10.4 三元一次方程组-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（苏科版2024）

ax-by=13, cx-y=4, 得 -5a+14b=13①, -5c+14=4②. 由②,得c=2.把 x=5, y=1 代入ax- by=13,得5a-b=13③.①+③,得 13b=26,解得b=2.把b=2代入③, 得5a-2=13,解得a=3.所以(a- b-c)2025=(3-2-2)2025=-1. 5. (1) 由题意,得 3a-2b=2, -2a+2b=2, 解 得 a=4, b=5. 把 x=3, y=-2 代入cx-7y=8,得3c+ 14=8,解得c=-2. 所以a+b+c=4+5+(-2)=7. (2) 设弟弟把c错写成了m. 由题意,得-2m-7×2=8,解得 m=-11. 所以弟弟把c错写成了-11. 6. C 7. 0 8. 2 [解析] 记 x+2y=1-6a①, x-3y=4a+6②. ①×2+②,得3x+y=8-8a.因 为关于x,y 的二元一次方程组 x+2y=1-6a, x-3y=4a+6 的解满足3x+y= -8,所以8-8a=-8,解得a=2. 所以a的值是2. 9. (1) x与y具有“邻好关系”. 理由:记 y=2x-4①, 3x+2y=13②. 将①代入②,得3x+2(2x-4)=13, 解得x=3. 将x=3代入①,得y=2×3-4=2. 所以原方程组的解为 x=3, y=2. 因为x-y=3-2=1. 所以x与y具有“邻好关系”. (2) 记 2x+y=5k+1③, x+2y=4k+2④. ③-④,得x-y=k-1. 因为x与y具有“邻好关系”, 所以x-y=1,即k-1=1,解得 k=2. 10. (1) ≠6 (2) =6 (3) =4 11. 3 [解析] 因为关于x,y的方程 组 x+ay+1=0, bx+2y+1=0 有无数个解,所 以方程x+ay+1=0和方程bx+ 2y+1=0 是同一个方程.所以 a=2, b=1. 所以a+b=3. 12. ①+②,得(3+m)x=10,即x= 10 3+m③. 把③代入②,得y= 15 3+m④. 因为方程组有整数解,m为正整数, 所以3+m=5,解得m=2. 所以x= 103+2=2 ,y= 15 3+2=3. 所以 m 的 值 是 2,方 程 组 的 解 是 x=2, y=3. 13. 记 x+2y=6①, 2x+mx-2y=8②. 由①+②,得3x+mx=14,解得 x= 14m+3. 由①,得y=3- x 2. 因为方程组有整数解, 所以x为偶数. 所以m+3=±1或±7. 经检验,当m+3=±1或±7时,m 为整数且y也为整数. 所以m=-4,-2,4,-10. *10.4　三元一次方程组 1. C 2. A 3. B 4. 6 5. (1) x=58 , y=3, z=-34. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 (2) x=10, y=9, z=7. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 6. A [解析] 因为方程4x+3y- 6z=0①与方程x+3y-3z=0②有相 同的解,所以①-②,得3x-3z=0,即 x=z;①-②×2,得2x-3y=0,即 y= 2 3x. 所以x∶y∶z=x∶ 2 3x∶ x=3∶2∶3. 7. B [解析] 因为3□5=15,4□7= 28,所 以 3a+5b+c=15, 4a+7b+c=28, 解 得 a=13-2b, c=b-24. 所以1□1=a+b+c= 13-2b+b+b-24=-11. 8. x=30, y=45, z=36 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 9. 3 10. 3 [解析] 将 x=1, y=2, z=3 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 代入方程组, 得 a+2b=2①, 2b+3c=3②, c+3a=7③. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ①+②+③,得4a+ 4b+4c=12,即a+b+c=3. 11. 2 [解析] 由题意,得 2x+y=3, x+y=1, 解得 x=2, y=-1. 将 x=2, y=-1 代入ax+ 2y=4-a,得2a-2=4-a,解得 a=2. 12. (1) x=2, y=-1, z=4. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (2) x=73 , y= 14 3 , z=7. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 13. (1) 由题意,得 a-b+c=0, a+b+c=-4, 4a+2b+c=3, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 42 解得 a=3, b=-2, c=-5. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (2) 由(1),得y=3x2-2x-5. 当x=-3时,y=3×9+2×3- 5=28. 14. (1) 依题意,得 x+2y=3k-4, x-y=k+2, x+y=0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x=107 , y=- 10 7 , k=67. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 (2) 依题意,得 x+2y=3k-4, x-y=k+2, 3x-4y=1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解 得 x=-5, y=-4, k=-3. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 15. 21 [解析] 令x+y=t(t≥2), 则原方程为t+z=8,所以t的值可 以为2,3,4,5,6,7,共6个.其中当 t=x+y=2时,正整数解有1个,当 t=x+y=3时,正整数解有2个,当 t=x+y=4时,正整数解有3个…… 当t=x+y=7时,正整数解有6个. 所以方程x+y+z=8的正整数解有 1+2+3+4+5+6=21(个). 16. ①+②,得x+u=3⑥. ②+③,得y+v=5⑦. ③+④,得z+x=7⑧. ④+⑤,得u+y=9⑨. ①+②+③+④+⑤,得x+y+z+ u+v=15⑩. ⑩-⑥-⑦,得z=7. 把z=7代入⑧,得x=0. 把x=0代入⑥,得u=3. 把u=3代入⑨,得y=6. 把y=6代入⑦,得v=-1. 所以原方程组的解为 x=0, y=6, z=7, u=3, v=-1. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 多元一次方程组的解法 这类问题的实质是考查多元 一次方程组的解法,通过解方程 组,了解消元的思想方法,从而进 一步理解把“未知”转化为“已知” 和把复杂问题转化为简单问题的 思想方法.