4.1 认识三角形-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（北师大版2024）

58 1　认识三角形 第1课时 三角形及其内角和 ▶ “答案与解析”见P21 1. 如图,下列说法中,错误的是 ( ) (第1题) A. ∠A,∠B,∠ACB是△ABC的内角 B. △AEC的三条边分别是AE,EC,AC C. 图中共有3个三角形 D. 以∠BEC为内角的三角形有2个 2. (2024·宝鸡渭滨期末)在 Rt△ABC 中, ∠A=90°,∠B=4∠C,则∠B的度数为 ( ) A. 45° B. 60° C. 72° D. 84° 3. 在△ABC 中,若∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶ 4,则∠A 的度数为 ,此三角形为 角三角形(填“锐”“直”或“钝”). 4. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,过点C作 CD∥AB,BD平分∠ABC,交CD于点D.若 ∠A=50°,求∠D的度数. (第4题) 5. 有下列条件:① ∠A+∠B=∠C;② ∠A∶ ∠B∶∠C=1∶2∶3;③ ∠A=90°-∠B; ④ ∠A=∠B=∠C;⑤ 2∠A=2∠B=∠C.其 中,不能确定△ABC是直角三角形的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. (2024·菏泽鄄城期末)如图,小明在计算机 上用“几何画板”画了一个Rt△ABC,∠C= 90°,并画出了两锐角的平分线AD,BE, AD,BE交于点F.小明发现,无论怎样改变 Rt△ABC的两锐角的大小,∠AFB 的度数 始终是定值,则这个定值为 ( ) A. 135° B. 150° C. 120° D. 110° (第6题) (第7题) 7. 如图,两面镜子AB,BC 的夹角为∠α,当光 线经过镜子后反射,∠1=∠2,∠3=∠4.若 ∠α=70°,则∠β的度数为 ( ) A. 30° B. 35° C. 40° D. 45° 8. 将一副三角尺按如图所示的方式放 置,将三角尺ADE 绕点A 按逆时 针方向旋转α(0°<α<90°),使得三 角尺ADE的一边所在的直线与BC垂直,则 α的度数为 . (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级下 第四章　三 角 形 59 9. 如图,过A,B,C,D,E五个点中的任意三点 画三角形. (1) 一共可以画出多少个三角形? (2) 以AB 为一边可以画出哪几个三角形? 以C为顶点可以画出哪几个三角形? (3) 从画出的三角形中分别找出1个锐角三 角形、1个直角三角形和1个钝角三角形. (第9题) 10. 如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于点D,BE 平分∠ABC,交AC 于点E.若∠ABC= 60°,∠AEB=70°. (1) 求∠CAD的度数. (2) 若F 为线段BC 上的任意一点,当 △EFC为直角三角形时,求∠BEF的度数. (第10题) 11. (核心素养·创新意识)【定义】 在一个三角形中,如果一个角的度数是另一 个角度数的3倍,那么这样的三角形我们称 之为“和谐三角形”.例如:三个内角分别为 105°,40°,35°的三角形是“和谐三角形”. 【概念理解】 如图①,∠MON=60°,在射线OM 上找一 点A,过点A 作AB⊥OM,交ON 于点B, 以A为端点作射线AD,交线段OB于点C (不与点O,B重合). (1) ∠ABO 的度数为 ,△AOB “和谐三角形”(填“是”或“不是”). (2) 若∠ACB=80°,试说明:△AOC是“和 谐三角形”. 【应用拓展】 (3) 如图②,点D 在△ABC的边AB上,连 接DC,作∠ADC的平分线交AC 于点E, 在DC 上取点F,使∠EFC+∠BDC= 180°,∠DEF=∠B.若△BCD 是“和谐三 角形”,求∠B的度数. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第四章　三 角 形 60 第2课时 三角形的三边关系 ▶ “答案与解析”见P22 1. 