考向三 与几何图形面积有关问题-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（浙教版2024）

145 考向三　与几何图形面积有关问题 ▶ “答案与解析”见P57 1. 如图,从边长为(a+4)cm的正方形纸片中剪 去一个边长为(a+1)cm的正方形,剩余部分 沿虚线剪开拼成一个长方形(不重叠、无缝 隙),则长方形的面积为 ( ) (第1题) A. (2a2+5a)cm2 B. (3a+15)cm2 C. (6a+9)cm2 D. (6a+15)cm2 2. 将大小不同的两个正方形按如图所示的方式 摆放.若图①中涂色部分的面积是20,图 ②中涂色部分的面积是14,则大正方形的边 长是 ( ) (第2题) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 3. (2023·金华义乌期中改编)如图, 长为ycm、宽为xcm的大长方形 被分割为7小块,除涂色A,B 外, 其余5块是形状、大小完全相同的小长方形, 其宽为4cm,有下列说法:① 小长方形的长 为(y-12)cm;② 涂色A的宽和涂色B的宽 之和为(x-y+4)cm;③ 若x为定值,则涂 色A和涂色B 的周长和为定值;④ 若x为 定值,则涂色A 和涂色B 的面积和为定值. 其中,正确的是 ( ) (第3题) A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ①③④ 4. 为打造美丽校园,小明、小红为校园内的一块 空地分别提供了如图所示的甲、乙两种设计 方案,其中涂色部分都用于绿化,甲方案的空 白区域要建一座雕像,乙方案的空白区域要 修建石子小路.已知S甲 表示甲方案中的绿 化面积,S乙 表示乙方案中的绿化面积.设 k= S甲 S乙 ,请用含a,b的代数式表示k并化简: . (第4题) 5. 如图,甲、乙两人各有两块土地.今年甲、乙两 人决定共同投资养殖业,为此,他们准备将这 四块土地换成一块长为(a+b)m的土地,为了 使所换土地的面积与原来四块土地的总面积 相等,则交换之后的土地的宽为 m. (第5题) 6. 如图,在边长为a的大正方形内放 入三张边长都为b(a>b)的小正方 形纸片,这三张纸片没有盖住的面 积是8,则(b+1)(b-1)+a(a-2b)的值为 . (第6题) 7. (2023·温州瑞安期中)如图,某公园有一块 长为(4a+b)米、宽为(2a+b)米的长方形地 块,规划部门计划在其内部修建一座底面为 边长是(a+b)米的正方形的雕像,雕像的左 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 期末压轴题特训 146 右两边修两条宽为a米的长方形道路,其余 涂色部分为绿化场地. (1) 用含a,b的代数式表示绿化面积(结果 要化简). (2) 若a=3,b=2,请求出绿化面积. (第7题) 8. 一个长方形的长和宽分别为x厘米和y厘米 (x,y为正整数),将长方形的长和宽各增加 5厘米得到新的长方形,面积记为S1平方厘 米,将原长方形的长和宽各减少2厘米得到 新的长方形,面积记为S2平方厘米. (1) 若S1比S2大196,求原长方形的周长. (2) 请说明S1-S2的结果一定是7的倍数. (3) 如果上述面积为S1平方厘米的长方形 和原来长方形能够拼成一个新的长方形(没 有缝隙、没有重叠),请直接写出x与y之间 的关系. 9. 用如图所示的甲、乙、丙三块木板做 一个长、宽、高分别为a厘米、b厘米 和10厘米的长方体木箱,其中甲木 板锯成两块刚好能做一个箱底和一个长侧 面,乙木板刚好能做一个长侧面和一个短侧 面,丙木板刚好能做一个箱盖和剩下的一个 短侧面(厚度忽略不计,a>b). (1) 用含a,b的代数式分别表示这三块木板 的面积. (2) 若甲木板的面积比丙木板的面积大 200平方厘米,木箱的体积为15000立方厘 米,求乙木板的面积. (3) 如果购买一块长为100厘米、宽为(a+ b)厘米的长方形木板做这个木箱,木板的利 用率为 90%,那么方程x+1x-2- 1 x-3= 5 a+ 5 b+ a2b-ab2 7a2-7b2 ×736的解为 . (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级下 (2) s=x2+4y2-6x+4y+k= (x2-6x+9)+(4y2+4y+1)+k- 10=(x-3)2+(2y+1)2+k-10. 