第12章 专题特训（十四）二次根式非负性的应用-【拔尖特训】2024-2025学年八年级下册数学（苏科版）

运用整体思想化简二次根式 解决这类二次根式的化简问 题,我们常常需要观察待求二次根 式的整体结构,运用整体思想对其 进行变形、化简,把复杂的问题简 单化.需要注意的是,对于平方后 求得的结果,还要考虑原代数式值 的正负性. 16. (1) ∵ △ABC 的周长为4+ 25,AB=4,BC=5-3, ∴ AC=4+25-4-(5- 3)= 5+3. (2) △ABC是直角三角形. 理由:∵ AB2=16,BC2+AC2=5- 2 15+3+5+2 15+3=16, ∴ AB2=BC2+AC2. ∴ △ABC是直角三角形. 专题特训（十四）　二次 根式非负性的应用 1. A [解析] ∵ -a3b有意义, ab≠0,∴ -a3b>0.∴ a3b<0.又 ∵ a <b,∴ a < 0,b > 0. ∴ -a3b=-a -ab. 2. B [解析] 由题意,得1 a ≥0 且 a≠0,∴ a>0.∴ -a 1a =- a. 3. 9-2x [解析] 由题意,得4- x≥0,解得x≤4.∴ x-5<0.∴ 原 式=4-x+5-x=9-2x. 4. 由题意,得x-4≥0,即x≥4. ∴ x-3>0. ∴ 原 方 程 可 化 简 为 x -3+ x-4=x. ∴ x-4=3,即x-4=9,解得 x=13. 5. 由题意,得 2x-1≥0, 1-2x≥0, 解得x=12. ∴ y>2. ∴ 原 式= (y-2)2 2-y +3-2x= |y-2| 2-y +3-2x= y-2 2-y+3-2x= 2-2x=2-2×12=1. 6. 3 [解析] 由题意,得 x-3≥0, 3-x≥0, 解得x=3.∴ y=6.∴ x+y= 3+6=9=3. 7. 1 [解析] 由题意,得1-2x≥0, 2x-1≥0,∴ x = 12.∴ y= 1-2x+ (x-1)2+ 2x-1= 1-2×12 + 1 2-1 2 + 2×12-1= 1 2.∴ (x+y)2024= 1 2+ 1 2 2024 =1. 8. 2 [解析] ∵ |2a-4|+|b+2|+ (a-4)b2+4=2a,∴ |2a-4|+ |b+2|+ (a-4)b2 = 2a - 4. ∴ 2a-4≥0.∴ 2a-4+|b+2|+ (a-4)b2=2a-4.∴ |b+2|+ (a-4)b2=0.∴ b+2=0,(a- 4)b2=0,解得b=-2,a=4.∴ a+ b=4-2=2. 9. 由题意,得 2x-2≥0, 1-x≥0, 解得x=1. 把 x =1 代 入 y · 2x-2 + 1-x =y +2,得 y = -2. ∴ y2+5x= 4+5=9=3. 10. 要使a= b 2-9+ 9-b2+6 b-3 有 意义,则b2-9≥0且9-b2≥0且b- 3≠0, ∴ b=-3. ∴ a=0+0+6-3-3=-1. ∴ |a-2b|- 12ab=|-1-2× (-3)|- 12×(-1)×(-3)=|-1+ 6|- 36=5-6=-1. 11. (1) 由题意,得 a+b-2024≥0, 2024-a-b≥0, 解得a+b=2024. (2) 由(1),可得 a+b-2024· 2024-a-b=0, ∴ 2x+y-3+ x-2y-4=0. ∴ 2x+y-3=0, x-2y-4=0, 解得 x=2, y=-1. ∴ 4x+y2024=4×2+(-1)2024=8+ 1=9. 12. 由 题 意,得 998-x≥0, m+8≥0, m-1≥0, 1-m≥0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 则 x≤998, m=1. ∴ y=3,|x-1000|=1000-x. ∴ 1000-x+( 998-x)2=2000, 解得x=-1. ∴ y-x=3-(-1)=4. ∵ 4的平方根是±2, ∴ y-x的平方根是±2. 13. ∵ |6-3m|+(n-5)2=3m- 6- (m-3)n2, ∴ m-3≥0. ∴ m≥3. ∴ 6-3m<0. ∴ |6-3m|=3m-6. 化 简 已 知 等 式,得 (n -5)2 = - (m-3)n2. ∴ (n-5)2+ (m-3)n2=0. ∴ n-5=0, (m-3)n2=0, 解得 n=5 , m=3. ∴ m-n=3-5=-2. 14. 由题意,得 m-199+n≥0, 199-m-n≥0, 解得 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 46 m+n=199. ∴ 原等式可化为 2n-p+595+ n-p+398=0. ∴ 2n-p+595=0, n-p+398=0, 解得 n=-197, p=201. ∴ p的值为201. 未能灵活运用二次根式的 非负性导致错误 解决这类问题时,要灵活运用 二次根式的非负性.根据二次根式 的意义,可知形如 a+ -a的式 子中的a=0,同样根据二次根式的 非负性,可知形如 a+b=0的等 式中的a=0,b=0,因此可以建立 关于问题中是未知数的字母的方 程组,从而解决问题. 15. 根据题意,得 3a-6≥0, 2-a≥0, 解 得 a=2. ∴ b=4. ① 当2是腰长时,三角形的三边长分 别为2、2、4. ∵ 2+2=4, ∴ 不能组成三角形. ② 当2是底边长时,三角形的三边长 分别为2、4、4,能组成三角形,周长= 2+4+4=10. 综上 所 述,此 等 腰 三 角 形 的 周 长 为10. 