下列叙述中,正确的是 ( ) A. 三角形可分为等腰三角形和等边三角形 B. 等腰三角形是等边三角形 C. 等边三角形是特殊的等腰三角形 D. 三角形可分为三边都不相等的三角形和 三边都相等的三角形 2. 如图,为了估计池塘两岸A,B 之间的距离, 小明在池塘的一侧选取了一点P,测得 PA=16m,PB=12m,则A,B 之间的距离 不可能是 ( ) (第2题) A. 5m B. 15m C. 20m D. 28m 3. (2024·青岛李沧期末)有长度分别为4cm, 8cm,10cm,12cm的四根木条,从中任取三 根组成三角形,不同的取法有 ( ) A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 4. (2023·连云港)一个三角形的两边长分别是 3和5,则第三边长可以是 (填一个 即可). 5. 若一个等腰三角形的两边长分别为4cm和 9cm,则它的周长为 cm. 6. 在△ABC中,AB=9,BC=2,AC=x. (1) 求x的取值范围. (2) 若△ABC 的周长为偶数,求△ABC 的 周长. 7. 若使用如图①②所示的两根直铁丝做一个三 角形框架,则需要将其中一根铁丝折成两段, 可以把铁丝折成两段的是 ( ) (第7题) A. ①②都可以 B. ①②都不可以 C. 只有①可以 D. 只有②可以 8. (易错题)(2024·西安长安期末)小红有两根 长分别为10cm,20cm的木棒,她想以这两 根木棒为边摆一个等腰三角形,则第三根木 棒的长应为 ( ) A. 10cm B. 15cm C. 20cm D. 10cm或20cm 9. 一个三角形的两边长分别为3和4,且第三边 的长为整数,这样的三角形周长的最大值是 ( ) A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 10. 已知△ABC的边长a,b,c满足(a-2)2+ |b-4|=0,若c为偶数,则△ABC的周长 为 . 11. 有长度为2cm,3cm,6cm,7cm,8cm的五 条线段,若以其中的三条线段为边构成三角 形,则可以构成 个不同的三角形. 12. 若a,b,c为三角形的三条边长,化简:|a- b-c|+|a-c+b|+|a+b+c|. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级下 61 13. 已知等腰三角形的周长是16cm. (1) 若其中一边长为6cm,求另外两边长. (2) 若较长边的长是较短边的长的2倍,求 三条边的长. 14. 已知△ABC的三边长分别为a,b,c. (1) 若a,b,c满足(a-b)2+(b-c)2=0, 试判断△ABC的形状. (2) 若a=5,b=2,且c为整数,求△ABC 的周长. 15. 如图,在四边形ABCD 中,O 是AC与BD 的交点,试说明:AC与BD的长之和小于四 边形ABCD的周长. (第15题) 16. 平面内,将长分别为1,5,1,1,d的线段,顺 次首尾相接组成凸五边形(如图),则d的值 可能是 ( ) (第16题) A. 1 B. 2 C. 7 D. 8 17. (核心素养·运算能力)周长为20, 各边长互不相等且都是整数的三 角形共有多少个? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第四章　三 角 形 62 第3课时 三角形的高线、中线与角平分线 ▶ “答案与解析”见P23 1. 下列说法中,正确的是 ( ) A. 过三角形的顶点和它对边中点的直线,是 三角形的中线 B. 三角形的角平分线是一条射线 C. 三角形的中线小于任何一条边 D. 三角形的重心一定在三角形内 2. ★下列选项中,△ABC 的边AB 上的高线画 法正确的是 ( ) A. B. C. D. 3. (2024·凉山)如图,在△ABC中,∠BCD= 30°,∠ACB=80°,CD 是边AB 上的高,AE 是∠CAB 的平分线,则∠AEB 的度数是 . (第3题) 4. 