奇偶数列问题、插项问题、最值问题、新定义问题-2025届高三数学三轮冲刺高频考点复习讲义

2025届高三三轮冲刺高频考点复习讲义 数列：奇偶数列问题、插项问题、最值问题、新定义问题 高频考点分析 1.奇偶数列求和：已知，其中的前项和为，的前项和为，的前项和为. 思路一：分类讨论 (1) (2)若为偶数，则 (3)若为奇数，则 思路二：并项求和 (1)记 (2) (3)若为偶数，则 (4)若为奇数，则 2.常见奇偶数列模型 (1)若，则，相减得. 当为奇数时，数列为以为首项，为公差得等差数列. 当为偶数时，数列为以为首项，为公差得等差数列. (2)若，则，相除得. 当为奇数时，数列为以为首项，为公差得等比数列. 当为偶数时，数列为以为首项，为公差得等比数列. (3)若，则直接按奇偶分开讨论. 3.数列插项问题 （1）插项的核心：插入的项数与插入的数据类型. （2）常见插项问题 ①在和之间插入个数，使这个数构成等差数列， 记这个等差数列的公差为，则，整理的. ②在和之间插入个数，使这个数构成等比数列， 记这个等比数列的公比为，则，整理的. ③在和之间插入个，组成新数列 求这个数列的前项和，需分清和各有多少项，分组求和. 4.新定义问题的方法和技巧： （1）解决新定义问题的基本方法 ①仔细阅读定义：逐字逐句理解题目给出的新定义，确保不遗漏任何细节 ②寻找熟悉元素：将新定义与已有知识建立联系，寻找相似结构 ③具体化理解：通过举例或特例来验证对新定义的理解是否正确 ④分步验证：按照定义的步骤逐步操作，确保每一步都符合要求 （2）实用技巧 ①符号标记法：用不同符号或颜色标记定义中的关键条件 ②类比思维：思考类似概念在传统知识中是如何处理的 ③逆向验证：从结论反推，检查是否符合新定义的要求 ④边界测试：考虑极端情况或边界条件是否满足定义 5.求数列最值的方法 （1）二次函数法 （2）基本不等式法 （3）三角函数法 （4）判别式法 （5）分离常数法 （5）函数单调性法（求单调性的方法有导数法、作差法、作商法、换元法） 实战演练一：奇偶数列问题 1．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列，，其中是各项均为正数的等比数列，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)且，求数列的前2n项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等比数列的公比为q，因为， 所以，所以，所以，所以， 所以. （2）n是奇数时，；n是偶数时， ∴， 所以 2．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知数列满足，记． (1)证明：数列是等差数列． (2)求的通项公式． (3)求的前20项和． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1），故， 故，所以数列是公差为的等差数列. （2）且数列是公差为的等差数列， 故 （3）故 所以的前20项和： . 3．（24-25高二上·重庆北碚·期末）已知数列为等差数列，记分别为数列的前项和．． (1)求的通项公式； (2)求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设的公差为． 可得． 由， 解得. 所以． （2） ． 4．（24-25高二下·云南昆明·开学考试）已知各项都不相等的等差数列，，又，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为为各项都不相等的等差数列，所以设数列的公差为， 又因为，，，成等比数列. 所以，解得， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）可得， 所以 . 5．（2025·四川泸州·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，若. (1)求数列的通项公式； (2)设， （ⅰ）试比较与的大小，并说明理由； （ⅱ）若数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）当时，由题意，； 当时，，两式相减可得， 所以，即， 因为，所以. （2）因为，所以； 当为奇数时，；当为偶数时，； 令，则，即为增函数，则当时，； （ⅰ）因为，所以； （iⅰ）当为奇数时， ， 因为，所以 ， 因为，所以； 当为偶数时， ， 因为，所以 ， 因为，所以； 综上，. 6．（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知等比数列是递减数列，的前项和为，且、、成等差数列，，数列满足，， (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由题意可得，则 因为数列是递减的等比数列，解得， 所以，， 因为，所以，， 因为，则，所以，， 故. （2）当为奇数时，，令， 则，所以，， 两个等式作差可得 ，化简得； 当为偶数时， 令， 故. 7．（2025·浙江嘉兴·三模）记为数列的前项和，已知，，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，若对任意，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）时，，解得或，因为，所以， 时，，得， 因为，所以，又， 故数列是首项为3，公差为2的等差数列， 所以数列的通项公式为； （2）解法一：由，所以， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 所以， 因为对任意的，成立， 所以，当为奇数时，即，所以， 不等号的右边可看作关于的二次函数，对称轴为， 因为为奇数，所以时，，则 当为偶数时，，所以， 同理可得，因为为偶数，所以时，，则， 综上，. 