三角函数的图像与性质——2025届高三数学三轮冲刺高频考点复习讲义

2025届高三三轮冲刺高频考点复习讲义 三角函数：三角函数的图像与性质 高频考点分析 1.三角函数的图像与性质 图像 定义域 值域 增区间 减区间 无 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 最小正周期 对称轴 无 对称中心 ※上述提及的，均需注明属于整数 2.换元法求函数（，）的性质 最小正周期 奇偶性 若为奇函数，则且；若为偶函数，则. 增区间 令，化简得增区间. 减区间 令，化简得减区间. 对称轴 令，化简得对称轴. 对称中心 令，化简得对称中心. 在上的值域 由得，画图由图像求函数值域. 3.换元法求函数（，）的性质 最小正周期 若为奇函数，则且；若为偶函数，则. 增区间 令，化简得增区间. 减区间 令，化简得减区间. 对称轴 令，化简得对称轴. 对称中心 令，化简得对称中心. 在上的值域 由得，画图由图像求函数值域. 4.换元法求函数（，）的性质 最小正周期 奇偶性 若为奇函数，则且. 增区间 令，化简得增区间. 对称中心 令，化简得对称中心. 在上的值域 由得，画图由图像求函数值域. 5.函数性质的定义与求解方法 函数性质 定义与求解方法 函数的奇偶性 ①若函数为偶函数，则. ②若函数为奇函数，则 函数的单调性 定义：①对区间上任意，都有，则在该区间上递增. ②对区间上任意，都有，则在该区间上递减. 证明方法：①作差法 ②作商法 ③换元法 ④导数法 函数的周期性 定义：一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数称为周期函数，非零常数叫做这个函数的周期. 常见周期结论 ①若函数满足，则函数的周期. ②若函数满足，则函数的周期. ③若函数满足，则函数的周期. ④若函数满足，则函数的周期. ⑤若函数满足，则函数的周期. 函 数 的 对 称 性 轴对称 ①若函数满足，则函数关于对称. ②若函数满足，则函数关于对称. 中心对称 ①若函数满足，则函数关于对称. ②若函数满足，则函数关于对称. ③若函数满足，则函数关于对称. 6.解析式的求解 (1)辅助角公式(合一公式) . 其中，，. ※使用辅助角公式前必须保证“变量一致”且“次数均为一次”. ※如果出现二次项，可利用倍角公式实现降幂效果.，，. ※如果无法实现变量一致，可利用同角关系化简，进而换元转化为其他函数. (2)由图像求解析式 对于三角函数，（）由最值决定，最大值为，最小值为；由周期决定，；最后可代入特殊值点求解.（最好为最大值点或最小值点） ※并不一定求才能代入特殊值点求解，实际上任何参数理论上都可以代入特殊值点求解. ※并不一定只能代入最值点，但代入的如果不是最值点，需要分辨其是上升阶段还是下降阶段的对应点. (3)伸缩平移变换求函数解析式 对于三角函数 向上平移个单位，得，向下平移个单位，得. 向左平移个单位，得，向右平移个单位，得. 将所有的纵坐标变化为原来的倍（横坐标保持不变），得. 将所有的横坐标变化为原来的倍（纵坐标保持不变），得. ※口诀：左加右减，上加下减 ※左右平移个单位，只是把变成；左右伸缩倍（横坐标保持不变），变为原来得. 真题速递 1．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 3．（2024·全国I卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 4．（2023·全国甲卷·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023·天津·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题·多选）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 8．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是 ． 9．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则 ． 10．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 11．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．    实战演练一：已知函数解析式求函数的性质 1．（2025·黑龙江大庆·三模·多选）下列关于函数的说法正确的是（    ） A．要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位 B．函数的图象关于对称 C．函数在区间上单调递减 D．若，且，则 2．（2025·青海西宁·二模·多选）已知函，则（   ） A．由可得必是的整数倍 B．的图象关于点对称 C．的表达式可改写为 D．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 3．（2025·江西景德镇·模拟预测·多选）若，则（   ） A．初相为 B．的最小正周期为 C．在上单调递增 D．为奇函数 4．（2025·安徽·二模·多选）已知函数和，则（    ） A．和的最小正周期相同 B．和在区间上的单调性相同 C．的图象向右平移个单位长度得到的图象 D．和的图象关于直线对称 5．（2025·四川雅安·二模·多选）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递增 D．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则 6．