第六章平面向量及其应用全章题型大总结-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章 平面向量及其应用全章题型大总结 目录 题型一：平面向量的线性运算及坐标运算 题型二：平面向量的数量积及投影 题型三：平面向量的共线 题型四：平面向量的夹角 题型五：平面向量的模 题型六：解三角形 正文 题型一：平面向量的线性运算及坐标运算 1．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用题给条件列方程求得的值，进而求得的值. 【详解】由，可得， 因为，则，解得， 则 故选：C. 2．已知平行四边形ABCD中，点E，F满足，，则 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：如图所示，由题意得，，所以 ，故选B． 考点：向量的运算． 3．如图，在中，与CE的交点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合三点共线的结论及平面向量基本定理，将、向量都用、表示，进而得到，再利用边的关系得到面积比例即可. 【详解】因为、、三点共线，，所以， 又因为，所以， 设，则， 即，消可解得，所以，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：B. 4．在中，点是线段上任意一点（不包含端点），点为线段的中点，点为线段上靠近点的三等分点，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用向量的共线运算及平面向量基本定理找到的关系，再用代换法求最小值即可. 【详解】 由已知可得：， 又因为在线段上，所以有，且， 根据平面向量基本定理可知：， 所以有，且，即 则， 当且仅当，即时取等号， 故答案为：. 5．在中，点是的中点，点分的比为与相交于，设，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三点共线性质以及平面向量基本定理解方程组即可得解. 【详解】    由题意三点共线，所以存在，使得， 同理三点共线，所以存在，使得， 由平面向量基本定理可得，解得， 所以. 故选：C. 6．正方形的边长为2，在上，且，如图，点是以为直径的半圆上任意一点，，则（   ） A．最大值为 B．最大值为1 C．最大值是 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】根据题设条件，建立平面直角坐标系，把数量积问题转化为坐标运算来解决，结合三角函数的性质即可对选项进行判定. 【详解】以线段所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图， ，，，，，设，， 则，，，由， 得，则，解得， 对于A，，其中锐角由确定， ，则当时，，A错误； 对于B，，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，其中锐角由确定， ，则当时，取得最大值，C正确； 对于D，，则 ，而，当时，取得最大值为，D错误. 故选：BC 题型二：平面向量的数量积及投影 7．在梯形ABCD中，，，，E为的中点，F为上的动点（含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立适当的平面直角坐标系，利用向量的数量积的坐标公式表示出，结合的范围即可得解. 【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，    则，，，，，， 所以， 因为的取值范围是，所以的取值范围是. 故选：D． 8．已知向量，，则在方向的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的定义结合向量的运算求解即可. 【详解】在方向的投影向量为. 故选：A 9．边长为2的正三角形内一点（包括边界）满足：，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点点M在内部（包括边界），得到的取值范围，再根据向量的线性运算得，根据向量数量积得运算率即可得出答案. 【详解】解：因为点M在内部（包括边界），所以， 由 . 故选：B. 10．在平面凸四边形中，已知，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，在中，利用正弦定理求出，再根据数量积的定义结合三角函数的性质即可得解. 【详解】设，则， 在中，由正弦定理得， 所以， 在中，，，则， 所以 ， 因为，所以， 所以， 所以的最小值为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 11．如图，在△中，是的中点，是上一点，且，则下列说法中正确的个数是（    ） ①； ②过点作一条直线与边分别相交于点，若， ，则； ③若△是边长为的正三角形，是边上的动点，则的取值范围是 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】由，， ，结合向量的运算判断①；由三点共线结合向量的数乘运算判断②；建立坐标系，利用坐标运算结合二次函数的性质判断③. 