9 数学广角——鸡兔同笼-【拔尖特训】2024-2025学年四年级下册数学（人教版）

9 数学广角——鸡兔同笼 第1课时 鸡兔同笼 1. ★(算法探究)笼子里有若干只鸡和兔。 从上面数,有10个头;从下面数,有 28只脚。鸡和兔各有几只? (1) 按顺序填表。(单位:只) 鸡 0 1 2 兔 10 脚 (2) 假设笼子里都是鸡,则有( )× ( )=( )(只)脚,这样实际多 出( )-( )=( )(只)脚。 1只兔比1只鸡多( )只脚,则兔有 ( )÷( )=( )(只)。所以 笼子里鸡有( )只,兔有( )只。 2. 选一选。 (1) (生活应用)妈妈买了苹果和梨共 8千克,一共花了42元,苹果每千克 6元,梨每千克4元。妈妈买了( ) 千克苹果。 A. 5 B. 4 C. 3 (2) 若某宾馆有3人间和2人间的客 房共20间,正好住满时有旅客48人, 则该宾馆有( )。 A. 3人间4间,2人间16间 B. 3人间8间,2人间12间 C. 3人间10间,2人间10间 3. 大、小油瓶共有10个,每个大油瓶可 装油4千克,每个小油瓶可装油2千 克。两种油瓶共可装油28千克,每种 油瓶各有多少个? 4. 学校有围棋、跳棋共26副,2人下一副 围棋,6人 下 一 副 跳 棋,恰 好 可 供 120人同时下棋。围棋和跳棋各有多 少副? 5. (创新应用)四(1)班同学成立了一个 图书角,共捐书240本,男同学每人捐 8本,女同学每人捐3本,结果全班平 均每人捐6本。四(1)班男同学有多 少人? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 87 第2课时 练 习 课 1. 填一填。 (1) 鸡、兔共有5只,脚共有14只,则 鸡有( )只,兔有( )只。 (2) 李阿姨拿了10元和5元的人民币 共8张,她数了数共60元,10元人民 币有( )张,5元人民币有( )张。 (3) 盒子里有大、小两种珠子共50颗, 共重210克。大珠子每颗重5克,小 珠子每颗重3克,大珠子有( )颗。 2. 将鸡和兔关在一起,头共有20个,脚 共有62只。鸡和兔各有多少只? 我们用古人的“抬足法”来解决此题。 (1) 一声令下:“抬足!”所有鸡都抬起 1只脚,所有兔都后脚着地,前脚抬起。 这时,脚的数量就是原来的一半,还有 ( )只脚。 (2) 现在鸡有1只脚,兔有2只脚。脚 的只数比头的个数多( ),这就是 兔的只数。最后用头的个数减去兔的 只数,就得出鸡有( )只。 (3) 现在可以总结公式:兔的只数=脚 的只数÷2-头的个数。请用这个公 式解决问题。 3. 松鼠妈妈们带着松鼠宝宝们采松果。 每只松鼠妈妈采20个松果,每只松鼠 宝宝采12个松果。它们一共采了 112个松果,平均每只松鼠采14个松 果。这些松鼠中有几只松鼠妈妈? 4. (社会生活)某快递公司为客户运送 500个玻璃杯。双方商定:每个玻璃杯 的运费是2元,若损坏一个,则不但得 不到运费,还要赔偿8元,最后结算时, 该快递公司共得到运费950元。该快 递公司损坏了多少个玻璃杯? 5. (生活应用)某车间共有师徒160人现 要组装一批电脑,师父一人组装3台, 徒弟5人组装1台,正好组装完60台 电脑。师父和徒弟各有多少人? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 97 9　数学广角——鸡兔同笼 提分真题集训 1. 选一选。 (1) (宁波慈溪)李叔叔有面值为5角 和8角的邮票共12枚,面值总额为 81角,其中5角的邮票有( )枚。 A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 (2) (宁波北仑区)一个笼子里有鸡和 兔共88个头、244只脚,笼子里鸡和兔 分别有( )。 A. 39只和49只 B. 54只和34只 C. 42只和46只 D. 46只和42只 2. (长沙开福区)龟和鹤共有10只,腿共 有 28条。龟和鹤各有多少只? 3. (广州白云区)小林爱好集邮,他用 17.6元买了8角和2元的两种邮票共 16枚。他买了8角的邮票多少枚? 4. (孝感汉川)小明用同样长的85根小 棒拼成 和 共25个,两种图形 各拼了多少个? 