第05讲 旋转体（5个知识点+7类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第四册）

第05讲 旋转体 课程标准 学习目标 1.认识圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构． 2．知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义； 2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 3.能够根据圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征识别和区分几何体. 4.会作旋转体的轴截面，并利用轴截面解决问题. 知识点01旋转体 1、旋转体的定义：由一个平面图形绕一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体。 2、旋转体的相关概念 （1）轴：旋转轴叫做旋转体的轴。 （2）高：在轴上的边（或它的长度）。 （3）底面：垂直于轴的边旋转而成的曲面。 （4）侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面。 （5）母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边。 （6）轴截面：通过轴的平面所得到的截面。 【即学即练1】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示的立体图形可由平面图形 绕轴旋转而成（填序号）． 知识点02 圆柱、圆锥、圆台 1、圆柱的结构特征 定义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体 图示及相关概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴 高：在轴上的边(或它的长度) 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 2、圆锥的结构特征 定义 以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体 图示及相关概念 轴：旋转轴叫做圆锥的轴 高：在轴上的边(或它的长度) 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 3、圆台的结构特征 定义 以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体 图示及相关概念 轴：旋转轴叫做圆台的轴 高：在轴上的边(或它的长度) 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 4、圆柱、圆柱、圆台之间的关系 圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，事实上，当底面发生变化时，三者之间可以相互转化。 将圆台的上底面慢慢扩大，当与下底面相等时，转化为圆柱； 将圆台的上底面慢慢缩小，当缩小为一点（圆心）时，转化为圆锥。如下图所示。 【即学即练2】（24-25高二·全国·课后作业）下列命题中，错误的命题个数是（    ） ①过圆锥顶点的截面是等腰三角形； ②以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的几何体是圆锥； ③以等腰梯形的腰为旋转轴，旋转所得的几何体是圆台. A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 知识点03 圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积 1、定义：旋转体侧面的面积称为旋转体的侧面积，侧面积与底面积之和称为旋转体的表面积(或全面积) 2、侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 表面积公式 S圆柱＝2πr(r＋l) S圆锥＝πr(r＋l) S圆台＝π(r12＋r22＋r1l＋r2l) 说明：r为圆柱、圆锥的底面半径，r1，r2分别为圆台的上、下底面半径，l为母线长. 【即学即练3】（2025·广东·高一专题）已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 知识点04 球 1、球的结构特征 球面及球的定义 球面可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面；球面围成的几何体，称为球．球面也可以看成：空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合 图示及相关概念 球心：形成球面的半圆的圆心 半径：连接球面上一点和球心的线段 直径：连接球面上两点且通过球心的线段 大圆与小圆：球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆 2、球的截面的性质 （1）球的轴截面（过球心的截面）是将球的问题（立体几何问题）转化为平面问题（圆的问题）的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题． （2）用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图，球的截面有以下性质： ①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面； ②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足关系d＝. 3、球的表面积：如果球的半径为R，那么球的表面积为，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍。 【即学即练4】（24-25高二·上海·课堂例题）若两球表面积之差为48π，大圆周长和为12π，则两球的半径为（    ） A．2，4； B．2π，4π； C．6，4； D．6π，4π． 知识点05 简单组合体 1．简单组合体 由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体． 2．简单组合体的构成形式 有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的． 【即学即练5】（24-25高一·陕西榆林·期末）如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型01 旋转体的判断 【典例1】（24-25高一下·全国·课前预习）如图所示的组合体，则由下列所示的哪个三角形绕直线l旋转一周可以得到（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一下·全国·课后作业）下列几何体中是旋转体的是（    ） ①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体． A．①和⑤ B．①和② C．③和④ D．①和④ 【变式2】（23-24高一下·青海西宁·期中）菱形绕对角线所在直线旋转一周所得到的几何体为（    ） A．由两个圆台组成 B．由一个圆锥和一个圆台组成 C．由两个圆锥组成 D．由两个棱台组成 【变式3】（2025高一·全国·专题练习）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（    ） A．一个圆台、两个圆锥 B．两个圆柱、一个圆锥 C．两个圆台、一个圆柱 D．一个圆柱、两个圆锥 题型02 旋转体的结构特征 【典例2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（    ）． A．以直角三角形的一条边为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转一周形成的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D．圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径大于圆锥的高 【变式1】（24-25高一下·湖北十堰·期中）下列说法： ①圆柱的母线与它的轴可以不平行 ②圆锥的顶点，圆锥底面圆周上任一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形 ③在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 ④圆柱的任意两条母线所在的直线互相平行 其中正确的是（    ） A．