【详解】对于①：，， ，故，故①正确； 对于②：，，因为三点共线，所以，即，解得，故②错误； 对于③：以点作为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系，，，设，因为，，所以，当时，，当时，，即的取值范围是，故③正确； 故选：C 12．在中，，，且CE与AD交于点P，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量共线定理得到，，利用、分别表示出，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得、，再代入计算可得. 【详解】依题意、、三点共线，故， 所以 ， 、、三点共线，故， 则 ， 所以，解得， 所以，又，所以，所以. 故选：B. 13．在中,则在方向上的投影为（    ）． A．4 B．3 C．-4 D．5 【答案】C 【分析】先对等式两边平方得出，并计算出，然后利用投影的定义求出在方向上的投影． 【详解】对等式两边平方得， ，整理得，，则， ， 设向量与的夹角为， 所以，在方向上的投影为， 故选C． 【点睛】本题考查平面向量投影的概念，解本题的关键在于将题中有关向量模的等式平方，这也是向量求模的常用解法，考查计算能力与定义的理解，属于中等题． 14．在中，内角的对边分别为，已知，为的中点，且，则（   ） A．3 B．5 C．6 D．12 【答案】B 【分析】根据向量的数量积公式及运算律计算即可. 【详解】已知，所以， 因为为的中点，所以 且，则. 故选：B. 15．已知等边的边长为4，平面内一点满足，则 【答案】 【解析】用向量表示出目标向量，由数量积运算即可容易求得结果. 【详解】因为， 故可得到； ， 故可得 故答案为：. 【点睛】本题考查向量的数量积运算，属基础题. 16．如图所示，在平行四边形ABCD中，，，，点E，F分别是边AD，DC上的动点，且，BE与AC交于G 点.    (1)若，试用向量，表示向量； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可知点E，F分别是边AD，DC上的中点.由，可得点G是BE上靠近点E的三等分点，结合向量的加法法则、减法法则及数乘运算即可求解. （2）由，易知，()，由可得，结合向量的加法法则、减法法则及数乘运算分别表示出，，根据题中条件及数量积运算可知，.令，，利用导数研究函数单调性即可求解. 【详解】（1）当时，， ∴，，∴点E，F分别是边AD，DC上的中点. 易证，故，∴点G是BE上靠近点E的三等分点. . （2），∴，()， ∴，. 由可得， ， . ，，， ，，， . 令，， 则， ，，， ，∴函数在上单调递增， ∴当时，函数取得最小值；当时，函数取得最大值. ∴的取值范围为. 17．如图，在△ABC中，，，，D为BC的中点，E为AB边上的动点（不含端点），AD与CE交于点O，.    (1)若，求的值； (2)求的最小值，并指出取到最小值时x的值. 【答案】(1)4 (2)的最小值为，此时 【分析】（1）设，根据向量的运算得到，，因为A，O，D三点共线，所以，解得，即可得到答案； （2）设，因为E，O，C三点共线，得，根据题意得到，设，结合基本不等式求解最小值即可. 【详解】（1）设，因为， 即：， 所以， 因为A，O，D三点共线，所以，解得， 所以，所以. （2）设，所以， 因为E，O，C三点共线，所以，得， 所以，， ， ， 设， 则 ， 当且仅当，时取等号. 综上：的最小值为，此时. 题型三：平面向量的共线 18．在中，已知是延长线上一点，若，点为线段的中点，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量基本定理将用表示出来，即可得出答案。 【详解】由题意可得： ， 注意到， 故 . 故选C。 【点睛】本题考查平面向量基本定理，属于基础题。 19．中，为的中点，点在线段（不含端点）上，且满足，则的最小值为 A． B． C．6 D．8 【答案】D 【详解】，因为三点共线，所以且，则，当且仅当，即时，上式取等号，故有最小值8，故选D． 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 20．已知是平面内两个不共线的向量，，，则三点共线的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把三点共线，转化为有公共点的两向量共线，然后用共线向量的性质来解决问题. 【详解】由三点共线的充要条件是且， 即，由是两个不共线向量， 所以，故. 故选：C. 21．设，为平面内一个基底，已知向量，，，若A，B，D三点共线，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量共线定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可. 【详解】因为，， 所以， 因为A，B，D三点共线， 所以有，即 因为，为平面内一个基底， 所以，不是共线向量，因此有， 故选：D 22．如图，在中，分别是的中点，是线段上两个动点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量共线定理可设，知；根据分别为的中点，可得到，由此求得；根据，利用基本不等式可求得最小值. 