解多元一次方程组的关 键是消元. 专题特训（五）　解方程 组的常用技巧 1. A 2. -48 [解析] 因为x,y满足方程 组 2x+y=8, 2x-y=-3, 所以8x2-2y2= 2(2x+y)(2x -y)=2×8× (-3)=-48. 3. -8 [解析] 整理方程组,得 a-b+ab=6①, 3(a-b)+ab=14②. ② - ①,得 2(a-b)=8,即a-b=4.把a-b= 4代入①,得4+ab=6,即ab=2. 所以ab2-a2b=-ab(a-b)=-8. 4. 记 x-y 2 - x+y 5 =1① , 3(x-y)+2(x+y)=6②. 由①,得 5(x-y)-2(x+y)=10③. ②+③,得 8(x-y)=16. 所以x-y=2④. 把④代入②,得x+y=0⑤. ④+⑤,得2x=2,即x=1. 把x=1代入④,得y=-1. 所以原方程组的解是 x=1, y=-1. 5. 把 x=-3, y=1 代 入 ax+by=3, bx+ay=5, 得 -3a+b=3①, -3b+a=5②. ①+②,得-2a-2b=8. 所以a+b=-4. ①-②,得-4a+4b=-2. 所以a-b=12. 所以(a+b)(a-b)=-4×12=-2. 6. (1) 将②变形,得3(2x-3y)+ 4y=11④. 将①代入④,得3×7+4y=11,解得 y=- 5 2. 把y=- 5 2 代入①,得2x+152=7 ,解 得x=-14. 所以方程组的解为 x=-14 , y=- 5 2. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (2) 由①,得3(x+4y)-2z=47③. 由②,得2(x+4y)+z=36④. ③×2-④×3,得-4z-3z=94- 108,解得z=2. 7. D [解 析] 因 为 3x3m-2n - 4yn-m+12=0 是二元一次方程,所 以 3m-2n=1, n-m=1, 解得 m=3 , n=4. 8. 0 9. 11 [解析] 因为m☉n=am+ bn2,3☉2=10,4☉1=9,所 以 3a+4b=10, 4a+b=9, 解 得 a=2 , b=1. 所 以 m☉n=2m+n2.所以1☉3=2×1+ 32=11. 10. (1) 由题意,可得 2k+b=-3, -k+b=3, 解得 k=-2, b=1. (2) 由(1),得y=-2x+1. 当y=-4时,-4=-2x+1,解得 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 52 66 *10.4　三元一次方程组 ▶ “答案与解析”见P24 1. 解三元一次方程组 x+y+z=3①, 3x+2y+z=10②, 2x-y+z=1③. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 若消 去未知数z,则下列变形正确的为 ( ) A. ①+③,①×2-② B. ①+③,③×2+② C. ②-①,②-③ D. ①-②,①×2-③ 2. 三元一次方程组 5x+4y+z=0, 3x+y-4z=11, x+y+z=-2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 消去未知 数z后,得到的二元一次方程组可能是 ( ) A. 4x+3y=2, 7x+5y=3 B. 4x+3y=2, 23x+17y=10 C. 3x+4y=2, 7x+5y=3 D. 3x+4y=2, 23x+17y=11 3. 已知 2x+3y=z, 3x+4y=2z+6, 且x+y=3,则z的 值为 ( ) A. 9 B. -3 C. 12 D. 无法确定 4. 已知三元一次方程组 x+y=3, y+z=4, x+z=5, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 则x+y+ z= . 5. 解下列方程组: (1) 2x+3y-z=11, 2x+y-5z=8, -2x+7y+z=19. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 (2) x+y+z=26, x-y=1, 2x+z-y=18. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 6. (易错题)已知方程4x+3y-6z=0与方程 x+3y-3z=0有相同的解,其中xyz≠0,则 x∶y∶z为 ( ) A. 3∶2∶3 B. 1∶2∶3 C. 2∶3∶2 D. 3∶2∶1 7. 对于有理数x,y,定义新运算“□”: x□y=ax+by+c,其中a,b,c为 常数,等式右边是通常的加法与乘 法运算.若3□5=15,4□7=28,则1□1的 值为 ( ) A. -1 B. -11 C. 1 D. 11 8. 三元一次方程组 x+y+z=111, y∶x=3∶2, y∶z=5∶4 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 的解是 . 9. 若x+2y+3z=5,4x+3y+2z=10,则x+ y+z的值为 . 10. 已知 x=1, y=2, z=3 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 是关于x,y,z的三元一次方程 组 ax+by=2, by+cz=3, cx+az=7 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 的解,则a+b+c 的值 是 . 11. 已 知 关 于 x,y 的 二 元 一 次 方 程 组 2x+y=3, ax+2y=4-a 的解满足x与y的和为1, 则a= . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级下 67 12. 解方程组: (1) x+2y=0, y+2z=7, z+2x=8. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 (2) x∶y∶z=1∶2∶3, 2x-y+3z=21. 13. 已知y=ax2+bx+c.当x=-1时,y=0; 当x=1时,y=-4;当x=2时,y=3. (1) 求a,b,c的值. (2) 当x=-3时,求y的值. 14. 已知关于x,y的方程组 x+2y=3k-4, x-y=k+2. (1) 若方程组的解互为相反数,求k的值. (2) 若方程组的解满足方程3x-4y=1,求 k的值. 15. 方程x+y=2的正整数解只有1个,方程 x+y=3的正整数解只有2个,方程x+ y=4的正整数解只有3个……那么方程 x+y+z=8的正整数解有 个. 16. ★解方程组: x-y+z=1①, y-z+u=2②, z-u+v=3③, u-v+x=4④, v-x+y=5⑤. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第10章　二元一次方程组