①② B．②④ C．③④ D．①③ 【变式2】（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）下列说法中错误的是（    ） A．棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形 B．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台 C．直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥 D．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线 【变式3】（23-24高二上·上海奉贤·期中）下列命题正确的是（    ） A．以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 【变式4】（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．通过圆台侧面上一点可以做出无数条母线 B．圆柱的上底面与下底面互相平行 C．直角三角形绕其一边所在直线旋转一周得到的几何体一定是圆锥 D．圆旋转一周得到的几何体一定是球 题型03 旋转体的面积问题 【典例3】（24-25高三上·浙江·期末）下列四个几何体中，表面积与其他三个不同的是（    ） A．底面半径母线的圆锥 B．底面半径母线的圆柱 C．半径的球 D．上、下底面半径分别为母线的圆台 【变式1】（24-25高二上·辽宁朝阳·期末）已知圆柱的底面半径，母线长l是底面直径的2倍，则该圆柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·四川自贡·二模）已知圆锥的母线长是底面半径的2倍，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为（   ） A． B． C． D．2 【变式3】（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知圆台上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2025·山东济南·一模）已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上下底面面积之差的绝对值为（    ） A．π B．2π C．4π D．8π 题型04 组合体的结构特征与计算 【典例4】（23-24高一下·贵州六盘水·期中）在直角梯形ABCD中，，，且，，.在梯形ABCD内，挖去一个以A为圆心，以2为半径的四分之一圆，得到如图所示的阴影部分以AB所在直线为轴，将图中阴影部分旋转一周形成的旋转体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·广东韶关·期末）以斜边长为2的等腰直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周所得几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·海南海口·期末）陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，为圆锥的顶点，，分别为圆柱上、下底面圆的圆心，若圆锥的底面周长为，高为3，圆柱的母线长为4，则该几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二上·四川乐山·期中）如图，正方形ABCD的边长为1，所对的圆心角∠CDE＝90°，将图形ABCE绕AE所在直线旋转一周，形成的几何体的表面积为 . 【变式4】（23-24高一下·甘肃临夏·期末）一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示(单位：cm)，则此几何体的表面积为 cm2．    题型05 球的结构特征 【典例5】（24-25高二上·上海·单元测试）给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①球面上四个不同的点一定不在同一平面上； ②球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于截面； ③一个平面截球，截面是一个圆． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1】（23-24高二上·四川乐山·期末）一个几何体，它的轴截面一定是圆面，则这个几何体是（   ） A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．球 【变式2】（24-25高二下·甘肃酒泉·期末）以下说法正确的是（     ） A．半圆弧以其直径所在的直线为轴旋转所成的曲面叫球； B．球的大圆的半径等于球的半径； C．球面和球是同一个概念； D．经过球面上不同的两点只能做一个最大的圆. 【变式3】（2025高一下·全国·专题练习）给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体；④过球面上任意两点只能作一个以球心为圆心的圆.其中说法正确的是 （填序号）. 【变式4】（2025高一·江苏·专题练习）给出以下说法： ①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长； ②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长； ③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形； ④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面形状是矩形． 其中正确的序号是 ． 题型06 球中的截面问题 【典例6】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，桌面上放置着两个底面半径和高都是的几何体，左边是圆柱挖去一个倒立的圆锥（以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点）剩余的部分，右边是半球，用平行于桌面的平面截这两个几何体，截得左边几何体的截面面积为，截得半球的截面面积为，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）半径为cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为cm2，cm2，则这两个平行平面的距离为（    ）cm. A．2 B．14 C．2或14 D．6或8 【变式2】（2025高一·全国·专题练习）正方体的棱长为2，平面截正方体内切球所得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·山西太原·一模）已知圆台的上、下底面的半径分别为1和3，球与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球的表面积为 ． 【变式4】（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）已知球的半径为5，球心到平面的距离为4，则球被平面截得的截面面积为 ． 题型07 旋转体的表面最短距离 【典例7】（2025高三·全国·专题练习）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到点所经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·江西景德镇·阶段练习）圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为6.已知为该圆台某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为（    ） A．9 B．6 C． D． 【变式2】（24-25高二上·上海宝山·期末）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，是母线上一点，且公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路.这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡，则上坡段铁路的长度为 公里. 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）圆锥的底面半径为，母线长，一只蚂蚁自底面圆周上一点沿圆锥表面爬到过母线的轴截面上另一条母线的中点，问这只蚂蚁爬行的最短距离为 . 