10.3 专题特训（十）二元一次方程组的应用-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（人教版2024）

78 　　　　　专题特训（十）　二元一次方程组的应用 ▶ “答案与解析”见P36 类型一 和差倍分与配套问题 1. (2024·临沂期末)某车间有60名工人生产太 阳镜,1名工人每天可生产镜片200片或镜架 50个.应如何分配工人生产镜片和镜架,才能 使产品配套? 设安排x名工人生产镜片,y名 工人生产镜架,则可列方程组为 ( ) A. x+y=60, 2×200x=50y B. x+y=60, 200x=50y C. x+y=60, 200x=2×50y D. x+y=50, 200x=2×50y 2. (2024·池州三模)每年的5月20日是中国 学生营养日,营养专家建议学生早餐最好包 括谷类食物、肉蛋类食物和奶豆类食物.小明 根据专家的建议为自己搭配了一份400g的 营养早餐,蛋白质总含量占10%,包括一个 谷物面包、一个鸡蛋和一盒牛奶.他查阅了相 关资料,蛋白质含量如下表: 食 物 谷物面包 鸡蛋 牛奶 蛋白质含量占比 14% 13% 7% 其中一个鸡蛋60g,则小明这份营养早餐中 需要谷物面包 g,牛奶 g. 类型二 几何图形与图文信息问题 3. (新情境)(2024·北京东城期末)幻方的起源 与我国古代的“河图”和“洛书”紧密相关,被 认为是三阶幻方的最早形式.现将9个不同 的整数填入如图所示的方格中,使得每行、每 列、每条斜对角线上的三个数之和都相等,则 a和b的值分别是 ( ) 4b-2 12 2a+1 7 3b-3 2a (第3题) A. -4,3 B. -4,-3 C. 4,3 D. 4,-3 4. (2024·德州期末)我国诸多技艺均领先世界 水平,榫卯结构就是其中最为华丽的一点.榫 卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合 的连接方式.有若干个相同的木构件,其形状 如图①所示.当3个木构件紧密拼成一列时, 总长度为17cm,当9个木构件紧密拼成一列 时(如图②),总长度为50cm,则每个木构件 的长度为 cm. (第4题) 类型三 经济生活与行程问题 5. (2024·哈尔滨巴彦期末)甲、乙两人赛跑,如 果乙比甲先跑8m,那么甲跑4s就能追上 乙;如果甲让乙先跑1s,那么甲跑3s就能追 上乙.设甲每秒跑xm,乙每秒跑ym,则可 列出的方程组是 ( ) A. 4x=4y+8, 3x=3y+y B. 4x+8=4y, 3x-3y=1 C. 4x=4y+8, 3x-1=3y D. 4x-4y=8, 3x-y=y 6. (2024·滨州期末)某旅行团组织游 客到游乐区参观,所有游客都从下 表所列的两种参观方式中选择了一 种,其中去程有26人搭乘缆车,回程有18人 搭乘缆车.若本次缆车的总费用为7200元, 则这个旅行团一共有 名游客. 参观方式 搭乘缆车费用 去程及回程,均搭乘缆车 300元 单程搭乘缆车,单程步行 200元 7. (2024·厦门期中)如图,某工厂与 A,B两地有公路、铁路相连.这家工 厂从A地购买一批每吨1000元的 原料运回工厂,制成每吨8000元的产品运 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)七年级下 79 到B地.已知公路运输费为1.5元/(吨·千 米),铁路运输费为1.2元/(吨·千米),这两 次运输共支出公路运输费15000元,铁路运 输费97200元. (1) 设工厂制成运往B地的产品x吨,工厂 从A地购买了y吨原料,求这批产品的销售 款比原料费和运输费的和多多少元. (2) 工厂原计划从A地购买的原料和送往B 地的产品一共20吨,若要增加c吨的产品, 就要再购买11 5c 吨原料,此时产品的销售款 与原料费之差为65000元,同时满足原料总 质量是产品总质量的3倍,求c的值. (第7题) 类型四 盈不足与方案选择 8. (2024·娄底期末)我国古代《孙子算经》中记 载“多人共车”问题,其原文如下:今有三人共 车,二车空;二人共车,九人步,问人与车各几 何? 其大意如下:若3人乘1辆车,则空2辆 车;若2人乘1辆车,则有9人要步行.求有 多少人和多少辆车.有下列方程、方程组: ① 设有x辆车,列方程为3(x-2)=2x+9; ② 设有y人,列方程为y3+2= y-9 2 ;③ 设 有x辆车,y人,列方程组为 y=3(x-2), 2x=y+9; ④ 设 有 x 人,y 辆 车,列 方 程 组 为 x=3(y-2), 2y=x-9. 其中,正确的有 ( ) A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 9. (2024·盐城一模)某公司现欲将一批荔枝运 往外地销售,若用2辆A型车和1辆B型车 载满荔枝一次可运走10吨;1辆A型车和 2辆B型车载满荔枝一次可运走11吨.