如图所示为钝角三角形ABC. (1) 试画出边AB上的高CD. (2) 试画出边BC上的中线AE. (3) 试画出∠BAC的平分线AF. (4) 图中相等的线段有 . (5) 图中相等的角有 . (第4题) 5. 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD 是高, BE是中线,CF是角平分线,CF交AD 于点 G,交BE于点H,有下列结论:① BF=AF; ② ∠AFG=∠AGF;③ ∠FAG=2∠ACF; ④ S△ABE=S△BCE;⑤ BH=CH.其中,正确 的有 ( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 (第5题) (第6题) 6. 如图,BE,CF 是△ABC 的两条角平分线, AD过BE,CF 的交点,且交BC于点D.若 ∠BAC=64°,则∠DAC的度数为 . 7. 如图,在△ABC中,AE是边BC上的中线,D 是边AB上的点,AD=2BD.设△ABE的面 积为S1,△CBD 的面积为S2.若S△ABC=6, 则S1-S2的值为 . (第7题) (第8题) 8. 如图,在△ABC 中,∠ACB=60°,∠BAC= 75°,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD 与BE 交于点 H,则 ∠CHD 的度数为 . 9. 若AD是△ABC的高,且BD=5,CD=2,则 边BC的长为 . 10. 如图,在△ABC 中,BE 是边AC 上的高, CF是边AB上的高,BE,CF相交于点H. (1) 若∠ABC=62°,∠ACB=50°,求∠ABE 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级下 63 和∠BHC的度数. (2) 若AB=10,AC=8,CF=4,求BE 的长. (第10题) 11. 如图,在△ABC中,BO,CO是△ABC的角 平分线,且BO,CO相交于点O. (1) 若∠ACB=80°,∠ABC=40°,求∠BOC 的度数. (2) 若∠A=60°,求∠BOC的度数. (3) 试写出∠A 与∠BOC之间满足的数量 关系,并说明理由. (第11题) 12. (核心素养·运算能力)如图,在 △ABC中,∠C=90°,AC=4cm, BC=3cm,AB=5cm,动点P 从 点C开始,沿C-A-B-C 的路径运动,速度 为2cm/s,设运动的时间为ts. (1) 当t= 时,CP 把△ABC的周 长分成相等的两部分. (2) 当t= 时,CP 把△ABC的面 积分成相等的两部分. (3) 当t为何值时,△BCP的面积为4cm2? (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第四章　三 角 形 的结果,其中能使三角形ABC 的面 积为1的结果有4种,所以使三角形 ABC的面积为1的概率为418= 2 9. 5. 因 为 纸 箱 中 原 有 10÷ 25 = 25(个)球, 所以黄球有25-10=15(个). 所以再往纸箱中放20个白球,随机取 出 1 个 球 是 黄 球 的 概 率 为 15 25+20= 1 3. 6. (1) 9 10 ;7 25. [解析]设标有8元 的小球有x个,则标有2元的小球有 (2x-1)个.由题意,得x+2x-1+ 4+5=50,解得x=14.所以2x-1= 27.所以小明获得奖品的概率为 50-5 50 = 9 10 ,获得8元奖品的概率为 14 50= 7 25. (2) 设需要把y个标有2元的小球改 为8元的小球. 由题意,得y+14 50 = 2 5 , 解得y=6. 所以需要把6个标有2元的小球改为 8元的小球. 第四章　三 角 形 1　认识三角形 第1课时 三角形及其内角和 1. D 2. C 3. 40° 锐 4. 因为∠ACB=90°,∠A=50°, 所以∠ABC=90°-50°=40°. 因为BD平分∠ABC, 所以∠ABD=∠DBC=20°. 因为CD∥AB, 所以∠D=∠ABD=20°. 5. A [解析]① 因为∠A+∠B= ∠C,且∠A+∠B+∠C=180°,所以 2∠C =180°,即 ∠C =90°.所 以 △ABC是直角三角形.