【详解】四点共线，可设，其中，， 分别是的中点，，， ， ，，， 是线段上两个动点，，， （当且仅当，即时取等号）， 的最小值为. 故选：B. 23．设，为两个不共线向量，若向量与共线，则实数 . 【答案】/2.5 【分析】根据向量共线定理，得到方程组，求出答案. 【详解】与共线，故存在实数，使得， 即， 所以，解得. 故答案为： 24．如图所示，中，点为中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，，相交于点，设，． （1）用，表示，； （2）若，，求和． 【答案】（1）， ；（2），． 【分析】（1）用向量的线性运算求解； （2）由，把用表示，然后由，得出的方程组，求解可得． 【详解】解：（1）， ， ． （2） ， 又，所以，则． 解方程组，得，． 题型四：平面向量的夹角 25．已知向量，，且，则实数λ的值为（    ） A．8 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】先计算出，由向量垂直得到方程，求解即可． 【详解】因为，， 则 ， 解得， 故选：A 26．已知，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出向量的坐标，再利用向量夹角公式求解作答. 【详解】由题意， ， 所以， 所以， 而，所以. 故选：B 27．已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若的夹角与的夹角相等，则 D．若，则在上的投影向量为 【答案】AC 【分析】先表示出的坐标，对于A，由列方程求解即可，对于B，由，得从而出，对于C，利用向量的夹角公式列方程求解即可，对于D，利用投影向量的定义求解. 【详解】， 对于A，若，则，解得或，故A正确： 对于B，，解得，故B错误； 对于C，的夹角与的夹角相等，，即，解得，故C正确： 对于D．若，则在上的投影向量为,故D错误． 故选：AC． 28．已知平面向量=(，－1)，=(x，y)(x>0)，=1． (Ⅰ)若对任意实数t都有,求向量； (Ⅱ)令=+(sin2α－2cos2α)，=(sin22α)+(cos2α)，α∈(，π)，若⊥，，求tanα的值； (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，求 的值． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）-（Ⅲ） 【详解】（Ⅰ）由题意知即恒成立， ∴="0 " …………………… (3分) ∴解得……………………(5分) （Ⅱ）易知，∴=0……………………(6分) 即 ∴3sin22α+sin2αcos2α－2cos4α)="0 " ……………………(7分) (3sin2α-2cos2α)(sin2α+cos2α)=0 2cos2α(3sinα-cosα)(2sinα+cosα)=0 ∵α∈(，π)，所以cosα<0，sinα>0，2cos2α(3sinα-cosα)>0， 故2sinα+cosα="0 " ……………(9分) ∴tanα=-， ……………………(10分) (Ⅲ)= ==2sinαcosα == ==……………………(14分) 29．已知，记在方向上的投影向量为． (1)求的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． (3)已知，求与共线的单位向量的坐标． 【答案】(1) (2)且 (3)或 【分析】（1）先由投影向量的计算，再结合数量积的定义计算模长即可； （2）由数量积大于零且不共线可得； （3）由坐标计算模长，再求单位共线向量即可. 【详解】（1）与的夹角为，． （2） ，且与不能共线， 即， 当与共线时，设，得．      且． （3），，所求单位向量坐标为：或. 30．已知，，．设，，，且，． （1）求，的坐标及的坐标． （2）向量和，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】（1），，；（2）且． 【分析】(1)结合向量的坐标运算即可. (2)根据(1)，， 结合题意和与不平行，列出不等式组，解不等式即可. 【详解】解析：（1）∵，， ，， ∵，得 ，得 ∴ （2）， ∵与夹角为钝角， ∴且与不平行， 即 解得且. 31．已知向量，满足，，． （1）求向量与的夹角； （2）求的值； （3）若向量，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）由得，再根据夹角公式计算即可； （2）根据向量模的计算公式计算即可； （3）根据共线向量定理求解即可. 【详解】（1）∵，∴，，， 设向量与的夹角为，则，又∵ ∴． （2）由向量模的计算公式得：． （3）∵，∴，∴， ∴，解得． 【点睛】本题考查向量的夹角，模，及共线向量基本定理等知识，考查运算能力，是基础题. 题型五：平面向量的模 32．如果是两个单位向量，则下列结论中正确的个数是（    ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据单位向量模相等，方向任意依次判断各选项即可得答案. 