江苏省盐城市五校联考2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

第 1 页 共 4 页 2024/2025学年度第二学期 联盟校期中学情调研检测高一年级数学试题 注意事项 （总分 150 分 考试时间 120 分钟） ： 1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置 ，否则不给分． 2.答题前 ，务必将自己的姓名、准考证号用 0．5 毫米黑色墨水签字笔填写在 试卷及答题纸上． 3.作答非选择题时必须用黑色字迹 0.5 毫米签字笔书写在答题纸的指定位置 上 ，作答选择题必 须用 2B 铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑 。如需改动 ， 请用橡皮擦干净后 ，再选涂其 它答案 ，请保持答题纸清洁 ，不折叠、不破损 。 第Ⅰ卷 (选择题 共 58 分) 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂答案选项） 1. sin17 cos43 cos17 sin 43     （ ） A． 1 2 B． 2 2 C． 3 2 D． 2 6 4  2.复数 z = cos π 6 + isin π 6 ,则复数 z 的虚部是 （ ） A． 3 2 i B． 1 2 i C． 3 2 D． 1 2 3. 已知 1e  ， 2e  是两个不共线的向量，向量 1 22a e e     ， 1 2b ke e     ．若� ∥ � ，则 k  （ ） A．－2 B． 1 2  C． 2 D． 12 4. 在 ABC 中，已知角A，B的对边分别为�,b ， π 4 A  ， π 6 B  ， 2a  ，则b （ ） A． 2 B． 3 C． 2 2 D．2 3 5.已知方程3 2 10 0x x   的解在   , 1k k k Z 内，则 k  （ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 第 2 页 共 4 页 6．如图，平行四边形 ABCD中，E是 AD的中点，F 在线段 BE上，且 3BF FE   ，记 BA a   ， BC b   ，则CF   （ ） A． 2 1 3 3 a b  B． 2 2 3 3 a b  C． 3 5 4 8 a b  D． 3 1 4 3 a b  7．已知 sin(α − β) = 1 3 ，sinαcosβ = 1 2 ，则 cos(2α + 2β) = （ ） A． 2 9 B． 1 9 C． − 19 D． − 2 9 8．8.几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.底与腰之比为黄金分割比 （ 5−1 2 ≈0.618）的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为36°的等腰三角形.例如中国国 旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的.如图，将五角星的五个顶 点相连，记正五边形 ABCDE的边长为 a，正五边形�1�1�1�1�1边长为 b，则 � � 的值是（ ） A． 5−1 4 B．3+ 5 2 C．3− 5 2 D． 5−2 4 （第 8题图） 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，请在答题 纸的指定位置填涂答案选项） 9. ABC 的内角 A， B，C的对边分别为 a，b，c，下列说法正确的是 （ ） A．若 ABC 为钝角三角形，则 2 2 2a b c  B．若 A B ，则 sin sinA B C．若 30 , 4, 3A b a   ，则 ABC 有两解 C A E F D B 第 3 页 共 4 页 D． cos cos a b B A  ，则 ABC 为等腰三角形或直角三角形 10.下列各式的值为 3的是（ ） A． tan95 tan35 3tan95 tan35     B． sin15 cos15 sin15 cos15       C． 2sin15 2cos15  D． 2 2sin 15 cos 15   11.如图，设 x 轴和 y轴是平面内相交成θ角的两条数轴，其中θ ∈ (0, π), �1 , �2 分别是与 x 轴和 y轴正方向同向的单位向量，若向量�� = � = ��1 + � �2 ，则把有序数对（�, �）叫做 向量��在夹角为θ的坐标系 xoy中的坐标，记为� = (�, �)(�)，则下列结论正确的是 （ ） A.若� = (2,1)(2�3 ) ，则 � = 3 B.