冲刺2025年中考数学复习之胡不归最值

宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 冲刺2025年中考之胡不归最值 模型典故（“胡不归”问题） 有一则古老的历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家.然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了.人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？……” 早期的科学家曾为这则古老传说中的小伙子设想了一条路线：如图1-1所示，A是出发地，B是目的地；AC是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧全是砂土地带.为了急切回家，小伙子选择了直线路程AB.但是，他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素.如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度却可以加快），是可以提前抵达家门的. 用现代的数学语言表达出来就是： 已知在驿道和砂地上行走的速度分别为V1和V2，在驿道上找一定点C，使从A至C再至B的行走时间最短. 于是，问题在于如何去找出C点.这个古老的“胡不归”问题风靡了一千多年，一直到十七世纪中叶，才由法国著名科学家费尔马揭开了它的面纱. 【模型建立】 如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1＜V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小． ，记，即求BC＋kAC的最小值． 构造射线AD使得sin∠DAN＝k，CH/AC＝k，CH＝kAC． 将问题转化为求BC＋CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC＋CH取到最小值，即BC＋kAC最小． 解题一般步骤： ①胡不归问题可以看作是路径问题，先确定起点与终点，一般带系数的定点为起点，不带系数的定点为 终点，（如果都带系数，需要将较大系数提出来） ②过起点作一条直线，使其与动点所在直线夹角为α，且sinα=k， ③过终点作这条直线的垂线，与动点所在直线的交点为动点最小值点，垂线段为胡不归最小值。 题型1、已有相关角度直接作垂直 例1、如图，，，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时间最少时，D的坐标为 ． 【分析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M，交AO于D′．运动时间，由，推出，可得，推出当共线且和重合时，运动时间最短． 【详解】如图，作于H，于，交AO于． ∵运动时间， ∵，， ∴， ∵，C（1，0），，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当C，D，H共线且和CM重合时，运动时间最短， ， ∴， ∴， ∵，设，则， 则有： ∴或（舍去）， ∴ ∴ 例2、如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 ． 【分析】过作，由菱形，，得到为平分线，求出，在中，利用角所对的直角边等于斜边的一半，得到，故，求出的最小值即为所求最小值，当、、三点共线时最小，求出即可． 【详解】解：过作， 菱形，， ，，即为等边三角形，， 在中，， ， 当、、三点共线时，取得最小值， ，， ， 在中，， 则的最小值为． 故答案为：． 【模考专练】 （2019济南高新二模）如图，在平面直角些标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣的图象经过点A（﹣1，0），C（2，0），与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D． （1）求二次函数的表达式及其顶点的坐标； （2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求PB+PD的最小值； （3）M（x，t）为抛物线对称轴上一个动点，若平面内存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有　 　个． 【解答】（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣的图象经过点A（﹣1，0）C（2，0）， ∴， 解得：， ∴二次函数的表达式为， ∵y＝， ∴抛物线的顶点坐标为（）； （2）如图，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小． 理由：∵OA＝1，OB＝， ∴tan∠ABO＝， ∴∠ABO＝30°， ∴PH＝PB， ∴PB+PD＝PH+PD＝DH， ∴此时PB+PD最短（垂线段最短）． 在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD＝，∠HAD＝60°， ∴sin60°＝， ∴DH＝， ∴PB+PD的最小值为； （3）①以A为圆心AB为半径画弧，因为AB＞AD，故此时圆弧与对称轴有两个交点，且AM＝AB，即M点存在两个，所以满足条件的N点有两个； ②以B为圆心AB为半径画弧，因为AB，故此时圆弧与对称轴有两个交点，且BM＝AB，即M点有两个，所以满足条件的N点有两个； ③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM＝BM，因为M点有一个，所以满足条件的N点有一个； 则满足条件的N点共有5个， 故答案为：5． （2024淄博一模）如图，在边长为6的菱形中，，连接，点 E，F分别是边，上的动点，且，连接，，． (1)如图①，当点E是边的中点时，求的度数； (2)如图②，当点E是边上任意一点时，的度数是否发生改变？