（2025·宁夏陕西·模拟预测·多选）将函数图象上所有的点向左平移3个单位长度，得到函数的图象，则下列命题正确的是（    ） A．的最小正周期为36 B． C．为偶函数 D．在上共有5个极值点 7．（2025·河南开封·二模·多选）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时间（单位：）时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，则下列说法正确的是（    ） A．小球在开始振动（即）时在平衡位置上方处 B．每秒钟小球能往复振动次 C．函数的图象关于直线对称 D．小球从到时运动的路程是 8．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模·多选）A、B是函数与直线的两个交点，则下列说法正确的是（   ） A． B．的定义域为 C．的对称中心为 D．在区间上单调递增 实战演练二：先求函数解析式，进而求函数性质 1．（2025·河北保定·一模·多选）已知函数，则（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数关于点中心对称 C．函数的图像向左平移个单位，得到的函数图像关于轴对称 D．函数在上不单调，则的取值范围为 2．（2025·海南海口·模拟预测·多选）已知函数在区间上的最大值为4，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B． C．点是图象的一个对称中心 D．在区间上单调递减 3．（2025·河南·二模·多选）已知如图是函数，（，）的部分图象，则（   ） A．的图象关于中心对称 B．在单调递增 C．在点处的切线方程为 D．的图象向左平移个单位长度后为偶函数 4．（2025·河北廊坊·模拟预测·多选）“早潮才落晚潮来，一月周流六十回”，潮汐现象是海水受日月的引力而引起的周期性涨落现象，观察发现某港口的潮汐涨落规律为（其中（单位）为港口水深，（单位）为时间，）.若某轮船当水深大于时可以进出港口，根据表格中的观测数据，下列说法正确的是（    ） 时间 1 4 7 10 13 16 19 22 水深 11 12.5 14 12.5 11 12.5 14 12.5 A． B． C．该轮船9点可以进出港口 D．该轮船从0点到12点，在港口可停留的时间最长不超过4小时 5．（2025·甘肃·模拟预测·多选）已知函数的部分图象如图，则（     ） A． B． C．函数的图象关于点对称 D．函数在区间上单调递增 6．（2025·河北沧州·模拟预测·多选）已知函数，其最小值为，，，且的最小值为，则（   ） A． B．的图象在区间内只有2个对称中心 C．的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D．当时，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 7．（2025·浙江·二模·多选）已知函数，则（    ） A．的最大值是 B．在上单调递增 C． D．在上有两个零点 8．（2025·宁夏陕西·模拟预测）将函数图象上所有的点向左平移3个单位长度，得到函数的图象，则下列命题正确的是（    ） A．的最小正周期为36 B． C．为偶函数 D．在上共有5个极值点 9．（2025·福建厦门·三模·多选）已知直线为函数图象的一条对称轴，则（   ） A．的最小正周期为 B． C． D．的图象关于点对称 10．（2025·陕西咸阳·二模·多选）已知与函数的周期相同，则下列说法正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间内只有1个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 11．（2025·贵州铜仁·三模·多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．是的对称轴 C．在区间上单调递增 D．是有实根的充要条件 12．（2025·贵州·二模·多选）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 实战演练三：利用函数性质求参数（参数范围） 1．（2025·四川泸州·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，且在上为增函数，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 2．（2025·河北秦皇岛·二模）已知函数，将的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河南安阳·二模）已知函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽安庆·二模）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于原点成中心对称，则的最小正值是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·福建莆田·二模）已知函数是图象的一条对称轴，且在上单调，则为（    ） A．2 B．5 C．8 D．11 6．（2025·陕西西安·二模）已知，函数的最小正周期为，若，且的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·天津·模拟预测）已知函数和的图象的对称轴完全相同，令，则下列结论错误的是（   ） A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．