空间向量与立体几何：表面积问题、体积问题、外接球问题、内切球问题-2025届高三数学三轮冲刺高频考点复习讲义

2025届高三三轮冲刺高频考点复习讲义 空间向量与立体几何：表面积问题、体积问题、外接球问题、内切球问题 高频考点分析 1.体积公式 立体图形 体积公式 柱体 锥体 台体 球 2.旋转体的侧面积与表面积公式 立体图形 侧面积公式 表面积公式 圆柱 圆锥 圆台 球 3.常见多面体的侧面积与表面积 （1）棱柱的侧面积与表面积：棱柱的侧面积由侧面的平行四边形的面积组成，表面积由侧面积与两个底面积组成. （2）棱锥的侧面积与表面积：棱锥的侧面积由侧面的三角形的面积组成，表面积由侧面积与一个底面积组成. （3）棱台的侧面积与表面积：棱台的侧面积由侧面的梯形的面积组成，表面积由侧面积与两个底面积组成. ※计算面积的高和计算体积的高不可混为一谈，需要互相转换时，需要借助侧棱长进行转换. 4.几类特殊的空间几何体 （1）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱. （2）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱. （3）正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥. （4）正四面体：侧棱与底面棱长相等的正三棱锥. 5.外接球问题 模型 计算公式 关键数据 长方体模型 长方体的长宽高、、. 直棱柱模型 棱柱的高，底面外接圆半径. 正棱锥模型 棱柱的高，底面外接圆半径. 正棱台模型 棱柱的高，上底面外接圆半径， 下底面外接圆半径，外接圆圆心到上底面的距离. 面面垂直模型 两个面所在图形的外接圆半径、，两个图形的交线长度. 二面角模型 为两个图形的交线长度，、为两个图形的外接圆圆心到交线的距离，为两个平面的夹角. 6.长方体模型的变形： ①图1与图2有重垂线，三视图都是三个直角三角形，图3无重垂线，俯视图是一矩形，AC为虚线，主视图和左视图为直角三角形． ②图4中，． 图1墙角体 图2鳖臑 图3挖墙角体 图4对角线相等的四面体 7.外接圆半径的求法 （1）利用正弦定理； （2）直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，等边三角形外接圆半径等于. 8.内切球的求解 （1）定义：内切球是指与几何体的所有面（或侧面及底面）都相切的球，其球心到每个面的距离等于球的半径. （2）求解：作出截面的平面示意图之后，利用等面积法或三角函数的定义构造方程进行求解. （3）常见几何体的内切球 ①棱长为的正方体： ②棱长为的正四面体： ③体积为，表面积为的棱锥： ④底面半径为，高为，母线长为（）的圆锥： 实战演练一：表面积问题 1．（2025·云南昭通·一模）如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的高为（    ） A． B．2 C．6 D．3 【答案】A 【详解】设，则， 因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯形，上､下底面为正方形， 如图1，在四边形中，过点作于点， ，所以， 所以，解得， 在平面中，过点作于点，则为正四棱台的高， 则， 所以， 即该正四棱台的高为. 故选：A. 2．（24-25高三下·广东·开学考试）在正四棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱台的表面积是（   ） A．36 B．40 C．52 D．56 【答案】D 【详解】过点作，垂足为H，则. 因为侧棱与底面所成角的余弦值为，所以，所以， 则梯形的高， 故该正四棱台的表面积是. 故选： D. 3．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了45°之后，表面积增加了（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设分析  如下图，转动了45°后，此时魔方相对原来多出了16个小三角形的面积， 显然小三角形为等腰直角三角形且周长为3，设其直角边为x， 则斜边为，则，解得． 由几何关系得1个小三角形的面积为， 所以增加的面积为． 故选：A 4．（24-25高三上·北京通州·期末）如图某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，先需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为元，则该零部件的防腐处理费用是（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【详解】 如图所示，，，连接，分别是的中点，连接，取的中点，连接. 由题意，在正四棱台中，平面，则， 因为分别是的中点，所以，且， 又分别是的中点，所以，且， 故，则四点共面； 因为平面，平面，所以， 所以四边形为直角梯形， 在直角梯形中，，又点是的中点， 所以四边形为矩形，则，且，又， 因此，在直角中，， 所以在正四棱台中， 侧面积， 底面积， 表面积（平方厘米）， 又每平方厘米的防腐处理费用为元， 所以该零部件的防腐处理费用是（元）. 故选：A 5．（2024·山东·模拟预测）若正四棱锥的高为6，且所有顶点都在半径为4的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如下图，设在底面的投影为，易知正四棱锥的外接球球心在上， 由题设，球体半径，则， 所以，，， 中边上的高为，故正四棱锥的侧面积为. 