解法二：由， 当为偶数时， . 当为奇数时， ， 所以（下同解法一） 解法三：因为对任意的，成立， 则，即求的最小值，令， 当为奇数时， 则，所以最小值一定在为奇数时取到， 当为奇数时， ， 当时，，当时，， 所以当为奇数时，， 则的最小值为， 所以. 8．（2025·四川自贡·二模）已知数列的前项和，数列是正项等比数列，满足，. (1)求，的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为， 所以时. 当时，， 所以， ，满足，所以， 数列是正项等比数列，. 所以公比，. （2）由（1）知， ， . 实战演练二：插项问题 1．（2024·广东广州·二模）已知等差数列的前项和为，且为等差数列． (1)求的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为等差数列中，，又， 所以，即①， 因为为等差数列，所以， 令时，，即，则②， 结合①②，解出，则， 所以的通项公式为． （2）由题设得，即， 所以①， 则②， 由①-②得：， 所以， 因为，所以，所以，即证． 2．（2023·广东广州·一模）已知公差不为0的等差数列中，，是和的等比中项. (1)求数列的通项公式： (2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，求的值. 【答案】(1) (2)2101 【详解】（1）设数列的公差为， 因为是和的等比中项， 所以，即， 因为 所以或（舍） 所以， 所以通项公式 （2）由（1）得， 因为与（）之间插入， 所以在数列中有10项来自，10项来自， 所以 3．（2024·四川泸州·二模）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 当时，，所以， 当时，， 所以，整理得， 所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列， 所以数列的通项公式为; （2）因为， 由题意得：，即， 所以. 4．（2024·四川泸州·二模）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)在，与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 当时，解得， 当时， 所以，即， 所以， 即数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）因为，， 所以， 所以，则， 所以 . 5．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）已知等比数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前n项和，求证：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）法一：由，则时，故，则， 所以是公比为2的等比数列，又当时，解得， 所以； 法二：设公比为q，则，解得（舍）或， 由，则，所以； （2）因为，所以，则， ， ， 所以， 所以. 6．（23-24高二上·广东江门·期末）已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解法一：设等比数列的公比为， ∵， ∴时，， 时，. ∴，∴， ∴，∴， ∴. 解法二：∵， ∴， 两式相减得： 即. ∵为等比数列，设公比为，则. ∵， ∴时，，即， ∴ ∴. ∴. （2）由（1）得，由题得， ∴. ∴， ， 两式相减得 . 所以. 7．（24-25高三上·浙江杭州·期末）已知等比数列的前n项和为， (1)求数列的通项公式; (2)在数列的相邻项与之间插入k个相同的数，使其与原数列构成新数列，设为数列的前n项和，求 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得， 两式相减得， 即，， 得等比数列的公比， 又当时，，所以，所以 （2）数列为：3，，，1，1，，，，， 以如下划分：3，，，1，1，，，，，，得项数， 当时共有项数， 当时共有项数， 所以 . 8．（23-24高二下·云南大理·期中）已知等比数列的公比，满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由 因为，解得或（舍去）， 所以，所以数列的通项公式为； （2）因为，，由题意得：， 即，所以． 9．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知数列的前项和为． (1)证明：数列为等比数列， (2)在和中插入个数构成一个新数列，其中插入的所有数依次构成首项和公差都为2的等差数列．求数列的前30项和． 【答案】(1)证明见解析； (2)799 【详解】（1）证明：数列中，由，得， 两式相减得：，整理得， 由，，得，则， 因此，，所以数列为等比数列. （2）由（1）知，等比数列的首项为2，公比为2，则，即， 可把新数列：，2，，4，6，，8，10，12，，…看作为第一组数，个数为2； 看作第二组数，个数为3个，则第组数的个数为，前组数的个数和为， 即，当时，， 因此数列前30项为： ， 所以 . 