若不改变，请证明：若发生改变，请说明理由； (3)若点P是线段上的一个动点，连接，求的最小值． 【分析】（1）由菱形可得，，从而，是等边三角形，根据“三线合一”可得 ，，进而证得点F是边的中点，从而，根据即可解答； （2）由（1）得到，是等边三角形，从而，，进而证得，得到，从而； （3）过点P作于点 G，连接，过点F作于点，交于点，则，因此，当点F，P，G三点共线，且时，有最小值，最小值为的长，过点D作于点H，的最小值即为的长，在中通过解直角三角形即可解答． 【详解】（1）∵四边形是菱形，边长为6， ∴，， ∴，是等边三角形， ∴， ∵点E是边的中点， ∴，， ∵， ∴ ∴点F是边的中点， ∴， ∴； （2）的度数不改变，证明如下： 由（1）得到，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3） 如图，过点P作于点 G，连接，过点F作于点，交于点， ∵， ∴在中， ∴   ∴当点F，P，G三点共线，且时，有最小值，最小值为的长，过点D作于点H， ∵四边形是菱形， ∴， ∴的最小值即为的长， ∵，是等边三角形， ∴， ∴的最小值为 题型2、构造相关角度再作垂直 例3、如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，在中，当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长． 【详解】解：过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，如图所示： 在中，， ∴， ∵ ＝， ∴当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长， 此时，， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为12， 故选：D 例2、如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 ． 【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB＝2＝＝2BF，通过解直角三角形ABF，进一步求得结果． 【详解】解：如图， 在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P， 此时PA+2PB最小， ∴∠AFB＝90° ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠CAD＝∠BAD＝， ∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°， ∴PF＝， ∴PA+2PB＝2＝＝2BF， 在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°， ∴BF＝AB•sin45°＝4， ∴（PA+2PB）最大＝2BF＝， 故答案为： 【模考专练】 （2020济南市中二模）如图①，在矩形OABC中，OA=4，OC=3，分别以OC、OA所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的坐标系，连接OB，反比例函数y=(x＞0)的图象经过线段OB的中点D，并与矩形的两边交于点E和点F，直线l：y=kx+b经过点E和点F． （1）写出中点D的坐标　　　　 ，并求出反比例函数的解析式； （2）连接OE、OF，求△OEF面积； （3）如图②，将线段OB绕点O顺时针旋转一定角度，使得点B的对应点H恰好落在x轴的正半轴上，连接BH，作OM⊥BH，点N为线段OM上的一个动点，求HN+ON的最小值． 【详解】（1）在矩形ABCO中，∵OA=BC=4，OC=AB=3， ∴B(3，4)． ∵OD=DB，∴D(，2)． ∵y=经过D(，2)， ∴k=3，∴反比例函数的解析式为y=． （2）如图①中，连接OE，OF． 由题意E(，4)，F(3，1)， ∴S△OEF=S矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB=12﹣×4×﹣×3×1﹣×3×(3﹣)=． （3）如图②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K． 由题意OB=OH=5， ∴CH=OH﹣OC=5﹣3=2， ∴BH==2， ∴sin∠CBH==． ∵OM⊥BH， ∴∠OMH=∠BCH=90°． ∵∠MOH+∠OHM=90°，∠CBH+∠CHB=90°， ∴∠MOH=∠CBH． ∵OB=OH，OM⊥BH， ∴∠MOB=∠MOH=∠CBH， ∴sin∠JOD=， ∴NJ=ON•sin∠NOD=ON， ∴NH+ON=NH+NJ， 根据垂线段最短可知，当J，N，H共线，且与HK重合时，HN+ON的值最小，最小值=HK的长． ∵OB=OH，BC⊥OH，HK⊥OB， ∴HK=BC=4， ∴HN+ON最小值为4 （2020济南历城三模）如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于点B(－2，0)、点C(8，0)两点，与y轴交于点A． (1)求二次函数的表达式； (2)连接AC、AB，若点N在线段BC上运动(不与点B、C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标； (3)连接OM，在(2)的结论下，线段AC上有一动点P，连接PM，求PM＋PC的值最小时，点P的坐标． 