【变式4】（24-25高二下·上海浦东新·开学考试）已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，、分别是两底面的直径，、是母线.若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是 .（结果保留根式）. 一、单选题 1．（2025高三上·广西·学业考试）如图、以矩形的边所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体是（    ） A．圆锥 B．圆台 C．圆柱 D．球 2．（24-25高一下·河北张家口·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体 B．圆锥的顶点､圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形 C．用一平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 D．过球上任意两点，有且仅有一个大圆 3．（23-24高一下·山东日照·期末）已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图为半圆，则底面半径为（   ） A． B．1 C．2 D．4 4．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知圆台的上下底面圆的半径分别为2和5，高为4，则这个圆台的母线长为（    ） A．3 B． C．5 D． 5．（2025·重庆·模拟预测）已知，，是球的球面上的三个点，且，球心到平面的距离为1，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·安徽合肥·期中）以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 7．（20-21高一下·全国·课后作业）图中的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤ 8．（24-25高三下·湖南·开学考试）已知球与圆台的上下底面和侧面都相切，若圆台的母线长为6，下底面半径是上底面半径的2倍，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·课后作业）下列结论中正确的是（    ） A．半圆弧以其直径所在的直线为轴旋转一周所形成的曲面叫作球 B．直角三角形以一条直角边所在的直线为轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥 C．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 D．圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台 10．（23-24高一下·福建福州·期末）圆台的轴截面如图所示，其上、下底面的半径分别为，，母线长为，点为母线的中点，则下列结论正确的是（    ） A．圆台的侧面积为 B．与所成角为 C．圆台外接球的半径为 D．在圆台的侧面上，从点到点的最短路径的长度为 11．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知圆锥的侧面积为，且母线长为底面半径的3倍，若线段为底面圆的一条直径，为线段的中点，为圆锥底面内一动点，且，则（   ） A．圆锥的高为 B．一质点从点出发沿圆锥的侧面运动到点的路径最短为 C．与圆锥的侧面和底面均相切，且球心在线段上的球的半径为 D．动点的轨迹长度为 三、填空题 12．（24-25高二下·上海·阶段练习）将一斜边长为2的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所形成的几何体的侧面积为 ． 13．（2024高一下·全国·专题练习）把一个圆锥截成圆台，已知圆台上、下底面的半径之比为，母线长为9，则圆锥的母线长是 ． 14．（24-25高二上·上海·期末）已知，，是表面积为的球的球面上的三个点，且，则球心到平面的距离为 ． 四、解答题 15．（23-24高二·上海·课堂例题）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为．求原圆锥的母线长． 16．（23-24高三上·河北张家口·阶段练习）已知一圆锥的母线长为，底面半径为． (1)求圆锥的高及体积； (2)若圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求球的半径． 17．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）中，已知，，，分别以三角形的一边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出该几何体的结构特征，并求其表面积． 18．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，圆台的上、下底面圆心分别为，，上底面半径， 下底面半径，母线长，从圆台母线的中点拉一条绳子绕圆台侧面一周转到点，求：    (1)求圆台的侧面积和体积； (2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离． 19．（23-24高一下·重庆·期中）如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点． (1)求圆柱的侧面积和体积； (2)若，是的中点，点在线段上，求的最小值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 旋转体 课程标准 学习目标 1.认识圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构． 2．知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义； 2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 3.能够根据圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征识别和区分几何体. 4.会作旋转体的轴截面，并利用轴截面解决问题. 知识点01旋转体 1、旋转体的定义：由一个平面图形绕一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体。 2、旋转体的相关概念 （1）轴：旋转轴叫做旋转体的轴。 （2）高：在轴上的边（或它的长度）。 （3）底面：垂直于轴的边旋转而成的曲面。 （4）侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面。 （5）母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边。 （6）轴截面：通过轴的平面所得到的截面。 【即学即练1】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示的立体图形可由平面图形 绕轴旋转而成（填序号）． 【答案】③④ 【分析】根据图形判断即可. 【详解】题图中的半球可由③绕轴旋转一周而成，也可由④绕轴旋转而成． 故答案为：③④. 知识点02 圆柱、圆锥、圆台 1、圆柱的结构特征 定义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体 图示及相关概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴 高：在轴上的边(或它的长度) 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 2、圆锥的结构特征 定义 以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体 图示及相关概念 轴：旋转轴叫做圆锥的轴 高：在轴上的边(或它的长度) 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 3、圆台的结构特征 定义 以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体 图示及相关概念 轴：旋转轴叫做圆台的轴 高：在轴上的边(或它的长度) 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 4、圆柱、圆柱、圆台之间的关系 圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，事实上，当底面发生变化时，三者之间可以相互转化。 