5 数学广角—鸽巢问题-【拔尖特训】2024-2025学年六年级下册数学（人教版）

5 数学广角——鸽巢问题 第1课时 鸽巢问题(1) 1. ★(操作探究)摆一摆,画一画。 把3个 放进2个盘子里,可以怎样放? (用“○”表示 ) 方法一: 方法二: 2. (生活应用)为了给同学们过一个欢乐、温馨 的儿童节,汤老师买来红、黄、蓝、绿、紫五种 颜色的气球共77个布置教室,至少有几个气 球颜色相同? 3. (地域美食)南通油饼,口感酥脆、香气扑鼻, 是南通地区特色小吃。李奶奶把8块南通油 饼分给小刚和4个小朋友吃,总有1个小朋 友至少分到2块南通油饼。为什么? (用算 式进行解释) 4. 选择。 (1) 某地2024年2月的天气有晴、多云、阴、 雨四种,总有一种天气至少有( )天。 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 (2) 给1个长方体的棱涂上5种不同的颜色,不 管怎么涂,至少有( )条棱所涂颜色相同。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. (环保意识)绿色植物不仅美化环境,还能净 化空气。实验小学买来160盆绿色植物,分 给各个班(每个年级4个班),总有一个班至 少分到几盆绿色植物? 6. (模型意识)学校合唱团的学生共有46人,最 小的9岁,最大的12岁。他们中至少有多少 人是同年出生的? 7. (五育并举)为了丰富学生的校园生活,学校 成立了各种社团,其中篮球社团有50名学 生,现有A、B、C三种水果,每人至少选一种 喜欢的水果,每人有几种选法? 篮球社团选 法相同的至少有多少名学生? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 05 第2课时 鸽巢问题(2) 1. (模型意识)一个不透明的盒子里有黄色和白 色乒乓球各6个。 (1) 要想摸出的乒乓球中一定有2个是同色 的,至少要摸出( )个乒乓球。 A. 2 B. 3 C. 6 D. 7 (2) 要想摸出的乒乓球中一定有2种颜色, 至少要摸出( )个乒乓球。 A. 2 B. 3 C. 6 D. 7 2. 在自然数1~10中,至少要取出几个不同的 数,才能保证取出的数中有一个数是3的 倍数? 3. 莉莉将4种不同颜色的英语卡片各10张放 入1个不透明的袋中,从中至少取出多少张, 才能保证取出的英语卡片中一定有4种颜色? 4. 阳阳玩掷骰子游戏,要保证掷出的点数至少 有3次相同,他至少应掷多少次? 5. 一个不透明的盒子里有同样大小的白棋子 3枚、黑棋子5枚、红棋子8枚。 (1) 要想摸出的棋子中一定有两种同色,至 少要摸出多少枚棋子? (2) 任意摸出一些棋子,要想保证摸出的棋 子有三种颜色,至少要摸出多少枚棋子? 6. (操作探究)在下面的方格图中的每个格子里 画“○”或“△”。 (1) 至少有( )列画法相同。 (2) 如果只画两行,至少有几列画法相同? 7. (探究创新)100名少先队员选大队长,候选 人有甲、乙、丙三人,选举时每人必须投票且 只能选一人,得票最多的人当选。计票中途 统计票数,发现前61张选票中,甲得35张选 票,乙得10张选票,丙得16张选票。在剩下 尚未统计的选票中,甲至少要再得多少张选 票才能保证当选? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 15 5　数学广角——鸽巢问题 提分真题集训 1. 填空。 (1) (重庆九龙坡区)某旅游车上有47名乘 客,每名乘客都只带了一种水果。若乘客中 有人带梨,并且其中任何两名乘客中至少有 一人带苹果,则乘客中有( )人带苹果。 (2) (佛山高明区)把红、黄、蓝三种大小相同 的球各10个放进一个黑色的袋子里,至少要 取( )个球,才可以保证取到两个颜色相 同的球;至少要取( )个球,才可以保证取 到红球。 (3) (重庆渝北区)一个黑色的口袋中装有大 小、形状完全相同的30根筷子,颜色分别为 红、蓝、黄、绿、黑。每种颜色的筷子都有,但 具体数量未知,小明闭着眼睛,不停地从口袋 中拿出筷子,每次拿出2根,如果他希望口袋 中剩下的筷子一定能凑成完整的4双,那么 最多能拿出( )根筷子。(2根筷子必须 颜色相同才能凑成1双) 2. 选择。 (1) (张家口怀安)把20个苹果分给6个小 朋友,不管怎么分,总有一个小朋友至少分到 ( )个苹果。 