5. (深圳罗湖区)小亮玩抛硬币游戏,规 则是将一枚硬币抛起,落下后,正面朝 上向前走5步,反面朝上向前走3步。 小亮一共抛了20次,结果向前走了 76步。硬币正面朝上的有多少次? 6. (南京江宁区)为了方便参加“球形屏 幕观影”活动,44名学生分成8个小 组,每位老师负责一个小组,男老师负 责的小组每个小组有6名学生,女老 师负责的小组每个小组有4名学生。 男、女老师各有多少人? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 08 数学(人教版)四年级下 第9单元整合提升 类型一 解决“鸡兔同笼”问题的基本策略 假设法是解决“鸡兔同笼”问题的普遍适用方 法,它的解题步骤是假设-计算-推理-解答。 1. (自然科普)蜘蛛和蜻蜓共有42只,它 们的腿共有300条。1只蜘蛛有8条 腿,1只蜻蜓有6条腿。蜘蛛和蜻蜓各 有多少只? 2. 32名师生去植物园参观,植物园提供 了10辆 电动观光车。每辆大车坐 4人,每辆小车坐2人,刚好每辆车都 坐满。大车、小车各有几辆? 3. 鸡和兔共有120只,鸡比兔多120条 腿。鸡和兔各有多少只? 类型二 运输问题和答题问题 运用假设法,找到前、后两个数之间相差的 数,再运用解决“鸡兔同笼”问题的基本方法 求解。 4. (社会生活)牛师傅为厂家运送1000个 玻璃花瓶,双方商定:每个玻璃花瓶的 运费是5元,若打碎1个,则不仅没有 运费,还要倒赔8元。牛师傅运送完 这批玻璃花瓶后得到4740元,他在运 送过程中打碎了多少个玻璃花瓶? 5. 某小学举办数学竞赛,试卷共有20道 题,每做对1道题得5分,不做或做错 1道题扣2分。小聪共得72分,他做 对了多少道题? 素养点 已知“头数差,脚数差”的鸡兔 同笼问题 6. (思维过程)笼子里有若干只鸡和兔, 鸡比兔多13只,鸡比兔多16只脚。 鸡和兔各有多少只? 思路提示:可以先假设鸡和兔的脚的数 量相同。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 18 9　数学广角——鸡兔同笼 解析:要求三门课的平均成绩,就先求出英 语成绩,再加上数学和语文的总成绩,最后 除以3即可。 2. 小夏:(2.1+1.7+1.8+2.2+2.2)÷ 5=2(米) 小刚:2.1+1.5+1.7+1.6+ 2.1=9(米) 9÷5=1(米)……4(米) 选小夏参加决赛 3. 70×3-60×2=90(分) 4. 145×4-130-143-144=163(分) 5. (1) 小明 (2) 小明 10 (3) 略 解析:从题图①中可以看出两名同学数学测 试成绩上升的情况;从题图②中可以看出两 名同学在家学习时间分配的情况。通过对 比发现,小明的数学测试成绩提高得更快, 思考的时间比小红多。 6. (1) 甲品牌:(80+70+75)÷3=75(台) 乙品牌:(80+87+82)÷3=83(台) (2) 适当多进乙品牌电视机(合理即可) 7. (60+45×2+50)÷(1+2+1)=50(千米/时) 8. (92-88)×5=20(分) 100-92=8(分) 20÷8=2(次)……4(分) 2+1=3(次) 解析:要使小敏再考的次数最少,则小敏后 面每次都要考100分。小敏每考一次100分, 就会比92分多8分,这8分可以补给前五次的 考试成绩,前五次考试总共需要补20分,才能 使平均成绩提高到92分。20÷8=2(次)…… 4(分),所以至少要再考2+1=3(次)。 营养午餐 1. (1) 3382 60 43 (2) 符合 不符合 (3) 变胖(合理即可) (4) 答案不唯一,如 香菇油菜、家常豆腐、土豆炖牛肉 2. (1) (2) 搭配方案A:20+16+3=39(克) 搭配方案B:11+14+16=41(克) 搭配方案C:7+13+3=23(克) 搭配方案D:7+16+3=26(克) 搭配方案E:14+13+3=30(克) 41>39>30>26>23 搭配方案B所含的蛋白质最多 (3) 偏胖的人应少吃肉类,多吃一些蔬菜, 这样既能避免发胖,又能保证营养均衡(合 理即可) 9　数学广角——鸡兔同笼 第1课时 鸡兔同笼 1. (1) 鸡 0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 兔 109 8 7 6 5 4 3 2 1 0 脚 4038363432302826242220 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 63 (2) 10 2 20 28 20 8 2 8 2 4 6 4 方法归纳 运用假设法解决鸡兔同笼问题 无论用列表法还是列式的方法解决 鸡兔同笼问题,都可以先假设全是某一 种动物,再根据脚的数量进行计算,得出 结论。 