将圆台的上底面慢慢扩大，当与下底面相等时，转化为圆柱； 将圆台的上底面慢慢缩小，当缩小为一点（圆心）时，转化为圆锥。如下图所示。 【即学即练2】（24-25高二·全国·课后作业）下列命题中，错误的命题个数是（    ） ①过圆锥顶点的截面是等腰三角形； ②以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的几何体是圆锥； ③以等腰梯形的腰为旋转轴，旋转所得的几何体是圆台. A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】根据圆锥的定义与性质可判断①②的正误，根据圆台的定义可判断③的正误. 【详解】圆锥的母线都是相等的，故过圆锥顶点的截面是等腰三角形，故①正确. 如果以直角三角形的斜边为旋转轴，旋转所得的几何体是两个共底面的圆锥，故②错误. 以直角梯形的垂直于上下底的腰为旋转轴，旋转所得的几何体才是圆台，故③错误. 故选：B 知识点03 圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积 1、定义：旋转体侧面的面积称为旋转体的侧面积，侧面积与底面积之和称为旋转体的表面积(或全面积) 2、侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 表面积公式 S圆柱＝2πr(r＋l) S圆锥＝πr(r＋l) S圆台＝π(r12＋r22＋r1l＋r2l) 说明：r为圆柱、圆锥的底面半径，r1，r2分别为圆台的上、下底面半径，l为母线长. 【即学即练3】（2025·广东·高一专题）已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式求解即可. 【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为， 因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为， 则圆锥和圆柱的高为， 所以圆锥的侧面积为， 圆柱的侧面积为， 所以圆锥和圆柱的侧面积之比为, 故选:C. 知识点04 球 1、球的结构特征 球面及球的定义 球面可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面；球面围成的几何体，称为球．球面也可以看成：空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合 图示及相关概念 球心：形成球面的半圆的圆心 半径：连接球面上一点和球心的线段 直径：连接球面上两点且通过球心的线段 大圆与小圆：球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆 2、球的截面的性质 （1）球的轴截面（过球心的截面）是将球的问题（立体几何问题）转化为平面问题（圆的问题）的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题． （2）用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图，球的截面有以下性质： ①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面； ②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足关系d＝. 3、球的表面积：如果球的半径为R，那么球的表面积为，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍。 【即学即练4】（24-25高二·上海·课堂例题）若两球表面积之差为48π，大圆周长和为12π，则两球的半径为（    ） A．2，4； B．2π，4π； C．6，4； D．6π，4π． 【答案】A 【分析】设出两球半径和，依题列出关于和的方程组，求解即得. 【详解】设两个大小球的半径分别为和，依题意得，，解得. 故选：A. 知识点05 简单组合体 1．简单组合体 由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体． 2．简单组合体的构成形式 有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的． 【即学即练5】（24-25高一·陕西榆林·期末）如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知该几何体的体积是由半球的表面积加上圆柱的侧面积，再加上圆的面积即可. 【详解】解：由题意得，球的半径，圆柱的底面半径，高， 则该几何体的表面积为. 故选：D. 题型01 旋转体的判断 【典例1】（24-25高一下·全国·课前预习）如图所示的组合体，则由下列所示的哪个三角形绕直线l旋转一周可以得到（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】旋转后的几何体是由两个共底的圆锥组合而成的立体图形，再根据四个选项中三角形的特征及旋转轴即可作出判断． 【详解】A旋转一周是圆锥，不满足题意； B旋转一周是两个圆锥，满足题意； C旋转一周是圆锥，不满足题意； D旋转一周是圆柱挖去一个圆锥的几何体，不满足题意. 故选：B. 【变式1】（24-25高一下·全国·课后作业）下列几何体中是旋转体的是（    ） ①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体． A．①和⑤ B．①和② C．③和④ D．①和④ 【答案】D 【分析】根据旋转体的定义判断. 【详解】根据旋转体的定义可得圆柱和球体为旋转体. 故选：D. 【变式2】（23-24高一下·青海西宁·期中）菱形绕对角线所在直线旋转一周所得到的几何体为（    ） A．由两个圆台组成 B．由一个圆锥和一个圆台组成 C．由两个圆锥组成 D．由两个棱台组成 【答案】C 【分析】根据圆锥的概念和组合体的概念判断即可. 【详解】将菱形绕对角线所在的直线旋转一周，可知得到的组合体是两个同底的圆锥. 故选：C 【变式3】（2025高一·全国·专题练习）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（    ） A．一个圆台、两个圆锥 B．两个圆柱、一个圆锥 C．两个圆台、一个圆柱 D．一个圆柱、两个圆锥 【答案】D 【分析】根据旋转体的概念，作出直观图，可得答案. 【详解】图①是一个等腰梯形，为较长的底边， 以边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体， 如图②，包括一个圆柱、两个圆锥， 故选：D 题型02 旋转体的结构特征 【典例2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（    ）． A．以直角三角形的一条边为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转一周形成的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D．圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径大于圆锥的高 【答案】D 【分析】根据圆锥、圆台、圆锥的结构特征逐一判断即可. 【详解】对于A，以直角三角形的斜边为轴旋转一周形成的是两个圆锥的组合体，A错误； 对于B，当以直角梯形不垂直于底边的腰为旋转轴旋转一周形成的不是圆台，B错误； 对于C，圆锥只有一个底面，C错误； 对于D，圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线，大于圆锥的高，D正确. 故选：D 【变式1】（24-25高一下·湖北十堰·期中）下列说法： ①圆柱的母线与它的轴可以不平行 ②圆锥的顶点，圆锥底面圆周上任一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形 ③在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 ④圆柱的任意两条母线所在的直线互相平行 其中正确的是（    ） A．①② B．②④ C．③④ D．①③ 【答案】B 【分析】分别判断每一个选项的正确性即可. 【详解】①圆柱的母线和轴平行，故①错误；②圆锥顶点在底面的投影为底面圆心，所以圆锥的顶点，圆锥底面圆周上任一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形，故②正确；③在圆台的上、下底面圆周上各取一点，当这两点的距离最小的时候才是母线，所以③错误；④圆柱的母线都和轴平行，所以圆柱的任意两条母线所在的直线互相平行，故④正确. 