② 因为∠A∶ ∠B∶∠C=1∶2∶3,且∠A+ ∠B+∠C=180°,所以易得∠C= 90°.所以△ABC是直角三角形.③ 因 为∠A=90°-∠B,即∠A+∠B= 90°,且∠A+∠B+∠C=180°,所以 易得∠C=90°.所以△ABC是直角三 角形.④ 因为∠A=∠B=∠C,且 ∠A+∠B+∠C=180°,所以∠A= ∠B=∠C=60°.所以△ABC不是直 角三角形.⑤ 因为2∠A=2∠B= ∠C,且∠A+∠B+∠C=180°,所以 易得∠C=90°.所以△ABC是直角三 角形.综上所述,不能确定△ABC 是 直角三角形的有1个. 6. A [解析] 因为∠C=90°,所以 ∠CAB+∠CBA=90°.因为AD 平 分 ∠CAB,BE 平分 ∠ABC,所以 ∠FAB = 12 ∠CAB ,∠FBA = 1 2∠CBA. 所以∠FAB+∠FBA= 1 2 (∠CAB+∠CBA)=45°.所以 ∠AFB=180°-45°=135°. 7. C [解析]如图,因为∠1=∠2, ∠3=∠4,所以∠5=180°-(∠1+ ∠2)=180°-2∠2,∠6=180°- (∠3+∠4)=180°-2∠3.因为∠α= 70°,所以∠2+∠3=180°-∠α= 110°.因为∠β=180°-(∠5+∠6), 所以∠β=180°-(180°-2∠2+ 180°-2∠3)=2(∠2+∠3)-180°= 2×110°-180°=220°-180°=40°. (第7题) 8. 15°或60° 9. (1) 一共可以画出10个三角形. (2) 以AB为一边可以画出3个三角 形,即△ABE,△ABD,△ABC.以C 为顶点可以画出6个三角形,即 △ABC,△BCD,△BCE,△ADC, △DEC,△ACE. (3) 锐角三角形:△AED;直角三角 形:答案不唯一,如△EBD;钝角三角 形:答案不唯一,如△ABC. 10. (1) 因为AD⊥BC, 所以∠ADB=90°. 因为∠ABC=60°,BE 平分∠ABC, 所 以 ∠BAD = 30°,∠ABE = 1 2∠ABC=30°. 因为∠AEB=70°, 所以 ∠CAD =180°- ∠ABE - ∠BAD-∠AEB=50°. (2) 由(1),易得∠C=40°, 所以当△EFC为直角三角形时,有两 种情况: ① 当∠FEC=90°时,如图①所示. 因 为 ∠BEC + ∠AEB = 180°, ∠AEB=70°, 所以∠BEC=180°-∠AEB=180°- 70°=110°. 所以∠BEF=∠BEC-∠FEC= 110°-90°=20°. ② 当∠EFC=90°时,如图②所示. 因为BE平分∠ABC,∠ABC=60°, 所以 ∠CBE = 12 ∠ABC = 1 2 × 60°=30°. 因为∠EFB=180°-∠EFC=90°, 所以∠BEF=90°-∠CBE=60°. 综上所述,当△EFC 为直角三角形 时,∠BEF的度数是20°或60°. (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 11. (1) 30°;是. (2) 因为∠ACB=80°, 所以∠ACO=180°-∠ACB=100°. 又因为∠MON=60°, 所 以 ∠OAC =180°- ∠ACO - ∠MON=20°. 因为 ∠AOC =60°=3×20°= 3∠OAC, 所以△AOC是“和谐三角形”. (3) 因为∠EFC+∠BDC=180°, ∠ADC+∠BDC=180°, 所以∠EFC=∠ADC. 所以EF∥AD. 所以∠DEF=∠ADE. 因为∠DEF=∠B, 所以∠ADE=∠B. 所以DE∥BC. 所以∠CDE=∠BCD. 因为DE平分∠ADC, 所以∠ADE=∠CDE. 所以∠B=∠BCD. 因为△BCD是“和谐三角形”, 所 以 ∠BDC =3∠B 或 ∠B = 3∠BDC. 因为∠BDC+∠BCD+∠B=180°, 所以∠B=36°或∠B= 5407 °. 第2课时 三角形的三边关系 1. C 2. D 3. C [解析] 任取三根,共有4cm, 8cm,10cm;4cm,8cm,12cm;4cm, 10cm,12cm;8cm,10cm,12cm四种 情况.其中,因为4+8=12(cm),所以 4cm,8cm,12cm不能组成三角形. 