实战演练三：最值问题 1．（24-25高二下·四川乐山·阶段练习）已知函数，数列满足 (1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求； (3)对于（2）中的，若存在，使不等式成立，求实数k的最大值． 【答案】(1)证明见解析， (2) (3) 【详解】（1）因为函数，所以， 则，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则有，即， 故数列的通项公式为； （2）由（1）可知：， 所以 （3）由（2）可知：，所以化简为， 因为，所以由，得， 设，则， 由二次函数性质可知：当时，函数是减函数， ，于是有时，， 所以，因此， 存在，使得成立， 则有，因此实数k的最大值． 2．（2025·辽宁葫芦岛·一模）设数列是公差大于1的等差数列，，满足，记，分别为数列，的前项和，且，． (1)求的通项公式； (2)若存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），，解得，； 由，可知，； ，， 又， ， 即，解得或（舍去）， ． （2）由（1）知： 可知，，解得， 所以为等差数列，故， 存在，有即 又 所以 故，整理解得． 所以的取值范围是. 3．（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图象上． (1)求数列的通项公式； (2)设，是数列的前项和，存在，使成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设二次函数且，则，故， 所以，又函数经过坐标原点，则，故， 又点均在函数的图象上，所以， 当，则，故，显然也满足， 所以； （2）由（1）， 所以， 由在上能成立， 当为奇数时，因为，所以； 当为偶数时，因为，所以； 存在，使能成立，只需或， 即. 4．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知数列的前n项和满足. (1)求的通项公式； (2)设数列满足，记数列前n项和为，若存在使得成立，求λ的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，当时，，得， 当，时，，， 两式相减，得，即， 而，则，， 所以是以1为首项，公比的等比数列， 故； （2）， 所以， ， 两式相减，得 ， 所以， 由，得，， 即存在使成立， 因为随着增大，在减小， 所以当时，， 故求的取值范围是. 5．（24-25高二上·河南开封·期末）已知是等差数列，且， (1)求的通项公式; (2)设数列，若，求满足条件的最大整数 【答案】(1) (2) 【详解】（1）是等差数列，设公差为d，由得，， 由得，，， 所以 （2）， 则， 由，解得，，即， 所以满足条件的最大整数n为 6．（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）已知数列的前项积，数列的前项和为，，满足. (1)求数列、的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）当时，， 当时，满足上式，所以，，. 因为，当时，， 两式作差得， 即，所以，， 所以，当时，，，，，， 上述等式全部相乘得，所以，， 也满足，所以，对任意的，. （2）因为. 所以，. 由已知，即，解得， 因此，实数的取值范围是. 7．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）已知数列的前n项和为数列满足， (1)求数列的通项公式； (2)令求数列的前n项和； (3)若， 存在正整数n使得，成立，求k的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）由得：， 两式相减得：， 所以数列是等比数列，公比为， 由于，即， 又因为，所以， 即数列是等差数列上，公差为，首项为， 所以, 即; （2）由于， 则， 利用错位相减法，则 ， 上面两式相减得：， 则， 即； （3）由于，所以数列是递增数列，即， 因为当， 存在正整数n使得，成立， 则，由,变形得：， 因为，由基本不等式可得，当且仅当时取等号， 所以有， 则有. 8．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知数列满足，；数列满足，. (1)求，的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若满足不等式的正整数的个数为3，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1），时， ，所以， 而， 综上所述的通项公式为， 因为，，所以是首项为2，公比为2的等比数列，从而； （2）由题意，所以， 所以， 所以； （3）令，则， 从而，注意到， 因为满足不等式的正整数的个数为3， 所以当且仅当的取值范围. 实战演练四：新定义问题 1．（24-25高二下·江西赣州·期中）已知数列{an}满足 定义 为{an}的特征方程，特征方程的根和数列通项公式的形式密切相关.设特征方程的两个根为x₁，x₂，若x₁≠x₂，则数列{an}的通项公式为 若 则数列{an}的通项公式为 其中A，B均为实数. (1)若数列{an}满足 且 求{an}的通项公式； (2)若数列{an}满足 且 求{an}的通项公式； (3)若数列{an}满足 且 记 为数列{bn}的前n项和，证明： 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）的特征方程为，解得. 