在单调递减 8．（24-25高三上·天津·期中）已知函数在有且仅有个极小值点，且在上单调递增，则ω的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·贵州·模拟预测）已知函数，若在区间上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·四川绵阳·模拟预测）函数（且在上单调，且，若在上恰有2个零点，则的取值最准确的范围是（   ） A． B． C． D． 11．（2025·广东·一模）已知函数在区间上单调递减，且和分别是函数图象的对称轴和对称中心，则（    ） A．1 B． C． D． 12．（2025·河北秦皇岛·一模）已知函数，若在区间上单调，则（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高三上·北京丰台·阶段练习）设函数 ①给出一个的值，使得的图像向右平移后得到的函数的图像关于原点对称， ； ②若在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是 ． 14．（2024·江苏·模拟预测）将函数图象上的每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得的图象关于轴对称，写出一个符合条件的的值 . 15．（2025·湖南常德·一模）已知函数在区间上有且仅有1个零点和1条对称轴，则实数的取值范围是 . 16．（2025·湖南郴州·三模）已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围为 . 17．（2025·山东·模拟预测）已知函数，若方程在区间上恰有5个根，且在上单调递增，则实数的取值范围为 . 18．（24-25高三上·河北邢台·期中）已知，函数在上单调递增，则的最大值为 . 19．（23-24高三下·湖南衡阳·阶段练习）已知，且在单增，上单减，则 实战演练四：用定义法求函数的性质 1．（2025·辽宁辽阳·二模·多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是奇函数 D．在上单调递减 2．（2025·广东佛山·二模·多选）已知函数，则（    ） A．最小正周期为 B．是奇函数 C．在上单调递增 D．最大值为1 3．（2025·四川成都·三模·多选）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．是奇函数 C．关于直线对称 D．在上单调递减 4．（2025·甘肃平凉·模拟预测·多选）已知函数，则（   ） A．的最大值为 B．为的一个周期 C．为曲线的一条对称轴 D．在上单调递减 5．（2025·甘肃·二模·多选）函数，则（    ） A．函数最小正周期为 B．是函数的一条对称轴 C．函数图象有对称中心 D．若有四个解，则 6．（2025·云南昆明·模拟预测·多选）已知函数，则（    ） A．是偶函数 B．是的一个周期 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递减 7．（2025·甘肃·一模·多选）函数，则（    ） A．的最小正周期是 B．的值域是 C．的图象是轴对称图形，其中一条对称轴是 D．的零点是 8．（2025·四川成都·三模·多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的周期为 B．的图象关于对称 C．在上恰有3个零点 D．若在上单调递增，则的最大值为 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高三三轮冲刺高频考点复习讲义 三角函数：三角函数的图像与性质 高频考点分析 1.三角函数的图像与性质 图像 定义域 值域 增区间 减区间 无 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 最小正周期 对称轴 无 对称中心 ※上述提及的，均需注明属于整数 2.换元法求函数（，）的性质 最小正周期 奇偶性 若为奇函数，则且；若为偶函数，则. 增区间 令，化简得增区间. 减区间 令，化简得减区间. 对称轴 令，化简得对称轴. 对称中心 令，化简得对称中心. 在上的值域 由得，画图由图像求函数值域. 3.换元法求函数（，）的性质 最小正周期 若为奇函数，则且；若为偶函数，则. 增区间 令，化简得增区间. 减区间 令，化简得减区间. 对称轴 令，化简得对称轴. 对称中心 令，化简得对称中心. 在上的值域 由得，画图由图像求函数值域. 4.换元法求函数（，）的性质 最小正周期 奇偶性 若为奇函数，则且. 增区间 令，化简得增区间. 对称中心 令，化简得对称中心. 在上的值域 由得，画图由图像求函数值域. 5.函数性质的定义与求解方法 函数性质 定义与求解方法 函数的奇偶性 ①若函数为偶函数，则. ②若函数为奇函数，则 函数的单调性 定义：①对区间上任意，都有，则在该区间上递增. ②对区间上任意，都有，则在该区间上递减. 证明方法：①作差法 ②作商法 ③换元法 ④导数法 函数的周期性 定义：一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数称为周期函数，非零常数叫做这个函数的周期. 常见周期结论 ①若函数满足，则函数的周期. ②若函数满足，则函数的周期. ③若函数满足，则函数的周期. ④若函数满足，则函数的周期. ⑤若函数满足，则函数的周期. 函 数 的 对 称 性 轴对称 ①若函数满足，则函数关于对称. ②若函数满足，则函数关于对称. 