另外三种情况都符合三角形的三边关 系,因此能组成三角形的有三种情况. 所以不同的取法有3种. 4. 答案不唯一,如4 5. 22 6. (1) 由题意,知9-2<x<9+2,即 7<x<11. (2) 因为AB=9,BC=2,△ABC 的 周长为偶数, 所以x取奇数. 因为7<x<11, 所以x的值是9. 所以△ABC的周长为9+2+9=20. 7. C 8. C [解析] ① 当10cm是腰长时, 三角形的三边长分别为10cm,10cm, 20cm.因为10+10=20(cm),所以三 根长分别为10cm,10cm,20cm的木 棒不能摆成三角形.② 当10cm是底 边长时,三角形的三边长分别为 10cm,20cm,20cm.因为10+20= 30(cm),30>20,所以三根长分别为 10cm,20cm,20cm的木棒能够摆成 三角形.所以第三根木棒的长应为 20cm. 9. C [解析]设第三边的长为a.根 据三角形的三边关系,得4-3<a< 3+4,即1<a<7.因为a为整数,所 以a的最大值为6.所以三角形周长 的最大值是3+4+6=13. 10. 10 [解析]因为(a-2)2+|b- 4|=0,所以易得a-2=0,b-4=0, 解得a=2,b=4.由三角形三边关系, 可得4-2<c<4+2,即2<c<6.因 为c为偶数,所以c=4.所以△ABC 的周长为2+4+4=10. 11. 6 [解析]由题意,可知从五条线 段中 任 选 三 条 的 不 同 结 果 有: ① 2cm,3cm,6cm;② 2cm,3cm, 7cm;③ 2cm,3cm,8cm;④ 2cm,6cm, 7cm;⑤ 2cm,6cm,8cm;⑥ 2cm, 7cm,8cm;⑦ 3cm,6cm,7cm;⑧ 3cm, 6cm,8cm;⑨ 3cm,7cm,8cm;⑩ 6cm, 7cm,8cm.根据三角形的三边关系, 可以构成三角形的有④⑥⑦⑧⑨⑩, 共6个. 12. 因为a,b,c 为三角形的三条 边长, 所以由三角形的三边关系,得a-b- c<0,a-c+b>0,a+b+c>0. 所以|a-b-c|+|a-c+b|+|a+ b+c|= -(a-b-c)+(a-c+b)+ (a+b+c)=-a+b+c+a-c+b+ a+b+c=a+3b+c. 13. (1) 当腰长为6cm时,底边长为 16-6-6=4(cm),三边长分别为 6cm,6cm,4cm,能构成三角形. 所以另外两边长为6cm,4cm. 当底边长为6cm 时,腰长为(16- 6)÷2=5(cm),三边长分别为5cm, 5cm,6cm,能构成三角形. 所以另外两边长为5cm,5cm. 综上所述,另外两边长分别为6cm, 4cm或5cm,5cm. (2) 设较短边的长为xcm,则较长边 的长为2xcm. 若以较短边为腰,则x+x+2x=16, 解得x=4. 所以2x=8. 此时三角形的三条边的长分别为 4cm,4cm,8cm. 因为4+4=8(cm), 所以不能构成三角形. 若以较长边为腰,则2x+2x+x= 16,解得x=3.2. 所以2x=6.4. 此时三角形的三条边的长分别为 3.2cm,6.4cm,6.4cm. 因为3.2+6.4=9.6(cm),9.6>6.4, 所以能构成等腰三角形. 综上 所 述,三 条 边 的 长 分 别 为 3.2cm,6.4cm,6.4cm. 14. (1) 因为(a-b)2+(b-c)2=0, 所以易得a-b=0,b-c=0. 所以a=b=c. 所以△ABC是等边三角形. (2) 因为a=5,b=2,且c为整数, 所以5-2<c<5+2,即3<c<7. 所以c=4或5或6. 所以△ABC的周长为5+2+4=11 或5+2+5=12或5+2+6=13. 15. 在△ABD中,AD+AB>BD, 在△BCD中,CD+BC>BD, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22 在△ACD中,AD+CD>AC, 在△ABC中,AB+BC>AC, 所以2(AD+AB+CD+BC)> 2(AC+BD). 所以AD+AB+CD+BC>AC+BD, 即AC 与BD 的长之和小于四边形 ABCD的周长. 16. C [解析]由“两点之间,线段最 短”,得1+d+1+1>5,且1+5+1+ 1>d,所以2<d<8.