所以的通项公式为. 由题意可得解得 所以的通项公式为. （2）的特征方程为，解得. 所以的通项公式为. 由题意可得解得 所以的通项公式为. （3）证明：的特征方程为，解得， 所以的通项公式为. 由题意可得解得 所以的通项公式为. 当时，，满足. 当时，. . 综上，. 2．（2025·湖北·模拟预测）已知是无穷正整数数列，定义操作为删除数列中除以余数为的项，剩下的项按原先后顺序不变得到新数列.若，，进行操作后剩余项组成新数列，设数列的前项和为. (1)求； (2)设数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，可知（满足除以3余数为1），当时，为3的倍数， 进行操作，即删除，剩余， 则，可得， 所以. （2）由（1）可知， 则， 所以数列的前项和. 3．（24-25高二下·黑龙江·阶段练习）若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列满足，且． (1)证明：数列是“平方递推数列”； (2)设数列的前项乘积为，即． ①求； ②若，数列的前项和为，求使得的的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)① ；② 【详解】（1）由题知， 所以数列是“平方递推数列”． （2）（i）由（1）知，又，有，同时， 由，得， 因此数列是等比数列，首项为，公比为， 所以， 因此． （ii）由（i）知， ； 由，即，， 因为对任意的，，所以数列是递增数列， 又知，当时，，当时，， 因此使得的的最小值为． 4．（24-25高二下·山西太原·阶段练习）人教A版选择性必修二第8页中提到：设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，例如，． (1)求，，的值； (2)数列的通项公式为，设该数列的前n项和为，是否存在整数m，使对任意正整数n都成立？若存在，求m的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，m的最小值为8 【详解】（1）因为不超过正整数6且与6互素的正整数只有1，5，所以； 不超过8且与8互素的正整数有1，3，5，7，所以； 正偶数与不互素，所有正奇数与互素，比小的正奇数有个， 所以. （2）由（1）得， 则， ， 两式相减得： ， 因此，而，， 所以存在整数m，使对任意正整数n都成立，且m的最小值为8． 5．（24-25高二下·上海青浦·期中）对于无穷数列与，记，若同时满足条件：①均为严格增数列；②且，则称与是无穷互补数列． (1)若，判断与是否为无穷互补数列，并说明理由； (2)若且与是无穷互补数列，求数列的前512项的和. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) 【详解】（1）因为，，∴， 即，不满足②， 因此与不是无穷互补数列. （2）因为，所以， 因为与是无穷互补数列， 所以数列的前512项是的所有整数除去之后剩下的整数， 所以数列的前512项的和为： . 6．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若数列的前项和，满足，其中、，则称数列是数列. (1)若，判断是否为数列； (2)若数列是数列，且，求数列的通项公式； (3)在（2）成立的条件下，若数列是数列，，数列的前项和，且，求证：. 【答案】(1)是数列 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）若，则，且，所以，数列是以首项和公比都为的等比数列， 则，所以， 且当，时，，， 即数列满足，所以是数列. （2）若数列是数列，设数列的前项和，则有， 当时，，， 两式相减得， 又，所以， 即， 整理得， 又，所以，所以是等差数列， 因为，，所以，，解得， 所以，数列的公差为，所以. （3）若数列是数列，所以，所以，. 当时，，，则，解得， 当时，（ⅰ），（ⅱ）， （ⅰ）－（ⅱ）可得， 因为，所以， 所以，整理可得， 又，所以首项为、公比为的等比数列，可知， 由（2）知，则， ，所以得证. 7．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）若无穷数列满足：对于，，其中为常数，则称数列为“数列”. (1)若数列为“数列”，且，，设，求数列的前项和； (2)若数列为“数列”，且，.求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意得，数列是首项为1，公差为2的等差数列， 故，所以， 故， 所以 （2）由题意可知：，且， 则数列是以首项为，公差为1的等差数列， 可得，即. 因为， 若，则； 若，则； 若，则， 可得； 综上所述：； 8．（2025·贵州·二模）对于数列，记区间内偶数的个数为，则称数列为的偶数列． (1)若数列为数列的偶数列，求． (2)若数列为数列的偶数列，证明：数列为等比数列． (3)在（2）的前提下，若数列为等差数列的偶数列，，，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3) 【详解】（1）在区间内的偶数为，共13个， 所以. （2）在区间内的偶数为，则． 