【详解】因为是两个单位向量，所以， 但两向量的方向不能确定，所以，故①②错误，③④正确． 故选：B. 33．已知向量，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量差的模的性质求解. 【详解】由， 可得． 故选：C 34．若不共线的两个向量，满足，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出图形如图所示，设，，由题设知三角形 为等腰三角形，由可得，从而得出结论. 【详解】如图， 设，， 则， 由已知，有， 所以三角形 为等腰三角形. 设C为 的中点，则 ，且， 所以，即， 所以. 故选：C. 35．已知点在所在平面内，满足，并且，则点依次是的（    ） A．垂心，重心，外心 B．内心，重心，外心 C．垂心，外心，重心 D．内心，外心，重心 【答案】C 【分析】根据向量垂直可得点是的垂心；根据点到三个顶点的距离相等可得点是的外心；根据中线的性质可得点是的重心. 【详解】∵， ∴，即， ∴，同理可得，，，故点是的垂心. ∵， ∴点到三个顶点的距离相等，故点是的外心.    设分别为线段的中点， ∵， ∴，故三点共线， ∴点在边的中线上，同理得点在边的中线上，点在边的中线上， 即点是三边中线的交点，故点是的重心. 综上得，依次是的垂心，外心，重心. 故选：C. 36．若平面向量两两的夹角相等，且，则 ． 【答案】或7 【分析】先由题意得平面向量两两的夹角为或，再由向量模长公式结合数量积定义直接计算即可得解. 【详解】由题可设平面向量两两的夹角为， 则或， 则由题 或． 故答案为：7或 37．如图，在等腰中，已知，，分别是边上的点，且，，其中，且，若线段的中点分别为，则的最小值是    【答案】/ 【分析】利用向量的数量积，向量的线性运算，模的运算，将整理成关于变量的二次函数，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】在等腰中，由，可得. 分别是线段的中点， ,， ， ， ， . 其中，所以， 所以当时，为最小值，即的最小值为. 故答案为：. 38．已知O，M，N，P，Q在同一平面内，，且与的夹角为，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据向量减法化简，再应用与的夹角为得出，最后应用向量方向得出向量模长最大值. 【详解】因为，且与的夹角为， 则， 则. 当与同向时取得最大值. 故答案为：. 39．已知正六边形边长为6，点满足，当取最小值时，则 . 【答案】 【分析】建立坐标系，利用算出点的横坐标，再将化为关于的一元二次函数，即可求出点横坐标，进而利用模长公式求解. 【详解】如图，以所在直线为轴，以中点所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，已知正六边形边长为6， 则， 设，则， 则，得， 则， 故 ， 当时，取最小值，此时， 则， 则. 故答案为：    40．如图，在梯形中，，，，为的中点，.    (1)若，试确定点在线段上的位置； (2)若，当为何值时，最小? 【答案】(1)在线段上靠近点的四等分点处 (2) 【分析】（1）结合图形，先证得四边形是平行四边形，利用向量的线性运算即可判断点在线段上的位置； （2）结合（1）中的结论，得到关于的表达式，进而利用向量数量积运算求模得到关于的二次表达式，从而可求得最小以及相应的值. 【详解】（1）过作交于，如图，    因为，所以， 则四边形是平行四边形，故，即是的中点， 所以 因为，所以， 所以 又因为， 所以，解得， 所以在线段上靠近点的四等分点处； （2）因为，所以， 所以， 因为，， 所以， 所以当，即时，取得最小值. 所以的最小值为，此时. 题型六：解三角形 41．在中，，，分别是角，，的对边，已知，且有两解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理及有两解，列不等式求边长范围. 【详解】因为且，有两解， 所以，得． 故选：C 42．在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理以及三角恒等变换可得，结合三角形形状可得，将所求表达式化简并利用对勾函数性质计算可得结果. 【详解】依题意，由正弦定理可得，即； 所以， 又因为为锐角三角形，所以，即， 又，且， 可得，； 易知 ； 显然，由对勾函数性质可知在上单调递增， 所以可得. 故选：D 43．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为线段AB的中点，，，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据，得，利用，得，结合，得到答案. 【详解】因为，所以， ，， 因为点D为线段AB的中点，所以， 所以，即，又， 所以， 故答案为：. 44．的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（   ） A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】由利用正弦定理边角互换可得，代入可得，然后利用余弦定理代入可得，然后可得答案. 