故选：C 6．（2025·山东济南·一模）已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上下底面面积之差的绝对值为（    ） A．π B．2π C．4π D．8π 【答案】B 【详解】如图： 设展开图小圆半径和大圆半径分别为，则圆台侧面积，即， 上底面半径，下底面半径， 圆台上下底面面积之差的绝对值为. 故选：B. 7．（2025·辽宁沈阳·二模）已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由圆台的侧面积公式可得， . 故选:B. 8．（2025·山东聊城·模拟预测）宋代瓷器的烧制水平极高，青白釉出自宋代，又称影青瓷．宋蒋祁《陶记》中“江、湖、川、广器尚青白，出于镇之窑者也”，印证了宋人把所说的“影青”瓷器叫做“青白瓷”的史实．图1为宋代的影青瓷花口盏及盏托，我们不妨将该花口盏及盏托看作是两个圆台与一个圆柱的组合体，三个部分的高相同均为6cm，上面的花口盏是底面直径分别为8cm和10cm的圆台，下面的盏托由底面直径8cm的圆柱和底面直径分别为12cm和8cm的圆台组合构成，示意图如图2，则该花口盏及盏托构成的组合体的体积为（    ）        A． B． C． D． 【答案】D 【详解】花口盏体积：， 盏托体积：， 所以组合体的体积. 故选：D． 9．（2025·辽宁·二模）图1所示几何体是一个星形正多面体，称为星形十二面体，是由对（个）平行五角星面组成的，每对平行五角星面角度关系如图2所示．一个星形十二面体有 个星芒（凸起的正五棱锥），将所有的星芒沿其底面削去后所得几何体和星形十二面体的表面积之比是 ．（参考数据：） 【答案】 【详解】由图可知，每个星形十二面体有个星芒， 将每个正五棱锥沿着侧面展开与底面在同一个平面上，形成一个正五角星， 则这个正五角星的五个顶点在圆上，连接，则垂直平分，设， 正五棱锥的侧面积等于，底面积等于， 正五边形的每个内角为，则，故， 则，所以，，， 设，则，则， ，则， 所以，将所有的星芒沿其底面削去后所得几何体和星形十二面体的表面积之比为 ， 故答案为：；. 10．（24-25高三下·辽宁·阶段练习）如图，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一.现制作一件三层六角宫灯模型，三层均为正六棱柱（内部全空），其中模型上、下层的底面周长均为120cm，高为5cm.现在其内部放入一个体积为的球形灯，且球形灯球心与各面的距离不少于9cm.则该模型的侧面积至少为 【答案】 【详解】依题意，上下两层是底面周长，高为的正六棱柱， 其侧面积为， 当球形灯球心到各面的距离等于时，中层正六棱柱的高为， 由球心到侧面距离为9，得中层正六棱柱底面边长为， 因此中层正六棱柱的侧面积， 所以该模型的侧面积至少为， 故答案为： 11．（24-25高三上·福建龙岩·阶段练习）在正四棱台中，，则该棱台的侧面积为 ． 【答案】 【详解】 如图，过作，垂足为， 所以为正四棱台的侧面的高， 因为， 则，， ， 所以正四棱台的侧面积为. 故答案为：. 12．（2025·上海普陀·二模）若一个圆锥的高为，侧面积为，则该圆锥侧面展开图中扇形的中心角的大小为 . 【答案】 【详解】设底面半径为，母线长为l 由，得， 又，由勾股定理， 所以，解得， 底面圆周长，扇形中心角， 故答案为： 13．（2025·上海宝山·二模）已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为 . 【答案】 【详解】设圆柱的底面圆的半径为，高为， 由题意可得，解得， 所以圆柱的体积. 故答案为：. 14．（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）边长为4的正三角形绕其一边所在的直线旋转一周所形成的曲面所围成的几何体的表面积为 . 【答案】 【详解】将该三角形绕其一边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是两个以为底面圆半径，以2为高的两个圆锥组合体， 所以表面积为. 故答案为： 15．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）某一次性咖啡杯的杯体近似视为圆台，如图所示，该圆台的上、下底面圆周长分别为，，侧面积为，则该咖啡杯的体积为 ． 【答案】 【详解】设该圆台的上、下底面半径分别为，，母线长为l，则，， 解得，，则圆台的侧面积为，解得， 则圆台的高， 圆台上、下底面面积分别为，， 由圆台的体积计算公式可得． 故答案为：. 16．（2024·四川绵阳·三模）底面半径为4的圆锥被平行于底面的平面所截，截去一个底面半径为1，母线长为3的圆锥，则所得圆台的侧面积为 . 【答案】 【详解】如图，设原圆锥的母线为，则，则， 所以圆台的侧面积为：. 故答案为： 实战演练二：体积问题 1．（2025·浙江宁波·二模）一个长方体墨水瓶的长、宽、高分别为10cm、8cm、15cm，内部装有400毫升墨水.将墨水瓶倾斜，使其一条长边（10cm）置于水平地面，高边（15cm）所在直线与水平地面成45度角，则此时墨水与墨水瓶接触部分的面积为（   ） A．180 B．220 C．260 D．300 【答案】C 【详解】如下图，若截面为等腰直角三角形，腰长为， 则，可得，不符， 如下图，若截面为直角梯形，上底长为， 则，可得，满足， 所以此时墨水与墨水瓶接触部分的面积. 故选：C 2．（2025·湖北·模拟预测）一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边上的高为.