第七章复数全章题型大总结-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第七章 复数全章题型大总结 目录 题型一：复数的概念 题型二：复数、实数、纯虚数 题型三：复数相等问题 题型四：复数的几何表示 型五：共轭复数题型六：复数的模 题型七：复数的运算 正文 题型一：复数的概念 1．复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知i为虚数单位，复数z满足zi＝－2＋i，则＝（ ） A．1＋2i B．－1＋2i C．1－2i D．－1－2i 3．下面给出了关于复数的四种类比推理： ①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则； ②由向量的性质，类比得到复数的性质； ③方程有两个不同实数根的条件是可以类比得到：方程有两个不同复数根的条件是； ④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义，其中类比错误的是 ． 4．写出一个同时满足①；②的复数 ． 5．复数，其中． (1)若复数为实数，求的值： (2)若复数为纯虚数，求的值． 6．已知实部为的复数满足（，为虚数单位）. （1）求； （2）若为纯虚数，求实数的值. 题型二：复数、实数、纯虚数 7．已知a是实数，则复数为纯虚数的充要条件是（    ） A．或 B． C．，且且 D．，且 8．（多选）已知复数，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的实部为25 B．若，则的虚部为 C．若为实数，则 D．若为纯虚数，则 9．设复数，若是虚数单位，其中. （1）若为纯虚数，求的值； （2）若是的共轭复数，若复数所对应的点在第三象限，求实数的取值范围. 10．已知复数其中i为虚数单位． Ⅰ当实数m取何值时，复数z是纯虚数； Ⅱ若复数z在复平面上对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围． 11．已知复数z＝(2＋i)m2－－2(1－i)，当实数m取什么值时，复数z是(1)虚数，(2)纯虚数． 题型三：复数相等问题 12．若是纯虚数，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．已知（为虚数单位），则 A． B． C． D． 14．设，为虚数单位．若集合，且，则 ． 15．请写出复数的一个平方根 （只需写出其中一个）. 16．定义运算＝ad－bc，则对复数z＝x＋yi(x，y∈R)符合条件＝3＋2i的复数z等于__________． 17．已知关于的方程 （1）若方程有实数根，求锐角和实数根； （2）用反证法证明：对任意，方程无纯虚数根. 题型四：复数的几何表示 18．在复平面内，复数，对应的点分别是，，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 19．若为虚数单位，复数在复平面中对应的点为，则的值是（    ） A．1 B． C． D．1 20．已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内复数对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 21．在复平面内，若复数对应的点的坐标为，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 22．若复数满足，则在复平面内对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 23．如图，向量对应的复数是z，试作出下列运算结果所对应的向量. (1)；         (2). 题型五：共轭复数 24．已知复数在复平面内对应点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 25．已知复数，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 26．已知复数，且，其中为实数，则（    ） A． B． C． D．4 27．复数的共轭复数记作，已知复数对应复平面上的点，复数:满足.则等于（    ） A． B． C． D． 28．设复数z的共轭复数为，满足，i为虚数单位，则z在复平面内对应的点在 A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 29．如果复数（其中为虚数单位，为实数）的实部和虚部互为相反数，那么等于 A．-6 B． C． D．2 题型六：复数的模 30．复数在复平面对应的点为，且，则=（    ） A．1 B． C．2 D． 31．设复数满足（为虚数单位），则（    ） A．0 B． C．2 D． 32．已知复数z满足4且，则的值为 A．﹣1 B．﹣2 2019 C．1 D．2 2019 33．设为虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则 A．-5 B． C．-1 D． 题型七：复数的运算 34．已知复数满足 (为虚数单位)，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 35．已知复数满足（其中为的共轭复数），则的值为 A．1 B．2 C． D． 36．（多选）复数 满足 ，则（     ） A． B．为纯虚数 C． D． 37．若都是实数，关于的方程有一个根，则 . 38．计算： ． 39．在复数范围内因式分解： ． 40．28的平方根为 ；的平方根为 . 41．已知复数满足. (1)求复数和； (2)若复数是关于的方程的一个根，求实数a，b的值. 42．若（）是1的一个立方根，试用表示–1，8的立方根． 