中心对称 ①若函数满足，则函数关于对称. ②若函数满足，则函数关于对称. ③若函数满足，则函数关于对称. 6.解析式的求解 (1)辅助角公式(合一公式) . 其中，，. ※使用辅助角公式前必须保证“变量一致”且“次数均为一次”. ※如果出现二次项，可利用倍角公式实现降幂效果.，，. ※如果无法实现变量一致，可利用同角关系化简，进而换元转化为其他函数. (2)由图像求解析式 对于三角函数，（）由最值决定，最大值为，最小值为；由周期决定，；最后可代入特殊值点求解.（最好为最大值点或最小值点） ※并不一定求才能代入特殊值点求解，实际上任何参数理论上都可以代入特殊值点求解. ※并不一定只能代入最值点，但代入的如果不是最值点，需要分辨其是上升阶段还是下降阶段的对应点. (3)伸缩平移变换求函数解析式 对于三角函数 向上平移个单位，得，向下平移个单位，得. 向左平移个单位，得，向右平移个单位，得. 将所有的纵坐标变化为原来的倍（横坐标保持不变），得. 将所有的横坐标变化为原来的倍（纵坐标保持不变），得. ※口诀：左加右减，上加下减 ※左右平移个单位，只是把变成；左右伸缩倍（横坐标保持不变），变为原来得. 真题速递 1．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点， 则，即， 且，所以. 故选：B. 2．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】因为函数的最小正周期为，则，所以， 即，当时，， 所以当，即时， 故选：D 3．（2024·全国I卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 4．（2023·全国甲卷·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以， 而显然过与两点， 作出与的部分大致图像如下，    考虑，即处与的大小关系， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 所以由图可知，与的交点个数为. 故选：C. 5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在区间单调递增， 所以，且，则，， 当时，取得最小值，则，， 则，，不妨取，则， 则， 故选：D. 6．（2023·天津·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性： A选项中，B选项中， C选项中，D选项中， 排除选项CD， 对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A， 对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴， 故选：B. 7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题·多选）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【详解】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC 8．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是 ． 【答案】2 【详解】，当时，， 当时，即时，. 故答案为：2 9．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则 ． 【答案】2 【详解】因为为偶函数，定义域为， 所以，即， 则，故， 此时， 所以， 又定义域为，故为偶函数， 所以. 故答案为：2. 10．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：. 11．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．    【答案】 【详解】设，由可得， 由可知，或，，由图可知， ，即，． 因为，所以，即，． 所以， 所以或， 又因为，所以，． 故答案为：． 实战演练一：已知函数解析式求函数的性质 1．（2025·黑龙江大庆·三模·多选）下列关于函数的说法正确的是（    ） A．要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位 B．函数的图象关于对称 C．函数在区间上单调递减 D．若，且，则 【答案】BD 【详解】对于A选项，函数图象平移遵循“左加右减”原则.右移个单位，变为，得到，与选项描述不符，所以A错误. 对于B选项，若函数图象关于对称，则取最值.，，是函数最大值，所以函数图象关于对称，B正确. 对于C选项，已知，则.正弦函数在包含的区间不单调，此区间含，所以函数在该区间不单调，C错误. 对于D选项，正弦函数周期，中，. ，即取最小值，相邻最小值间距离是一个周期，所以，D正确. 故选：BD. 2．（2025·青海西宁·二模·多选）已知函，则（   ） A．由可得必是的整数倍 B．的图象关于点对称 C．的表达式可改写为 D．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】BC 【详解】对于A选项，若，则， 所以，，， 上述两个等式作差得，则， 所以，必是的整数倍，A错； 对于B选项，，所以的图象关于点对称，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，， 所以，的图象可由的图象向左平移个单位长度得到，D错. 故选：BC. 3．