故选：B 【变式2】（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）下列说法中错误的是（    ） A．棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形 B．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台 C．直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥 D．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线 【答案】C 【分析】由棱台圆台和旋转体的结构特征，圆柱母线的定义，对选项进行判断. 【详解】由棱台的结构特征可知，A选项中说法正确； 由圆台的结构特征可知，B选项中说法正确； 直角三角形绕斜边所在直线旋转一周所形成的几何体，不是圆锥， 是由两个同底圆锥组成的几何体，C选项中的说法错误； 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是圆柱的母线， 只有当这两点的连线平行于轴时才是母线，D选项中说法正确. 故选：C 【变式3】（23-24高二上·上海奉贤·期中）下列命题正确的是（    ） A．以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 【答案】A 【分析】根据圆锥、圆柱、圆台的特点判断各选项即可. 【详解】对于A，根据圆锥的特点，以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥，故A正确； 对于B，以直角梯形的直角腰为轴旋转所得的旋转体才是圆台，故B错误； 对于C，圆柱、圆台都有两个底面，而圆锥只有一个底面，故C错误； 对于D，圆锥的侧面展开图为扇形，此扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，故D错误. 故选：A. 【变式4】（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．通过圆台侧面上一点可以做出无数条母线 B．圆柱的上底面与下底面互相平行 C．直角三角形绕其一边所在直线旋转一周得到的几何体一定是圆锥 D．圆旋转一周得到的几何体一定是球 【答案】B 【分析】根据圆台、圆柱、圆锥、球的定义判断即可. 【详解】对于A，通过圆台侧面上一点只能做出条母线，故A错误； 对于B，由圆柱的定义得圆柱的上底面、下底面互相平行，故B正确； 对于C，直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥， 绕其斜边旋转一周，得到的是两个圆锥的组合体，故C错误； 对于D，圆绕直径旋转一周得到的几何体是球，故D错误． 故选：B． 题型03 旋转体的面积问题 【典例3】（24-25高三上·浙江·期末）下列四个几何体中，表面积与其他三个不同的是（    ） A．底面半径母线的圆锥 B．底面半径母线的圆柱 C．半径的球 D．上、下底面半径分别为母线的圆台 【答案】C 【分析】利用表面积计算公式计算选项中的每个表面积，然后即可得出答案. 【详解】对于A， 对于B， 对于C， 对于D， 由上易知，选项C的表面积与其他三个不同. 故选：C 【变式1】（24-25高二上·辽宁朝阳·期末）已知圆柱的底面半径，母线长l是底面直径的2倍，则该圆柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求出母线长，然后代入圆柱的表面积公式求解即可. 【详解】因为圆柱的底面半径，所以母线长， 所以圆柱的表面积为. 故选：D 【变式2】（2025·四川自贡·二模）已知圆锥的母线长是底面半径的2倍，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】设圆锥底面圆的半径为，求出侧面积和表面积得解. 【详解】设圆锥底面圆的半径为，则母线长为， ，， . 故选：B. 【变式3】（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知圆台上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆台表面积的计算公式，结合已知条件，直接求解即可. 【详解】设上下底面圆半径分别为，母线长为， 则圆台表面积. 故选：B 【变式4】（2025·山东济南·一模）已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上下底面面积之差的绝对值为（    ） A．π B．2π C．4π D．8π 【答案】B 【分析】由侧面面积公式建立等式，然后分别写出上下底面面积，作差后代入即可得到结果. 【详解】如图： 设展开图小圆半径和大圆半径分别为，则圆台侧面积，即， 上底面半径，下底面半径， 圆台上下底面面积之差的绝对值为. 故选：B. 题型04 组合体的结构特征与计算 【典例4】（23-24高一下·贵州六盘水·期中）在直角梯形ABCD中，，，且，，.在梯形ABCD内，挖去一个以A为圆心，以2为半径的四分之一圆，得到如图所示的阴影部分以AB所在直线为轴，将图中阴影部分旋转一周形成的旋转体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定旋转一周形成的旋转体的形状，结合圆台侧面积公式以及球的表面积公式，即可求得答案. 【详解】由题意可知阴影部分以AB所在直线为轴，旋转一周形成的旋转体为一个圆台挖去半个球， 其中圆台的上下底面半径为2和5，高为4，母线长为， 挖去半球的半径为2， 故形成的旋转体的表面积为， 故选：B 【变式1】（23-24高一下·广东韶关·期末）以斜边长为2的等腰直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周所得几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分析可知该三角形旋转一周所得几何体为2个共底面，且底面半径为1，母线长为的圆锥拼接而成，结合圆锥的侧面积公式运算求解. 【详解】由题意可知：等腰直角三角形斜边的高为1，腰长为， 该三角形旋转一周所得几何体为2个共底面，且底面半径为1，母线长为的圆锥拼接而成，所以所得几何体的表面积为. 故选：B. 【变式2】（23-24高一下·海南海口·期末）陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，为圆锥的顶点，，分别为圆柱上、下底面圆的圆心，若圆锥的底面周长为，高为3，圆柱的母线长为4，则该几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆锥（圆柱）的底面圆的半径为，圆锥的母线为，根据圆锥的底面周长求出，再由勾股定理求出，最后由表面积公式计算可得. 【详解】设圆锥（圆柱）的底面圆的半径为，圆锥的母线为，依题意可得，解得， 所以， 所以该几何体的表面积. 故选：A 【变式3】（23-24高二上·四川乐山·期中）如图，正方形ABCD的边长为1，所对的圆心角∠CDE＝90°，将图形ABCE绕AE所在直线旋转一周，形成的几何体的表面积为 . 【答案】 【分析】由题意判断形成的几何体是组合体：上面半球，下面是圆柱，由球和圆柱的表面积公式求出形成的几何体的表面积． 【详解】由题意知，形成的几何体是组合体：上面半球，下面是圆柱， 因为正方形的边长为1，， 所以球的半径为1，圆柱的底面半径为1，母线长为1， 则形成的几何体的表面积为： ， 故答案为： 【变式4】（23-24高一下·甘肃临夏·期末）一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示(单位：cm)，则此几何体的表面积为 cm2．    【答案】 【分析】几何体是由圆锥和圆柱组成的，由圆柱与圆锥的表面积公式计算求解即可. 【详解】此几何体是由圆锥和圆柱组成的， 圆锥的底面半径为，高为，所以母线长为， 所以其侧面积为：， 圆柱的底面积为：，侧面积为：， 所以该几何体的表面积为：. 故答案为：. 题型05 球的结构特征 【典例5】（24-25高二上·上海·单元测试）给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①球面上四个不同的点一定不在同一平面上； ②球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于截面； ③一个平面截球，截面是一个圆． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据球的概念逐一判断即可. 