所以d的值可 能是7. 17. 设最长边的长为x. 因为各边长互不相等, 所以x>203. 因为三角形任意两边之和大于第 三边, 所以x<202 ,即x<10. 所以20 3<x<10. 又因为x是整数, 所以x的值为7或8或9. 当x=7时,无符合要求的三角形; 当x=8时,符合要求的三角形的三 边长为8,7,5; 当x=9时,符合要求的三角形的三 边长为9,8,3或9,7,4或9,6,5. 综上所述,周长为20,各边长互不相 等且都是整数的三角形共有4个. 第3课时 三角形的高线、 中线与角平分线 1. D 2. B 判断三角形高的注意事项 从三角形的一个顶点向它的 对边所在直线作垂线,顶点和垂足 之间的线段叫作三角形的高线,简 称三角形的高.要判断三角形某边 上的高,需注意高经过此边所对的 顶点,并且和这条边所在的直线垂 直.另外三角形的高不一定都在三 角形的内部. 3. 100° [解析] 因为∠BCD=30°, ∠ACB = 80°,所 以 ∠ACD = ∠ACB-∠BCD=50°.因为CD是边 AB上的高,所以∠CDB=∠CDA= 90°.所以∠CBD=90°-∠BCD= 60°,∠CAB=90°-∠ACD=40°.因 为AE 是∠CAB 的平分线,所以 ∠EAB = 12 ∠CAB =20°. 所 以 ∠AEB = 180° - ∠EAB - ∠EBA=100°. 4. (1) 如图,CD即为所求作. (2) 如图,AE即为所求作. (3) 如图,AF即为所求作. (4) BE=CE. (5) ∠BAF=∠CAF. (第4题) 5. B [解析] 因为CF 是角平分线, 所以无法判断BF 与AF 的数量关 系.故①错误.因为CF 是角平分线, 所以∠ACF=∠BCF.因为AD⊥ BC,所以∠BCF+∠CGD=90°.因为 ∠BAC = 90°,所 以 ∠ACF + ∠AFG=90°.所以∠CGD=∠AFG. 因为∠CGD=∠AGF,所以∠AFG= ∠AGF.故②正确.因为AD⊥BC, ∠BAC = 90°,所 以 ∠ABD + ∠FAG=90°,∠ABD + ∠ACB = 90°.所 以 ∠FAG = ∠ACB = 2∠ACF.故 ③ 正 确.因 为 BE 是 △ABC的中线,所以S△ABE=S△BCE. 故④正确.⑤ 由已知条件不能推断 BH 与CH 的数量关系,故⑤错误.综 上所述,正确的是②③④,有3个. 6. 32° [解析]因为 BE,CF 是 △ABC的两条角平分线,所以AD 是 △ABC的角平分线.因为∠BAC= 64°,所以∠DAC=12∠BAC=32°. 7. 1 [解析]因为AE 是边BC上的 中线,所以BE=CE.因为S△ABC=6, 所以 S△ABE = 1 2S△ABC =3. 因为 AD=2BD,所以BD=13AB. 因为 S△ABC=6,所以S△CBD= 1 3S△ABC= 2.所以S1=3,S2=2.所以S1-S2= 3-2=1. 8. 45° [解析]延长CH 交AB 于点 F.因为AD⊥BC 于点D,BE⊥AC 于点E,在△ABC 中,三条高所在的 直线交于一点,所以CF⊥AB.因为 ∠BAC=75°,所以∠ACF=90°- 75°=15°.因为∠ACB=60°,所以 ∠BCF=∠ACB-∠ACF=45°.因 为AD⊥BC,所以∠CHD=90°- ∠BCF=45°. 9. 7或3 [解析]当△ABC 为锐角 三角形时,如图①.因为 BD=5, CD=2,所以BC=BD+CD=5+ 2=7.当△ABC为钝角三角形时,如 图②.因为BD=5,CD=2,所以 BC=BD-CD=5-2=3.综上所述, 边BC的长为7或3. (第9题) 10. (1) 因为在△ABC中,∠ABC= 62°,∠ACB=50°, 所以∠A=180°-∠ABC-∠ACB= 180°-62°-50°=68°. 因为BE⊥AC, 所以∠AEB=90°. 所以∠ABE=180°-∠AEB-∠A= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 32 180°-90°-68°=22°. 因为CF⊥AB, 所以∠BFC=90°. 所 以 ∠BHF =180°- ∠BFC - ∠ABE=180°-90°-22°=68°. 