（2025·江西景德镇·模拟预测·多选）若，则（   ） A．初相为 B．的最小正周期为 C．在上单调递增 D．为奇函数 【答案】ABD 【详解】对于函数，初相为，A正确； 最小正周期为，B正确； 时，， 由于在上单调递减，故在上单调递减，C错误； ，该函数为奇函数，D正确， 故选：ABD. 4．（2025·安徽·二模·多选）已知函数和，则（    ） A．和的最小正周期相同 B．和在区间上的单调性相同 C．的图象向右平移个单位长度得到的图象 D．和的图象关于直线对称 【答案】ABD 【详解】对于A：和的最小正周期均为，选项A正确； 对于B：当时，，所以单调递增， 当时，，所以单调递增，选项B正确； 对于C：的图象向右平移个单位长度所得函数为，选项C错误； 对于D：，选项D正确. 故选：ABD. 5．（2025·四川雅安·二模·多选）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递增 D．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则 【答案】ACD 【详解】对于选项A，在函数中， 的最小正周期，故选项A正确. 对于选项B，对于余弦函数，其对称轴方程为. 令，解得.令，解得，故选项B错误. 对于选项C，对于余弦函数，其单调递增区间为. 令，解不等式得： 当时，，所以在上单调递增，故选项C正确. 对于选项D，将的图象向左平移个单位长度，根据“左加右减”的原则，得到.化简. 根据诱导公式，可得，故选项D正确. 故选：ACD. 6．（2025·宁夏陕西·模拟预测·多选）将函数图象上所有的点向左平移3个单位长度，得到函数的图象，则下列命题正确的是（    ） A．的最小正周期为36 B． C．为偶函数 D．在上共有5个极值点 【答案】ACD 【详解】对于A，的最小正周期为，A正确； 对于B，将函数图象上所有的点向左平移3个单位长度可得： ，B错误， 对于C，因为，所以为偶函数，C正确， 对于D，令，可得，解得：， 由， 可得的取值有，共有5个极值点，D正确； 故选：ACD 7．（2025·河南开封·二模·多选）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时间（单位：）时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，则下列说法正确的是（    ） A．小球在开始振动（即）时在平衡位置上方处 B．每秒钟小球能往复振动次 C．函数的图象关于直线对称 D．小球从到时运动的路程是 【答案】ACD 【详解】当时，，故A正确； 小球往复振动的周期为，所以每秒钟小球能往复振动次，故B错误； 因为，所以函数的图象关于直线对称，故C正确； 由，又， ， 所以小球从到时运动的路程是，故D正确. 故选：ACD. 8．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模·多选）A、B是函数与直线的两个交点，则下列说法正确的是（   ） A． B．的定义域为 C．的对称中心为 D．在区间上单调递增 【答案】AC 【详解】的最小正周期，则，故A正确； 由，得， 所以的定义域为，故B错误； 由，解得， 所以的对称中心为，故C正确； 当时，得，从而无意义， 因此区间不可能是的单调递增区间，故D错误， 故选：AC. 实战演练二：先求函数解析式，进而求函数性质 1．（2025·河北保定·一模·多选）已知函数，则（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数关于点中心对称 C．函数的图像向左平移个单位，得到的函数图像关于轴对称 D．函数在上不单调，则的取值范围为 【答案】ACD 【详解】函数， 对于A选项：∵，∴，A选项正确； 对于B选项：令，解得，∴是函数的一个对称中心，B选项不正确； 对于C选项：平移后的函数，函数图像关于轴对称，C选项正确； 对于D选项：，当时，，∴，要想函数不单调，则，∴，D选项正确. 故选：ACD. 2．（2025·海南海口·模拟预测·多选）已知函数在区间上的最大值为4，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B． C．点是图象的一个对称中心 D．在区间上单调递减 【答案】BC 【详解】选项A，的最小正周期，故A错误； 选项B，由，知，所以，所以的最大值为，而得，故B正确； 选项C，令，则，所以图象的对称中心为，所以点是图象的一个对称中心，故C正确; 选项D，由得，所以在上单调递增，故D错误. 故选：BC. 3．（2025·河南·二模·多选）已知如图是函数，（，）的部分图象，则（   ） A．的图象关于中心对称 B．在单调递增 C．在点处的切线方程为 D．的图象向左平移个单位长度后为偶函数 【答案】BCD 【详解】由图可得，即， 而，可得， 又，即， 可得，， 可得，， 又，且，即，即，可得， ， 对于选项A，，， 不是函数的对称中心，故A不正确； 对于选项B，，可得， 函数在上是单调递增，故B正确； 对于选项C中，，， 则在点处的切线方程为，故C正确； 对于选项D中，将向左平移个单位后， 可得，则为偶函数，故D正确. 故选：BCD 4．（2025·河北廊坊·模拟预测·多选）“早潮才落晚潮来，一月周流六十回”，潮汐现象是海水受日月的引力而引起的周期性涨落现象，观察发现某港口的潮汐涨落规律为（其中（单位）为港口水深，（单位）为时间，）.若某轮船当水深大于时可以进出港口，根据表格中的观测数据，下列说法正确的是（    ） 时间 1 4 7 10 13 16 19 22 水深 11 12.5 14 12.5 11 12.5 14 12.5 A． B． C．该轮船9点可以进出港口 D．