5 数学广角—鸽巢问题-【拔尖特训】2024-2025学年六年级下册数学（人教版 浙江专用）

5 数学广角——鸽巢问题 第1课时 鸽巢问题(1) 1. ★(操作探究)摆一摆,画一画。 把3个 放进2个盘子里,可以怎样放? (用“○”表示 ) 方法一: 方法二: 2. (生活应用)为了给同学们过一个欢乐、温馨 的儿童节,汤老师买来红、黄、蓝、绿、紫五种 颜色的气球共77个布置教室,至少有多少个 气球颜色相同? 3. (地域美食)衢州烤饼外皮金黄酥脆,鲜美可 口,是浙江省衢州市的一种传统小吃。郑奶 奶把8块衢州烤饼分给莉莉和其他4个小朋 友吃,总有1个小朋友至少分到2块衢州烤 饼。为什么? (用算式进行解释) 4. 选择。 (1) (温州文成)某地三月份的天气只有晴 天、多云、阴天和雨天,总有一种天气至少有 ( )天。 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 (2) 给1个长方体的棱涂上5种不同的颜 色,不管怎么涂,至少有( )条棱所涂颜色 相同。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. (丽水龙泉)绿色植物不仅能美化环境,还能 净化空气。实验小学买来180盆绿色植物, 分给各个班(每个年级4个班),总有一个班 至少分到几盆绿色植物? 6. (推理意识)学校合唱团的学生共有46人,最 小的9岁,最大的12岁。他们中至少有多少 人是同年出生的? 7. (五育并举)为了丰富学生的校园生活,学校 成立了各种社团,其中篮球社团有50名学 生,现有A、B、C三种水果,每人至少选一种 喜欢的水果,每人有几种选法? 篮球社团选 法相同的至少有多少名学生? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 05 第2课时 鸽巢问题(2) 1. 选择。 (1) 乒乓球是我国的国球,一个不透明的袋 子里有5个白色乒乓球、4个黄色乒乓球,要 想摸出的乒乓球中有2个是同色的,至少要 摸出( )个乒乓球。 A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 (2) 高阿姨加工了29个零件,其中有2个是 次品,要保证取出的零件中有1个次品,至少 要取出( )个零件。 A. 1 B. 3 C. 28 D. 29 2. 在自然数1~10中,至少要取出几个不同的 数,才能保证取出的数中有一个数是3的 倍数? 3. (地域美食)浙江省是杨梅的重要产地之一, 杨梅主要有白、粉红、深红和乌紫四种颜色。 媛媛将四种不同颜色的杨梅各10颗放入 1个盒子里(杨梅的形状、大小完全相同),从 中至少摸出多少颗杨梅才能保证一定有四种 颜色? 4. (生活体验)阳阳玩掷骰子游戏,要保证掷出 的点数至少有3次相同,他至少应掷多少次? 5. 一个不透明的盒子里有同样大小的白棋子 3枚、黑棋子5枚、红棋子8枚。 (1) 要想摸出的棋子中一定有两种同色,至 少要摸出多少枚棋子? (2) 任意摸出一些棋子,要想保证摸出的棋 子有三种颜色,至少要摸出多少枚棋子? 6. (操作探究)在下面的方格图中的每个格子里 画“○”或“△”。 (1) 至少有( )列画法相同。 (2) 如果只画两行,至少有几列画法相同? 7. (探究创新)100名少先队员选大队长,候选 人有甲、乙、丙三人,选举时每人必须投票且 只能选一人,得票最多的人当选。计票中途 发现前61张选票中,甲得35张选票,乙得 10张选票,丙得16张选票。在剩下尚未统 计的选票中,甲至少要再得多少张选票才能 保证当选? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 15 5　数学广角——鸽巢问题 提分真题集训 1. 