试卷第2页，共5页 试卷第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 复数全章题型大总结 目录 题型一：复数的概念 题型二：复数、实数、纯虚数 题型三：复数相等问题 题型四：复数的几何表示 型五：共轭复数题型六：复数的模 题型七：复数的运算 正文 题型一：复数的概念 1．复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】利用对数函数与基本不等式判断出复数的实部与虚部的正负号，即可得出答案. 【详解】复数的实部、虚部. 因为, 所以. 因为, 所以. 所以复数在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C 【点睛】本题结合对数函数与基本不等式考查复数在复平面上的点对应的象限.属于基础题. 2．已知i为虚数单位，复数z满足zi＝－2＋i，则＝（ ） A．1＋2i B．－1＋2i C．1－2i D．－1－2i 【答案】C 【分析】复数的除法运算计算复数，然后应用复数共轭写出即可. 【详解】解：因为 zi＝－2＋i，，所以＝. 故选：C 3．下面给出了关于复数的四种类比推理： ①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则； ②由向量的性质，类比得到复数的性质； ③方程有两个不同实数根的条件是可以类比得到：方程有两个不同复数根的条件是； ④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义，其中类比错误的是 ． 【答案】②③ 【详解】分析：①由两者运算规则判断；②由定义判断；③可由两者运算特征进行判断；④由两者加法的几何意义判断. 详解：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算，两者用的都是合并同类项的规则，可以类比； ②由向量的性质，类比得到复数的性质，两者属性不同，一个是数，一个是既有大小又有方向的量，不具有类比性，故错误； ③方程有两个不同实数根的条件是可以类比得到：方程有两个不同复数根的条件是，数的概念的推广后，原有的概念在新的领域里是不是成立属于知识应用的推广，不是类比，故错误； ④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义，由两者的几何意义知，此类比正确； 综上，②③是错误的，故答案为②③. 点睛：该题考查的是有关类比推理的问题，在解题的过程中，需要对相关的结论要熟悉，再者就是对类比推理要清楚对应的结果是什么，从而判断其正确与否. 4．写出一个同时满足①；②的复数 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】设，从而得到，根据模长公式得到方程，求出或，得到答案. 【详解】设，因为， 所以，则，又因为， 所以，解得或， 所以满足条件的复数或者 故答案为：（答案不唯一）. 5．复数，其中． (1)若复数为实数，求的值： (2)若复数为纯虚数，求的值． 【答案】(1)5或 (2)3 【分析】（1）由题意得复数的虚部为0，由此即可列方程求解； （2）由题意实部为0，且虚部不为0，由此即可列式求解. 【详解】（1）由复数为实数，得， 解得或. （2）由复数为纯虚数，得，解得. 6．已知实部为的复数满足（，为虚数单位）. （1）求； （2）若为纯虚数，求实数的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由复数的除法可化简，利用实部为可得，结合和复数的模长公式，即得解； （2）可得，由为纯虚数，列出等量关系，即得解 【详解】（1）因为 所以，即， 所以，即 （2）， 所以 解得： 题型二：复数、实数、纯虚数 7．已知a是实数，则复数为纯虚数的充要条件是（    ） A．或 B． C．，且且 D．，且 【答案】B 【分析】根据若复数为纯虚数，则求解. 【详解】若复数为纯虚数， 则， 解得， 所以复数为纯虚数的充要条件是， 故选：B 8．已知复数，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的实部为25 B．若，则的虚部为 C．若为实数，则 D．若为纯虚数，则 【答案】AC 【分析】应用复数定义分别判断实部及虚部判断A，B，再根据复数类型计算求参判断C，D. 【详解】若，则的实部为25，虚部为-5，A正确，B错误. 若为实数，则，得，C正确. 若为纯虚数，则得，D错误. 故选：AC. 9．设复数，若是虚数单位，其中. （1）若为纯虚数，求的值； （2）若是的共轭复数，若复数所对应的点在第三象限，求实数的取值范围. 【答案】（1），（2） 【分析】（1）先对复数化简，然后由实部为零，虚部不为零，可求出的值； （2）先对复数化简整理，然后使其实部和虚部都小于零，解不等式组可得答案 【详解】解：（1）， 因为为纯虚数，所以且， 解得， （2）， 因为复数所对应的点在第三象限， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为 10．已知复数其中i为虚数单位． Ⅰ当实数m取何值时，复数z是纯虚数； Ⅱ若复数z在复平面上对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】由纯虚数的定义，得，解出即可． 由复数的几何意义，得，解出即可． 【详解】化简后z＝（2m2﹣m﹣1）+（m2+m﹣2）i， 由复数z为纯虚数，得，解得 由复数z对应的点位于第四象限，得，解得. 【点睛】本题考查了复数的概念和几何意义，不等式的解法，属于基础题． 11．已知复数z＝(2＋i)m2－－2(1－i)，当实数m取什么值时，复数z是(1)虚数，(2)纯虚数． 【答案】(1) m≠2且m≠1；(2)或. 【详解】试题分析：根据复数的有关概念以及复数的几何意义，建立条件关系式，即可得到结论． 试题解析： 题由于m∈R，复数z可表示为 z＝(2＋i)m2－3m(1＋i)－2(1－i) ＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i， (1)当m2－3m＋2≠0， 即m≠2且m≠1时，z为虚数． (2)当，即m＝ 时，z为纯虚数． 