当底面水平放置时水面高度为16（如图①）.当侧面水平放置时（如图②），水面高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设底面的面积为， 当底面水平放置时水面高度为16，所以水的体积为， 设侧面水平放置时，水呈四棱柱体，设四棱柱体的底面梯形的面积为， 则水的体积为，所以，所以， 设四棱柱体的底面梯形的高为，则可得，解得. 故选：D. 3．（24-25高三下·广东梅州·阶段练习）如图，往一个正四棱台密闭容器内倒入的水，水面高度恰好为棱台高度的，且，，则这个容器的容积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设水体对应的台体的高为，则水体对应台体的上底面是边长为的正方形， 由台体的体积公式可得，解得， 故容器的高为，容器的容积为， 故选：A. 4．（2025·江苏宿迁·二模）已知圆锥的轴截面为正三角形，外接球的半径为，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆锥的底面半径为，由于圆锥轴截面为等边三角形，则外接球半径即为轴截面等边三角形的外接圆半径， 由正弦定理可得，则， 易知该圆锥的高为，故该圆锥的体积为. 故选：A. 5．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面积为 ，则此圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 由题意可得：，解得， 所以圆锥的体积为. 故选：B. 6．（2025·河南郑州·二模）已知圆锥的侧面展开图是半径为3的半圆，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆锥底面圆的半径为，高为，母线长为， 则，，所以， 所以， 所以该圆锥的体积为. 故选：C 7．（24-25高三下·重庆·阶段练习）西安大雁塔始建于唐代永辉三年，是中国古代佛教建筑的杰作．若将大雁塔的塔身近似看成正四棱台，上下底面的边长分别为13m和25m，塔身高度为60m．则其体积约为（    ）． A．15880 B．22380 C．47640 D．67140 【答案】B 【详解】由题意，上下底面的边长分别为13m和25m，塔身高度为60m， 则其体积为. 故选：B. 8．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知正三棱锥的体积为，其底面三角形的斜二测直观图面积为，则三棱锥的高为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】设底面三角形面积为，三棱锥的高为， 由直观图的性质得，解得， 因为正三棱锥的体积为，所以，解得，故A正确. 故选：A 9．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知正四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形，侧棱长为2，则该正四棱台的体积为 ． 【答案】/ 【详解】如图所示， 由正四棱台可知且，，，四边形为等腰梯形， 取上底下底的中心平面，过作，垂足为，， 且，，， 所以， 所以， 故答案为： 10．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）已知三棱锥的棱长都是2，则该三棱锥的体积为 ． 【答案】 【详解】设为正的中心，连接， 则由题意可得为三棱锥的高，为正外接圆圆心的半径， 所以， 所以该三棱锥的体积为. 故答案为： 11．（24-25高一下·安徽宿州·期中）已知一个正四棱台的两底面边长分别为1和2，高为3，则该正四棱台的体积为 . 【答案】7 【详解】由棱台的体积公式，该棱台的体积为. 故答案为：7. 12．（2025·江西景德镇·模拟预测）若圆台上、下底面的半径分别为1，2，侧面积为，则圆台的体积为 ． 【答案】 【详解】设圆台的母线为，高为， 由题意可得，解得， 则圆台的高为， 所以圆台的体积为. 故答案为： 13．（2025·重庆·模拟预测）若高为3的正三棱台的上、下底面的边长之比为1:2，且其体积等于7，则该三棱台上底面的面积为 . 【答案】 【详解】设上底面边长为，则下底面边长为， 正三角形的面积公式为，因此上底面面积，下底面面积， 显然，即，棱台的体积公式为：， 代入已知条件,，并设，则，得： 化简后： 解得，因此上底面的面积， 故答案为：. 14．（2025·上海闵行·二模）已知圆柱的底面半径为，高为3，则圆柱的体积为 ． 【答案】 【详解】由圆柱的体积公式可得. 故答案为：. 15．（2025·陕西西安·二模）已知正四棱锥的底面边长为6，体积为48，则该四棱锥的侧面积为 . 【答案】60 【详解】设正四棱锥的边长为，高为，斜高为， 由题意可得， 所以斜高， 所以该四棱锥的侧面积为. 故答案为：60. 16．（24-25高三下·上海·开学考试）圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则圆锥的体积为 . 【答案】 【详解】设圆锥的底面半径为，母线为，高为， 因为圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，所以，，， 则， 则这个圆锥的体积为. 故答案为：. 实战演练三：外接球问题 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，将三棱锥补成三棱柱，点与重合， 正三棱柱外接球也为三棱锥的外接球，令球心为，半径为， 记和外接圆的圆心分别为和，其半径为， 由正弦定理得：，而为的中点，则， 所以该三棱锥的外接球的体积为. 