【详解】对于①：作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四个点就在同一平面上，故①错误； 对于②：根据球的几何性质可知，球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于该截面，故②正确； 对于③：用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面，故③正确. 故选：C 【变式1】（23-24高二上·四川乐山·期末）一个几何体，它的轴截面一定是圆面，则这个几何体是（   ） A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．球 【答案】D 【分析】根据各选项中旋转体的定义与性质逐项判断. 【详解】对于A：圆柱的轴截面是矩形，故A不符合题意； 对于B：由于圆锥的轴截面是一个等腰三角形，故B不符合题意； 对于C，圆台轴截面是等腰梯形，故C不符合题意； 对于D：用任意的平面去截球，得到的截面均为圆，故D符合题意． 故选：D． 【变式2】（24-25高二下·甘肃酒泉·期末）以下说法正确的是（     ） A．半圆弧以其直径所在的直线为轴旋转所成的曲面叫球； B．球的大圆的半径等于球的半径； C．球面和球是同一个概念； D．经过球面上不同的两点只能做一个最大的圆. 【答案】B 【分析】根据球面和球的定义判断ABC，根据球的性质判断D 【详解】对于A，半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫球面，而球面围成的几何体叫球，所以A错误， 对于B，球的大圆的半径等于球的半径，所以B正确， 对于C，因为半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫球面， 而球面围成的几何体叫球，所以球面和球是不同的概念，所以C错误， 对于D，如果球面上的两点是球的直径的两个端点，则可以作无数个大圆，所以D错误， 故选：B 【变式3】（2025高一下·全国·专题练习）给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体；④过球面上任意两点只能作一个以球心为圆心的圆.其中说法正确的是 （填序号）. 【答案】①② 【分析】根据题意，结合圆柱的定义和球的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于①，根据圆柱的结构特征，可得圆柱的底面是圆面，所以①正确； 对于②，根据圆柱的结构特征，可得经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面，所以②正确； 对于③，夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体，所以③不正确； 对于④，当这两点是球的直径的两端点时，可以作无数个以球心为圆心的圆，所以④不正确. 故答案为：①② 【变式4】（2025高一·江苏·专题练习）给出以下说法： ①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长； ②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长； ③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形； ④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面形状是矩形． 其中正确的序号是 ． 【答案】①④ 【分析】根据球的定义、结构特征以及球的截面依次判断命题即可. 【详解】①：根据球的定义知，球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长，故①正确； ②：因为球的直径必过球心，故②不正确； ③：因为球的任何截面都是圆面，故③不正确， ④：过圆柱轴的平面截圆柱所得的截图为矩形，故④正确． 故答案为：①④ 题型06 球中的截面问题 【典例6】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，桌面上放置着两个底面半径和高都是的几何体，左边是圆柱挖去一个倒立的圆锥（以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点）剩余的部分，右边是半球，用平行于桌面的平面截这两个几何体，截得左边几何体的截面面积为，截得半球的截面面积为，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】B 【分析】设截面与圆柱底面的距离为，分别求出和，即可得出结论. 【详解】设截面与圆柱底面的距离为， 该平面截半球所得圆面的半径为，圆的面积为， 由于圆柱的底面半径与高相等，所以，圆环的内圆半径为， 所以，圆环的面积为，故， 故选：B. 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）半径为cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为cm2，cm2，则这两个平行平面的距离为（    ）cm. A．2 B．14 C．2或14 D．6或8 【答案】C 【分析】由截面圆的面积得到截面圆的半径，然后根据求得截面到圆心的距离，再按两截面在圆心的同侧和异侧求解即可. 【详解】设两个截面圆的半径分别为、，球心到截面的距离分别为、，球的半径为. 由，得cm，cm， 由，得cm，cm， 如图所示， 当球的球心在两个平行平面的外侧时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差， 即cm. 如图所示， 当球的球心在两个平行平面之间时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和，即cm. 故选：C. 【变式2】（2025高一·全国·专题练习）正方体的棱长为2，平面截正方体内切球所得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体和球的结构特征，判断出是正三角形，求出利用等体积法求得到平面的距离，进而求得O到平面的距离，求得截面半径，求得面积即可． 【详解】由题意得正方体的中心是内切球球心， 设为O，O到平面的距离为d，设A到平面的距离为， 因为正方体的棱长为2， 所以由勾股定理得，同理可得， 则，故是等边三角形， 得到，则，如图，连接， 易得，，由勾股定理得，则， 因为，所以， 所以， 则， 而由题意得正方体内切球半径，正方体内切球被平面所截， 得到的截面是一个圆半径为r的圆， 由勾股定理得， 由圆的面积公式得面积为，故C正确. 故选：C 【变式3】（2025·山西太原·一模）已知圆台的上、下底面的半径分别为1和3，球与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球的表面积为 ． 【答案】 【分析】作出圆台的轴截面，根据题设和几何性质可得，结合勾股定理求出球半径，代入球的表面积即可. 【详解】设圆台的高为,球的半径为，作出圆台的轴截面，如图所示， ， 已知圆台的上、下底面半径分别为 ，斜边为圆台母线长， 圆台的轴截面等腰梯形的高 等于球的直径2, 因为球与圆台侧面相切，所以 , 则 ， 所以 , 所以， 同时 ，由勾股定理可得, 将, 代入到中， 得到，化简得，， 根据球的表面积公式,将代入公式可得：， 综上，球的表面积为. 故答案为：. 【变式4】（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）已知球的半径为5，球心到平面的距离为4，则球被平面截得的截面面积为 ． 【答案】 【分析】利用勾股定理可求得截面的半径，即可求解 【详解】    设截面圆的半径为，球的半径为，球心到平面的距离为， 则， 即 可得， 所以截面面积为， 故答案为：. 题型07 旋转体的表面最短距离 【典例7】（2025高三·全国·专题练习）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到点所经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在立体图形中，根据各边长得到相应的弧长，在侧面展开图中，利用弧长公式计算出夹角为直角，再根据勾股定理求边长即可得到答案. 【详解】因为，所以圆的周长是圆周长的两倍， 则弧的弧长. 将圆台一半侧面展开，如图1中扇环所示． 延长和交于点，连接，如图1所示， 由可得， 所以，则， 所以在中，， 即点到点所经过的最短路程为． 故选：C． 【变式1】（24-25高二上·江西景德镇·阶段练习）圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为6.