填空。 (1) (温州文成)小明的书包中有大小相同的 蓝、黄、红三种颜色的小球各7个。至少从书 包中摸出( )个,才能保证有颜色不相同 的小球。 (2) (台州椒江区)某部贺岁片热播的第一 天,某影城8号巨幕厅的383个座位坐满了 男女老少不同年龄段的观众,这些观众中至 少有( )人的生日在同一个月。 (3) (宁波江北区)把红、黑两种颜色的袜子 各8只混合在一起,任意取,要保证取出两双 都是红色或都是黑色的袜子,至少要取出 ( )只。 (4) (宁波鄞州区)箱子里有4只蓝手套、6只 白手套、8只黑手套,闭着眼睛至少摸出 ( )只手套,才能保证有2副颜色不同的 手套(不考虑左、右手)。 (5) (台州玉环)把一堆书放进12个抽屉里, 不管怎样放,总有一个抽屉里至少有5本书, 那么这堆书至少有( )本。 (6) (杭州西湖区)从下面12张卡片中任意 抽出一些。要使抽出的卡片中一定有3张图 案相同,则至少要抽( )张。 2. 选择。 (1) (温州苍南)运动会上,在5分钟投篮比 赛中,六(1)班的10名同学共投中了82个 球,总有一名同学至少投中( )个球。 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 (2) (杭州萧山区)箱子中有质地、型号完全 相同的红、黄、白三种颜色的袜子各8只。至 少拿出( )只,可以保证凑成两双颜色不 相同的袜子。 A. 5 B. 8 C. 10 D. 11 (3) (杭州萧山区)把6支铅笔放入3个笔 筒,下面的说法中,错误的是( )。 A. 存在1个笔筒至少有2支铅笔 B. 可能有1个笔筒有4支铅笔 C. 总有1个笔筒至少有3支铅笔 D. 可能有2个笔筒均有1支铅笔 (4) (台州路桥区)盒子里装有黄球、红球各 6个,要保证摸出2个红球,至少要摸出 ( )个球。 A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 3. (绍兴诸暨)阳光小学六年级每名同学都订阅 了《优秀作文》《数学思维》《英语报纸》和《科 学园地》这四种读物中的两种,他们当中至少 有 17 人订阅的读物种类相同。阳光小学六 年级至少有多少人? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 25 数学(人教版·浙江专用)六年级下 第5单元整合提升 类型一 先明确“鸽子”与“鸽巢”再解决问题 解决鸽巢问题时,先根据题意找出“鸽子”与“鸽巢”, 再用“鸽子”数÷“鸽巢”数=商……余数,至少数= 商+1。 1. 某校开展优秀学生评选活动,把23个“三好 学生”的名额分配给4个班级,则至少有1个 班级分得的名额多于5个,为什么? (用算式 进行解释) 类型二 逆向运用鸽巢原理或从最不利的情况 考虑解决问题 逆向运用鸽巢原理解决实际问题时,要先根据问题构 造“鸽巢”,即“鸽巢”是什么,有几个“鸽巢”,再根据 “鸽子”只数至少比“鸽巢”个数多1解决问题;也可以 从最不利的情况考虑解决问题。 2. 一个盒子里有红、白、蓝三种颜色的袜子各 5只。(袜子不分左右) (1) 从中至少拿几只才能保证一定有一双同 色的袜子? (2) 从中至少拿多少只才能保证三种颜色的 袜子各有一双? 类型三 求鸽巢问题中的“鸽子”数量 在鸽巢问题中,“鸽子”数=“鸽巢”数×(至少数- 1)+1。 3. (五育并举)学校开设了合唱、美术、篮球3个 社团,规定每名学生至少参加其中的1个社 团。至少有多少名学生参加,才能保证至少 有20名学生参加社团的情况完全相同? 易错点 未能正确理解鸽巢问题中的“鸽子” 数量而导致出错 “鸽巢”里飞进“鸽子”的至少只数不是“商+余数”,而 是“商+1”。 