若� = (1,2)(�3)， � = ( − 1,1)(�3)则 � 在� 上的投影向量为1 2 � C.若 � �1 −5 �2 (� ∈ �)的最小值为 5 3 2 ，则θ = π 3 D.若对任意的λ ∈ −1,1 ，恒有 2�1 + ��2 ≥ �1 + 2�2 ,则θ ∈ [ 2π 3 , π) 第Ⅱ卷 (非选择题 共 92 分) 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12.在∆���中，已知� = 2,� = 3,� = 150°，则�∆���=__________ 13. 已知 是第二象限角，且 π 1sin 6 3       ，则 πsin 2 3       ______． 14.若平面向量� ， � ， � ，满足 � = 2， � = 3， � = 1，且（� − c ) ∙ (b − c ) = 5 ,则 cos � − � ，� + � 的最小值是__________ 四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分、解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤） 15.（本小题满分 13 分）实数�取何值时，复数� = (�2 − 3� − 4) + (�2 − 5� − 6)i是： （1）实数？ （2）虚数？ （3）0 ？ （第 11题图） 第 4 页 共 4 页 16.（本小题满分 15分）已知向量 ( 4,2)a    ， (1, 4)b    ． （1）若    3a b a b    ，求 的值； （2）若  3 2,c     ，向量 a b  与c的夹角为锐角，求  的取值范围． 17.（本小题满分 15分）若 ，  均为锐角，且 2sin 3   . （1）求 tan 2 的值； （2）若   3cos 5     ，求 cos 的值. 18.（本小题满分 17分）在∆���中，角�，�，�的对边分别为�，�，�，已知 2� − � = 2�����. （1）求角 B； （2）若�2 − �2 + �2 − 3� = 0，且边 AC边上的中线长 BD= 7 2 ，求∆���的面积； （3）若∆���是锐角三角形，求 �+� � 的范围. 19.(本小题满分 17分）定义向量�� = (�, �)的“伴随函数”为�(�) = ����� + �����； 函数 f(x) = ����� + �����的“伴随向量”为�� = (�, �) （1）求函数 �(�) = 2���(� + � 3 ) 的“伴随向量”��的坐标； （2）在∆���中，角�，�，�的对边分别为�，�，�，若函数 h(x)的“伴随向量”为�� = (0,1)， 且已知� = 4,h(A) = 3 5 （i）求∆���周长的最大值； （ii）求 �� + �� − �� ∙ �� 的取值范围. ID:3630971 第 1 页 共 2 页 2024-2025学年度联盟校期中学情调研检测 高一年级数学答题纸 班级：姓名： 考场： 注 意 事 项 1. 答题前请将姓名、班级、考场、座 号和准考证号填写清楚。 2. 客观题答题,必须使用2B铅笔填涂, 修改时用橡皮擦干净。 3. 主观题必须使用黑色签字笔书写。 4. 必须在题号对应的答题区域内作答, 超出答题区域书写无效。 5. 保持答卷清洁完整。 正确填涂 缺考标记 贴条形码区 1 A B C D 2 A B C D 3 A B C D 4 A B C D 5 A B C D 6 A B C D 7 A B C D 8 A B C D 9 A B C D 10 A B C D 11 A B C D 请勿在此区域作答 一.单项选择题(40分) 二.多项选择题(18分) 三.填空题(15分) 12 13 14 四.解答题 15 (13分） 16 (15分） ID:3630971 第 2 页 共 2 页 超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17 (15分） 18 (17分） 19 (17分） 2024/2025学年度第二学期 联盟校期中学情调研检测高一年级 数学试题参考答案及评分细则 一、单项选泽题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂答案选项) 1 2 3 5 6 7 8 C D A A B C B B 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请在答题 纸的指定位置填涂答寮选项) 9 10 11 BCD AC ABD 三、填空题（本大题共3小题。每小题5分，共15分） 12 3 13.