考向一 幂的运算法则及其应用&考向二 整式的乘法法则、乘法公式及其应用-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（苏科版2024）

125 考向一　幂的运算法则及其应用 ▶ “答案与解析”见P50 1. 下列运算正确的是 ( ) A. a5·a-1=a-5 B. (-2a2)3=-6a6 C. a3·a-2-a=0 D. (2a)-2= 12a2 2. 若x+2y-6=0,则4y·2x-2的值为( ) A. -8 B. 8 C. 16 D. 32 3. 已知25x=2000,80y=2 000,则x+y- xy+2的值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 2000 D. 20002 4. 若am=2,bn=6,则a4m·b2n= . 5. 若32×9m÷27=323,则m= . 6. 已知(a-1)a+2=1,则满足条件的整数a的 值为 . 7. 若2a÷4b×8=2,则16b÷4a= . 8. (1) 已知am=2,an=5,求am+n的值. (2) 已知2×8x×16=223,求x的值. (3) 已知3y-x-3=0,求27y÷3x 的值. 9. 对于整数a,b,定义:a▲b=10a× 10b,a△b=10a÷10b.例如:5▲3= 105 ×103 =108,5△3=105 ÷ 103=102. (1) 求(2▲1)-(6△3)的值. (2) 若x▲3=5△1,求x的值. 10. 阅读材料,解答下列问题: 一般地,若an=b(a>0,且a≠1,b>0),则 n称为以a为底b的对数,记为logab(即 logab=n).如34=81,则4称为以3为底 81的对数,记为log381(即log381=4). (1) 填 空:log24= ,log216= ,log264= . (2) 观察(1)中的式子,求log24,log216, log264之间满足的数量关系. (3) 猜想一般性的结论:logaM+logaN= (a>0,且a≠1,M>0,N>0),并 根据幂的运算法则:am·an=am+n 以及对 数的含义证明你的猜想. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 期末压轴题特训 期末压轴题特训 126 　　　考向二　整式的乘法法则、乘法公式及其应用 ▶ “答案与解析”见P50 1. 计算(-x)2-x(x-1)的结果为 ( ) A. 2x2 B. -2x2 C. -x D. x 2. 若关于x,y 的多项式(x2-mx+3)x- x2(4mx2+3x+5)的结果中不含x2 项,则 m的值为 ( ) A. 1 B. 0 C. -1 D. -5 3. 若n为整数,则代数式(3n+3)(n+3)+3的 值一定可以 ( ) A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被9整除 4. 如图,有正方形卡片A类、B类和长方形卡片 C类各若干张,拼一个长为a+3b、宽为a+ 2b的大长方形,则需要C类卡片 ( ) (第4题) A. 6张 B. 5张 C. 3张 D. 2张 5. 计算(x+a)(x+2)时,小明抄错了a前面的 符号,把“+”写成“-”,得到的结果为x2+ bx-4,则a+b的值为 ( ) A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 6. 已知a2-5=2a,则代数式(a-2)(a+3)- 3(a-1)的值是 ( ) A. 2 B. -2 C. 8 D. -8 7. 已知x+y=5,2x-y=1,则代数式xy(y+ y2)-y2(xy-x)+2x(x-y2)的值为 ( ) A. 8 B. -28 C. -8 D. 无法确定 8. 已知M=x2-ax+3,N=-x,P=x3+ 3x2+5且MN+P 中不含x2项,则a的值 为 . 9. 已知多项式x2+mx+8和x2-3x+n的乘 积中不含x2 项和x3 项,则m+n 的值为 . 10. 