2. (1) A (2) B 3. 4×10=40(千克) 40-28=12(千克) 4-2=2(千克) 12÷2=6(个) 10-6=4(个) 小油瓶有6个,大油瓶有4个 4. 26×6=156(人) 156-120=36(人) 6-2=4(人) 36÷4=9(副) 26-9=17(副) 围棋有9副,跳棋有17副 解析:2人下一 副围棋,6人下一副跳棋。假设26副全部是 跳棋,则可供26×6=156(人)同时下棋,比 实际多156-120=36(人)。下一副跳棋比 下一副围棋多6-2=4(人),也就是围棋有 36÷4=9(副),则跳棋有26-9=17(副)。 5. 240÷6=40(人) (240-40×3)÷(8-3)=24(人) 解析:根据四(1)班共捐书240本,全班平均 每人捐6本,算出全班共有40人,再按“鸡兔 同笼”问题的解题方法求解,算出男同学人数。 第2课时 练 习 课 1. (1) 3 2 (2) 4 4 (3) 30 2. (1) 31 (2) 11 9 (3) 兔:62÷2-20=11(只) 鸡:20-11=9(只) 3. 112÷14=8(只) 12×8=96(个) (112-96)÷(20-12)=2(只) 解析:先根据采的松果总个数和平均每只松 鼠采的松果个数求出一共有112÷14= 8(只)松鼠。再假设全是松鼠宝宝,则一共 可以采12×8=96(个)松果,比实际少了 (112-96)个,而每只松鼠宝宝比每只松鼠妈 妈少采(20-12)个,这样可以求出这些松鼠 中有(112-96)÷(20-12)=2(只)松鼠妈妈。 4. 500×2=1000(元) 1000-950=50(元) 2+8=10(元) 50÷10=5(个) 解析:假设运输时没有损坏,则应得到运费 500×2=1000(元),与实际得到的运费相差 1000-950=50(元)。由题意可知,若损坏 一个,则会少得到2+8=10(元),所以损坏 了50÷10=5(个)玻璃杯。 5. 1×3+15÷5=6(台) 60÷6=10(组) 师父:10×1=10(人) 徒弟:10×15=150(人) 解析:把1位师父和15名徒弟分成一组,每 组组装的台数为1×3+15÷5=6,则一共能 分成60÷6=10(组),所以师父有10×1= 10(人),徒弟有10×15=150(人)。 提分真题集训 1. (1) C (2) B 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 73 2. 龟:(28-2×10)÷(4-2)=4(只) 鹤:10-4=6(只) 3. 17.6元=176角 2元=20角 (20×16-176)÷(20-8)=12(枚) 4. :(85-25×3)÷(5-3)=5(个) :25-5=20(个) 5. (76-3×20)÷(5-3)=8(次) 6. 6×8=48(名) 48-44=4(名) 女老师:4÷(6-4)=2(人) 男老师:8-2=6(人) 第9单元整合提升 1. 300-42×6=48(条) 蜘蛛:48÷(8-6)=24(只) 蜻蜓:42-24=18(只) 解析:假设42只全部是蜻蜓,则比实际少了 300-42×6=48(条)腿。1只蜻蜓比1只蜘 蛛少8-6=2(条)腿,也就是蜘蛛有48÷ 2=24(只),蜻蜓有42-24=18(只)。 2. 4×10=40(人) 小车:(40-32)÷(4-2)=4(辆) 大车:10-4=6(辆) 解析:假设全坐大车,则一共可以坐4×10= 40(人),而实际只坐了32人,少了(40- 32)人,两种车限载的人数差是(4-2),这样 就可以求出小车有(40-32)÷(4-2)= 4(辆),大车有10-4=6(辆)。 3. 