【解析】 【分析】（1）由B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）可设N（n，0），则可用n表示出△ABN的面积，由NM∥AC，可求得，则可用n表示出△AMN的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时n的值，即可求得N点的坐标； （3）过点PD⊥x轴于点D，点E为M关于AC的对称点，作EF⊥x轴于点F，则PM＋PC的最小值即为EF的长．求出直线AC的解析式，并证明,再由（2）知，利用中点公式可得E的坐标，再将点E的横坐标代入直线AC，从而得解． 【详解】（1）将点B，点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4可得， 解得， ∴二次函数的表达式为y=﹣x2+x+4； （2）设点N的坐标为（n，0）（﹣2＜n＜8），则BN=n+2，CN=8﹣n． ∵B（﹣2，0），C（8，0）， ∴BC=10， 在y=﹣x2+x+4中，令x=0，可解得y=4， ∴点A（0，4），OA=4， ∴S△ABN=BN•OA=（n+2）×4=2（n+2）， ∵MN∥AC， ∴ ∴ ∴ ∵﹣＜0， ∴当n=3时，即N（3，0）时，△AMN的面积最大； （3）如图，过点PD⊥x轴于点D，点E为M关于AC的对称点，作EF⊥x轴于点F， ,易得，当E、P、D三点共线时，可知PM＋PC的最小值即为EF的长． 由（2）可得M(-1,2), 由A(0,4)，B(-2,0),C(8,0),得直线AC: 在中，， ， 即是直角三角形，且, ∵M,E关于AC对称， ∴A（0，4）是ME的中点，由中点坐标公式得， ∴点P横坐标是1，代入，得y=, 则P(1，) ． （2021济南历城一模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB、DC． （1）如图1，当α＝60°时，请直接写出线段PA与线段CD的数量关系是　　，∠DCP为　　度； （2）如图2，当α＝120°时，写出线段PA和线段DC的数量关系，并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，当AB＝2时，求BP+PC的最小值． 【解答】解：（1）如图1中， ∵将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD， ∴PB＝PD， ∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝60°， ∴△ABC，△PBD是等边三角形， ∴∠ABC＝∠PBD＝60°， ∴∠PBA＝∠DBC， ∵BP＝BD，BA＝BC， ∴△PBA≌△DBC（SAS）， ∴PA＝DC． 设BD交PC于点O． ∵△PBA≌△DBC， ∴∠BPA＝∠BDC， ∵∠BOP＝∠COD， ∴∠OBP＝∠OCD＝60°，即∠DCP＝60°． 故答案为：PA＝DC；60； （2）结论：CD＝PA． 理由：如图2中， ∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝120°， ∴BC＝2•AB•cos30°＝BA，BD═2BP•cos30°＝BP， ∴， ∵∠ABC＝∠PBD＝30°， ∴∠ABP＝∠CBD， ∴△CBD∽△ABP， ∴， ∴CD＝PA． （3）如图3， ∵AB＝2， ∴AC＝AB＝2， ∵BP+PC＝BP+（PA+2）＝DP+PA+， 且DP+DC≥PA+AC， 即DP+DC≥PA+2， 即DP≥DC﹣DC+2， ∴＝， 故最小值为． （2022济南济阳九上期末）27．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时： ①求PD+PC的最小值； ②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+OQ的最小值． 【详解】1）将A（-3,0）、B（1,0）代入二次函数得， 解之得，∴二次函数的解析式为； （2）①将二次函数配方得， ∴M（-1,4） 设直线AM的解析式为，将代入直线可得， 解得， ∴直线AM的解析式为， 过E作直线，平行于直线AM，且解析式为， ∵E在直线AM上方的抛物线上， ∴； 当直线与AM距离最大时，EF取得最大值， ∴当与抛物线只有一个交点时，EF取得最大值， 将直线的解析式代入抛物线得， 由题意可得，△=，经计算得，将代入二次方程可得， ， ∴，即E点的横坐标为-2，将代入抛物线得， ∴， 又∵⊥轴， ∴，将代入直线AM， ∴， ∵， ∴B、C两点关于轴对称， ∴， ∴，当P、B、D三点不共线时， 当P、B、D三点共线时，， ∴当P、B、D三点共线时PC+PD取得最小值， 在Rt△BHD中。DH=2，BH=3，∴BD=， ∴的最小值为； ②过Q作直线平行于轴，并在轴右侧该直线上取一点G，使得， QG=， ∴，当三点共线时， DQ+QG取得最小值，设Q（0，y），则， ∵QG∥轴， ∴， ∴， ∴的最小值为． （2022济南槐荫一模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线过点A． （1）求出抛物线解析式的一般式； （2）抛物线上的动点D在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点D的坐标； （3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求的最小值． 