精品解析：江苏省苏州市2024-2025学年高二下学期期中调研数学试卷

高二期中调研试卷 数学 2025.4 注意事项 学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12题~第14题）、解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置. 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔、请注意字体工整，笔迹清楚. 4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损、一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若函数，则当自变量由1变化到1.1时，函数的平均变化率是（ ） A. 2 B. 2.1 C. 2.2 D. 2.3 2. 某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该弹簧振子在时的瞬时速度是（ ） A. B. C. D. 3. 某班有5名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队、羽毛球队，每人限报其中一个运动队，则不同的报法种数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线和圆，当从开始在平面上按顺时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 要从5名高二学生中选出3名同学分别到两个社区做志愿者，每个社区至少一人，则不同安排种数是（ ） A. 20 B. 40 C. 60 D. 80 6. 的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，则（ ） A. B. 75 C. 135 D. 165 7. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 用半径为4的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，当该圆锥形容器的容积最大时，扇形的圆心角是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 到了毕业季，某科技创新兴趣小组内的5名同学要站在一排进行拍照留念，则下列说法正确的是（ ） A. 所有不同排法种数为120种 B. 如果甲同学和乙同学必须相邻，则所有不同的排法种数为48种 C. 如果甲同学不站在第一个位置，也不在最后一个位置，则所有不同的排法种数为48种 D. 如果甲和丙不能相邻，则所有不同的排法种数为72种 10. 若函数，其导函数为偶函数，且其导函数的图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ） A. 在与处瞬时增长率相同 B. 在上不单调 C. 可能为奇函数 D. 11. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ） A. 在“杨辉三角”第6行中，从左到右第3个数是20 B. 在“杨辉三角”中，第10行的所有的数字之和为1024 C. 记“杨辉三角”第行的第个数为，则 D. 在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线方程为______. 13. 在的展开式中，含项的系数为________．（用数字作答） 14. 若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如212，324等都是“凹数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成三位数，则组成的三位数中，“凹数”的个数是________，其中能被3整除的“凹数”的个数是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 （1）求值：①； ②. （2）求证：； 16. 已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为2187. （1）求和的值； （2）求展开式中按的降幂排列的第3项； （3）求展开式中项的系数最大的项. 17. 已知函数. （1）求函数的单调区间： （2）若函数在上存在最大值，求实数的范围； （3）过点可作曲线的三条切线，求实数的范围. 18. 已知函数，. （1）若函数的一个极值点是，求实数的值； （2）若函数在内不单调，求实数的取值范围： （3）当时，，求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求实数的值； （2）若方程有两个不同的解，且， ①求实数的范围，试比较与的大小关系，并说明理由； ②证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二期中调研试卷 数学 2025.4 注意事项 学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12题~第14题）、解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置. 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔、请注意字体工整，笔迹清楚. 4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损、一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若函数，则当自变量由1变化到1.1时，函数的平均变化率是（ ） A. 2 B. 2.1 C. 2.2 D. 2.3 【答案】B 【解析】 【分析】利用平均变化率的定义求解即可. 【详解】当自变量由1变化到1.1时， ，， 则，则平均变化率是. 故选：B 2. 某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该弹簧振子在时的瞬时速度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数几何意义求解时的导函数值即可得答案. 【详解】由， 当时，， 所以该弹簧振子在时的瞬时速度是. 故选：A. 3. 某班有5名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队、羽毛球队，每人限报其中一个运动队，则不同的报法种数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求每一个同学报名的方法数，再求5个同学不同的报名总数. 【详解】每个同学报名都有4种方式可选，共有5个同学， 则有种报名方法. 故选：D. 4. 