计算 1-12- 1 3- 1 4- 1 5 × 12+13+14+ 1 5+ 1 6 - 1-12-13-14-15- 16 × 12+ 1 3+ 1 4+ 1 5 的结果是 . 11. 若m-n=4,mn=-3,则(m2-4)(n2- 4)的值为 . 12. 若一个正方形的边长增加了3cm,面积相应 增加了39cm2,则原来这个正方形的边长为 cm. 13. 计算: (1) 2x3y2·(-2xy2z)2. (2) (-2x2)3+x2·x4-(-3x3)2. (3) 2x2-x(2x-5y)+y(2x-y). (4) (x-y)(x+3y)-x(x+2y). 14. 若x3m=4,y3n=5,求(x2m)3+(yn)6- x2m·yn·x4m·y5n的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级下 127 15. (1) 已知x+y=3,xy=2,求x2+y2,(x- y)2的值. (2) 已知x+2y=3,xy=1,求x2-xy+ 4y2的值. 16. 解方程:4(x-2)(x+5)=(2x-3)(2x+ 11)+11. 17. 某种植基地有一块长方形试验田和一块正 方形试验田,长方形试验田每排种植(3a- b)株豌豆幼苗,种植了(3a+b)排,正方形 试验田每排种植(a+b)株豌豆幼苗,种植了 (a+b)排,其中a>b>0. (1) 长方形试验田比正方形试验田多种植 豌豆幼苗多少株? (2) 当a=4,b=3时,该种植基地这两块试 验田一共种植了多少株豌豆幼苗? 18. 两个边长分别为a和b的正方形 按如图①所示的方式放置,其未叠 合部分(涂色部分)的面积为S1. 再在大正方形中的右下角摆放一个边长为 b的小正方形(如图②),两个小正方形叠合 部分(涂色部分)的面积为S2. (1) 用含a,b的代数式分别表示S1,S2. (2) 若a-b=8,ab=13,求S1+S2的值. (3) 如图③,涂色部分的面积为S3,用含a, b的代数式表示S3.当S1+S2=34时,求 S3的值. (第18题) 19. 有下列等式: 1×2×3×4+1=52=(12+3× 1+1)2; 2×3×4×5+1=112=(22+3×2+1)2; 3×4×5×6+1=192=(32+3×3+1)2; 4×5×6×7+1=292=(42+3×4+1)2; …… (1) 根据你观察、归纳、发现的规律,可得 8×9×10×11+1= . (2) 试猜想n(n+1)(n+2)(n+3)+1是 哪一个数的平方,并予以证明. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 期末压轴题特训 期末压轴题特训 考向一　幂的运算法则 及其应用 1. C 2. C [解析] 由x+2y-6=0,得 x+2y=6.∵ 4y ·2x-2=22y · 2x-2=2x+2y-2,∴ 原式=2x+2y-2= 26-2=24=16. 3. B [解析] ∵ 25x=2000,80y= 2000,25×80=2000,∴ 2000y= (25×80)y=25y×80y=25y×2000. ∴ (25x)y=25y×2000.∴ 25xy= 25y×2000.∵ 25x·25y=25x+y= 2000×25y,∴ 25xy=25x+y.∴ xy= x+y.∴ x+y-xy+2=2. 4. 576 5. 12 6. -2或2或0 [解析] 当a+2= 0,且a-1≠0时,解得a=-2;当 a-1=1时,解得a=2;当a-1= -1,且a+2为偶数时,解得a=0.综 上所述,满足条件的整数a 的值为 -2或2或0. 7. 16 [解析] ∵ 2a ÷4b ×8= 2a-2b+3=2,∴ a-2b+3=1,即2b- a=2.∴ 16b÷4a=42b-a=42=16. 8. (1) 当am=2,an=5时,am+n= am·an=2×5=10. (2) ∵ 2×8x×16=223, ∴ 2×23x×24=223,即21+3x+4=223. ∴ 1+3x+4=23,解得x=6. (3) ∵ 3y-x-3=0, ∴ 3y-x=3. ∴ 27y ÷3x =33y ÷3x =33y-x = 33=27. 