【解析】 【分析】（1）利用函数求解坐标，再把的坐标代入二次函数解析式可得答案， （2）过点作轴交于，得到，利用二次函数的性质可得答案， （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点，证明，从而得到，从而可得答案． 【小问1详解】 解：令，解得：， ∴点，∴， ∴，∴， 即． 【小问2详解】 解：令，化简可得： 解得或， 如图，过点作轴交于， 设，，则， ∴， 所以：①当时， ； ②当时， ； ∴， ∴当时，的面积有最大值，最大值是， 此时点坐标为． 【小问3详解】 解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点． ∵，， ∴，， ∴， 设 则 ∴ ， ∴， ∵、关于轴对称，∴， ∴，此时最小． ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是3 （2023济南济阳一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过原点，与x轴的正半轴交于点A，已知B点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求a的值，并直接写出A、B两点的坐标； （2）若P点是该抛物线对称轴上一点，且，求点P的坐标； （3）如图2，若C点为线段BD上一点，求3BC+5AC的最小值． 解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出函数的解析式，即可得到A、B两点的坐标； （2）确定， 点P在上，过点P作于点E，设，则，根据，得到，求出，得到，列得方程，求出m，利用勾股定理求出即可； （3）连接，过点C作于点M，过点A作于点N，证明，，得到，进而求出，当A、C、M三点共线，且三点连线垂直时，最小，根据，求出，最小值即为，则问题得解． 【小问1详解】 解：∵抛物线过原点，即过点， 则代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点B的坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线，且过原点， ∴抛物线与x轴的另一交点A的坐标为； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴，， ∴点P在上， 如图，过点P作于点E， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 连接，过点C作于点M，过点A作于点N， ∵， ∴， 同理可证，， ∴， ∴，即， ∴， ∵当A、C、M三点共线，且三点连线垂直时，最小， ∴最小值为，如图所示， ∵， ∴， ∴最小值， 即 （2023济南槐荫三模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点点在点的左侧，其中，， ． （1）求抛物线的解析式； （2）线段上有一动点，连接，当的值最小时，请直接写出此时点的坐标和的最小值． （3）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一点，连接AD、BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为，的面积为，求的最大值． 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标和的值可得出点的坐标，将点，的坐标代入抛物线，组成方程组，解之即可得出结论； （2）令，可得点的坐标，由此可得，过点作，则，则，作点关于轴的对称点，过点作于点， 与轴的交点即为所求点，再根据直角三角形的三边关系可得出结论； （3）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，由此可得，则，设点的坐标，表达的长，再根据二次函数的性质可得结论． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∵ ∴， 将、的坐标代入 得： ∴ ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：由， 令，即， 解得：， ∴， ∴， ∴ 作点关于轴的对称点，过点作于点， 与轴的交点即为所求点，连接， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，当时，的最小值为； 【小问3详解】 如图，过作轴于点，交于， 过作轴交延长线于， 设直线解析式为：， 由(1)得：， 将， 分别代入得：， 解得：， 直线的表达式为：， ，故的横坐标，代入，得：， ， ， 设，则， ， 轴于点，轴， ， ， ， 将、分别看作、为底边，则它们的高相同， ， ， 时，有最大值，最大值为 （2023年历城三模）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A的横坐标为，点C的纵坐标为3． （1）求该抛物线的解析式，并写出其对称轴； （2）设点P是抛物线对称轴第一象限部分上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点A的对应点为D，若点D恰好落在该抛物线上，求点P的坐标； （3）如图2，连接，若点是直线上方抛物线上一点，点为轴上一点，当面积最大时，求的最小值． 