所以当或时，z1，z2互为共轭复数． 题型三：复数相等问题 12．若是纯虚数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据纯虚数的定义可得，，即可求出，再根据诱导公式即可求出. 【详解】是纯虚数， ，且， 即且，即， 则，则. 故选：C. 13．已知（为虚数单位），则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于a+bi＝，故有a＝，b＝-，即可得结果． 【详解】由于a+bi＝=， ∴a+bi＝，∴a＝，b＝-， ∴= 故选B． 【点睛】本题主要考查两个复数相等的充要条件，考查了复数的乘除运算，属于基础题． 14．设，为虚数单位．若集合，且，则 ． 【答案】 【分析】利用集合交集的结果，结合复数相等的性质列式，从而得解. 【详解】因为，， 所以，解得. 故答案为：. 15．请写出复数的一个平方根 （只需写出其中一个）. 【答案】（或，答案不唯一）. 【分析】利用待定系数法，结合复数的四则运算及相等性质即可得解. 【详解】依题意，设复数的平方根为， 则， 所以，解得或， 所以复数的平方根为或， 故答案为：（或，答案不唯一）. 16．定义运算＝ad－bc，则对复数z＝x＋yi(x，y∈R)符合条件＝3＋2i的复数z等于__________． 【答案】 【详解】试题分析：由题意得，由，可得，所以 ． 考点：复数的运算． 方法点晴：本题主要考查了复数的基本运算法则的应用，属于基础题，对于复数的四则运算中，特别注意复数的除法运算，对于复数的除法运算，要在复数的分子和复数的分母同时乘以父母的共轭复数，使得复数的分母变为实数，有利于复数的化简和运算，本题的解答中分子、父母同时乘以，即可求解复数的运算结果． 17．已知关于的方程 （1）若方程有实数根，求锐角和实数根； （2）用反证法证明：对任意，方程无纯虚数根. 【答案】（1），；（2）证明见解析. 【分析】（1）设方程的实数根为，得到，根据复数相等的条件，列出方程组，即可求解； （2）假设方程有纯虚数根，设为，得到，化简得到方程，结合判别式和一元二次方程的性质，即可求解. 【详解】（1）设方程的实数根为，则， 即，所以，解得， 又因为为锐角，所以. （2）假设方程有纯虚数根，可设为， 则，即，可得， 即，可得方程， 所以为虚数，这与矛盾， 故假设不成立，所以结论成立，即对任意，方程无纯虚数根. 题型四：复数的几何表示 18．在复平面内，复数，对应的点分别是，，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义和复数的除法计算法则即可计算. 【详解】易得，，∴，虚部为. 故选：A． 19．若为虚数单位，复数在复平面中对应的点为，则的值是（    ） A．1 B． C． D．1 【答案】D 【分析】由题意得的，根据，即可得到结果. 【详解】∵复数在复平面中对应的点为， ∴，又， ∴， 故选D. 【点睛】本题考查复数的几何意义与乘方运算，考查计算能力，属于常考题型. 20．已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内复数对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数的运算，求出复数，即得. 【详解】由， 得， 在复平面内复数对应的点的坐标为，位于第四象限， 故选：D. 【点睛】本题考查复数的运算和复数的几何意义，属于基础题. 21．在复平面内，若复数对应的点的坐标为，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据复数和坐标系中的点的对应关系得到结果即可. 【详解】复数对应的点的坐标为 由题干得到 故选：D. 22．若复数满足，则在复平面内对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的四则运算解出，得到对应的点坐标即可求解. 【详解】由得， 所以z在复平面内对应的点为. 故选：D. 23．如图，向量对应的复数是z，试作出下列运算结果所对应的向量. (1)；         (2). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】利用向量平行四边形法则作图可得答案. 【详解】（1）向量对应的复数是， ，用表示，如下图； （2）向量对应的复数是，， 用表示，如下图； 题型五：共轭复数 24．已知复数在复平面内对应点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题得出复数，根据复数的除法运算解出，即可得出答案. 【详解】由题知， ∴，∴， 故选：D． 25．已知复数，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的运算，求得复数，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案． 【详解】复数， 则 所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于复平面内的第一象限. 故选：A 26．已知复数，且，其中为实数，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据复数的运算，结合复数相等得，进而再求复数模即可. 【详解】解；因为复数， 为实数， 所以， 所以，解得， 所以. 故选：C 27．复数的共轭复数记作，已知复数对应复平面上的点，复数:满足.则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据复数的几何意义得出复数，进而得出，由得出可计算出，由此可计算出. 【详解】由于复数对应复平面上的点，，则， ，，因此，. 故选：A. 