因为s为“完美数”, 所以k-10=0. 所以k=10. (3) (m+n)2-(m-n)2 4 = 4mn 4 = mn. 设m=a2+b2,n=c2+d2,a,b,c,d 是整数. 所以 mn=(a2+b2)(c2+d2)= a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=a2c2+ 2abcd+b2d2+a2d2-2abcd+b2c2= (ac+bd)2+(ad-bc)2. 所 以 mn 是 “完 美 数 ”, 即 (m+n)2-(m-n)2 4 是“完美数”. 10. (1) 是. 因为A=x-7x-2 ,B= x 2+6x+9 (x+3)(x-2) , 所 以 A + B = x-7x-2 + x2+6x+9 (x+3)(x-2) = x-7 x-2 + (x+3)2 (x+3)(x-2)= x-7 x-2+ x+3 x-2= 2(x-2) x-2 =2. 所以A与B 互为“和整分式”,“和整 值”k=2. (2) ① 因为C=3x-4x-2 ,D= G x2-4 , 所 以 C +D = (3x-4)(x+2) (x-2)(x+2)+ G (x-2)(x+2)= 3x2+2x-8+G (x-2)(x+2). 因为C与D互为“和整分式”,且“和整 值”k=3, 所以3x 2+2x-8+G (x-2)(x+2)=3 ,即3x2+ 2x-8+G=3(x-2)(x+2). 所以G=3(x-2)(x+2)-(3x2+ 2x-8)=3x2-12-3x2-2x+8= -2x-4. ② 由 ①, 得 D = G x2-4 = -2(x+2) (x+2)(x-2)=- 2 x-2. 因为分式D的值为正整数t, 所以x-2=-1或x-2=-2. 所以x=1或x=0. 又因为x为正整数, 所以x=1. (3) 由(2),得t=D=- 21-2=2. 因为P=3x-5x-3 ,Q=mx-33-x ,P+ Q=t, 所以3x-5 x-3+ mx-3 3-x =2. 去分母,得3x-5-mx+3=2(x- 3). 整理,得(1-m)x=-4. 若1-m=0,则关于x的方程无解, 符合题意. 此时1-m=0,解得m=1. 若1-m≠0,则方程(1-m)x=-4有 唯一的解. 当这个唯一的解是增根x=3时,则 原分式方程无解,符合题意. 此时(1-m)×3=-4,解得m=73. 综上所述,实数m的值为1或73. 考向三　与几何图形面积 有关问题 1. D 2. B [解析] 设大正方形的边长为 a,小正方形的边长为b.根据题意,可 得 1 2ab+ 1 2b (a-b)=20①, 1 2ab=14② , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 由①, 得ab-12b 2=20③;由②,得ab= 28④.把④代入③,得28-12b 2=20. 所以b2=16.因为b>0,所以b=4.把 b=4代入④,得4a=28,解得a=7. 故大正方形的边长是7. 3. A [解析] 如图,因为CD= CH-DH=y-3×4=(y-12)cm, 所以MF=CD=(y-12)cm.所以小 长方形的长为(y-12)cm.故说法 ①正确.因为 CN =CM—MN = GH-MN=x-2×4=(x-8)cm,所 以涂色A 的宽为(x-8)cm.因为 EF=DF-DE=GH-MF=x- (y-12)=(x+12-y)cm,所以涂色 B的宽为(x+12-y)cm.所以涂色A 的宽和涂色B 的宽之和为(x-8)+ (x+12-y)=(2x-y+4)cm.因为 x≠0,所以2x-y+4≠x-y+4.故 说法②错误.因为涂色A和涂色B的 周长和为2×(y-12+x-8+3×4+ x+12-y)=2×(2x+4)=(4x+ 8)cm,所以若x为定值,则涂色A 和 涂色B的周长和为定值.故说法③正 确.因为涂色A和涂色B的面积和为 (y-12)(x-8)+12(x+12-y)= xy-8y-12x+96+12x+144- 12y=xy-20y+240=[(x-20)y+ 240]cm2,所以只有当x-20=0,即 x=20时,涂色A和涂色B的面积和 为定值.故说法④错误.综上所述,说 法①③正确. (第3题) 4. a+2b a [解 析] k = S甲 S乙 = 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 75 a2-4b2 a2-2ab= (a+2b)(a-2b) a(a-2b) = a+2b a . 