2.4.3向量与夹角（1）教学设计-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

课题 2.4.3 向量与夹角（1） 编号 选择性必修 第二册 第二章 第4节 共7课时 施教 教师 施教日期 第 周 星期 施教班级 课型 新授课 主备 教师 内容分析 在“立体几何初步”中已经学习了对线线、线面、二面角的概念和几何求法，但几何方法需要做辅助线找角，很多时候并不好找。而在上一节研究向量法判断平行垂直为求角提供了一个新思路。线与线、线与面、面与面之间的垂直关系就是夹角为的特殊情况，它们的平行关系就是夹角为0或的特殊情况。前面已把上述垂直和平行关系转化为了直线的方向向量和平面的法向量之间的关系。类似地，也可以将线与线、线与面、面与面的夹角问题转化为直线的方向向量和平面的法向量之间的夹角问题，而两个向量的夹角问题主要用向量的数量积来解决。 教学目标 能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用；通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力；通过数形结合的思想和方法的应用，进一步让学生感受和体会空间直角坐标系，方向向量和法向量的魅力. 核心素养 ●直观想象、○数学运算、○数据分析、●数学抽象、●逻辑推理、○数学建模 教学重点 用向量法求空间角——线线角、线面角. 教学难点 将立体几何问题转化为向量问题. 教学方法 问题驱动、引导发现、合作探究相结合的教学方法展开教学. 教学手段 多媒体辅助教学 教学过程 教学环节 教学内容 设计意图 二次备课 创设情境 复习回顾： 问题1：立体几何中如何定义异面所成角和线面角？角范围？如何用几何方法求角？ 问题3：如何用向量法证明线线、线面垂直和平行？ 问题2：如何求直线的方向向量和平面的法向量？ 问题4：已知向量坐标如何求角？ 问题5：如何用向量求线线角和线面角？ 通过复习平行垂直这一特殊的所成角判断，类比得出用向量法求角的方法. 自主探究 合作交流 展示完善 精讲释疑 探究一：直线与直线的夹角 同一平面内两条直线的夹角可由平面向量的夹角公式求出，这里重点来解决不共面的两条直线（即异面直线）的夹角问题. 设两异面直线与所成角为，它们的方向向量分别为，，设与的夹角为.根据异面直线所成角的定义，思考与的关系： 两异面直线的夹角公式： 例1．已知正方体的棱长为1，点，分别是棱和的中点，求所成角. 探究二：直线与平面所成角 问题1：当线面平行或线在面内时所成角为？ 问题2：当线面垂直时所成角为？ 问题3：当线面相交但不垂直时所成角为？ 分析：几何方法需要找线在面内的投影，实际上投影有时候并不好找，可以借助向量来解决.设直线与平面所成角为，直线的一个方法向量为，平面的法向量为，与的夹角为，则两者关系为： 直线与平面所成的角公式： 例2． 正方体的棱长为,求直线与平面所成角正弦值. 变式：条件不变，求直线与平面所成角的余弦值. 通过画图帮助学生理解异面直线所成角和它们的方向向量所成角关系，并自行归纳出结论。 以正方形为模型，让学生继续经历“建系、求点的坐标，求向量的坐标，进行向量运算，得到几何结论”的过程，体会向量法求异面直线所成角的过程，使学生清楚运用坐标法解决立体几何问题的步骤. 由线面角定义，通过图形直观感受线面角与向量所成角之间的关系。 通过本例题让学生初步体会到利用向量方法求线面角问题，都不一定要做出角，这也说明了运用向量求角的优越性. 课堂练习 1. 已知异面直线a，b的方向向量分别为，，则a，b所成角的余弦值为________. 2. 已知，是直线的方向向量和平面的法向量，若，则与所成的角为________. 3. 正三棱柱-中，，求与所成角的大小. 4. 如图，已知棱长为1的正方体中， ，分别是棱和. 试求与平面所成角的正弦值. 1.进一步强化异面直线所成角和线面角与向量所成角之间的关系. 2.强化学生用向量方法求异面直线所成角和线面角的过程 总结提升 本节课你学到了哪些知识？有哪些收获？用到的数学方法有哪些？ 设空间两条直线，的方向向量分别为，，两平面，的法向量分别为，，则 1. 两异面直线的夹角公式： 2. 直线与平面所成的角公式： 系统梳理整节课所学内容. 作业布置 必做题 P104习题2.4第10题 分层布置作业，满足不同学生的学习能力要求. 选做题 P104习题2.4第17题 教后反思 更快、更高、更强，领先就是金牌 我自信，我拼搏，我出色，我成功1 学科网（北京）股份有限公司 $$