【点睛】本题考查复数模的计算，考查了复数的坐标表示、共轭复数以及复数的除法，考查计算能力，属于基础题. 28．设复数z的共轭复数为，满足，i为虚数单位，则z在复平面内对应的点在 A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】A 【分析】根据复数除法求出，由共轭复数得出后可得其对应点的坐标，也即得到其所在象限． 【详解】因为，所以，则z在复平面内对应的点在第四象限， 故选：A. 【点睛】本题考查复数的几何意义，解题关键是掌握复数除法运算，共轭复数的概念，属于基础题． 29．如果复数（其中为虚数单位，为实数）的实部和虚部互为相反数，那么等于 A．-6 B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用复数的除法运算法则化简复数，根据复数实部和虚部定义求解即可. 【详解】由题意，， 复数（其中为虚数单位，为实数）的实部和虚部化为相反数， ， . 故选：C. 题型六：复数的模 30．复数在复平面对应的点为，且，则=（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出在复平面内复数，进而得答案． 【详解】解：复数在复平面对应的点为， ； ； 故； 故选：． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 31．设复数满足（为虚数单位），则（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】通过复数的除法求出,由复数和共轭复数的关系进而可求出. 【详解】解:注意到,则 故选:B. 【点睛】本题考查了共轭复数,考查了复数的运算. 32．已知复数z满足4且，则的值为 A．﹣1 B．﹣2 2019 C．1 D．2 2019 【答案】D 【解析】首先设复数z=a+bi（a，b∈R），根据z4和z|z|0得出方程组，求解可得： z，通过计算可得：，代入即可得解. 【详解】设z=a+bi（a，b∈R）， 由z4且z|z|=0，得 ，解得a=﹣1，b. ∴z， 而1， . ∴. 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的计算，考查了共轭复数，要求较高的计算能力，属于较难题. 33．设为虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则 A．-5 B． C．-1 D． 【答案】B 【详解】由题意得，，因为其实部与虚部互为相反数，所以，即，解得.故选B. 题型七：复数的运算 34．已知复数满足 (为虚数单位)，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据 的次幂每次一个循环，得出；再根据复数的四则运算得出；最后根据复数虚部的定义即可得出结果. 【详解】因为， 所以. 又因为， 所以. 所以的虚部为. 故选：A 35．已知复数满足（其中为的共轭复数），则的值为 A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】按照复数的运算法则先求出，再写出，进而求出. 【详解】， ， . 故选：D 【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题. 36．复数 满足 ，则（     ） A． B．为纯虚数 C． D． 【答案】AC 【分析】根据复数的模、纯虚数、复数运算等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设，其中. 其模，已知，则，两边同时平方可得 ①. ，所以， 两边同时平方可得，即 ②. 将①代入②可得：，化简可得，解得. 把代入①可得：，即，， 解得，所以. 选项A： 根据共轭复数的模的性质，对于复数，，已知，所以，故A正确； 选项B： 纯虚数是指实部为，虚部不为的复数，而的实部， 所以不是纯虚数，故B错误； 选项C： 当时，，则； 当时，，则，故C正确； 选项D： 当时，，则； 当时，，则. 所以，故D错误. 故选：AC 37．若都是实数，关于的方程有一个根，则 . 【答案】7 【分析】根据题意，将代入方程，然后由复数相等列出方程，即可得到结果. 【详解】将代入方程可得， 化简可得， 即， 则，解得. 故答案为： 38．计算： ． 【答案】1000 【分析】利用复数的运算性质化简即可求解． 【详解】原式 ． 故答案为：1000． 39．在复数范围内因式分解： ． 【答案】． 【分析】根据已知条件，结合求根公式和复数的概念，即可求解． 【详解】令， ，由求根公式可知，， 故． 故答案为：． 40．28的平方根为 ；的平方根为 . 【答案】 【分析】利用平方根的定义求解即得. 【详解】令是28的平方根，则，而，于是， 所以28的平方根为； 令为的平方根，则，而，于是， 所以的平方根为. 故答案为：； 41．已知复数满足. (1)求复数和； (2)若复数是关于的方程的一个根，求实数a，b的值. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用复数除法运算及复数模长运算可得结果； （2）将代入方程化简，再利用复数相等的条件列方程组可求得实数a，b的值. 【详解】（1）因为复数满足， 所以， 所以. 所以. （2）因为复数是关于的方程的一个根， 由（1）知，所以 ， 所以， 解得，. 42．若（）是1的一个立方根，试用表示–1，8的立方根． 【答案】–1的立方根为–1，，，8的立方根为2，，． 【分析】求出1的立方根，后变形方程，与，对照，整体换元，求出–1，8的立方根即可. 【详解】令，则， 解得， 则（舍去），， 解得， 不妨设，为的另一个非实数立方根. 令，则，整体换元，， 分别解得， 因此–1的立方根为–1，，； 令，则，整体换元，， 分别解得， 因此8的立方根为2，，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$