16. (1) ∵ |a- 7|+(c-42)2= b-5+ 5-b, ∴ b-5≥0, 5-b≥0. ∴ b=5. ∴ |a-7|+(c-42)2=0. ∴ a-7=0,c-42=0. ∴ a=7,c=42. (2) 能. ∵ a=7,b=5,c=42, ∴ a+b=7+5>42=c. ∴ 以a、b、c为三边长能构成三角形. ∵ a2 +b2 =7+25=32,c2 = (42)2=32, ∴ a2+b2=c2. ∴ 此三角形是直角三角形. ∴ 此三角形的面积为 1 2 × 7× 5=572 . 专题特训（十五）　整体思想在 二次根式化简求值中的运用 1. A [解析] 由题意,可知(a- b)2=a-2 ab+b=4 ab, (a + b)2 =a+2 ab +b= 8 ab.∴ (a+b)2 (a-b)2 =2.∵ a>b> 0,∴ a>b>0.∴ a+b a-b =2. 2. B [解析] ∵ x+1x =11 ,即 (x)2+ 1(x)2 =11,∴ x - 1 x 2 =(x)2+ 1(x)2 -2 x· 1 x =11-2=9.∴ x-1 x =±3. 3. A [解析] ∵ a+b=-4,ab=1, ∴ a b + b a 2 =ba + a b +2= a2+b2 ab +2= (a+b)2 ab = (-4)2 1 =16. ∴ a b + b a =4. 4. x yx +y x y 2 =x2·yx + 2xy+y2· x y =xy+2xy+xy= 4xy. ∴ 当xy=5时,4xy=20. ∴ x yx +y x y 2 =20. ∴ x yx +y x y =±25. 5. B [解析] ∵ x+y= 5-1 2 + 5+1 2 =5 ,xy= 5-1 2 × 5+1 2 =1 , ∴ 原式=(x+y)2-xy=(5)2- 1=5-1=4. 6. 288 [解析] ∵ x= 3-2 3+2 ,y= 3+2 3-2 ,∴ x=5-26,y=5+26. ∴ x-y=-46.∴ 原式=3(x- y)2=3×(-46)2=288. 7. ∵ x=1-2,y=1+2, ∴ x-y=-22,xy=-1. ∴ 原式=(x-y)2+xy-2(x-y)= (-22)2+(-1)-2×(-22)= 7+42. 8. (1) ∵ a=2-2,b=2+2, ∴ a+b=2- 2+2+ 2=4,ab= (2-2)×(2+2)=4-2=2. ∴ a2+b2=(a+b)2-2ab=42-2× 2=12. (2) ∵ ab=2, ∴ a2b2+ab+ 2=22+2+ 2= 6+2. 9. ∵ 11-x2+ 2+x2=5, ∴ ( 11-x2+ 2+x2)2=25. ∴ 11-x2· 2+x2=6. ∴ (11-x2)· 2+x2+(2+x2)· 11-x2=( 11-x2+ 2+x2)· 2+x2· 11-x2=5×6=30. 10. B [解析] 当x=2+3,y=2- 3时,x+y=4,xy=(2+ 3)×(2- 3)=1.∴ y x + x y = x2+y2 xy = (x+y)2 xy -2=16-2=14. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 56 130 　　　专题特训（十四）　二次根式非负性的应用 ▶ “答案与解析”见P64 类型一 根据二次根式的非负性化简 1. 若a<b,且ab≠0,则化简二次根式 -a3b 的结果是 ( ) A. -a -ab B. -a ab C. a ab D. a -ab 2. 化简-a 1a 的结果是 ( ) A. a B. - a C. - -a D. -a 3. 计算:(4-x)2+ (x-5)2= . 4. 解方程:|x-3|+ x-4=x. 5. 已 知 y> 2x-1+ 1-2x +2,化 简: y2-4y+4 2-y +3-2x. 类型二 根据二次根式的非负性求值 6. 已 知 y= x-3+ 3-x +x+3,则 x+y= . 7. 若y= 1-2x+ (x-1)2+ 2x-1,则 (x+y)2024= . 8. 已知非零实数a、b满足|2a-4|+|b+2|+ (a-4)b2+4=2a,则a+b= . 9. 若y· 2x-2+ 1-x=y+2,求 y2+5x 的值. 10. 已知实数a、b满足a= b 2-9+ 9-b2+6 b-3 , 求|a-2b|- 12ab的值. 11. 已 知 2x+y-3 + x-2y-4 = a+b-2 024· 2 024-a-b.求: (1) a+b的值. (2) 4x+y2024的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级下 131 12. (易错题)已知|x-1000|+(998-x)2= 2000,y= m+8+ m-1+ 1-m,求 y-x的平方根. 答案讲解 类型三 运用二次根式的非负性解决综合题 13. 已知|6-3m|+(n-5)2=3m- 6- (m-3)n2,求m-n的值. 答案讲解 14. ★已 知 实 数 m、n、p 满 足 等 式 m-199+n · 199-m-n = 3m+5n-2-p + 2m+3n-p, 求p的值. 15. 若a、b是一等腰三角形的两边长,且满足等 式23a-6+3 2-a=b-4,试求此等腰 三角形的周长. 16. 已知a、b、c 满足等式|a- 7|+(c- 42)2= b-5+ 5-b. (1) 求a、b、c的值. (2) 判断以a、b、c为三边长能否构成三角 形.若能,请求出此三角形的面积;若不能, 请说明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第12章　二次根式