9. (1) 原式=102×101-106÷103= 103-103=0. (2) 由题意,得10x×103=105÷101. ∴ 10x+3=104. ∴ x+3=4,解得x=1. 10. (1) 2;4;6. (2) ∵ 2+4=6, ∴ log24+log216=log264. (3) loga(MN). 设logaM=m,logaN=n,则am=M, an=N. ∴ MN=am·an=am+n. ∴ m+n=loga(MN),即logaM+ logaN=loga(MN). 考向二　整式的乘法法则、 乘法公式及其应用 1. D 2. D 3. B [解析] ∵ (3n+3)(n+3)+ 3=3n2+9n+3n+9+3=3n2+ 12n+12=3(n+2)2,∴ 该代数式的 值一定可以被3整除. 4. B [解析] (a+3b)(a+2b)= a2+2ab+3ab+6b2=a2+5ab+6b2. ∵ C类卡片的面积是ab,∴ 需要 C类卡片5张. 5. B [解析] 由题意,得(x-a)· (x+2)=x2+(2-a)x-2a=x2+ bx-4.∴ 2-a=b,-2a=-4. ∴ a=2,b=0.∴ a+b=2. 6. A [解析] 原式=a2+3a-2a- 6-(3a-3)=a2+3a-2a-6-3a+ 3=a2-2a-3.∵ a2-5=2a, ∴ a2-2a=5.∴ 原式=5-3=2. 7. A [解析] ∵ x+y=5,2x-y= 1,∴ 3x=6,解得x=2.∴ 原式= xy2+xy3 -xy3 +xy2 +2x2 - 2xy2=2x2=2×22=8. 8. -3 [解析] ∵ M=x2-ax+3, N=-x,P=x3+3x2+5,∴ MN+ P=(x2-ax+3)(-x)+(x3+ 3x2+5)=-x3+ax2-3x+x3+ 3x2+5= (a+3)x2-3x+5. ∵ MN+P中不含x2 项,∴ a+3= 0,解得a=-3. 9. 4 10. 1 6 [解析] 设a=1-12- 1 3- 1 4- 1 5 ,b=12+ 1 3+ 1 4+ 1 5.∴ 原 式=ab+16 - a-16 ·b= ab+16a-ab+ 1 6b= 1 6 (a+b). ∵ a+b=1-12- 1 3- 1 4- 1 5+ 1 2+ 1 3+ 1 4+ 1 5=1 ,∴ 原式=16. 11. -15 [解析] ∵ m-n=4, mn=-3,∴ m2+n2=(m-n)2+ 2mn=42+2×(-3)=10.∴ (m2- 4)(n2-4)=m2n2-4(m2+n2)+ 16=(-3)2-4×10+16=-15. 12. 5 [解析] 设原来这个正方形的 边长是xcm.根据题意,得(x+3)2- x2=(x+3+x)(x+3-x)=3(2x+ 3)=39,解得x=5.∴ 原来这个正方 形的边长是5cm. 13. (1) 原式=8x5y6z2. (2) 原式=-16x6. (3) 原式=7xy-y2. (4) 原式=-3y2. 14. 原式=(x3m)2+(y3n)2-(x3m· y3n)2. ∵ x3m=4,y3n=5, ∴ 原式=42+52-(4×5)2=-359. 15. (1) ∵ x+y=3,xy=2, ∴ x2+y2=(x+y)2-2xy=32- 2×2=5,(x-y)2=(x+y)2- 4xy=32-4×2=1. (2) ∵ x+2y=3,xy=1, ∴ x2-xy+4y2=(x+2y)2- 5xy=32-5×1=4. 16. ∵ 4(x-2)(x+5)=(2x-3)· (2x+11)+11, ∴ 4x2+12x-40=4x2+16x- 33+11. ∴ 4x2-4x2+12x-16x=40- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 05 33+11. ∴ -4x=18. ∴ x=-4.5. 17. (1) 由题意,得(3a-b)(3a+ b)-(a+b)2=8a2-2ab-2b2. ∴ 长方形试验田比正方形试验田多 种植豌豆幼苗(8a2-2ab-2b2)株. (2) 由题意,得(3a-b)(3a+b)+ (a+b)2=10a2+2ab. 