于是，， 所以是首项为2，公比为2的等比数列. （3）依题意，等差数列的公差， 则，， 由（2）知，，则， 令数列的前项和为，则， 于是， 两式相减得：， ， 因此，而数列前项和为， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高三三轮冲刺高频考点复习讲义 数列：奇偶数列问题、插项问题、最值问题、新定义问题 高频考点分析 1.奇偶数列求和：已知，其中的前项和为，的前项和为，的前项和为. 思路一：分类讨论 (1) (2)若为偶数，则 (3)若为奇数，则 思路二：并项求和 (1)记 (2) (3)若为偶数，则 (4)若为奇数，则 2.常见奇偶数列模型 (1)若，则，相减得. 当为奇数时，数列为以为首项，为公差得等差数列. 当为偶数时，数列为以为首项，为公差得等差数列. (2)若，则，相除得. 当为奇数时，数列为以为首项，为公差得等比数列. 当为偶数时，数列为以为首项，为公差得等比数列. (3)若，则直接按奇偶分开讨论. 3.数列插项问题 （1）插项的核心：插入的项数与插入的数据类型. （2）常见插项问题 ①在和之间插入个数，使这个数构成等差数列， 记这个等差数列的公差为，则，整理的. ②在和之间插入个数，使这个数构成等比数列， 记这个等比数列的公比为，则，整理的. ③在和之间插入个，组成新数列 求这个数列的前项和，需分清和各有多少项，分组求和. 4.新定义问题的方法和技巧： （1）解决新定义问题的基本方法 ①仔细阅读定义：逐字逐句理解题目给出的新定义，确保不遗漏任何细节 ②寻找熟悉元素：将新定义与已有知识建立联系，寻找相似结构 ③具体化理解：通过举例或特例来验证对新定义的理解是否正确 ④分步验证：按照定义的步骤逐步操作，确保每一步都符合要求 （2）实用技巧 ①符号标记法：用不同符号或颜色标记定义中的关键条件 ②类比思维：思考类似概念在传统知识中是如何处理的 ③逆向验证：从结论反推，检查是否符合新定义的要求 ④边界测试：考虑极端情况或边界条件是否满足定义 5.求数列最值的方法 （1）二次函数法 （2）基本不等式法 （3）三角函数法 （4）判别式法 （5）分离常数法 （5）函数单调性法（求单调性的方法有导数法、作差法、作商法、换元法） 实战演练一：奇偶数列问题 1．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列，，其中是各项均为正数的等比数列，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)且，求数列的前2n项和. 2．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知数列满足，记． (1)证明：数列是等差数列． (2)求的通项公式． (3)求的前20项和． 3．（24-25高二上·重庆北碚·期末）已知数列为等差数列，记分别为数列的前项和．． (1)求的通项公式； (2)求． 4．（24-25高二下·云南昆明·开学考试）已知各项都不相等的等差数列，，又，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 5．（2025·四川泸州·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，若. (1)求数列的通项公式； (2)设， （ⅰ）试比较与的大小，并说明理由； （ⅱ）若数列的前项和为，求证：. 6．（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知等比数列是递减数列，的前项和为，且、、成等差数列，，数列满足，， (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 7．（2025·浙江嘉兴·三模）记为数列的前项和，已知，，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，若对任意，，求实数的取值范围. 8．（2025·四川自贡·二模）已知数列的前项和，数列是正项等比数列，满足，. (1)求，的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求. 实战演练二：插项问题 1．（2024·广东广州·二模）已知等差数列的前项和为，且为等差数列． (1)求的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，求证：． 2．（2023·广东广州·一模）已知公差不为0的等差数列中，，是和的等比中项. (1)求数列的通项公式： (2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，求的值. 3．（2024·四川泸州（文）·二模）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求． 4．（2024·四川泸州（理）·二模）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)在，与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若，求数列的前项和． 5．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）已知等比数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前n项和，求证：. 6．（23-24高二上·广东江门·期末）已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若数列满足，求数列的前项和. 7．