故选：A 2．（2025·广东肇庆·二模）已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，高为2，则该三棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图， 若球心在三棱锥内，设为底面的外接圆的圆心. 球的半径为，则. 因为，所以，解得. . 若球心在三棱锥外，则， 同理由解得，此时，不符合题意. 故选：A. 3．（24-25高三上·安徽宿州·期末）若圆锥的轴截面是边长为1的等边三角形，则该圆锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，该圆锥的底面圆半径为，高为，设该圆锥外接球的半径， 由题意知，该圆锥外接球的球心在高线上，则，解得， 所以该圆锥外接球的表面积为. 故选：C 4．（24-25高三上·云南昆明·期末）四面体各个面都是边长为2的正三角形，其三个顶点在圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面的圆心，则圆柱的外接球的表面积（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】正三角形的外接圆半径为， 四面体的高， 所以圆柱的外接球的半径， 即该球的表面积， 故选：A 5．（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）棱长为2的正方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由正方体棱长为2可得正方体的体对角线长为. ∵正方体的外接球的直径为正方体的体对角线， ∴正方体的外接球的半径， ∴外接球的表面积为. 故选：B. 6．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）直三棱柱中，，，，则它的外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，直三棱柱中，，，，画出长方体，如图所示： 则长方体的外接球即为三棱柱的外接球，所求的外接球的直径为体对角线，则外接球的表面积是， 故选：C 7．（2025·四川泸州·模拟预测）已知圆台的上底面半径是1，下底面半径是2，且圆台的体积为，则该圆台的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆台的高为，其外接球的半径为， 因为圆台的体积为，可得，解得， 若球心在圆台的内部，可得，解得， 所以外接球的表面积为； 若球心在圆台的外部，可得，此时无解， 综上可得，外接球的表面积为. 故选：C. 8．（2025·浙江嘉兴·三模）若某正四面体的内切球的表面积为，则该正四面体的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】正四面体的内切球与其外接球球心重合， 如图，正四面体内切球与外接球球心在其高上， 则是正四面体内切球半径，是正四面体外接球半径， 由正四面体的内切球的表面积为，得，令， ，，， 在中，，解得，， 所以该正四面体的外接球的体积. 故选：C 9．（2025·河北保定·模拟预测）已知圆台的上底面的半径为，下底面的半径为，高为，则该圆台的外接球的体积为 . 【答案】/ 【详解】设圆台上、下底面的圆心分别为、，取该圆台的轴截面， 则该圆台的外接球球心在直线上，连接、， 设，则， 由，即， 即，解得， 因为该圆台的外接球半径为， 因此，所以该圆台的外接球的体积为. 故答案为；. 10．（24-25高二上·江西景德镇·期末）已知一个圆柱的侧面积为，则该圆柱外接球的体积最小值为 . 【答案】/ 【详解】设圆柱的底面半径为r，高为h， 因为圆柱的侧面积为，所以，得， 设圆柱外接球半径为R，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为1，则的最小值为1， 所以外接球的体积V的最小值为． 故答案为：. 11．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）一个母线长为的圆锥表面积为，则该圆锥外接球的表面积为 ． 【答案】 【详解】如图是圆锥的轴截面，，记底面半径为， 由，解得（负值舍去）， 则，， 外接圆半径为，则，， 此即为该圆锥外接球的半径， 所以球表面积为， 故答案为：． 12．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知正四棱锥的体积为，则该正四棱锥外接球的表面积为 . 【答案】 【详解】设正四棱锥的底面中心为，外接球球心为，显然球心在直线上. 设正四棱锥的高为，外接球的半径为， 由，可得正方形的面积为3，所以，解得. 球心到平面的距离为， 于是，即，解得， 所以外接球的表面积为. 故答案为： 13．（24-25高二上·上海·期中）已知矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到三棱锥，则三棱锥的外接球的体积为 . 【答案】/ 【详解】设为为中点，连接，由于，，故, 则由为直角可得， 故外接球半径为1， 故三棱锥的外接球的体积为， 故答案为：, 14．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知圆台上底面的周长为，下底面周长为，高为1，那么圆台外接球的体积为 . 