该轮船从0点到12点，在港口可停留的时间最长不超过4小时 【答案】BC 【详解】对于A，由表格数据可得，故A错误； 对于B，由表格数据可得，解得，， 所以，因为点在函数图象上， 所以，即，又因为， 所以，故B正确； 对于C，当时，，故C正确； 对于D，由，得， 由得， 即，当时，，， 因为得该轮船从0点到12点，在港口可停留的时间最长超过4小时，故D错误. 故选：BC. 5．（2025·甘肃·模拟预测·多选）已知函数的部分图象如图，则（     ） A． B． C．函数的图象关于点对称 D．函数在区间上单调递增 【答案】AC 【详解】由函数的图象可知解得 设函数的最小正周期为，由函数的图象可知，， 所以，所以. 由，得，又，所以， 所以.故选项A正确，选项B错误. 令，解得，当时，， 所以函数的图象关于点对称.故C正确. 令 ，得， 所以的单调递增区间为. 因为，所以函数在区间上不单调.故选项D错误. 故选：AC. 6．（2025·河北沧州·模拟预测·多选）已知函数，其最小值为，，，且的最小值为，则（   ） A． B．的图象在区间内只有2个对称中心 C．的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D．当时，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【详解】依题意，，因为，所以的图象关于直线对称， 又因为，所以的图像关于点对称， 又的最小值为，所以的周期为，所以， 又，所以， 令满足，所以， 对于A选项，因为， 即当时，取得最小值，所以A选项正确； 对于B选项，令，则， 当时，， 当时，， 当时，，所以B选项正确； 对于C选项，， 所以C选项不正确； 对于D选项，因为，所以， 所以，不等式等价于， 即，所以，所以D选项正确， 故选：ABD 7．（2025·浙江·二模·多选）已知函数，则（    ） A．的最大值是 B．在上单调递增 C． D．在上有两个零点 【答案】AC 【详解】对于A，由于，且，所以的最大值是，故A正确； 对于B，因为，所以在上不是单调递增的，故B错误； 对于C，由于，故 ，故C正确； 对于D，若，则，即，可得，，解得，，所以在上恰有个零点，故D错误. 故选：AC. 8．（2025·宁夏陕西·模拟预测）将函数图象上所有的点向左平移3个单位长度，得到函数的图象，则下列命题正确的是（    ） A．的最小正周期为36 B． C．为偶函数 D．在上共有5个极值点 【答案】ACD 【详解】对于A，的最小正周期为，A正确； 对于B，将函数图象上所有的点向左平移3个单位长度可得： ，B错误， 对于C，因为，所以为偶函数，C正确， 对于D，令，可得，解得：， 由， 可得的取值有，共有5个极值点，D正确； 故选：ACD 9．（2025·福建厦门·三模·多选）已知直线为函数图象的一条对称轴，则（   ） A．的最小正周期为 B． C． D．的图象关于点对称 【答案】BC 【详解】对于A，的最小正周期为，故选项A错误； 对于B，因为， 因为在对称轴处取得极值，所以，解得，故选项B正确； 对于C，由A和B可知，，所以，故选项C正确； 对于D，，故选项D错误. 故选：BC. 10．（2025·陕西咸阳·二模·多选）已知与函数的周期相同，则下列说法正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间内只有1个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 【答案】ABD 【详解】由， 因为函数的最小正周期为，所以，所以， 所以， 对于A中，当时，可得， 由正弦函数的性质，可得在上单调递减，所以A正确； 对于B中，当时，可得， 由正弦函数的性质，可得在上只有1个极值点， 由，解得，即为函数在上的唯一极值点，所以B正确； 对于C中，当时，，， 所以直线不是曲线的对称轴，所以C错误； 对于D中，由，得， 则或，可得或， 所以曲线在点处的切线的斜率， 所以切线方程为，即，所以D正确. 故选：ABD. 11．（2025·贵州铜仁·三模·多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．是的对称轴 C．在区间上单调递增 D．是有实根的充要条件 【答案】AC 【详解】对于进行化简，根据平方差公式可得 ． 对于A，根据余弦函数的周期公式，可得最小正周期，故A正确． 对于B，，而余弦函数对称轴处函数值应为，所以不是的对称轴，故B错误． 对于C，当时，，此时在上单调递增，所以在区间上单调递增，故C正确． 对于D，的值域是，所以是有实根的充要条件，故D错误． 故选：AC. 12．（2025·贵州·二模·多选）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【答案】ABC 【详解】已知，根据二倍角公式，可得. 进一步整理可得， 即. 对于选项A：根据正弦函数的最小正周期（），对于，，所以，故选项A正确. 对于选项B：对于，当时，，所以的图象关于点对称，故选项B正确. 对于选项C：若函数的图象关于直线对称，则为函数的最值. 当时，，因为的最大值为，最小值为，所以的图象关于直线对称，故选项C正确. 对于选项D：令，，解不等式可得： ，.当时，单调递增区间为，而区间并不完全在内，所以在区间上不是单调递增的，故选项D错误. 故选：ABC. 实战演练三：利用函数性质求参数（参数范围） 1．（2025·四川泸州·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，且在上为增函数，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】将代入，得， 所以，得． 