【详解】因为，所以，整理得， 又，所以， 即，即， 又，所以，得， 因为，所以，所以，故为等腰非直角三角形. 故选：A 45．如图，某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度，选取了与O在同一水平面且在同一水平线上的A，B，C三处．已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，则该建筑的高度（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题意，利用由余弦定理计算即可. 【详解】设，则， 在中，，则， 解得，则. 故选：B． 46．已知是锐角三角形，且，则的长度可以是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】CD 【分析】先根据三角形是锐角三角形，确定角的取值范围，再结合正弦定理用角的三角函数表示边，利用三角函数的性质可求的取值范围. 【详解】因为三角形为锐角三角形，且，所以，. 由正弦定理，可得：，又， 所以 ， 由，所以，所以. 故选：CD 47．在中，角的对边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的外接圆的面积为 B．若，则 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为等腰直角三角形 【答案】BC 【分析】利用正弦定理求的外接圆半径，再求其外接圆面积判断A，由体积结合正弦定理可得，再结合大边对大角判断B，结合正弦定理和余弦定理可得为钝角，判断C，再结合正弦定理将关系转化为角的关系，判断D. 【详解】设的外接圆的半径为， 对于A，因为，所以，故， 所以的外接圆的面积为，A错误； 对于B，因为，所以， 所以，由大边对大角可得，B正确； 对于C，由， 所以，故， 由余弦定理可得，又， 所以为钝角，故为钝角三角形，C正确； 对于D，由可得，， 所以，又，， 所以，由条件无法确定是否为直角， 例如：若，则，此时满足条件， 但不是等腰直角三角形，D错误. 故选：BC. 48．在中，，，，若为中点，则长为 . 【答案】 【分析】在中，根据面积公式可得，由余弦定理可得与，在中由余弦定理即可得长. 【详解】在中，，， 所以，则， 由余弦定理得：，故， 由余弦定理得：， 若为中点，则在中，， 由余弦定理得：， 故. 故答案为：. 49．目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站，已知基站高m，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.求出山高 .（结果保留整数）；如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C处（眼睛所在位置）到基站所在直线的距离m，且记在C处观测基站底部B的仰角为α，观测基站顶端A的仰角为β.试问当 时，观测基站的视角最大？参考数据：，，，. 【答案】 【分析】利用正弦定理及直角三角形边角关系求解；利用直角三角形边角关系及差角垢正切公式，结合基本不等式求出取得最大值，借助正切函数单调性求解. 【详解】依题意，， 在中，，则， 在中，， 所以山高； 依题意，且，， 在中，，在中，， 则 ， 当且仅当，即时取等号，正切函数在上单调递增， 而，则当且仅当取得最大值时，最大， 所以当时，观测基站的视角最大. 故答案为：； 50．在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若，， ①的平分线交于点，求线段的长； ②若，点P，Q是边上的两个动点，且，设的面积为，求的最小值. 【答案】(1) (2)①长为；② 【分析】（1）由正弦定理可得，结合余弦定理可得，从而可得的大小； （2）①由，可得，设边上的角平分线长为，根据面积关系列方程即可得的值，从而得所求；②由，，解得的值，设，根据正弦定理与的面积公式即可得关于的函数关系，利用三角恒等变换化简解析式，结合正弦型函数的性质求得最值即可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理得：，即， 由余弦定理得：， 因为，所以； （2）①因为，，所以， 即，解得， 设边上的角平分线长为， 则， 即，故，即，解得， 即设边上的角平分线长为； ②因为，，所以或， 因为，所以， 所以，即，则， 如图，设，    则在中，由正弦定理得，所以， 在中，由正弦定理得，所以， 所以的面积为 ， 因为，所以，. 故当，即时， 51．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理，正弦定理边角互化可得，即可求解； （2）由已知条件结合辅助角公式可得，即可求得角C，再由正弦定理结合已知条件，求得a与c的值，即可求解. 【详解】（1）由余弦定理得， 所以，即， 由正弦定理得， 因为，所以， 因为，所以. （2）由，得， 因为，所以， 所以，解得， 所以， 因为， 所以， ， 所以. 52．已知的内角的对边分别为为中点，． (1)证明：为等腰三角形； (2)若的面积，求； (3)若，求周长的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）根据正弦定理： . 