【答案】 【详解】设圆台上底面半径为，下底面半径为，外接球的半径为， 则，解得， 可知外接球的球心，则， 即，解得， 所以圆台外接球的体积为. 故答案为：. 15．（2025·四川成都·三模）正三棱锥底面边长，体积，则该三棱锥外接球的表面积为 ． 【答案】 【详解】设正三棱锥的底面中心为M，外接球的球心为O，显然球心O在直线PM上． 设正三棱锥的高为h，外接球的半径为R，由，可得正三角形ABC的面积为，所以，解得， 球心O到底面ABC的距离为，，由，得，得， 所以外接球的表面积为． 故答案为：． 16．（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）已知四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为 . 【答案】 【详解】在四面体中，，，， 则该四面体的相对棱可为某个长方体三组相对面的面对角线，长方体的外接球即为四面体的外接球， 设长方体的共点的三条棱长依次为，外接球半径为， 则，于是， 所以该四面体外接球的表面积为 故答案为： 实战演练四：内切球问题 1．（2025·河南·二模）已知圆锥的轴截面为正三角形，圆锥的内切球的表面积为，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆锥的内切球的半径为，则，所以. 又圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的高为， 圆锥的底面半径为， 则圆锥的体积. 故选：A. 2．（2025·四川南充·三模）如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若，，则该圆台的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， 故，， 故圆台上底面半径： 下底面半径： 如图，取圆台的轴截面，则圆台的高： ， 则该圆台的内切球的半径： 故内切球表面积： 故选：D 3．（2024·重庆·模拟预测）已知体积为的圆柱存在内切球．则该内切球的表面积为（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设内切球的半径为，依题意可知圆柱的高和底面直径均为， 圆柱的体积，解得， 故圆柱内切球的表面积为, 故选：C. 4．（24-25高三上·湖南长沙·期末）某圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的内切球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，则由题意可得，解得， 所以， 设该圆锥内切球的半径为，作出轴截面如图所示， 其中为内切球的球心，为圆锥底面的圆心，为切点， 则，则，即，解得， 所以该圆锥的内切球的体积， 故选：A. 5．（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知圆锥的母线与底面所成角为，其内切球（球与圆锥底面及侧面均相切）的表面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作出轴截面如图所示，为内切球的圆心，为圆锥底面圆的圆心，为切点，由已知条件可知，内切球的表面积等于，即，而，在中，，所以，在中，所以圆锥的体积. 故选：C 6．（2024·江苏徐州·模拟预测）圆柱与圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥内切球半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若圆柱与圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为， 则，其中为圆锥底面圆的半径， 根据对称性，圆锥内切球半径为圆锥轴截面内切圆的半径， 设内切圆圆心为点，圆锥底面圆心为点，为圆锥的母线， 设，由题意， 由等面积法有. 故选：C. 7．（24-25高三上·山西吕梁·期末）若圆台的上下底面半径分别为，且，则该圆台内切球的表面积为 ． 【答案】 【详解】如图，为圆台的母线长，分别为上，下底面的圆心，点为内切球的球心， 点为球与圆台侧面相切的一个切点． 则由题意可得：， ． 因此可得：内切球半径，即得内切球的表面积为． 故答案为：． 8．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知正方体外接球的表面积与内切球的表面积之差为，则该正方体的棱长为 . 【答案】 【详解】设正方体的棱长为.正方体外接球的直径等于正方体的体对角线长. 正方体的体对角线长为，所以外接球半径. 正方体内切球的直径等于正方体的棱长，所以内切球半径.   正方体外接球的表面积. 正方体内切球的表面积.   已知正方体外接球的表面积与内切球的表面积之差为，则. 解得或（棱长不能为负舍去）. 故答案为：. 9．（24-25高三下·河北·开学考试）棱长为2的正方体的外接球表面积与内切球表面积的比值为 ． 【答案】3 【详解】根据题意，正方体的外接球的半径为，内切球的半径为． 所以外接球表面积与内切球表面积的比值为， 所以棱长为2的正方体的外接球表面积与内切球表面积的比值为3． 故答案为：3 10．（24-25高三上·江苏·阶段练习）与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的表面积为 ． 【答案】/ 【详解】由题意，画出圆台的直观图，其中为圆台的母线长， ，分别为上、下底面的圆心，点为内切球的球心， 点为球与圆台侧面相切的一个切点. 