- 4v2 9 14 5 15 四、解答题（本大题共5小题，共77分、解答应写出必要的文字说明、证明过程或演哪 步骤) 15.(本小题满分13分) 解：(1)当m2-5m-6=0,即m=6或-1时，复数z是实数4 分 (2)当m2-5m-6≠0，即m≠6且m≠-1时，复数z是虚数8 分 (3)当{m2-3m-4=0,即m=-1时，复数z是0l3分 m2-5m-6=0 第1页共6页 16.(本小题满分15分) 解(1)若（ā-36）1（ā+b),则（ā-36）（ā+b)=0, .a+(1-32a.b-362=0, 2分 a=(-4,2),i=1-4) 元=20，万=17，.b=-4-8=-12,5分 .202-12(1-32)-3×17=0, a= 8 7分 (2)向量a+万与c的夹角为锐角，则（石+b)C>0,8分 =(-4,2),b=1-4): a+b=(-3,-2),又c=(3-2,-4) 6 -33-2)+2μ>0，∴μ<5， 13分 又当a+b与c的夹角为0°不符题意， ∴.3u≠-2(3u-2), 4 所以4的取值范国为(0，合寻号，今。 15分 17.(本小题满分15分) 解(1)a,B均为锐角，且sina= 2 3 所以cosa=V-in'a-5 。,。。。。。。。。。,。。4.4.4。个 第2页共6页 所以tana= sina 2 25 cosa 5 4分 故tam2a= 2tam=4W5;… .7分 1-tan'a (2)由于a,B均为锐角，所以a+B∈(0，π)， 由于cos(a+)=-}所以m(e+p）子： 9分 A=cwe+p叭-a-csa+jesa+smle+B)sina-专x5+号-83 15 4……15分 18.(本小题满分17分) 解：(1)在△ABC中，因为2a-c=2 bcosC,所以根据正弦定理得2sinA-sinC=sinBcosC 又A+B+C=π得2sin(B+C)-sinC=sinBcosC 所以2 cosBsinC=sinC 因为C∈(0，) 所以sinC≠0 所以cosB= 2 3分 又B∈(0，) 所以B= 5分 (2)由a2-b2+c2-3c=0,并结合余弦定理得3 1 解得a=3.7分 a 2 又BD是边AC边上的中线， 所以由向量加法平行四边形法则知BD=BA+BC),等式两边平方得 B+3到BA-40=0,解得c=BA=5（负舍)9分 所以△M8C的面积548c=x5×3x号=59 10分 (2)因为△MBC是锐角三角形，且由(1)知B=号 第3页共6页 所以 0<A<「0<A<2解得艺<A<号 2即 0<c<0<g-A< 12分 3 b+c sinB+sinC 3,5 由正弦定理得： sinA sinA sinA -9 + 2 31+2cos22-1 2 1 A )+2 2sin cos =1+1 十l4分 2 tan? 因号<A<登所品<登<号 所2-5<tan吃<1 所<9+<V3+2 2 、2tan2 2 即+的范围为(+1，√3+2) 17分 2 19.(本小题满分17分) 解(1)f=2simc+) =siX+V3c0sX3分 所以函数f(x)=2sin(x+)的“伴随向量”0M=(1,V3). 5分 (2)(i)因为函数h(x)的“伴随向量”为0M=(0,1), 所以h(x)=cosx 又h(A=子，所以cosA=是 6分 法一：又A∈(0，π) sinA=5 第4页共6页 因为a=4 所以在ABG中由正弦定理品二品。=品C得b=5nBc=5nC =c sinA sinB △ABC的周长CAABC=a+b+c=4+5sinB+5sinC =4+5sinB+5sin(It-A-B) =4+5sinB+5sin(A+B) =4+5sinB+5sinAcosB 5cosAsinB 4 3 =4+5sinB+5×5cosB+5×亏sinB =4+4(2sinB cosB) =4+4W5sinB+p),其中tanp- 故△ABC周长的最大值为4十4V5 …11分 法二 在△ABC中由余弦定理c0sA=b+:2是，得b2+c2-16=6c 2bc b+o2-2bc-16-60,即6+02-16=- 58分 又bc≤（生）2 所以6+c)2-16=1≤普（生）2 解得b+c≤4V5,当且仅当b=c时取等号. 10分 故△ABC周长的最大值为4+4W511分 m由0知b2+c2-16=g,所以b2+2=管+1622bc 所以0<bc≤20，当且仅当b=C时取等号13分 AB.AC cosA.be=bc 而丽+Ad-AB.Ac-aE+AG2-bc=、b2+c2+bc-bc 第5页共6页 12 3 16+ 5 bc- 3 3 =24+bc 令t=4+bce(2,4, AB +AC-AB.AC=-t2+2t+4[-44) 即AB+AC-AB·AC的取值范围为[-4,4)17分 第6页共6页