4. (生活应用)现有百合、蝴蝶兰、郁金香、仙人 掌各6枝,徐阿姨要把这些花插在4个花瓶 里,至少有一个花瓶里插几枝? 素养点 运用排列组合及“鸽巢原理”的知识 解决问题 5. (创新应用)图书馆里有甲、乙、丙、丁4类图 书,规定每名同学可以借1本图书或者借 2本不同种类的图书。六年级的52名同学去 借书,至少有多少名同学借的图书种类相同? 思路提示:一共有几种借书方法相当于一共有几 个“鸽巢”。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 35 5　数学广角——鸽巢问题 量不变,即工作效率与工作时间的乘积一定,即工 作效率与工作时间成反比例关系。由于原来每天 加工零件的数量未知,因此可以设为1,根据题意 列出含有未知数的比例解答即可。 11. 解:设刘老师原来可以买x 个足球,原来足球 的单价为1。 1×x=(x+10)×1×90% x=90 解析:由题意,可知总价一定,所以足球的单价和数 量成反比例关系。由于原来足球的单价未知,所以 可以设为1,再根据“单价×数量=总价”列出比例 并解答。 12. 连接AC 三角形ACD 的面积是14×2= 28(cm2) 三角形 ABC 的面积是30-14= 16(cm2) 上底AB 与下底CD 的长度比是16∶ 28=4∶7 解析:如图,连接AC,因为E 是AD 的 中点,则三角形ACE 的面积与三角形CDE 的面 积相等,都是14cm2,所以三角形ACD 的面积是 14×2=28(cm2),三角形ABC 的面积是30-14= 16(cm2)。由于三角形ABC 和三角形ACD 的高 相等,所以上底AB 与下底CD 的长度比等于三角 形ABC 与三角形ACD 的面积比,进而求出上底 AB 与下底CD 的长度比。 自行车里的数学 1. (1) 前齿轮转动圈数 后齿轮转动圈数 前齿轮齿数×1 后齿轮齿数 (2) 4 9 (3) 反 2. (1) 8 (2) 70厘米=0.7米 3×0.7×(48÷14)= 7.2(米) 解析:根据变速自行车的原理,前齿轮齿 数最多,后齿轮齿数最少时,蹬一圈所行的距离最 远,所以当前齿轮齿数是48,后齿轮齿数是14时, 蹬一圈所行的距离最远。再根据“蹬一圈所行的距 离=车轮的周长× 前齿轮齿数×1 后齿轮齿数 ”列式计算即可。 3. 3×60×(36÷12)=540(cm) 540cm=5.4m 1620÷5.4=300(圈) 解析:先求出周师傅蹬1圈 所行的路程是3×60×(36÷12)=540(cm),即 5.4m,再求出骑行1620m需要蹬的圈数。 4. (1) 解:设甲齿轮转动x圈。 6048= x 60 x=75 (2) 解:设乙齿轮有y 个齿。 60×36=48y y=45 5. 2×3×20×29+120=3600(cm) 3600÷ 3× 60×53 =12(圈) 解析:双轮自行车通过钢丝要 比独轮车多行一个双轮自行车前、后车轮的圆心之 间的距离,先根据通过这段钢丝蹬独轮车的圈数和 独轮车的半径求出双轮自行车前进的距离,再根据 “双轮自行车前进的距离=蹬的圈数×车轮周长× 前齿轮齿数 后齿轮齿数 ”求出双轮自行车需要蹬的圈数。 5　数学广角——鸽巢问题 第1课时 鸽巢问题(1) 1. 答案不唯一,如 2 方法归纳 抽屉原理 抽屉原理又叫鸽巢原理。(1) 把m 个物 体任意放进n个“鸽巢”中(m>n,且m 小于等 于2n,m、n 均为非0自然数),总有一个“鸽 巢”中至少放进了2个物体;(2) 把多于kn 个 的物体任意放进n个“鸽巢”中(k、n 均为非0 自然数),总有一个“鸽巢”中至少放进了(k+ 1)个物体。 2. 