所 以 ∠BHC =180°- ∠BHF = 180°-68°=112°. (2) 因为S△ABC = 1 2AB ·CF= 1 2AC ·BE, 所以AB·CF=AC·BE,即10× 4=8×BE. 所以BE=5. 11. (1) 因为BO平分∠ABC,CO平 分∠ACB,∠ACB=80°,∠ABC=40°, 所以 ∠CBO = 12 ∠ABC =20° , ∠BCO=12∠ACB=40°. 所 以 ∠BOC =180°- ∠CBO - ∠BCO=120°. (2) 因为∠A=60°, 所 以 ∠ABC + ∠ACB =180°- ∠A=120°. 因为 BO 平 分 ∠ABC,CO 平 分 ∠ACB, 所以∠CBO=12∠ABC ,∠BCO= 1 2∠ACB. 所以∠CBO+∠BCO=12 (∠ABC+ ∠ACB)=60°. 所以 ∠BOC =180°- (∠CBO + ∠BCO)=120°. (3) ∠BOC=90°+12∠A. 理 由:因 为 ∠A + ∠ABC + ∠ACB=180°, 所以∠ABC+∠ACB=180°-∠A. 因为BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, 所以∠CBO=12∠ABC ,∠BCO= 1 2∠ACB. 所以∠CBO+∠BCO=12 (∠ABC+ ∠ACB)=12 (180°-∠A)=90°- 1 2∠A. 所以 ∠BOC =180°- (∠CBO + ∠BCO)=90°+12∠A. 12. (1) 3. [解析]因为AC=4cm, BC=3cm,AB=5cm,所以△ABC 的周长为4+3+5=12(cm).因为CP 把△ABC的周长分成相等的两部分, 所以易得点P运动的路程为6cm.所 以t=62=3. (2) 13 4. [解析]当CP把△ABC的 面积分成相等的两部分时,易得P 为 AB的中点,所以点P 运动的路程为 4+52= 13 2 (cm).所以t=132÷2= 13 4. (3) 当点P 在AC上时,因为△BCP 的面积为4cm2, 所以易得1 2×2t×3=4 ,解得t=43. 当点P在AB上时,因为△ABC的面 积为1 2×4×3=6 (cm2),△BCP 的 面积为4cm2, 所以△ACP的面积为2cm2. 所以易得AP=13AB= 5 3cm. 所以点P 运动的路程为4+53= 17 3 (cm). 所以t=173÷2= 17 6. 综上所述,当t的值为43 或17 6 时, △BCP的面积为4cm2. 专题特训（七）　三角形 中的三条重要线段 1. 4 [解析] 因为AE是边CB上的 高,AE=3cm,△ABD的面积为3cm2, S△ABD = 1 2BD ·AE,所以BD= 2cm.因为AD是边CB上的中线,所 以BC=2BD=4cm. 2. 12∶15∶10 [解析] 在△ABC 中,AD⊥BC,CE⊥AB,AD 与CE交 于点O,连接BO并延长,交AC于点 F,所以BF⊥AC.所以12AB ·CE= 1 2BC ·AD= 12AC ·BF.因为 AB=5,BC=4,AC=6,所以12×5× CE=12×4×AD= 1 2×6×BF. 所 以CE∶AD∶BF=12∶15∶10. 3. (1) 因为DF∥BC, 所 以 ∠ADE = ∠ABC = 50°, ∠CEF=∠C. 因为BE平分∠ABC, 所以∠DBE=∠EBC=25°. 因为EC平分∠BEF, 所以∠CEF=∠BEC=∠C. 因为∠BEC+∠C+∠EBC=180°, 所以∠BEC=77.5°. (2) 因为DF∥BC, 所 以 ∠ADE = ∠ABC = α, ∠DEB=∠EBC. 因为BE平分∠ABC, 所以∠DBE=∠EBC=12α. 所以∠DEB=12α. 因为EC平分∠BEF, 所以∠AED=∠CEF=12 180°- 1 2α =90°-14α. 4. (1) 因为AD平分∠BAC, 所以∠BAD=∠CAD. 因为∠EAD=∠EDA, 所以∠CAD=∠EDA. 所以DE∥AC. (2) 因为∠B+∠C+∠BAC=180°, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 42