再由余弦定理： ， 所以， 所以或即. 因为不成立，所以只有.所以为等腰三角形. （2）如图： 设，则， 所以 ， 又， 所以，又为锐角，所以 . 所以. （3）由题意，. 所以的周长为：， 因为，在上均为增函数， 所以， 即周长的最小值为：. 53．已知的内角的对边为，且 (1)求; (2)若的面积为 ①已知为的中点，且，求底边上中线的长; ②求内角的角平分线长的最大值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，由余弦定理可得，由同角三角函数的基本关系求解即可. （2）①根据面积公式可得，结合以及向量的模长公式求解即可，②利用等面积法可得，进而根据半角公式可得，即可得，再利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由正弦定理得，即， 故，因为，所以， 所以. （2）①由（1）知，因为的面积为， 所以，解得， 且，解得，由于， 所以 ，所以，即. ②因为为角的角平分线，所以， 由于， 得到， 由于，所以， 由二倍角公式得，则，解得， 又，所以， 由于，当且仅当时，等号取得到， 故，故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 平面向量及其应用全章题型大总结 目录 题型一：平面向量的线性运算及坐标运算 题型二：平面向量的数量积及投影 题型三：平面向量的共线 题型四：平面向量的夹角 题型五：平面向量的模 题型六：解三角形 正文 题型一：平面向量的线性运算及坐标运算 1．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知平行四边形ABCD中，点E，F满足，，则 A． B． C． D． 3．如图，在中，与CE的交点为，则（   ） A． B． C． D． 4．在中，点是线段上任意一点（不包含端点），点为线段的中点，点为线段上靠近点的三等分点，若，则的最小值为 ． 5．在中，点是的中点，点分的比为与相交于，设，则向量（    ） A． B． C． D． 6．（多选）正方形的边长为2，在上，且，如图，点是以为直径的半圆上任意一点，，则（   ） A．最大值为 B．最大值为1 C．最大值是 D．的最大值为 题型二：平面向量的数量积及投影 7．在梯形ABCD中，，，，E为的中点，F为上的动点（含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知向量，，则在方向的投影向量为（   ） A． B． C． D． 9．边长为2的正三角形内一点（包括边界）满足：，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．在平面凸四边形中，已知，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 11．如图，在△中，是的中点，是上一点，且，则下列说法中正确的个数是（    ） ①； ②过点作一条直线与边分别相交于点，若， ，则； ③若△是边长为的正三角形，是边上的动点，则的取值范围是 A．个 B．个 C．个 D．个 12．在中，，，且CE与AD交于点P，若，则（    ） A． B． C． D． 13．在中,则在方向上的投影为（    ）． A．4 B．3 C．-4 D．5 14．在中，内角的对边分别为，已知，为的中点，且，则（   ） A．3 B．5 C．6 D．12 15．已知等边的边长为4，平面内一点满足，则 16．如图所示，在平行四边形ABCD中，，，，点E，F分别是边AD，DC上的动点，且，BE与AC交于G 点.    (1)若，试用向量，表示向量； (2)求的取值范围. 17．如图，在△ABC中，，，，D为BC的中点，E为AB边上的动点（不含端点），AD与CE交于点O，.    (1)若，求的值； (2)求的最小值，并指出取到最小值时x的值. 题型三：平面向量的共线 18．在中，已知是延长线上一点，若，点为线段的中点，，则的值为（   ） A． B． C． D． 19．中，为的中点，点在线段（不含端点）上，且满足，则的最小值为 A． B． C．6 D．8 20．已知是平面内两个不共线的向量，，，则三点共线的充要条件是（   ） A． B． C． D． 21．设，为平面内一个基底，已知向量，，，若A，B，D三点共线，则的值是（    ） A． B． C． D． 22．如图，在中，分别是的中点，是线段上两个动点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 23．设，为两个不共线向量，若向量与共线，则实数 . 24．如图所示，中，点为中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，，相交于点，设，． （1）用，表示，； （2）若，，求和． 题型四：平面向量的夹角 25．已知向量，，且，则实数λ的值为（    ） A．8 B． C．4 D． 26．已知，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 27．