5. (a+c) [解析] 原来四块土地的 总面积是a2+bc+ac+ab=a(a+ c)+b(a+c)=(a+c)(a+b)m2.因 为交换之后的土地的长为(a+b)m, 所以交换之后的土地的宽为(a+ c)m. 6. 7 [解析] 如图.由题意,得AB= BC=a,AD=EF=b.所以BD=a- b,BE+CF=a-b.因为这三张纸片 没有盖住的面积是8,所以(a-b)2= 8.所以(b+1)(b-1)+a(a-2b)= b2-1+a2-2ab=a2-2ab+b2-1= (a-b)2-1=8-1=7. (第6题) 7. (1) 绿化面积为(4a+b)(2a+ b)-(a+b)2-a(4a+b-a-b)= 8a2+6ab+b2-a2-2ab-b2-3a2= (4a2+4ab)平方米. (2) 当a=3,b=2时,4a2+4ab=4× 32+4×3×2=36+24=60, 所以绿化面积为60平方米. 8. (1) 根据题意,得S1-S2=(x+ 5)(y+5)-(x-2)(y-2)=xy+ 5x+5y+25-(xy-2x-2y+4)= 7x+7y+21=7(x+y+3). 因为S1比S2大196, 所以7(x+y+3)=196. 所以x+y=25. 所以原长方形的周长为2×25= 50(厘米). (2) 由(1),得S1-S2=7(x+y+3). 因为x,y为正整数, 所以x+y+3为正整数. 所以S1-S2 的结果一定是7的 倍数. (3) x=y+5. [解析] 由题意,得新 长方形的宽等于原长方形的长.因为 新长方形的宽为(y+5)厘米,原长方 形的长为x厘米,所以x=y+5. 9. (1) 甲木板的面积=S箱底+S长侧面= (ab+10a)平方厘米; 乙木板的面积=S长侧面 +S短侧面 = (10a+10b)平方厘米; 丙木板的面积= S箱盖 +S短侧面 = (ab+10b)平方厘米. (2) 根据题意,得 ab+10a-(ab+10b)=200, 10ab=15000, 所以 a-b=20, ab=1500. 所以(a+b)2=(a-b)2+4ab=202+ 4×1500=400+6000=6400. 因为a+b>0, 所以a+b=80. 所以10a+10b=10(a+b)=10× 80=800. 所以乙木板的面积为800平方厘米. (3) x=72. [解析] 因为木板的利 用 率 为 90%, 所 以 ab+10a+10a+10b+ab+10b 100(a+b) = 90%.化简,得ab=35(a+b). 所以5 a + 5 b + a2b-ab2 7a2-7b2 = 5(a+b) ab + ab(a-b) 7(a+b)(a-b) = 5(a+b) ab + ab 7(a+b) = 5 (a+b) 35(a+b)+ 35(a+b) 7(a+b)= 1 7+5= 36 7. 因为x+1 x-2- 1 x-3= 5a+5b+a 2b-ab2 7a2-7b2 ×736, 所以x+1 x-2- 1 x-3= 36 7× 7 36. 所以 (x+1)(x-3)-(x-2)=(x-2)· (x-3).所以x2-3x+x-3-x+ 2=x2-5x+6.所以2x=7.所以x= 7 2. 经检验,x=72 是原分式方程的 根.所以原分式方程的解为x=72. 考向四　项目式学习问题 1. 任务一:4;690. 任务二:设使用了A 型消费券x张, B型消费券y张,则使用了C型消费 券(x-1)张. 由题意,可得 x+y+x-1=12, 10x+20y+60(x-1)=380, 解得 x=6, y=1. 所以x-1=5. 所以使用了A型消费券6张,B型消 费券1张,C型消费券5张. 任务三:设小明一家共使用A 型消费 券a张,B型消费券b张,C型消费券 c张. 分三种情况讨论: ① 使用A,B 两种类型的消费券,则 10a+20b=380, 所以a+2b=38. 因为a,b都是正整数,a≤10,b≤10, 所以无解. ② 使用B,C两种类型的消费券,则 20b+60c=380, 所以b+3c=19. 因为b,c都是正整数,b≤10,c≤5, 所以 b=10, c=3 或b=7 , c=4 或b=4 , c=5. ③ 使用A,C 两种类型的消费券,则 10a+60c=380, 所以a+6c=38. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 85