【解析】 【分析】（1）将，代入抛物线即可得出抛物线的解析式，利用对称轴的公式可得出对称轴直线解析式； （2）设对称轴直线交轴于点，作于点，由此得出，设点，可表达点的坐标；再根据点的位置进行分情况讨论； （3）过点作于点，交于点，根据的面积最大时可得点的坐标，作，过点作于点，过点作于交轴于点，轴于点，由此可得，即的最小值为，再求出的最值即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，点的坐标为，点的坐标为， 将，代入抛物线， ，解得， 抛物线的解析式为：； 其对称轴为直线，即； 【小问2详解】 设对称轴直线交轴于点，作于， 由旋转的性质可知：， ，， ， 又， ， ，， 设点， ①当点在轴上方时，有， 则：， 整理得，解得，（舍去）； ②当点在轴下方时，有， 则：， 整理得，解得，（舍去）； 综上所述，点的坐标为或． 【小问3详解】 令，解得或， ， 直线的解析式：； 如图，过点作于点，交于点， 设点，， ， ， 当时，的面积有最大值， ，． 作，过点作于点，过点作于交轴于点，轴于点， ，， ， ， 的最小值为， ，， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为 （2024四川成都模拟）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【尝试初探】 （1）如图①，在四边形中，若，，，求的长； 【深入探究】 （2）如图②，在四边形中，若，，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图③，在四边形中，若，，，延长相交于点，，是线段上一动点，连接，求的最小值． 【详解】解：（1）∵，，； ∴； ∴， ∴， ∴． （2）如图②，取的中点O，连接、， ∵， ∴，， ∴，， ∴，； ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， （3）如图③，过点A作， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 过点A作交于点Q， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 如图④，作，过点P作，垂足为H，过点D作，垂足为N，交于M， ∴，， ∴，， ∵，当点P在点M位置时，点H与N重合，取最小值，最小值为， ∴的最小值为， ∴最小值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 冲刺2025年中考之胡不归最值 模型典故（“胡不归”问题） 有一则古老的历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家.然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了.人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？……” 早期的科学家曾为这则古老传说中的小伙子设想了一条路线：如图1-1所示，A是出发地，B是目的地；AC是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧全是砂土地带.为了急切回家，小伙子选择了直线路程AB.但是，他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素.如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度却可以加快），是可以提前抵达家门的. 用现代的数学语言表达出来就是： 已知在驿道和砂地上行走的速度分别为V1和V2，在驿道上找一定点C，使从A至C再至B的行走时间最短. 于是，问题在于如何去找出C点.这个古老的“胡不归”问题风靡了一千多年，一直到十七世纪中叶，才由法国著名科学家费尔马揭开了它的面纱. 【模型建立】 如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1＜V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小． ，记，即求BC＋kAC的最小值． 构造射线AD使得sin∠DAN＝k，CH/AC＝k，CH＝kAC． 将问题转化为求BC＋CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC＋CH取到最小值，即BC＋kAC最小． 解题一般步骤： ①胡不归问题可以看作是路径问题，先确定起点与终点，一般带系数的定点为起点，不带系数的定点为 终点，（如果都带系数，需要将较大系数提出来） ②过起点作一条直线，使其与动点所在直线夹角为α，且sinα=k， ③过终点作这条直线的垂线，与动点所在直线的交点为动点最小值点，垂线段为胡不归最小值。 题型1、已有相关角度直接作垂直 例1、如图，，，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时间最少时，D的坐标为 ． 例2、如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 ． 【模考专练】 （2019济南高新二模）如图，在平面直角些标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣的图象经过点A（﹣1，0），C（2，0），与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D． （1）求二次函数的表达式及其顶点的坐标； （2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求PB+PD的最小值； （3）M（x，t）为抛物线对称轴上一个动点，若平面内存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有　 　个． （2024淄博一模）如图，在边长为6的菱形中，，连接，点 E，F分别是边，上的动点，且，连接，，． (1)如图①，当点E是边的中点时，求的度数； (2)如图②，当点E是边上任意一点时，的度数是否发生改变？