已知为该圆台某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为（    ） A．9 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】利用侧面展开结合图形求解最短距离. 【详解】为圆台母线的中点，分别为上下底面的圆心， 把圆台扩成圆锥，如图①所示， 则, 由,有, 圆锥底面半径，底面圆的周长为，母线长， 所以侧面展开图的扇形的圆心角为， 即，如图②所示， 质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点， 则运动的最短路径为展开图弦， 所以. 故选：A. 【变式2】（24-25高二上·上海宝山·期末）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，是母线上一点，且公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路.这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡，则上坡段铁路的长度为 公里. 【答案】32 【分析】先展开圆锥的侧面，确定观光铁路路线，再根据实际意义确定下坡段的铁路路线，最后解三角形得结果. 【详解】沿母线将圆锥的侧面展开，如图：      记为上的任意一点，作，垂足为，连接， 由的长为，得，由两点间线段最短，知观光铁路为图中线段， 而，则， 上坡即到山顶的距离越来越小，下坡即到山顶的距离越来越大， 因此上坡段的铁路，即图中的线段，由，得. 故答案为：32 【点睛】关键点点睛：作出圆锥侧面展开图，确定铁路对应线段是解决问题的关键. 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）圆锥的底面半径为，母线长，一只蚂蚁自底面圆周上一点沿圆锥表面爬到过母线的轴截面上另一条母线的中点，问这只蚂蚁爬行的最短距离为 . 【答案】 【分析】圆锥半侧面展开成一个扇形，则对应的弧长是底圆周长的一半，可求出扇形的圆心角为弧度，沿圆锥侧面移动到D，利用余弦定理可求最短距离. 【详解】 如图，沿母线剪下作出半侧面展开图，得到的是扇形， 设扇形的圆心角为弧度，则根据题意知，扇形的弧长等于圆锥底面周长的一半， 得：，即， 在中，点是的中点，由余弦定理得： ， 所以，故所求的最短距离为. 故答案为：. 【变式4】（24-25高二下·上海浦东新·开学考试）已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，、分别是两底面的直径，、是母线.若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是 .（结果保留根式）. 【答案】 【分析】在圆柱侧面展开图中，矩形对角线的长度即为所求. 【详解】如图，在圆柱侧面展开图中，线段的长度即为所求 在中，，，. 故答案为：. 一、单选题 1．（2025高三上·广西·学业考试）如图、以矩形的边所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体是（    ） A．圆锥 B．圆台 C．圆柱 D．球 【答案】C 【分析】根据圆柱的形成即可得到答案. 【详解】以矩形的边所在直线为轴， 其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆柱. 故选：C. 2．（24-25高一下·河北张家口·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体 B．圆锥的顶点､圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形 C．用一平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 D．过球上任意两点，有且仅有一个大圆 【答案】B 【分析】由几何体的结构特征逐项判断即可. 【详解】以矩形的一条对角线为轴，旋转所得到的几何体不是圆柱，故A错误； 因为圆锥的顶点与底面圆心连线垂直底面，所以圆锥的顶点､圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线可以构成直角三角形，故B正确； 用一平行底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，故错误； 当球面上两点是球的直径的端点时，过这两点的大圆有无数个，故D错误. 故选：B. 3．（23-24高一下·山东日照·期末）已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图为半圆，则底面半径为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】设出圆锥底面半径和母线长，利用侧面展开后，扇形弧长公式和面积公式进行求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，圆锥的母线长为， 则侧面积，解得：. 故选：B. 4．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知圆台的上下底面圆的半径分别为2和5，高为4，则这个圆台的母线长为（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】由圆台的已知数据，利用勾股定理可求得母线长. 【详解】 由已知得：， 所以在直角梯形中，， 所以圆台的母线长为5. 故选：C. 5．（2025·重庆·模拟预测）已知，，是球的球面上的三个点，且，球心到平面的距离为1，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理求解外接圆的半径，即可根据球的性质求解球半径，由表面积公式求解即可. 【详解】设球O的半径为R，外接圆的半径为r，则. 因为球心O到平面ABC的距离为1，所以，从而球O的表面积为. 故选：B 6．（23-24高一下·安徽合肥·期中）以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正三角形绕一边所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的全等圆锥,根据圆锥的侧面积公式求解． 【详解】如图，正三角形绕所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的全等圆锥，    底面半径,母线长, 由圆锥的侧面积公式可得该几何体的侧面积为. 故选:C. 7．（20-21高一下·全国·课后作业）图中的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤ 【答案】D 【分析】分截面经过圆柱上下底面的圆心和截面不经过圆柱上下底面的圆心两种情况，分别讨论，进而可得出答案. 【详解】当截面经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为三角形除去一条边，所以①正确； 当截面不经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为一条曲线，所以⑤正确； 故选:D. 8．（24-25高三下·湖南·开学考试）已知球与圆台的上下底面和侧面都相切，若圆台的母线长为6，下底面半径是上底面半径的2倍，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，作出圆台及内切球的轴截面，利用切线长定理，结合勾股定理求出球半径即可. 【详解】作出圆台及其内切球的轴截面（如图），记球的半径为，两底面圆圆心分别为， 线段的中点为，，作，由切线长定理得， 则，而，解得， 由，得， 所以球的表面积. 故选：D 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·课后作业）下列结论中正确的是（    ） A．半圆弧以其直径所在的直线为轴旋转一周所形成的曲面叫作球 B．直角三角形以一条直角边所在的直线为轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥 C．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 D．圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台 【答案】BD 【分析】借助球、圆锥、圆台等旋转体的定义及性质逐项判断即可得. 