2×120=240(条) 240-120=120(条) 兔:120÷(2+4)=20(只) 鸡:120-20=100(只) 解析:题中没有给 出鸡和兔的总腿数,而是给出了它们的差。 可以假设120只全是鸡,则一共有2×120= 240(条)腿,这时兔的腿数为0条,鸡的腿数 比兔的腿数多240条,而实际上鸡的腿数比 兔的腿数多120条,即假设的鸡、兔腿数差 比实 际 的 鸡、兔 腿 数 差 多240-120= 120(条)。因为每把1只兔看成1只鸡,鸡 的腿数就增加2条,兔的腿数就减少4条, 鸡的腿数与兔的腿数就差6条,所以可以求 出兔有120÷6=20(只),再用鸡、兔的总只 数减去兔的只数,就可以求出鸡的只数。 4. 1000×5-4740=260(元) 5+8=13(元) 260÷13=20(个) 解析:如果1000个玻璃花瓶1个也没有打碎, 那么牛师傅应得到运费1000×5=5000(元)。 与实际得到的运费相差5000-4740=260(元)。 由题意可知,打碎1个玻璃花瓶不仅没有运 费,还要倒赔8元,则完整地运送1个玻璃 花瓶和打碎1个玻璃花瓶相差5+8=13(元), 由此可求出打碎了260÷13=20(个)玻璃 花瓶。 5. 20×5-72=28(分) 28÷(5+2)=4(道) 20-4=16(道) 解析:假设20道题全做对,小聪应该得20× 5=100(分),与实际相差100-72=28(分)。 不做或做错1道题比做对1道题少得5+2= 7(分),所以不做或做错了28÷7=4(道)题, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 83 做对了20-4=16(道)题。 6. 兔:2×13-16=10(只) 10÷(4-2)=5(只) 鸡:5+13=18(只) 解析:假设鸡有4只脚,则鸡比兔多2×13= 26(只)脚,实际鸡比兔多16只脚,实际比假 设少了26-16=10(只)脚。因为每把1只 鸡看成有4只脚,就会多算4-2=2(只)脚, 所以兔有10÷2=5(只),再算出鸡的只数。 10　总 复 习 第1课时 四则运算 运算律 1. (1) 除 乘 减 180÷(12×5-30) (2) 367 (3) 138 262 56 4 25 4 125 a b + 15 7 ÷ 5 100 - 1 (4) = > < > (5) 答案不唯一,如3×8×(10-9)=24 2. (1) C (2) C (3) B (4) C 3. (1) 270 10000 1111088889 444000 (2) (28+912÷6)×25=4500 [750-(98+85)]÷3=189 (3) ① 原式=1÷2×3÷3×4÷4×5÷5× 6=1×6÷2=3 ② 原式=9×25×13×101-13×25× 101=(9-1)×25×(13×101)=8×25× 1313=200×1313=262600 4. 3000米=3千米 40÷8×3=15(分) 360÷8×3=135(克) 5. (1) 44 328 (2) 40÷6=6(元)……4(元) 32÷4=8(元) 6<8 44=6×6+2×4 6×40+2×32=304(元) 租6条大船和2条小船最省钱 第2课时 小数的意义、性质 和加减法 1. (1) 2.08 二点零八 (2) 答案不唯一,如① 800.88 ② 880.08 ③ 88.008 (3) 4.15 20050 1 260 2.085 (4) 0.65 650 (5) 13.5 扩大 10倍 (6) 0.233 0.203 (7) ① 10.09 ② 70.99 ③ 70.09 (8) ① 1.28 1.33 ② 6.761 6.733 (9) 6.304 6.295 2. (1) C (2) C (3) C (4) C B (5) A 3. (1) 原式=6.05kg-0.65kg=5.4kg 原式=9元-8.25元=0.75元 (2) 1.4 6 (3) ✕ 2.08 ✕ 7.17 竖式略 4. 20<25.88<30 25.88-2.5+3.5=26.88(元) 5. 2.45-0.25+1.36=3.56(m) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 93