨骑自行车从上淇澳 大桥到完全离开淇澳大桥所行驶的长度是(1267+ 1.6)米,用淇澳大桥与自行车的长度和除以黄阿姨 骑自行车蹬一圈的路程即可,结果用“进一法”取近 似值。 5　数学广角——鸽巢问题 第1课时 鸽巢问题(1) 1. 答案不唯一,如 2 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22 方法归纳 抽屉原理 抽屉原理又叫鸽巢原理。(1) 把m 个物 体任意放进n个“鸽巢”中(m>n,且m 小于等 于2n,m、n 均为非0自然数),总有一个“鸽 巢”中至少放进了2个物体;(2) 把多于kn 个 的物体任意放进n个“鸽巢”中(k、n 均为非0 自然数),总有一个“鸽巢”中至少放进了(k+ 1)个物体。 2. 77÷5=15(个)……2(个) 15+1=16(个) 3. 12÷(1+4)=2(块)……2(块) 2+1=3(块) 4. (1) C (2) B 5. 160÷(4×6)=6(盆)……16(盆) 6+1= 7(盆) 解析:实验小学一共有(4×6)个班,因此本 题相当于把160只“鸽子”放进(4×6)个“鸽巢”中。 6. 12-9+1=4(个) 38÷4=9(人)……2(人) 9+1=10(人) 解析:由题意可知,少年宫合唱团 的学生有12-9+1=4(个)不同的岁数,因此本题 相当于把38只“鸽子”放进4个“鸽巢”中。 7. 每人有A、B、C、AB、AC、BC、ABC,共7种选法 50÷7=7(名)……1(名) 7+1=8(名) 解析:把这7种选法看作7个“鸽巢”,把50名学生 放进7个“鸽巢”中,总有1个“鸽巢”中至少有8名 学生。 第2课时 鸽巢问题(2) 1. (1) B (2) D 2. 16+1=17(个) 解析:在自然数1~20中有4个数是5的倍数,分 别是5、10、15、20,剩下的16个数不是5的倍数。 3. 10×3+1=31(个) 解析:从最不利的情况考 虑,先把3种不同形状的缅茄挂件拿完,再拿出 1个,才能保证一定有4种形状的缅茄挂件。 4. 6×2+1=13(次) 解析:骰子的点数为1~6, 从最不利的情况考虑,要保证掷出的点数至少有 3次相同,至少应掷(6×2+1)次。 5. (1) 8+1+1+1=11(枚) 解析:从最不利的情况考虑,先摸完8枚红棋子,再 摸出1枚白棋子、1枚黑棋子,最后摸出1枚白棋 子或黑棋子,也就是至少要摸出(8+1+1+1)枚棋 子,摸出的棋子中一定有两种同色。 (2) 8+5+1=14(枚) 解析:从最不利的情况考 虑,先把数量较多的两种颜色的棋子摸完,再摸 1枚,才能保证摸出的棋子有三种颜色。 6. (画法不唯一) (1) 2 (2) 10÷4=2(列)……2(列) 2+1=3(列) 7. 100-61=39(张) 35-16=19(张) (39-19)÷2+1=11(张) 解析:尚未统计的选票有100-61=39(张),甲、乙 相差35-10=25(张)选票,甲、丙相差35-16= 19(张)选票,所以甲和丙的选票张数较为接近。可 以先从剩下的39张选票中拿出甲比丙多的选票投 给丙,使两人的选票张数一样,那么剩下的选票有 39-19=20(张)。这20张选票中,如果甲和丙分 别得到20÷2=10(张)选票,那么此时甲、丙两人 得到的选票张数相同。因为要保证甲当选,所以甲 的选票至少要比10张多1张,即甲至少要再得 10+1=11(张)选票才能保证当选。 提分真题集训 1. (1) 46 (2) 4 21 (3) 5 (4) 8 (5) 18 (6) 8 解析:14个连续的奇数分为7组和为32的 数,即3+29=5+27=7+25=9+23=11+21= 13+19=15+17,因此至少任意取(7+1)个数,其 中一定有两个数之和是32。 