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 (2) (邵阳新宁)一个口袋里装有红、白、蓝三 种不同颜色的小球各8个,至少要摸出 ( )个小球,才能保证摸到8个颜色相同 的小球。 A. 8 B. 9 C. 17 D. 22 (3) (保定唐县)10张卡片上面分别写着1~ 10,至少要抽出( )张才能保证既有奇数 又有偶数。 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 (4) (庆阳西峰区)在六(1)班的学生中,有 8人都订阅了《小作文》《小读者》《儿童时代》 三种杂志中的一种或几种,则这8人中至 少有( )人所订的杂志种类相同。 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. (德宏)育才小学共有18个班,学校要买多少 个排球,才能保证有一个班至少能分到3个 排球? 4. (菏泽成武)希望小学六年级准备开展“中华 好诗词”活动,六(1)班有45名学生,男、女生 的人数比是3∶2。从中随机选取若干学生, 至少选出多少人才能保证选出的学生中男、 女生都有? 5. (济南历城区)“六一”儿童节,李老师拿 133个小礼物发给本班的所有学生,如果至 少有一名学生拿到了4个小礼物,那么李老 师班上最多有多少名学生? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 25 数学(人教版)六年级下 第5单元整合提升 类型一 先明确“鸽子”与“鸽巢”再解决问题 解决鸽巢问题时,先根据题意找出“鸽子”与“鸽巢”,再用 “鸽子”数÷“鸽巢”数=商……余数,至少数=商+1。 1. (模型意识)某校开展优秀学生评选活动,把 23个“三好学生”的名额分配给4个班级,则 至少有1个班级分得的名额多于5个,为什 么? (用算式解释) 类型二 逆向运用鸽巢原理或从最不利的情况 考虑解决问题 逆向运用鸽巢原理解决实际问题时,要先根据问题构 造“鸽巢”,即“鸽巢”是什么,有几个“鸽巢”,再根据 “鸽子”只数至少比“鸽巢”个数多1解决问题;也可以 从最不利的情况考虑解决问题。 2. 一个盒子里有红、白、蓝三种颜色的袜子各 5只。(袜子不分左右) (1) 从中至少拿几只才能保证一定有一双同 色的袜子? (2) 从中至少拿多少只才能保证三种颜色的 袜子各有一双? 类型三 求鸽巢问题中的“鸽子”数量 在鸽巢问题中,“鸽子”数=“鸽巢”数×(至少数-1)+1。 3. (五育并举)学校开设了合唱、美术、篮球3个 社团,规定每名学生至少参加其中的1个社 团。至少有多少名学生参加,才能保证至少 有20名学生参加社团的情况完全相同? 易错点 未能正确理解鸽巢问题中的“鸽子” 数量而导致出错 “鸽巢”里飞进“鸽子”的至少只数不是“商+余数”,而 是“商+1”。 4. (地域特色)现有百合、蝴蝶兰、郁金香、仙人 掌各6枝,徐阿姨要把这些花插在4个花瓶 里,至少有一个花瓶里插几枝? 素养点 运用排列组合及“鸽巢原理”的知识 解决问题 5. (创新应用)图书馆里有甲、乙、丙、丁4类图 书,规定每名同学可以借1本图书或者借 2本不同种类的图书。六年级的52名同学去 借书,至少有多少名同学借的图书种类相同? 思路提示:一共有几种借书方法相当于一共有几 个“鸽巢”。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 35 5　数学广角——鸽巢问题 解析:本题中工作效率虽然发生了变化,但工作总 量不变,即工作效率与工作时间的乘积一定,即工 作效率与工作时间成反比例关系。由于原来每天 加工零件的数量未知,因此可以设为1,根据题意 列出含有未知数的比例解答即可。 11. 解:设刘老师原来可以买x 个足球,原来足球 的单价为1。 1×x=(x+10)×1×90% x=90 解析:由题意,可知总价一定,所以足球的单价和数 量成反比例关系。由于原来足球的单价未知,所以 可以设为1,再根据“单价×数量=总价”列出比例 并解答。 12. 连接AC 三角形ACD 的面积是14×2= 28(cm2) 三角形 ABC 的面积是30-14= 16(cm2) 上底AB 与下底CD 的长度比是16∶ 28=4∶7 解析:如图,连接AC,因为E 是AD 的 中点,则三角形ACE 的面积与三角形CDE 的面 积相等,都是14cm2,所以三角形ACD 的面积是 14×2=28(cm2),三角形ABC 的面积是30-14= 16(cm2)。由于三角形ABC 和三角形ACD 的高 相等,所以上底AB与下底CD 的比等于三角形ABC 与三角形ACD 的面积比,进而求出上底AB 与下 底CD 的长度比。 