因为函数在上为增函数，此时， 所以，解得， 所以当时，， 故选：A. 2．（2025·河北秦皇岛·二模）已知函数，将的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，， 由的图象与的图象关于轴对称，得对任意恒成立， 即对任意恒成立， 因此，解得，而， 则. 故选：B 3．（2025·河南安阳·二模）已知函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，得， 解得，因，则， 因，解得或（舍） 故 故选：D 4．（2025·安徽安庆·二模）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于原点成中心对称，则的最小正值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 将函数的图象向右平移个单位得 ， 由该函数为奇函数可知， 即，所以的最小正值为. 故选：A 5．（2025·福建莆田·二模）已知函数是图象的一条对称轴，且在上单调，则为（    ） A．2 B．5 C．8 D．11 【答案】B 【详解】因为函数在上单调， 所以，得. 又直线为的图象的对称轴， 所以， 得，当时，. 故选：B. 6．（2025·陕西西安·二模）已知，函数的最小正周期为，若，且的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，解得， 因为的图象关于直线对称， 所以，即， 所以，则， 故选：A． 7．（2025·天津·模拟预测）已知函数和的图象的对称轴完全相同，令，则下列结论错误的是（   ） A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．在单调递减 【答案】D 【详解】令，则为的对称轴方程， 令，则为的对称轴方程， 由与的对称轴完全相同，则，即对称轴为， 所以且，则， 所以，其最小正周期，故也是一个周期，A对； ，故的图象关于直线对称，B对； ，当有， 所以的一个零点为，C对； ，则，显然在给定区间内不单调，D错. 故选：D 8．（24-25高三上·天津·期中）已知函数在有且仅有个极小值点，且在上单调递增，则ω的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于函数，极小值点为. ，令. 因为有且仅有个极小值点. 当时，；当时，；当时，. 所以，解不等式得. 因为的单调递增区间为. 对于，令， 则. 因为在上单调递增，所以. 当时，，当时，， 故，则且. 解不等式得. 综合以上两个条件，的取值范围是. 故选：D. 9．（2025·贵州·模拟预测）已知函数，若在区间上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则， 因在区间上单调递增，则， 即且且， 若，则不等式组的解集为空集； 若，则； 若，则不等式组的解集为空集， 则的最大值为. 故选：C 10．（2025·四川绵阳·模拟预测）函数（且在上单调，且，若在上恰有2个零点，则的取值最准确的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在区间上单调， 且满足，而，, 即的一个对称中心为，故； 而，故在区间上单调， 设函数的最小正周期为T，则； 函数在区间上恰有2个零点，则恰好为第一个零点， 相邻两个零点之间相距半个周期， 故，即， 解得，结合， 可得的取值范围为， 故选：B. 11．（2025·广东·一模）已知函数在区间上单调递减，且和分别是函数图象的对称轴和对称中心，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，函数的最小正周期满足，即所以. 因为是函数图像的对称轴，所以， 解得，又因为，所以. 所以，则. 故选：B. 12．（2025·河北秦皇岛·一模）已知函数，若在区间上单调，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，， 由在区间上单调，则， 于是，解得， 由，得，因此或， 又，则，，所以. 故选：C 13．（24-25高三上·北京丰台·阶段练习）设函数 ①给出一个的值，使得的图像向右平移后得到的函数的图像关于原点对称， ； ②若在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 （答案不唯一） 【详解】由题意可得， 因为的图像关于原点对称，所以，即， 当时，； 若，则，有且仅有两个零点， 则，解得，故的取值范围为. 故答案为：（答案不唯一）； 14．（2024·江苏·模拟预测）将函数图象上的每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得的图象关于轴对称，写出一个符合条件的的值 . 【答案】（答案不唯一） 【详解】将函数图象上的每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 再将得到的图象向左平移个单位长度，所得的图象对应的解析式为， 由题意的图象关于轴对称， 所以，解得，，令，得. 故答案为：（答案不唯一）. 15．（2025·湖南常德·一模）已知函数在区间上有且仅有1个零点和1条对称轴，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，， 由函数在区间上有且仅有1个零点和1条对称轴，， 得或，解得或， 则，所以实数的取值范围是. 故答案为： 16．