（24-25高三上·浙江杭州·期末）已知等比数列的前n项和为， (1)求数列的通项公式; (2)在数列的相邻项与之间插入k个相同的数，使其与原数列构成新数列，设为数列的前n项和，求 8．（23-24高二下·云南大理·期中）已知等比数列的公比，满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求的值． 9．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知数列的前项和为． (1)证明：数列为等比数列， (2)在和中插入个数构成一个新数列，其中插入的所有数依次构成首项和公差都为2的等差数列．求数列的前30项和． 实战演练三：最值问题 1．（24-25高二下·四川乐山·阶段练习）已知函数，数列满足 (1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求； (3)对于（2）中的，若存在，使不等式成立，求实数k的最大值． 2．（2025·辽宁葫芦岛·一模）设数列是公差大于1的等差数列，，满足，记，分别为数列，的前项和，且，． (1)求的通项公式； (2)若存在，使得，求实数的取值范围． 3．（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图象上． (1)求数列的通项公式； (2)设，是数列的前项和，存在，使成立，求的取值范围. 4．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知数列的前n项和满足. (1)求的通项公式； (2)设数列满足，记数列前n项和为，若存在使得成立，求λ的取值范围. 5．（24-25高二上·河南开封·期末）已知是等差数列，且， (1)求的通项公式; (2)设数列，若，求满足条件的最大整数 6．（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）已知数列的前项积，数列的前项和为，，满足. (1)求数列、的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若使成立，求实数的取值范围. 7．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）已知数列的前n项和为数列满足， (1)求数列的通项公式； (2)令求数列的前n项和； (3)若， 存在正整数n使得，成立，求k的取值范围. 8．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知数列满足，；数列满足，. (1)求，的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若满足不等式的正整数的个数为3，求的取值范围. 实战演练四：新定义问题 1．（24-25高二下·江西赣州·期中）已知数列{an}满足 定义 为{an}的特征方程，特征方程的根和数列通项公式的形式密切相关.设特征方程的两个根为x₁，x₂，若x₁≠x₂，则数列{an}的通项公式为 若 则数列{an}的通项公式为 其中A，B均为实数. (1)若数列{an}满足 且 求{an}的通项公式； (2)若数列{an}满足 且 求{an}的通项公式； (3)若数列{an}满足 且 记 为数列{bn}的前n项和，证明： 2．（2025·湖北·模拟预测）已知是无穷正整数数列，定义操作为删除数列中除以余数为的项，剩下的项按原先后顺序不变得到新数列.若，，进行操作后剩余项组成新数列，设数列的前项和为. (1)求； (2)设数列满足，求数列的前项和. 3．（24-25高二下·黑龙江·阶段练习）若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列满足，且． (1)证明：数列是“平方递推数列”； (2)设数列的前项乘积为，即． ①求； ②若，数列的前项和为，求使得的的最小值． 4．（24-25高二下·山西太原·阶段练习）人教A版选择性必修二第8页中提到：设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，例如，． (1)求，，的值； (2)数列的通项公式为，设该数列的前n项和为，是否存在整数m，使对任意正整数n都成立？若存在，求m的最小值；若不存在，请说明理由． 5．（24-25高二下·上海青浦·期中）对于无穷数列与，记，若同时满足条件：①均为严格增数列；②且，则称与是无穷互补数列． (1)若，判断与是否为无穷互补数列，并说明理由； (2)若且与是无穷互补数列，求数列的前512项的和. 6．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若数列的前项和，满足，其中、，则称数列是数列. (1)若，判断是否为数列； (2)若数列是数列，且，求数列的通项公式； (3)在（2）成立的条件下，若数列是数列，，数列的前项和，且，求证：. 7．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）若无穷数列满足：对于，，其中为常数，则称数列为“数列”. (1)若数列为“数列”，且，，设，求数列的前项和； (2)若数列为“数列”，且，.求证：. 8．（2025·贵州·二模）对于数列，记区间内偶数的个数为，则称数列为的偶数列． (1)若数列为数列的偶数列，求． (2)若数列为数列的偶数列，证明：数列为等比数列． (3)在（2）的前提下，若数列为等差数列的偶数列，，，求数列的前项和． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$