当a=4,b=3时,原式=10×42+2× 4×3=184. ∴ 该种植基地这两块试验田一共种 植了184株豌豆幼苗. 18. (1) S1=a2-b2,S2=b(2b- a)=2b2-ab. (2) ∵ a-b=8,ab=13, ∴ S1+S2=a2-b2+2b2-ab=a2+ b2-ab=(a-b)2+ab=64+13=77. (3) S3=a2+b2- 1 2a 2-12b (a+ b)=12 (a2+b2-ab). 当S1+S2=34时,a2+b2-ab=34. ∴ S3= 1 2 (a2+b2-ab)=17. 19. (1) 892. (2) n(n+1)(n+2)(n+3)+1= (n2+3n+1)2. 等式左边=(n2+3n)(n2+3n+2)+ 1=n4+6n3+11n2+6n+1, 等式右边=(n2+1)2+2·3n· (n2+1)+9n2=n4+2n2+1+6n3+ 6n+9n2=n4+6n3+11n2+6n+1. ∴ 左边=右边. ∴ n(n+1)(n+2)(n+3)+1= (n2+3n+1)2. 考向三　二元一次方程组 与不等式（组）的解 1. C 2. C 3. D 4. C 5. B [解析] x-2y=m-4①, 3x+2y=3m②. ①+ ②,得4x=4m-4,即x=m-1.把 x=m-1代入①,得m-1-2y= m-4,解得y= 3 2. 把x=m-1和 y= 3 2 代入x+4y=2m+3,得m- 1+6=2m+3,解得m=2. 6. C [解析] 解方程2x+3(m- 1)=1+x,得x=4-3m.∵ 方程 的解为正数,∴ 4-3m>0,解得 m<43. 7. B [解析] 解1 3 (x-m)>2-m, 得x>6-2m.∵ 不等式1 3 (x- m)>2-m 的解集为x>2,∴ 6- 2m=2,解得m=2. 8. A [解析] 解不等式组,得 x>2, x<a3. ∵ 不等式组有且只有三个 整数解,∴整数解为 x=3,4,5. ∴ 5<a3≤6.∴ 15<a≤18. 9. 4 3m-n=0 [解析] ∵ 关于x,y 的方程组 x-5y=2m, 2x+3y=m-n 的解互 为 相 反 数, ∴ y = - x. ∴ x+5x=2m, 2x-3x=m-n, 即 6x=2m① , -x=m-n②. ①÷6+②,得0=13m+m-n ,即 4 3m-n=0.∴ 当m,n满足43m- n=0 时,关 于 x,y 的 方 程 组 x-5y=2m, 2x+3y=m-n 的解互为相反数. 10. 8 3 [解析] ∵ x=4, y=2 是关于x, y的二元一次方程组 ax+by=6, bx+ay=2 的 解,∴ 4a+2b=6①, 2a+4b=2②. ①+②,得6a+ 6b=8,即a+b=43.①-② ,得2a- 2b=4,即a-b=2.∴ a2-b2=(a+ b)(a-b)=43×2= 8 3. 11. -1或2 [解析] 根据题意,得不 等式组的解集为-3≤x<a.∵ 解集 中的整数和为-5,∴ 解集中的整数 为-3,-2或-3,-2,-1,0,1.∴ 整 数a的值为-1或2. 12. 6<a≤8 [解析] 解不等式x+ 1>0,得x>-1;解不等式2x-a< 0,得x<12a. 由题意,得-1<x< 1 2a.∵ 不等式组的最大正整数解是 3,∴ 3<12a≤4 ,解得6<a≤8. 13. (1) 解 x-y=a+3, 2x+y=5a, 得 x=2a+1, y=a-2. ∵ x<y<0, ∴ 2a+1<a-2, a-2<0, 解得a<-3. ∴ a的取值范围是a<-3. (2) ∵ a<-3, ∴ a+3<0. ∴ |a|-|a+3|=-a+a+3=3. 考向四　二元一次方程（组） 与一元一次不等式的应用 1. B 2. C 3. B 4. C [解析] 设小明的速度为x m/ s,小亮的速度为y m/s.根据题意,得 6x=2y+6y, 8x=8y+16, 解得 x=8, y=6. ∴ 小明的 速度为8 m/s,小亮的速度为6 m/s. 5. A [解析] 设小明追上小强时,两 人距离B地xkm,距离A地ykm.由 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 15