（2025·湖南郴州·三模）已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由解得，， 令，得， 依题意，在区间上单调递增， 则实数的取值范围为. 故答案为： 17．（2025·山东·模拟预测）已知函数，若方程在区间上恰有5个根，且在上单调递增，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意， ， 由，可得，则或 由可得， 由恰有5个根，可得，解得. 由，得，即函数在上单调递增， 所以，，即，且，解得. 所以，实数的取值范围为. 故答案为：. 18．（24-25高三上·河北邢台·期中）已知，函数在上单调递增，则的最大值为 . 【答案】/0.5 【详解】因为，所以， 又在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 而，，所以由正弦函数性质得， 解得，则的最大值为. 故答案为：. 19．（23-24高三下·湖南衡阳·阶段练习）已知，且在单增，上单减，则 【答案】 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以，因为在单增，上单减， 所以是的最大值点，所以， 所以，因为在单增，上单减， 所以单调区间长度大于等于，所以， 且，所以，所以. 故答案为：. 实战演练四：用定义法求函数的性质 1．（2025·辽宁辽阳·二模·多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是奇函数 D．在上单调递减 【答案】BCD 【详解】的定义域为，值域为，A错误，B正确． 是奇函数，C正确． 当时，，函数在上单调递减， 函数在上单调递增，所以在上单调递减，D正确． 故选：BCD 2．（2025·广东佛山·二模·多选）已知函数，则（    ） A．最小正周期为 B．是奇函数 C．在上单调递增 D．最大值为1 【答案】BD 【详解】由，显然不是的周期，A错； 由的定义域为R，且，所以为奇函数，B对； 由解析式，易得，显然在上不是单调递增，C错； 由， 令，则，且， 若，则，又在、上都单调递减， 在上，，在上，， 所以的最大值为1，D对. 故选：BD 3．（2025·四川成都·三模·多选）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．是奇函数 C．关于直线对称 D．在上单调递减 【答案】ACD 【详解】对于A，设（是不为0的常数）是的周期， 则对于，有，可得，即 解得或. 由，可得， 若，因，即不是的周期， 又由，得， 若，因，故不是的周期， 同理不是的周期， 又因， 因此函数的最小正周期为，A正确； 对于B，，，函数不是奇函数，B错误； 对于C，，即关于直线对称，C正确； 对于D，，函数在上单调递增，且， 函数在上单调递减，因此在上单调递减，D正确. 故选：ACD 4．（2025·甘肃平凉·模拟预测·多选）已知函数，则（   ） A．的最大值为 B．为的一个周期 C．为曲线的一条对称轴 D．在上单调递减 【答案】AB 【详解】对于A，因为， 而，所以当时，的最大值为，故A正确； 对于B，因为， 所以为的一个周期，故B正确； 对于C，因为，，所以，故C错误； 对于D，因为，故D错误. 故选：AB. 5．（2025·甘肃·二模·多选）函数，则（    ） A．函数最小正周期为 B．是函数的一条对称轴 C．函数图象有对称中心 D．若有四个解，则 【答案】AB 【详解】对于A：， 函数图像如下： 可得函数的最小正周期为，故A正确； 对于B：由图可得是函数的一条对称轴，故B正确； 对于C：根据函数图象可知函数没有对称中心，故C错误； 对于D：由图可得当函数时，，所以有四个解，则也可以是，D选项错误. 故选：AB. 6．（2025·云南昆明·模拟预测·多选）已知函数，则（    ） A．是偶函数 B．是的一个周期 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递减 【答案】AC 【详解】因为， 对任意的，，则恒成立，即函数的定义域为， 因为，所以是偶函数，A正确； 因为，则， 所以不是的周期，B错误； 因为， 所以的图象关于直线对称，C正确； 因为 ， 当时，则，所以，，，则， 故在区间上单调递增，D错误， 故选：AC. 7．（2025·甘肃·一模·多选）函数，则（    ） A．的最小正周期是 B．的值域是 C．的图象是轴对称图形，其中一条对称轴是 D．的零点是 【答案】ABD 【详解】对A：，故为的周期， 显然，没有比更小的正周期，故的最小正周期为，故A正确； 对B：考虑到的最小正周期为，故只需考虑在的值域； ，，故 即； 因为，故， 则当时，，即，此时，单调递减； 当时，，即，此时，单调递增； 又，， ，故的值域为，故B正确； 对C：， ， 则，即， 则不是的对称轴，故C错误； 对D：令，即，，即， 则，或，解得，或，， 又，，故的零点为，D正确. 故选：ABD. 8．（2025·四川成都·三模·多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的周期为 B．的图象关于对称 C．在上恰有3个零点 D．若在上单调递增，则的最大值为 【答案】BD 【详解】①当时， ， ②当时，， ③当时， ④当时，， 因此，， 所以函数的图象，如图所示： A选项：因为 ，故A不正确； B选项：因为 ， 所以的图象关于对称，故B正确； C选项：由的函数解析式以及函数图像可知： 当时，，当时，，当时，， 所以在上有无数个零点，故C错误； D选项：由，，得， 因为在上单调递增，所以由的图象可知，解得， 则的最大值为，故D正确； 故选：BD． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$