77÷5=15(个)……2(个) 15+1=16(个) 3. 8÷(1+4)=1(块)……3(块) 1+1=2(块) 4. (1) C (2) B 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22 5. 180÷(4×6)=7(盆)……12(盆) 7+1= 8(盆) 解析:实验小学一共有(4×6)个班,因此本 题相当于把180只“鸽子”放进(4×6)个“鸽巢”里。 6. 12-9+1=4(个) 46÷4=11(人)……2(人) 11+1=12(人) 解析:由题意可知,学校合唱团的 学生最多有12-9+1=4(个)不同的岁数,因此本 题相当于把46只“鸽子”放进4个“鸽巢”里。 7. 每人有A、B、C、AB、AC、BC、ABC这7种选法 50÷7=7(名)……1(名) 7+1=8(名) 解析:把这7种选法看作7个“鸽巢”,把50名学生 放进7个“鸽巢”中,总有1个“鸽巢”中至少有8名 学生。 第2课时 鸽巢问题(2) 1. (1) B (2) C 2. 7+1=8(个) 解析:自然数1~10中有3个数是3的倍数,分别 是3、6、9,剩下的7个数不是3的倍数。 3. 10×3+1=31(颗) 解析:从最不利的情况考 虑,先把三种颜色的杨梅摸完,再摸1颗,才能保证 摸出的杨梅中一定有四种颜色。 4. 6×2+1=13(次) 解析:骰子的点数为1~6, 从最不利的情况考虑,要保证掷出的点数至少有 3次相同,至少应掷(6×2+1)次。 5. (1) 8+1+1+1=11(枚) 解析:从最不利的情况考虑,先摸完8枚红棋子,再 摸出1枚白棋子、1枚黑棋子,最后摸出1枚白棋 子或黑棋子,也就是至少要摸出(8+1+1+1)枚棋 子,摸出的棋子中一定有两种同色。 (2) 8+5+1=14(枚) 解析:从最不利的情况考 虑,先把数量较多的两种颜色的棋子摸完,再摸 1枚,才能保证摸出的棋子有三种颜色。 6. (画法不唯一) (1) 2 (2) 10÷4=2(列)……2(列) 2+1=3(列) 7. 100-61=39(张) 35-16=19(张) (39-19)÷2+1=11(张) 解析:尚未统计的选票有100-61=39(张),甲、乙 相差35-10=25(张)选票,甲、丙相差35-16= 19(张)选票,所以甲和丙的选票张数较为接近。可 以先从剩下的39张选票中拿出甲比丙多的选票投 给丙,使两人的选票张数一样,那么剩下的选票有 39-19=20(张)。这20张选票中,如果甲和丙分 别得到20÷2=10(张)选票,那么此时甲、丙两人 得到的选票张数相同。因为要保证甲当选,所以甲 的选票至少要比10张多1张,即甲至少要再得 10+1=11(张)选票才能保证当选。 提分真题集训 1. (1) 8 (2) 32 解析:383人相当于“鸽子”数量,12个月 相当于“鸽巢”,则 有383÷12=31(人)…… 11(人),因此这些观众中至少有(31+1)人的生日 在同一个月。 (3) 7 (4) 11 (5) 49 解析:本题逆用鸽巢问题,可以这样想: ( )÷12=4(本)……1(本),因为是“至少”,所 以此处余数是1,则这堆书至少有(4×12+1)本。 (6) 7 解析:从最不利的情况考虑,先抽出狮子、 大熊猫、狐狸3张卡片,再抽出狮子、大熊猫、狐狸 3张卡片,接下来无论抽出哪张卡片,一定有3张 卡片的图案相同。 2. (1) C (2) D (3) C (4) D 解析:从最不利的情况考虑,先摸出6个黄 球,再摸出2个红球,即至少要摸出(6+2)个球才 能保证摸出2个红球。 3. 3+2+1=6(种) (17-1)×6+1=97(人) 解析:由题意知,订阅四种读物中的两种,共有(3+ 2+1)种不同的选择,6种相当于“鸽巢”数。