则由题意可得：， . 因此可得：内切球半径，即得内切球的体积为. 故答案为： 11．（24-25高二上·上海·期中）已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为 . 【答案】 【详解】如图所示，等腰梯形为圆台轴截面， 内接圆与梯形切于点，其中分别为上、下底面圆心， 则梯形的腰长，即圆台的母线长为， 所以该圆台的表面积为. 故答案为：. 12．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知扇形的半径为3，中心角为，则这个扇形围成的圆锥的内切球的体积是 ． 【答案】 【详解】设圆锥底面半径为R，则，所以． 设内切球半径为r﹐圆锥高为h，则， 如图，是圆锥轴截面三角形图， 所以，解得：， 故． 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高三三轮冲刺高频考点复习讲义 空间向量与立体几何：表面积问题、体积问题、外接球问题、内切球问题 高频考点分析 1.体积公式 立体图形 体积公式 柱体 锥体 台体 球 2.旋转体的侧面积与表面积公式 立体图形 侧面积公式 表面积公式 圆柱 圆锥 圆台 球 3.常见多面体的侧面积与表面积 （1）棱柱的侧面积与表面积：棱柱的侧面积由侧面的平行四边形的面积组成，表面积由侧面积与两个底面积组成. （2）棱锥的侧面积与表面积：棱锥的侧面积由侧面的三角形的面积组成，表面积由侧面积与一个底面积组成. （3）棱台的侧面积与表面积：棱台的侧面积由侧面的梯形的面积组成，表面积由侧面积与两个底面积组成. ※计算面积的高和计算体积的高不可混为一谈，需要互相转换时，需要借助侧棱长进行转换. 4.几类特殊的空间几何体 （1）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱. （2）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱. （3）正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥. （4）正四面体：侧棱与底面棱长相等的正三棱锥. 5.外接球问题 模型 计算公式 关键数据 长方体模型 长方体的长宽高、、. 直棱柱模型 棱柱的高，底面外接圆半径. 正棱锥模型 棱柱的高，底面外接圆半径. 正棱台模型 棱柱的高，上底面外接圆半径， 下底面外接圆半径，外接圆圆心到上底面的距离. 面面垂直模型 两个面所在图形的外接圆半径、，两个图形的交线长度. 二面角模型 为两个图形的交线长度，、为两个图形的外接圆圆心到交线的距离，为两个平面的夹角. 6.长方体模型的变形： ①图1与图2有重垂线，三视图都是三个直角三角形，图3无重垂线，俯视图是一矩形，AC为虚线，主视图和左视图为直角三角形． ②图4中，． 图1墙角体 图2鳖臑 图3挖墙角体 图4对角线相等的四面体 7.外接圆半径的求法 （1）利用正弦定理； （2）直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，等边三角形外接圆半径等于. 8.内切球的求解 （1）定义：内切球是指与几何体的所有面（或侧面及底面）都相切的球，其球心到每个面的距离等于球的半径. （2）求解：作出截面的平面示意图之后，利用等面积法或三角函数的定义构造方程进行求解. （3）常见几何体的内切球 ①棱长为的正方体： ②棱长为的正四面体： ③体积为，表面积为的棱锥： ④底面半径为，高为，母线长为（）的圆锥： 实战演练一：表面积问题 1．（2025·云南昭通·一模）如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的高为（    ） A． B．2 C．6 D．3 2．（24-25高三下·广东·开学考试）在正四棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱台的表面积是（   ） A．36 B．40 C．52 D．56 3．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了45°之后，表面积增加了（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·北京通州·期末）如图某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，先需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为元，则该零部件的防腐处理费用是（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 5．（2024·山东·模拟预测）若正四棱锥的高为6，且所有顶点都在半径为4的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·山东济南·一模）已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上下底面面积之差的绝对值为（    ） A．π B．2π C．4π D．8π 7．（2025·辽宁沈阳·二模）已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·山东聊城·模拟预测）宋代瓷器的烧制水平极高，青白釉出自宋代，又称影青瓷．宋蒋祁《陶记》中“江、湖、川、广器尚青白，出于镇之窑者也”，印证了宋人把所说的“影青”瓷器叫做“青白瓷”的史实．