考向一 平行线在生活中的应用-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（浙教版2024）

140 考向一　平行线在生活中的应用 ▶ “答案与解析”见P54 1. 一杆古秤在称物时的状态如图所示.若∠1= 80°,则∠2的度数为 ( ) A. 20° B. 80° C. 100° D. 120° (第1题) (第2题) 2. 如图所示为小亮绘制的潜望镜原理示意图, 射入光线l与射出光线m平行(提示:在光的 反射过程中,∠1=∠2,∠3=∠4).若射入光 线l与镜面AB的夹角∠1=40°10',则∠6的 度数为 ( ) A. 100°40' B. 99°80' C. 99°40' D. 99°20' 3. 如图,快艇从P 处沿正北方向航行到A 处, 又向左转50°航行到B处,再向右转80°继续 航行,此时的航行方向为 ( ) A. 北偏东30° B. 北偏东80° C. 北偏西30° D. 北偏西50° (第3题) (第4题) 4. 如图所示为某小区车库门口的曲臂直杆道闸 模型.已知AB 垂直于水平地面AE,当车牌 被自动识别后,曲臂直杆道闸的BC 段将绕 点B缓慢向上抬高,CD 段则一直保持水平 状态上升(即CD 与AE 始终平行),在该运 动过程中,∠ABC+∠BCD的度数始终等于 ( ) A. 360° B. 180° C. 250° D. 270° 5. 将一条两边互相平行的围巾折叠两 次,其示意图如图所示.若∠DAB- ∠ABC =20°,且 DF ∥CG,则 3∠DAB+∠ABC等于 ( ) A. 180° B. 150° C. 160° D. 200° (第5题) (第6题) 6. 工人师傅对一个如图所示的零件进行加工, 把零件弯成了一个40°的锐角,然后准备在A 处第二次加工弯折,要保证弯过来的部分与 BC保持平行,弯的角度应是 . 7. 我们知道,光线从空气射入水中会发生折射 现象,光线从水中射入空气中,同样会发生折 射现象.如图所示为光线从空气中射入水中, 再从水中射入空气中的示意图.已知∠1= ∠4,∠2=∠3.请你用所学知识来判断c与 d是否平行,并说明理由. (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级下 期末压轴题特训 141 8. 图①是某公司生产的自行车的实物图,图 ②是它的部分示意图,AB∥CD,BC∥AE, ∠CAE=120°,∠BAE=65°.试求∠DCB和 ∠ACB的度数. (第8题) 9. 如图所示为北斗七星的示意图,将 北斗七星分别标为A,B,G,C,D, E,F,将A,B,G,C,D,E,F 顺次 首尾连结,已知AF 恰好经过点G,且AF∥ DE,∠B=∠C+10°,∠CDE=∠E=105°. (1) 求∠F的度数. (2) ∠B-∠CGF= °. (3) 连结AD,当∠ADE与∠CGF满足怎样 的数量关系时,BC∥AD? 请说明理由. (第9题) 10. 如图①所示为一盏台灯的示意图,其中灯头 连接杆DE 始终和桌面FG 平行,灯脚AB 始终和桌面FG垂直. (1) 如图②,当∠EDC=∠DCB=120°时, 求∠CBA的度数. (2) 杆BC,CD 可以绕着点B,C,D 进行旋 转,灯头E 始终在点D 的左侧,设∠EDC, ∠DCB,∠CBA的度数分别为α,β,γ. ① 如图③,试探究α,β,γ之间的关系,并说 明理由. ② 如图④,β= (用含α,γ的式子 表示),并写出计算过程. (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 期末压轴题特训 最高. (典例3图) [跟踪训练] 3. C 典例4 28 [解析] 被调查的学生人 数为14÷20%=70,爱好羽毛球和足 球的人数为70×(1-20%-30%)= 35.因为爱好羽毛球的人数是爱好足 球的人数的4倍,所以爱好羽毛球的 人数为35×45=28. [跟踪训练] 4. 300 75 [解析] 由 统计图可知,最喜爱足球运动的人数 占调查人数的120 360 ,最喜爱游泳运动 的人数占调查人数的60 360 ,由最喜爱 足球运动的人数比最喜爱游泳运动的 人数多50,可知调查的总人数为50÷ 120 360- 60 360 =300,300×90360=75(人), 所以参加这次问卷调查的总人数是 300,其中最喜爱篮球运动的人数为75. 典例5 (1) 4;0.25;20. (2) 由(1)知,m=4,补全频数直方图 如图所示. (3) 240× (0.05+0.2+0.4)= 156(名), 所以估计该校九年级240名男生中 1000米跑的成绩优秀的人数为156. (典例5图) 补全频数直方图的方法 补全频数直方图是各地中考 较常见的考查类型.解这类题目 时,一般先根据频数表中的数据, 利用频数、频率与总数之间的关系 求出总数,然后乘所缺那一组数据 相应的频率,得到其频数,最后将 各自所缺条形补上即可. [跟踪训练] 5. 