若不改变，请证明：若发生改变，请说明理由； (3)若点P是线段上的一个动点，连接，求的最小值． 题型2、构造相关角度再作垂直 例3、如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 例2、如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 ． 【模考专练】 （2020济南市中二模）如图①，在矩形OABC中，OA=4，OC=3，分别以OC、OA所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的坐标系，连接OB，反比例函数y=(x＞0)的图象经过线段OB的中点D，并与矩形的两边交于点E和点F，直线l：y=kx+b经过点E和点F． （1）写出中点D的坐标　　　　 ，并求出反比例函数的解析式； （2）连接OE、OF，求△OEF面积； （3）如图②，将线段OB绕点O顺时针旋转一定角度，使得点B的对应点H恰好落在x轴的正半轴上，连接BH，作OM⊥BH，点N为线段OM上的一个动点，求HN+ON的最小值． （2020济南历城三模）如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于点B(－2，0)、点C(8，0)两点，与y轴交于点A． (1)求二次函数的表达式； (2)连接AC、AB，若点N在线段BC上运动(不与点B、C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标； (3)连接OM，在(2)的结论下，线段AC上有一动点P，连接PM，求PM＋PC的值最小时，点P的坐标． （2021济南历城一模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB、DC． （1）如图1，当α＝60°时，请直接写出线段PA与线段CD的数量关系是　　，∠DCP为　　度； （2）如图2，当α＝120°时，写出线段PA和线段DC的数量关系，并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，当AB＝2时，求BP+PC的最小值． （2022济南济阳九上期末）27．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时： ①求PD+PC的最小值； ②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+OQ的最小值． （2022济南槐荫一模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线过点A． （1）求出抛物线解析式的一般式； （2）抛物线上的动点D在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点D的坐标； （3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求的最小值． （2023济南济阳一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过原点，与x轴的正半轴交于点A，已知B点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求a的值，并直接写出A、B两点的坐标； （2）若P点是该抛物线对称轴上一点，且，求点P的坐标； （3）如图2，若C点为线段BD上一点，求3BC+5AC的最小值． （2023济南槐荫三模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点点在点的左侧，其中，， ． （1）求抛物线的解析式； （2）线段上有一动点，连接，当的值最小时，请直接写出此时点的坐标和的最小值． （3）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一点，连接AD、BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为，的面积为，求的最大值． （2023年历城三模）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A的横坐标为，点C的纵坐标为3． （1）求该抛物线的解析式，并写出其对称轴； （2）设点P是抛物线对称轴第一象限部分上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点A的对应点为D，若点D恰好落在该抛物线上，求点P的坐标； （3）如图2，连接，若点是直线上方抛物线上一点，点为轴上一点，当面积最大时，求的最小值． （2024四川成都模拟）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【尝试初探】 （1）如图①，在四边形中，若，，，求的长； 【深入探究】 （2）如图②，在四边形中，若，，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图③，在四边形中，若，，，延长相交于点，，是线段上一动点，连接，求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$