要求 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 32 阳光小学六年级至少有多少人,逆用鸽巢原理进行 计算,列式为(17-1)×6+1=97(人)。 第5单元整合提升 1. 23÷4=5(个)……3(个) 5+1=6(个) 6>5 2. (1) 3+1=4(只) 解析:拿出袜子的只数应比袜子颜色的种数多1才 能保证一定有一双同色的袜子。 (2) 5×2+2=12(只) 解析:从最不利的情况考 虑,其中两种颜色的袜子拿完了,再拿2只即可保 证三种颜色的袜子各有一双。 3. (20-1)×7+1=134(名) 解析:学生参加社团的情况共有7种,当每种情况 有20-1=19(名)学生参加时,共有19×7=133(名) 学生。再加上1名学生,可以保证至少有20名学 生参加社团的情况完全相同。 4. 6×3÷4=4(枝)……2(枝) 4+1=5(枝) 解析:因为仙人掌不属于传统意义上的花,且不适 合在水中生长,因此插花时要把仙人掌排除,则题 中“鸽子”数量为(6×3)枝。 5. 52÷(4+6)=5(名)……2(名) 5+1=6(名) 解析:借1本图书有4种情况,借2本不同种类的 图书有6种情况,一共有(4+6)种情况。把52名 同学看作52只“鸽子”,把(4+6)种情况看作(4+ 6)个“鸽巢”,运用“鸽巢原理”即可解决这个问题。 6　整理和复习 1. 数与代数 第1课时 数的认识(1) 1. (1) 八万二千三百 8 (2) 北 9 (3) 2 5 3 (4) 7.45 7.54 2. 80.008 十位上的“8”表示8个十,千分位上的 “8”表示8个千分之一 3. (1) D (2) C 4. (1) 166 (2) 4÷5=80% 5. 1×7×7×7+2×7×7+3×7+4=466(天) 解析:根据“满七进一”可知,从左边数起,第1根绳 子上的结表示的天数为1×7×7×7,第2根绳子 上的结表示的天数为2×7×7,第3根绳子上的结 表示的天数为3×7,第4根绳子上的结表示的天 数为4,将所有天数相加即可。 第2课时 数的认识(2) 1. (1) 百分之一 55 0.450 千分之一 450 (2) < > > > (3) 15 2. (1) D (2) C (3) B (4) D 3. 33.3%<3.14 ∙∙ <π<3.142<3.14 ∙ <103 4. 4 5= 4×2×2×9 5×2×2×9= 144 180 解析:最小的质数是2,最大的一位数是9。 5. 1-35= 2 5 1- 5 7= 2 7 1- 7 9= 2 9 1- 9 11= 2 11 因为2 5> 2 7> 2 9> 2 11 ,所以3 5< 5 7< 7 9< 9 11 发现:几个真分数,分子比分母小相同的数,则分母 小的真分数小,分母大的真分数大(合理即可) 因为2023-2021=2,2025-2023=2,所 以 2021 2023< 2023 2025 6. 2+15=17 解析:把18 和1 7 的分子与分母同时 乘一个大于1的自然数,由于分母最小,所以乘2 得到2 16 和2 14 ,2 16< a b< 2 14 ,所以当a b= 2 15 时,分母 最小,此时a与b的和是2+15=17。 7. 杨叔叔家:59.4÷(10+1)=5.4(吨) 万叔叔家:5.4×10=54(吨) 解析:由“去年万叔叔家收获板栗的吨数向左移动 一位就是去年杨叔叔家收获板栗的吨数”知,去年 万叔叔家收获板栗的吨数正好是杨叔叔家的10倍。 再结合去年两家共收获59.4吨知,去年杨叔叔家 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 42