12 [解析] 因为捐 书的总人数为12÷30%=40,所以捐 书数量在4.5~5.5本组别的人数是 40-(4+12+8)=16.所以捐书数量 最多的组有16人,最少的组有4人, 16-4=12(人),即捐书数量最多的组 比捐书数量最少的组多12人. ［综合素能提升］ 1. D 2. C [解析] 因为10月和11月水 果类的销售额分别为60×20%= 12(万元),70×15%=10.5(万元), 12>10.5,所以10月水果类的销售额 比11月多.故选项A 说法正确,选项 C 说法错误.因为9~10月的月销售 总额减少,9~10月水果类的销售额 增加,所以月销售总额与水果类的销 售额变化不一致.故选项B 说法正确. 因为8月的销售总额最高,水果类的 销售额占销售总额的百分比也最高, 所以四个月中8月水果类的销售额最 高.故选项D 说法正确. 3. (1) 50;36%. [解析] (8+4)÷ 24%=50(人).所以本次比赛中,参赛 选手共有 50 人.扇 形 统 计 图 中 59.5~69.5分这一范围的人数占总 参赛人数的百分比为(2+3)÷50× 100%=10%,所以扇形统计图中 79.5~89.5分这一范围的人数占总 参赛人数的百分比为1-24%- 10%-30%=36%. (2) 69.5~74.5分这一范围的人数为 50×30%-8=7, 79.5~84.5分这一范围的人数为 50×36%-8=10, 补全频数直方图如图所示. (3) 能获奖. 理由:获奖人数为50×40%=20, 84.5~99.5分这一范围的人数为8+ 8+4=20, 所以成绩为88分的选手一定能获奖. (第3题) 期末压轴题特训 考向一　平行线在生活中的 应用 1. C 2. C [解析] 由题意知,∠2=∠1= 40°10'.因为∠1+∠2+∠5=180°,所 以∠5=180°-40°10'-40°10'= 99°40'.因为射入光线l与射出光线m 平行,所以∠6=∠5=99°40'. 3. A [解析] 如图,易知AP∥BC, 所以∠EBC=∠BAD=50°.所以 ∠CBF=∠EBF-∠EBC=30°.所 以此时的航行方向为北偏东30°. (第3题) 4. D [解析] 如图,过点B 作BG∥ AE,所以∠BAE+∠ABG=180°.因 为AE∥CD,所以BG∥CD.所以 ∠BCD + ∠CBG = 180°.所 以 ∠BAE + ∠ABG + ∠CBG + ∠BCD = 360°.所 以 ∠BAE + 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 45 ∠ABC+∠BCD=360°.因为BA⊥ AE,所 以 ∠BAE = 90°.所 以 ∠ABC + ∠BCD = 360° - ∠BAE=270°. (第4题) 5. D [解析] 如图,将围巾展开,则 ∠ADM=∠ADF,∠KCB=∠BCG. 设∠ABC=x,则∠DAB=x+20°.因 为CD∥AB,所以∠BCK=∠ABC, ∠ADM = ∠DAB.所以 ∠KCG= 2∠BCK=2∠ABC=2x,∠FDM= 2∠ADM=2∠DAB=2(x+20°).因 为DF∥CG,所以∠FDC=∠KCG= 2x.因为∠FDC+∠FDM=180°,所 以2x+2(x+20°)=180°.所以x= 35°.所以3∠DAB+∠ABC=3(x+ 20°)+x=4x+60°=200°. (第5题) 6. 40°或140° [解析] 分两种情况讨 论:① 如图①,过点A作AE∥BC,则 ∠BAE=∠CBA=40°,此时弯的角 度应是180°-40°=140°.② 如图②, 过点 A 作AF∥BC,则∠CBA+ ∠FAB=180°.因为∠CBA=40°,所 以∠FAB=180°-∠CBA=180°- 40°=140°.此时弯的角度应是180°- 140°=40°.综上所述,弯的角度应是 40°或140°. (第6题) 7. c∥d. 理由:如图,因为∠2+∠5=∠3+ ∠6=180°,∠2=∠3, 所以∠5=∠6. 因为∠1=∠4, 所以∠1+∠5=∠4+∠6. 所以c∥d. (第7题) 8. 因为BC∥AE, 所以∠ACB+∠CAE=180°. 所以∠ACB=180°-∠CAE=180°- 120°=60°. 因为AB∥CD,∠BAC=∠CAE- ∠BAE=120°-65°=55°, 所以∠ACD=∠BAC=55°. 所以∠DCB=∠ACB+∠ACD= 115°. 9. (1) 因为AF∥DE, 所以∠F+∠E=180°. 因为∠E=105°, 所以∠F=180°-105°=75°. (2) 115. [解析] 如图,过点C 作 CH∥DE.因为AF∥DE,所以CH∥ AF.因为CH∥DE,∠CDE=105°,所 以 ∠DCH = ∠CDE =105°.因为 CH∥AF,所以∠HCG=∠CGF.因 为∠B=∠GCD+10°,所以∠B= ∠HCG+∠DCH+10°=∠CGF+ 105°+10°= ∠CGF +115°.所 以 ∠B-∠CGF=115°. (3) 当∠ADE+∠CGF=180°时, BC∥AD. 