图1为宋代的影青瓷花口盏及盏托，我们不妨将该花口盏及盏托看作是两个圆台与一个圆柱的组合体，三个部分的高相同均为6cm，上面的花口盏是底面直径分别为8cm和10cm的圆台，下面的盏托由底面直径8cm的圆柱和底面直径分别为12cm和8cm的圆台组合构成，示意图如图2，则该花口盏及盏托构成的组合体的体积为（    ）        A． B． C． D． 9．（2025·辽宁·二模）图1所示几何体是一个星形正多面体，称为星形十二面体，是由对（个）平行五角星面组成的，每对平行五角星面角度关系如图2所示．一个星形十二面体有 个星芒（凸起的正五棱锥），将所有的星芒沿其底面削去后所得几何体和星形十二面体的表面积之比是 ．（参考数据：） 10．（24-25高三下·辽宁·阶段练习）如图，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一.现制作一件三层六角宫灯模型，三层均为正六棱柱（内部全空），其中模型上、下层的底面周长均为120cm，高为5cm.现在其内部放入一个体积为的球形灯，且球形灯球心与各面的距离不少于9cm.则该模型的侧面积至少为 11．（24-25高三上·福建龙岩·阶段练习）在正四棱台中，，则该棱台的侧面积为 ． 12．（2025·上海普陀·二模）若一个圆锥的高为，侧面积为，则该圆锥侧面展开图中扇形的中心角的大小为 . 13．（2025·上海宝山·二模）已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为 . 14．（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）边长为4的正三角形绕其一边所在的直线旋转一周所形成的曲面所围成的几何体的表面积为 . 15．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）某一次性咖啡杯的杯体近似视为圆台，如图所示，该圆台的上、下底面圆周长分别为，，侧面积为，则该咖啡杯的体积为 ． 16．（2024·四川绵阳·三模）底面半径为4的圆锥被平行于底面的平面所截，截去一个底面半径为1，母线长为3的圆锥，则所得圆台的侧面积为 . 实战演练二：体积问题 1．（2025·浙江宁波·二模）一个长方体墨水瓶的长、宽、高分别为10cm、8cm、15cm，内部装有400毫升墨水.将墨水瓶倾斜，使其一条长边（10cm）置于水平地面，高边（15cm）所在直线与水平地面成45度角，则此时墨水与墨水瓶接触部分的面积为（   ） A．180 B．220 C．260 D．300 2．（2025·湖北·模拟预测）一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边上的高为.当底面水平放置时水面高度为16（如图①）.当侧面水平放置时（如图②），水面高度为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·广东梅州·阶段练习）如图，往一个正四棱台密闭容器内倒入的水，水面高度恰好为棱台高度的，且，，则这个容器的容积为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏宿迁·二模）已知圆锥的轴截面为正三角形，外接球的半径为，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面积为 ，则此圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·河南郑州·二模）已知圆锥的侧面展开图是半径为3的半圆，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三下·重庆·阶段练习）西安大雁塔始建于唐代永辉三年，是中国古代佛教建筑的杰作．若将大雁塔的塔身近似看成正四棱台，上下底面的边长分别为13m和25m，塔身高度为60m．则其体积约为（    ）． A．15880 B．22380 C．47640 D．67140 8．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知正三棱锥的体积为，其底面三角形的斜二测直观图面积为，则三棱锥的高为（    ） A．2 B． C．1 D． 9．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知正四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形，侧棱长为2，则该正四棱台的体积为 ． 10．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）已知三棱锥的棱长都是2，则该三棱锥的体积为 ． 11．（24-25高一下·安徽宿州·期中）已知一个正四棱台的两底面边长分别为1和2，高为3，则该正四棱台的体积为 . 12．（2025·江西景德镇·模拟预测）若圆台上、下底面的半径分别为1，2，侧面积为，则圆台的体积为 ． 13．（2025·重庆·模拟预测）若高为3的正三棱台的上、下底面的边长之比为1:2，且其体积等于7，则该三棱台上底面的面积为 . 14．（2025·上海闵行·二模）已知圆柱的底面半径为，高为3，则圆柱的体积为 ． 15．（2025·陕西西安·二模）已知正四棱锥的底面边长为6，体积为48，则该四棱锥的侧面积为 . 16．（24-25高三下·上海·开学考试）圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则圆锥的体积为 . 