自行车里的数学 1. (1) 前齿轮转动圈数 后齿轮转动圈数 前齿轮齿数×1 后齿轮齿数 (2) 4 9 (3) 反 2. (1) 5∶4 9∶8 10∶7 9∶7 5∶3 3∶2 20∶9 2∶1 (2) 8 (3) ① 40 18 解析:40∶18的比值最大,蹬同样 的圈数时,这种组合能使变速自行车走得最远。 ② 36 32 解析:36∶32的比值最小,蹬同样的 圈数时,这种组合能使变速自行车最省力。 3. 5.4÷36×112 =1.8 (m) 1.8÷3=0.6(m) 解析:自行车蹬一圈前进的距离=车轮周长× 前齿轮齿数×1 后齿轮齿数 。 4. (1) 解:设甲齿轮转动x圈。 6048= x 60 x=75 (2) 解:设乙齿轮有y 个齿。 60×36=48y y=45 5. 2880m=288000cm 288000÷ 3×64×32 = 1000(圈) 解析:根据“自行车蹬一圈前进的距 离=车轮周长× 前齿轮齿数×1 后齿轮齿数 ”,求出自行车蹬 一圈前进3×64×32 cm,再用大桥的长度除以自 行车蹬一圈前进的距离即可。 5　数学广角——鸽巢问题 第1课时 鸽巢问题(1) 1. 答案不唯一,如 2 方法归纳 抽屉原理 抽屉原理又叫鸽巢原理。(1) 把m 个物 体任意放进n个“鸽巢”中(m>n,且m 小于等 于2n,m、n 均为非0自然数),总有一个“鸽 巢”中至少放进了2个物体;(2) 把多于kn 个 的物体任意放进n个“鸽巢”中(k、n 均为非0 自然数),总有一个“鸽巢”中至少放进了(k+ 1)个物体。 2. 77÷5=15(个)……2(个) 15+1=16(个) 3. 8÷(1+4)=1(块)……3(块) 1+1=2(块) 4. (1) C (2) B 5. 160÷(4×6)=6(盆)……16(盆) 6+1= 7(盆) 解析:实验小学一共有(4×6)个班,因此本 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22 题相当于把160只“鸽子”放进(4×6)个“鸽巢”里。 6. 12-9+1=4(个) 46÷4=11(人)……2(人) 11+1=12(人) 解析:由题意可知,学校合唱团的 学生有12-9+1=4(个)不同的岁数,因此本题相 当于把46只“鸽子”放进4个“鸽巢”里。 7. 每人有A、B、C、AB、AC、BC、ABC,共7种选法 50÷7=7(名)……1(名) 7+1=8(名) 解析:把这7种选法看作7个“鸽巢”,把50名学生 放进7个“鸽巢”中,总有1个“鸽巢”中至少有8名 学生。 第2课时 鸽巢问题(2) 1. (1) B (2) D 2. 7+1=8(个) 解析:自然数1~10中有3个数是3的倍数,分别 是3、6、9,剩下的7个数不是3的倍数。 3. 10×3+1=31(张) 解析:从最不利的情况考 虑,先把3种颜色的英语卡片取完,再取出1张,才 能保证取出的英语卡片中一定有4种颜色。 4. 6×2+1=13(次) 解析:骰子的点数为1~6, 从最不利的情况考虑,要保证掷出的点数至少有 3次相同,至少应掷(6×2+1)次。 5. (1) 8+1+1+1=11(枚) 解析:从最不利的情况考虑,先摸完8枚红棋子,再 摸出1枚白棋子、1枚黑棋子,最后摸出1枚白棋 子或黑棋子,也就是至少要摸出(8+1+1+1)枚棋 子,摸出的棋子中一定有两种同色。 (2) 8+5+1=14(枚) 解析:从最不利的情况考 虑,先把数量较多的两种颜色的棋子摸完,再摸 1枚,才能保证摸出的棋子有三种颜色。 6. (画法不唯一) (1) 2 (2) 10÷4=2(列)……2(列) 2+1=3(列) 7. 100-61=39(张) 35-16=19(张) (39-19)÷2+1=11(张) 解析:尚未统计的选票有100-61=39(张),甲、乙 相差35-10=25(张)选票,甲、丙相差35-16= 19(张)选票,所以甲和丙的选票张数较为接近。可 以先从剩下的39张选票中拿出甲比丙多的选票投 给丙,使两人的选票张数一样,那么剩下的选票有 39-19=20(张)。这20张选票中,如果甲和丙分 别得到20÷2=10(张)选票,那么此时甲、丙两人 得到的选票张数相同。因为要保证甲当选,所以甲 的选票至少要比10张多1张,即甲至少要再得 10+1=11(张)选票才能保证当选。 提分真题集训 1. (1) 46 (2) 4 21 (3) 18 2. (1) B (2) D 解析:把三种颜色看作三个“鸽巢”,从最不 利的情况考虑,先摸出红、白、蓝小球各7个,共 21个,再摸出1个即可保证摸到8个颜色相同的 小球。 (3) C (4) C 解析:订阅三种杂志中的一种或几种的情 况共有(3+3+1)种,因此8人中至少有2人所订 的杂志种类相同。 3. 18×2+1=37(个) 解析:这是逆用鸽巢原理, 可以这样想:( )÷18=2(个)……1(个),因为 “至少”,所以此处余数是1。 4. 男生:45× 33+2=27 (人) 女生:45-27= 18(人) 27+1=28(人) 解析:分别算出男、女生 人数。根据最不利的情况,先选出全部男生,再选 出1名女生,就能保证选出的学生中男、女生都有。 5. (133-1)÷(4-1)=44(名) 解析:本题可以理解为133只“鸽子”飞进一些“鸽 巢”里,至少有一个“鸽巢”里有4只,即其余“鸽巢” 里有(4-1)只“鸽子”时,“鸽巢”数才能最多。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 32 第5单元整合提升 1. 23÷4=5(个)……3(个) 5+1=6(个) 6>5 2. (1) 3+1=4(只) 解析:拿出袜子的只数应比袜子颜色的种数多1才 能保证一定有一双同色的袜子。 (2) 5×2+2=12(只) 解析:从最不利的情况考 虑,其中两种颜色的袜子拿完了,再拿2只即可保 证三种颜色的袜子各有一双。 3. (20-1)×7+1=134(名) 解析:学生参加社团的情况共有7种,当每种情况 有20-1=19(名)学生参加时,共有19×7=133(名) 学生。再加上1名学生,可以保证至少有20名学 生参加社团的情况完全相同。 4. 6×3÷4=4(枝)……2(枝) 4+1=5(枝) 解析:因为仙人掌不属于传统意义上的花,且不适 合在水中生长,因此插花时要把仙人掌排除,则题 中“鸽子”数量为(6×3)枝。 5. 52÷(4+6)=5(名)……2(名) 5+1=6(名) 解析:借1本图书有4种情况,借2本不同种类的 图书有6种情况,一共有(4+6)种情况。把52名 同学看作52只“鸽子”,把(4+6)种情况看作(4+ 6)个“鸽巢”,运用“鸽巢原理”即可解决这个问题。 6　整理和复习 1. 数与代数 第1课时 数的认识(1) 1. (1) 1881316 93.71 (2) 北 9 (3) 2 5 3 (4) 7.45 7.54 2. 80.008 十位上的“8”表示8个十,千分位上的 “8”表示8个千分之一 3. (1) D (2) C 4. (1) 166 (2) 4÷5=80% 5. 1×7×7×7+2×7×7+3×7+4=466(天) 解析:根据“满七进一”可知,从左边数起,第1根绳 子上的结表示的天数为1×7×7×7,第2根绳子 上的结表示的天数为2×7×7,第3根绳子上的结 表示的天数为3×7,第4根绳子上的结表示的天 数为4,将所有天数相加即可。 第2课时 数的认识(2) 1. (1) 十分之一 8 十分之一 百分之一 (2) < > > > (3) 15 2. (1) D (2) C (3) B (4) D 3. 33.3%<3.14 ∙∙ <π<3.142<3.14 ∙ <103 4. 4 5= 4×2×2×9 5×2×2×9= 144 180 解析:最小的质数是2,最大的一位数是9。 5. 1-35= 2 5 1- 5 7= 2 7 1- 7 9= 2 9 1- 9 11= 2 11 因为2 5> 2 7> 2 9> 2 11 ,所以3 5< 5 7< 7 9< 9 11 发现:几个真分数,分子比分母小相同的数,则分母 小的真分数小,分母大的真分数大(合理即可) 因为2023-2021=2,2025-2023=2,所 以 2021 2023< 2023 2025 6. 2+15=17 解析:把18 和1 7 的分子与分母同时 乘一个大于1的自然数,由于分母最小,所以乘2 得到2 16 和2 14 ,2 16< a b< 2 14 ,所以当a b= 2 15 时,分母 最小,此时a与b的和是2+15=17。 7. 弟弟:673.2÷(10-1)=74.8(元) 姐姐:74.8×10=748(元) 解析:根据题意知,姐 姐的零花钱数是弟弟的10倍,所以两人零花钱的 差相当于弟弟零花钱的(10-1)倍。 第3课时 数的认识(3) 1. (1) 10 9 8 10 (2) 5 13 (3) m n (4) 25 3 (5) 5m 210m 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 42