理由:因为AF∥DE, 所以∠GAD+∠ADE=180°. 因为∠ADE+∠CGF=180°, 所以∠GAD=∠CGF. 所以BC∥AD. (第9题) 10. (1) 如图①,过点C作CP∥DE, 过点B作BH∥FG. 所以∠PCD=180°-∠EDC=60°. 所以∠PCB=∠DCB-∠PCD= 60°. 因为DE∥FG, 所以PC∥FG. 又因为BH∥FG, 所以PC∥BH. 所以∠CBH=∠PCB=60°. 因为AB⊥FG, 所以∠ABH=90°. 所以∠CBA=∠CBH+∠ABH = 150°. (2) ① β+γ-α=270°. 理由:如图②,过点C作CM∥DE,过 点B作BN∥FG. 所以 ∠EDC= ∠DCM,∠ABN = 180°-∠BAG=90°. 因为DE∥FG, 所以易得CM∥BN. 所以∠BCM+∠CBN=180°. 所以∠BCD-∠DCM +∠ABC- ∠ABN=180°. 因为∠DCM+∠ABN=∠EDC+ 90°, 所以β-α+γ-90°=180°. 所以β+γ-α=270°. ② α+γ-90°. 如图③,过点C 作CM∥DE,过点B 作BN∥FG. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 55 所以∠DCM=∠EDC=α,∠ABN= ∠BAG=90°. 因为DE∥FG, 所以易得CM∥BN. 所以∠BCM=∠CBN. 所以∠BCD-∠DCM =∠ABC- ∠ABN. 所以β-α=γ-90°. 所以β=α+γ-90°. (第10题) 考向二　新定义问题 1. B [解析] 根据题意,可设(x- 3)(x+a)=x2+kx-7.所以x2+ (a-3)x-3a=x2+kx-7.所以 a-3=k, -3a=-7, 解得 a=73 , k=-23. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 所以k 的值为-23. 2. 0 [解 析] 根 据 题 意,得 m+n=3, m+2n=5, 解 得 m=1 , n=2. 所 以 x&y=x+2y.所以2&(-1)=2+ 2×(-1)=0. 3. 5 2 或10 [解析] 当x<5时,5※ x= 55-x=2 ,解得x=52. 经检验, x=52 是原分式方程的根.当x> 5时,5※x= xx-5=2 ,解得x=10.经 检验,x=10是原分式方程的根.综上 所述,x的值为52 或10. 4. (1) 2;x-4. (2) A与B是关于1的“单位数”. 理由:因为A-B=3x(x+2)-1- 2 32x 2+3x-1 =3x2+6x-1- 3x2-6x+2=1, 所以A与B是关于1的“单位数”. 5. (1) 由题意,得x=-5x+6,解得 x=1. 所以“雅系二元一次方程”y=-5x+ 6的“完美值”为1. (2) 由题意,得x=3x+m 的解为 x=3. 所以3=3×3+m,解得m=-6. (3) 若“雅系二元一次方程”y=kx+ 1(k≠0,k是常数)存在“完美值”,则 x=kx+1有解. 整理,得(1-k)x=1, 当k=1时,不存在“完美值”; 当k≠0,1时,存在“完美值”11-k. 6. (1) 原式=(-2)5×(-2)6= (-2)11=-211. (2) 原 式 =2× (-2)2 023 × (-2)2 024=2×(-2)4 047=-2× 24 047=-24 048. (3) 因为Q(n-1)×Q(n+1)=2100, 所以(-2)n-1×(-2)n+1=2100. 所以22n=2100. 所以2n=100,解得n=50. 7. (1) 方程组 x-2y=5, 2x-y=5 是“关联方 程组”. 理由:记 x-2y=5①, 2x-y=5②. ②-①,得x+y=0. 所以方程组 x-2y=5, 2x-y=5 是“关联方程 组”. (2) 记 2x+3y=4+a①, x-y=2a②. ①-②×2,得5y=4-3a. 所以y= 4-3a 5 . 将y= 4-3a 5 代入②,得x-4-3a5 = 2a,解得x=7a+45 . 所以原方程组的解为 x=7a+45 , y= 4-3a 5 . 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 因为原方程组是“关联方程组”, 所以x+y=0. 所以7a+4 5 + 4-3a 5 =0. 所以a=-2. 8. (1) CDE. (2) “回文等式”中,等号两边的两个 两位数的十位上的数的积等于个位上 的数的积. 设“回文等式”中,等号左边的两个两 位数分别为10a+b,10c+d,其中a, b,c,d为小于10的正整数. 依题意,得(10a+b)(10c+d)= (10d+c)(10b+a), 所以100ac+10ad+10bc+bd= 100bd+10ad+10bc+ac. 所以99ac=99bd. 所以ac=bd. 9. (1) 5(答案不唯一);是. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 65