【详解】对A：半圆弧以其直径所在的直线为轴旋转一周所形成的曲面叫作球面， 球面围成的几何体叫作球，故A错误； 对B：以直角三角形的直角边所在直线为轴， 其余各边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆锥，故B正确； 对C：当两个平行截面不平行于上、下两个底面时， 两个平行截面间的几何体不是旋转体，故C错误； 对D：将圆锥截去一个小圆锥，则截面必与底面平行，因而剩余部分是圆台，故D正确． 故选：BD． 10．（23-24高一下·福建福州·期末）圆台的轴截面如图所示，其上、下底面的半径分别为，，母线长为，点为母线的中点，则下列结论正确的是（    ） A．圆台的侧面积为 B．与所成角为 C．圆台外接球的半径为 D．在圆台的侧面上，从点到点的最短路径的长度为 【答案】BCD 【分析】根据圆台的上、下底面半径和母线长求出圆台的侧面积，可判断选项A；求出，可判断选项B；由勾股定理求出圆台外接球的半径，可判断选项C；利用侧面展开图求出的长，可判断选项D． 【详解】对于A，圆台的上、下底面半径分别为，，母线长为2，为母线中点， 所以圆台的侧面积为，选项A错误； 对于B，因为，所以，所以与所成角为，选项B正确； 对于C，根据题意知，外接球的球心在圆台的中心连线上， 设球心到上底面的距离为， 所以，解得， 所以圆台外接球的半径为，选项C正确； 对于D，展开面如图所示： 根据比例关系求出，展开面为半圆环； 点为母线的中点，所以，，选项D正确． 故选：BCD． 11．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知圆锥的侧面积为，且母线长为底面半径的3倍，若线段为底面圆的一条直径，为线段的中点，为圆锥底面内一动点，且，则（   ） A．圆锥的高为 B．一质点从点出发沿圆锥的侧面运动到点的路径最短为 C．与圆锥的侧面和底面均相切，且球心在线段上的球的半径为 D．动点的轨迹长度为 【答案】BCD 【分析】根据题意设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，可得，可对A判断；将圆锥沿着平面切开后将侧面展开，可得侧面扇形中的为等边三角形，可对B判断；设该球的半径为，则也为圆锥的轴截面的内切圆半径从而可建立等式，可对C判断；求出点的轨迹是以点为圆心，1为半径的一段圆弧，作出相关图形从而可对D判断. 【详解】对于A，设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，由题可知，解得，，故，故A错误； 对于B，将圆锥沿着平面切开后将侧面展开， 设，所以，结合，，求得， 所以为等边三角形，故最短路径为，故B正确；    对于C，设该球的半径为，则也为圆锥的轴截面的内切圆半径， 由题可得，解得，故C正确； 对于D，由题可知，点的轨迹是以点为圆心，1为半径的一段圆弧， 如图，设该圆弧与底面圆交于，两点，易知与均为等边三角形，所以，所以弧的长度为，故D正确.    【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 三、填空题 12．（24-25高二下·上海·阶段练习）将一斜边长为2的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所形成的几何体的侧面积为 ． 【答案】 【分析】根据圆锥的侧面积公式求解即可. 【详解】因为将一斜边长为2的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所形成的几何体为圆锥， 且圆锥的底面半径为：，圆锥的母线长为：. 所以圆锥的侧面积为：. 故答案为： 13．（2024高一下·全国·专题练习）把一个圆锥截成圆台，已知圆台上、下底面的半径之比为，母线长为9，则圆锥的母线长是 ． 【答案】12 【分析】根据圆台的几何特征利用三角形相似即可求得结果. 【详解】设圆台的上底面半径为，圆锥的母线长为， 则圆台的下底面的半径为， 作出圆锥的轴截面如图，则， 所以，即． 解得，即圆锥的母线长为12． 故答案为：.    14．（24-25高二上·上海·期末）已知，，是表面积为的球的球面上的三个点，且，则球心到平面的距离为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得球的半径为和的外接圆半径，结合球的性质运算求解即可. 【详解】设球的半径为， 则，解得， 由题意可知：是边长为3的等边三角形，其外接圆半径， 所以球心到平面的距离为. 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高二·上海·课堂例题）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为．求原圆锥的母线长． 【答案】 【分析】根据圆台与圆锥的几何特征利用三角形相似即可求解. 【详解】由题意可得，几何体如图所示：    如图，作圆锥及其轴截面，圆锥轴为，设圆台上下底面半径分别为， 已知圆台的上、下底面半径的比为，且， 设原圆锥的母线长为， 根据与相似，可得， 解得， 所以原圆锥的母线长为. 16．（23-24高三上·河北张家口·阶段练习）已知一圆锥的母线长为，底面半径为． (1)求圆锥的高及体积； (2)若圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求球的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)圆锥的母线长、底面圆半径以及圆锥的高满足勾股定理，由题意即可求出结果； (2)由图结合勾股定理可得，求出. 【详解】（1）由题意知，圆锥的高． ． （2）由（1）知，圆锥的高为，设圆锥内切球的半径为， 则，即，解得． 17．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）中，已知，，，分别以三角形的一边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出该几何体的结构特征，并求其表面积． 【答案】答案见解析 【分析】分为三角形的一边，和所在直线为轴，形成一个或两个圆锥，由圆锥的表面积公式求解即可. 【详解】因为，，，所以，即， ①以三角形的一边所在直线为轴，作于， 可以看作两个直角三角形绕各自的直角边旋转而成，所以形成的几何体是两个同底的圆锥， 则，此时这两个圆锥以为半径，母线长分别为， 所以其表面积为：， ②以三角形的一边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体， 所以形成的几何体是以为底面半径，母线长为的圆锥， 所以其表面积为：， ③以三角形的一边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体， 所以形成的几何体是以为底面半径，母线长为的圆锥， 所以其表面积为：. 18．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，圆台的上、下底面圆心分别为，，上底面半径， 下底面半径，母线长，从圆台母线的中点拉一条绳子绕圆台侧面一周转到点，求：    (1)求圆台的侧面积和体积； (2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离． 【答案】(1)， (2)4 cm 【分析】（1）根据圆台的侧面积公式以及体积公式，可得答案； （2）由题意，作圆台的侧面展开图，利用弧度制的定义，建立方程，解得圆心角以及半径，利用等面积法，可得答案. 【详解】（1）由题可知上底面半径为，下底面半径为，母线长， ， 设圆台的高为h，则， . （2）如图所示，将侧面展开，绳子的最短距离为侧面展开图中AM的长度，    设，，则，，解得，， ∴，， ∴，即绳子最短长度为50cm， 作于点Q，交弧于点P，则PQ为所求的最短距离， ∵，∴，故(cm)， 即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm. 19．（23-24高一下·重庆·期中）如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点． (1)求圆柱的侧面积和体积； (2)若，是的中点，点在线段上，求的最小值． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据圆柱的侧面积和体积公式直接计算即可； （2）将三角形旋转到，使得和轴截面共面，根据三点共线时，取得最小值即可求解. 【详解】（1）由题知，底面半径为2，母线长为4， 所以圆柱的侧面面积， 圆柱的体积. （2）记底面圆心为O，连接， 因为底面半径为2，， 将三角形旋转到，使得和轴截面共面，如图： 则， 当三点共线时，取得最小值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$