（多选）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若的夹角与的夹角相等，则 D．若，则在上的投影向量为 28．已知平面向量=(，－1)，=(x，y)(x>0)，=1． (Ⅰ)若对任意实数t都有,求向量； (Ⅱ)令=+(sin2α－2cos2α)，=(sin22α)+(cos2α)，α∈(，π)，若⊥，，求tanα的值； (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，求 的值． 29．已知，记在方向上的投影向量为． (1)求的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． (3)已知，求与共线的单位向量的坐标． 30．已知，，．设，，，且，． （1）求，的坐标及的坐标． （2）向量和，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 31．已知向量，满足，，． （1）求向量与的夹角； （2）求的值； （3）若向量，，，求的值． 题型五：平面向量的模 32．如果是两个单位向量，则下列结论中正确的个数是（    ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 33．已知向量，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 34．若不共线的两个向量，满足，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 35．已知点在所在平面内，满足，并且，则点依次是的（    ） A．垂心，重心，外心 B．内心，重心，外心 C．垂心，外心，重心 D．内心，外心，重心 36．若平面向量两两的夹角相等，且，则 ． 37．如图，在等腰中，已知，，分别是边上的点，且，，其中，且，若线段的中点分别为，则的最小值是    38．已知O，M，N，P，Q在同一平面内，，且与的夹角为，则的最大值为 . 39．已知正六边形边长为6，点满足，当取最小值时，则 . 40．如图，在梯形中，，，，为的中点，.    (1)若，试确定点在线段上的位置； (2)若，当为何值时，最小? 题型六：解三角形 41．在中，，，分别是角，，的对边，已知，且有两解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 42．在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 43．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为线段AB的中点，，，，则 ． 44．的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（   ） A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 45．如图，某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度，选取了与O在同一水平面且在同一水平线上的A，B，C三处．已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，则该建筑的高度（   ） A． B． C． D． 46．（多选）已知是锐角三角形，且，则的长度可以是（   ） A．1 B． C． D． 47．（多选）在中，角的对边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的外接圆的面积为 B．若，则 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为等腰直角三角形 48．在中，，，，若为中点，则长为 . 49．目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站，已知基站高m，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.求出山高 .（结果保留整数）；如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C处（眼睛所在位置）到基站所在直线的距离m，且记在C处观测基站底部B的仰角为α，观测基站顶端A的仰角为β.试问当 时，观测基站的视角最大？参考数据：，，，. 50．在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若，， ①的平分线交于点，求线段的长； ②若，点P，Q是边上的两个动点，且，设的面积为，求的最小值. 51．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)若，求的值． 52．已知的内角的对边分别为为中点，． (1)证明：为等腰三角形； (2)若的面积，求； (3)若，求周长的最小值． 53．已知的内角的对边为，且 (1)求; (2)若的面积为 ①已知为的中点，且，求底边上中线的长; ②求内角的角平分线长的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$