现有 荔枝31吨,计划同时租用A型车a辆,B型 车b辆,一次运完,且恰好每辆车都载满荔 枝.根据以上信息,解答下列问题: (1) 1辆A型车和1辆B型车都载满荔枝一 次可分别运送多少吨? (2) 请你帮该公司设计租车方案. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十章　二元一次方程组 又∵ a,b均为正整数, ∴ a=12, b=3 或 a=4 , b=6. ∴ 3b=3×3=9或3b=3×6=18. ∴ 该日销售的套餐中 A型篮球有 12个,B型篮球有9个或A型篮球有 4个,B型篮球有18个. 9. (1) 由题意,得 64a+126a=950, 解得a=5. (2) 设纸盒装四季柚共包装了x箱, 编织袋装四季柚共包装了y袋. ① 由题意,得 8x+18y=1000, 64x+126y=7280, 解 得 x=35, y=40. ∴ 纸盒装四季柚共包装了35箱,编 织袋装四季柚共包装了40袋. ② 由8x+18y=1000,可得x= 1000-18y 8 =125- 9y 4. 由题意,得 64× 125-9y4-b + 126y=7280,解得y=40- 32b 9 . ∵ x,y,b都是整数,且x≥0,y≥0, b>0, ∴ b=9,x=107,y=8. ∴ b的值为9. 专题特训（十）　二元一次 方程组的应用 1. C 2. 120 220 [解析] 设小明这份营 养早餐中需要谷物面包xg,牛奶yg. 根据题意,得 x+y+60=400, 14%x+7%y+60×13%=400×10%, 解得 x=120, y=220. ∴ 小明这份营养早餐 中需要谷物面包120g,牛奶220g. 3. C [解析] 根据题意,可 得 4b-2+2a+1+2a=12+7+2a, 3b-3+2a+1+12=12+7+2a, 解 得 a=4, b=3. 4. 6 [解析] 设每个木构件中,去掉 凸起部分的长度为xcm,凸起部分的 长度为ycm.由题意,得 3x+y=17, 9x+y=50, 解得 x=5.5, y=0.5. ∴ 每个木构件的长度 为5.5+0.5=6(cm). 5. A 6. 28 [解析] 设这个旅行团有x名 游客单程搭乘缆车,单程步行,去程及 回程均搭乘缆车的有y名游客.根据 题意,得 200x+300y=7200, (26-y)+(18-y)=x, 解 得 x=12, y=16. ∴ x+y=12+16=28,即 这个旅行团一共有28名游客. 7. (1) 依题意,得 1.5(20x+10y)=15000, 1.2(110x+120y)=97200, 解得 x=300, y=400. ∴ 8000×300-400×1000-15000- 97200=1.8878×106(元). ∴ 这批产品的销售款比原料费和运 输费的和多1.8878×106元. (2) 设原计划从A地购买的原料为 m吨,则送往B地的产品为(20-m)吨. 根据题意,得 11 5c+m=3 (c+20-m), 8000(c+20-m)-1000115c+m =65000, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得 c=10, m=17. ∴ c的值为10. 8. D 9. (1) 设1辆A型车载满荔枝一次 可运送x吨,1辆B型车载满荔枝一 次 可 运 送 y 吨.由 题 意,得 2x+y=10, x+2y=11, 解得 x=3, y=4. ∴ 1辆A型车载满荔枝一次可运送 3吨,1辆B型车载满荔枝一次可运送 4吨. (2) 由题意,得3a+4b=31, ∴ a=31-4b3 . 又∵ a,b均为非负整数, ∴ a=9, b=1 或 a=5 , b=4 或 a=1 , b=7. ∴ 该公司共有3种租车方案: 方案1:租用9辆A型车,1辆B型车; 方案2:租用5辆A型车,4辆B型车; 方案3:租用1辆A型车,7辆B型车. *10.4　三元一次方程组的 解法 1. C 2. B 3. A 4. x=30, y=45, z=36 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 5. (1) 根据题意,得 a+b+c=0①, a-b+c=-2②, 4a+2b+c=7③. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 由①+②,得a+c=-1④. 由③+②×2,得2a+c=1⑤. 由⑤-④,得a=2. 把a=2代入④,得2+c=-1,解得 c=-3. 把a=2,c=-3代入①,得2+b- 3=0,解得b=1. ∴ a,b,c的值分别为2,1,-3. (2) 由(1),得y=2x2+x-3.把x= -3代入,得y=2×(-3)2-3-3= 12,即y的值为12. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 63