实战演练三：外接球问题 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东肇庆·二模）已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，高为2，则该三棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·安徽宿州·期末）若圆锥的轴截面是边长为1的等边三角形，则该圆锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·云南昆明·期末）四面体各个面都是边长为2的正三角形，其三个顶点在圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面的圆心，则圆柱的外接球的表面积（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）棱长为2的正方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）直三棱柱中，，，，则它的外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·四川泸州·模拟预测）已知圆台的上底面半径是1，下底面半径是2，且圆台的体积为，则该圆台的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·浙江嘉兴·三模）若某正四面体的内切球的表面积为，则该正四面体的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·河北保定·模拟预测）已知圆台的上底面的半径为，下底面的半径为，高为，则该圆台的外接球的体积为 . 10．（24-25高二上·江西景德镇·期末）已知一个圆柱的侧面积为，则该圆柱外接球的体积最小值为 . 11．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）一个母线长为的圆锥表面积为，则该圆锥外接球的表面积为 ． 12．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知正四棱锥的体积为，则该正四棱锥外接球的表面积为 . 13．（24-25高二上·上海·期中）已知矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到三棱锥，则三棱锥的外接球的体积为 . 14．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知圆台上底面的周长为，下底面周长为，高为1，那么圆台外接球的体积为 . 15．（2025·四川成都·三模）正三棱锥底面边长，体积，则该三棱锥外接球的表面积为 ． 16．（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）已知四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为 . 实战演练四：内切球问题 1．（2025·河南·二模）已知圆锥的轴截面为正三角形，圆锥的内切球的表面积为，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川南充·三模）如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若，，则该圆台的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·重庆·模拟预测）已知体积为的圆柱存在内切球．则该内切球的表面积为（） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·湖南长沙·期末）某圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的内切球的体积为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知圆锥的母线与底面所成角为，其内切球（球与圆锥底面及侧面均相切）的表面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江苏徐州·模拟预测）圆柱与圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥内切球半径为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·山西吕梁·期末）若圆台的上下底面半径分别为，且，则该圆台内切球的表面积为 ． 8．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知正方体外接球的表面积与内切球的表面积之差为，则该正方体的棱长为 . 9．（24-25高三下·河北·开学考试）棱长为2的正方体的外接球表面积与内切球表面积的比值为 ． 10．（24-25高三上·江苏·阶段练习）与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的表面积为 ． 11．（24-25高二上·上海·期中）已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为 . 12．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知扇形的半径为3，中心角为，则这个扇形围成的圆锥的内切球的体积是 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$