2. (1) C (2) B (3) B (4) C 解析:1~10中奇数、偶数各有5个,因此 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 32 至少抽出5+1=6(张)才能保证既有奇数又有 偶数。 (5) C 解析:订阅三种杂志中的一种或几种的情 况共有(3+3+1)种,因此8人中至少有2人所订 阅的杂志种类相同。 3. (133-1)÷(4-1)=44(名) 解析:本题可以理解为133只“鸽子”飞进一些“鸽 巢”中,至少有一个“鸽巢”中有4只,即其余“鸽巢” 中有(4-1)只“鸽子”时,“鸽巢”数才能最多。 第5单元整合提升 1. 54÷13=4(个)……2(个) 4+1=5(个) 5>4 2. (1) 3+1=4(只) 解析:拿出袜子的只数应比袜子颜色的种数多1才 能保证一定有一双同色的袜子。 (2) 5×2+2=12(只) 解析:从最不利的情况考 虑,其中两种颜色的袜子拿完了,再拿2只即可保 证三种颜色的袜子各有一双。 3. (20-1)×7+1=134(名) 解析:学生参加社团的情况共有7种,当每种情况 有20-1=19(名)学生参加时,共有19×7=133(名) 学生。再加上1名学生,可以保证至少有20名学 生参加社团的情况完全相同。 4. 29÷5=5(枝)……4(枝) 5+1=6(枝) 5. 52÷(4+6)=5(名)……2(名) 5+1=6(名) 解析:借1本图书有4种情况,借2本不同种类的 图书有6种情况,一共有(4+6)种情况。把52名 同学看作52只“鸽子”,把(4+6)种情况看作(4+ 6)个“鸽巢”,运用“鸽巢原理”即可解决这个问题。 6　整理和复习 1. 数与代数 第1课时 数的认识(1) 1. (1) 13567316000000 13.57 十万七千 (2) 北 9 (3) 2 5 3 (4) 7.45 7.54 2. 80.008 十位上的“8”表示8个十,千分位上的 “8”表示8个千分之一 3. (1) D (2) A 4. (1) 166 (2) 4÷5=80% 5. 1×7×7×7+2×7×7+3×7+4=466(天) 解析:根据“满七进一”可知,从左边数起,第1根绳 子上的结表示的天数为1×7×7×7,第2根绳子 上的结表示的天数为2×7×7,第3根绳子上的结 表示的天数为3×7,第4根绳子上的结表示的天 数为4,将所有天数相加即可。 第2课时 数的认识(2) 1. (1) 十分之一 8 十分之一 百分之一 (2) 352.5 (3) 15 4 2. (1) D (2) C (3) B (4) D 3. 33.3%<3.14 ∙∙ <π<3.142<3.14 ∙ <103 4. 4 5= 4×2×2×9 5×2×2×9= 144 180 解析:最小的质数是2,最大的一位数是9。 5. 1-35= 2 5 1- 5 7= 2 7 1- 7 9= 2 9 1- 9 11= 2 11 因为2 5> 2 7> 2 9> 2 11 ,所以3 5< 5 7< 7 9< 9 11 发现:几个真分数,分子比分母小相同的数,则分母 小的真分数小,分母大的真分数大(合理即可) 因为2023-2021=2,2025-2023=2,2023< 2025,所以20212023< 2023 2025 6. 2+15=17 解析:把18 和1 7 的分子与分母同时 乘一个大于1的自然数,由于分母最小,所以乘2 得到2 16 和2 14 ,2 16< a b< 2 14 ,所以当a b= 2 15 时,分母 最小,此时a与b的和是2+15=17。 7. 粤绣团扇:648÷(10-1)=72(元) 粤绣屏风:72×10=720(元) 解析:由题意可知,一个粤绣屏风的价钱正好是一 把粤绣团扇价钱的10倍,且它们的价钱相差 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 42