如图，直线和圆，当从开始在平面上按顺时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，根据面积函数的变化趋势，结合图象的变化率先变大在变小，即可求解. 【详解】根据题意，可得面积随着的增大而增加，所以函数为单调递增函数， 且增长趋势先慢后快，过圆心后逐渐变慢，即函数图象的变化率先变大在变小， 结合选项，可得选项D复合题意. 故选：D. 5. 要从5名高二学生中选出3名同学分别到两个社区做志愿者，每个社区至少一人，则不同安排的种数是（ ） A. 20 B. 40 C. 60 D. 80 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，依次取出1人组和2人组，再分配到两个社区即可. 【详解】从5名高二学生中取出1人组和2人组的取法数为，再把两组人分配到两个社区有种方法， 所以不同安排的种数是. 故选：C 6. 的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，则（ ） A. B. 75 C. 135 D. 165 【答案】D 【解析】 【分析】求出展开式的通项，进而求出，再利用组合计数问题求出即可. 【详解】展开式的通项， 则， 的展开式中的项为，则， 所以. 故选：D 7. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由在上单调递增，所以在上恒成立，分离参数转化为求函数的最大值即可. 【详解】函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以，即， 令，则即可， ，所以在上单调递减， 故，所以. 故选：A 8. 用半径为4的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，当该圆锥形容器的容积最大时，扇形的圆心角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用扇形弧长与圆锥底面周长相等得出，再利用体积公式求出体积，其是关于的函数，通过构造函数研究最大值，求出，再通过关系即可求得. 【详解】设圆形半径为，圆锥底面半径为， 则扇形的弧长为，圆锥底面周长为，则，即， 则圆锥的高为， 则圆锥的体积为， 设，则， 由得；得， 则在上单调递增，在上单调递减， 故当时，取最大值，即时，圆锥的体积取最大值， 此时. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 到了毕业季，某科技创新兴趣小组内的5名同学要站在一排进行拍照留念，则下列说法正确的是（ ） A. 所有不同的排法种数为120种 B. 如果甲同学和乙同学必须相邻，则所有不同的排法种数为48种 C. 如果甲同学不站在第一个位置，也不在最后一个位置，则所有不同的排法种数为48种 D. 如果甲和丙不能相邻，则所有不同排法种数为72种 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，5个人全排列；对B，相邻问题捆绑法；对C，利用特殊元素法，先安排特殊元素甲，再安排其它人；对D，不相邻问题插空法求解. 【详解】对于A，5名同学排一排共有种不同排法，故A正确； 对于B，相邻问题捆绑法，共有种排法，故B正确； 对于C，先排甲，有3个位置可选，再排另外4人有种，共有种排法，故C错误； 对于D，先将除了甲丙之外的三人排好有种，再插空甲丙有种，共有种排法，故D正确. 故选：ABD. 10. 若函数，其导函数为偶函数，且其导函数的图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ） A. 在与处的瞬时增长率相同 B. 在上不单调 C. 可能为奇函数 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定的导函数图象及性质，结合瞬时增长率、单调性判断AB；举例说明判断C；借助导数在上的单调性质确定在上的凹凸性判断D. 【详解】对于A，由函数的导函数为偶函数，得， 因此在与处的瞬时增长率相同，A正确； 对于B，当时，，因此在上单调递减，B错误； 对于C，函数的导函数符合给定图象，函数是奇函数，C正确； 对于D，当时，且函数在上单调递增，则函数在上为凹函数， 因此，即，D正确. 如图，在凹函数定义域内，观察图象得. 故选：ACD 11. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ） A. 在“杨辉三角”第6行中，从左到右第3个数是20 B. 在“杨辉三角”中，第10行的所有的数字之和为1024 C. 记“杨辉三角”第行的第个数为，则 D. 在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 【答案】BCD 【解析】 【分析】二项式的系数求得第6行第3个数，可判定A错误；结合二项式系数和，可判定B错误；根据第行的第个数为，结合，可判定C正确；结合的展开式的系数的关系，可判定D正确； 【详解】对于A中，在杨辉三角中，第6行第3个数是，所以A错误. 对于B中，第10行的所有的数字之和为，所以B正确. 对于C中，第行的第个数为，所以 即，所以C正确. 对于D中，用数学符号语言可表示为：， 证明如下：对应相乘，恰好得到这一项的系数为， 而是二项式的展开式中第项的二项式系数（即的系数）， 故，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】 求出曲线在处的导数值即切线斜率，即可得出方程. 【详解】，， 在点处切线的斜率， 则切线方程为，即. 故答案为：. 13. 在的展开式中，含项的系数为________．（用数字作答） 【答案】330 【解析】 【分析】写出含有项的系数，再利用二项式系数的性质化简可得结果. 【详解】展开式中含有项的系数为 ， 故答案：330. 14. 若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如212，324等都是“凹数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成三位数，则组成的三位数中，“凹数”的个数是________，其中能被3整除的“凹数”的个数是________. 【答案】 ①. 30 ②. 10 【解析】 【分析】利用分类加法计数原理及分步乘法计数原理列式求出“凹数”的个数，再分类求出能被3整除的“凹数”的个数. 【详解】依题意，十位数字是1的“凹数”个数为；十位数字是2的“凹数”个数为； 十位数字是3的“凹数”个数为；十位数字是4的“凹数”个数为1， 所以所求“凹数”的个数是； 1，2，3，4，5除以3的余数依次为1，2，0，1，2， 因此能被3整除的“凹数”含有数字3时，另两个数字除以3的余数不同， 其中十位数字是1，另两个数字分别为2，3和3，5；十位数字是2，另两个数字为3，4； 十位数字是3，另两个数字分别为4，5；共有个； 不含数字3时，三个数字除以3的余数相同，十位数字是1，另两个数字分别为4，4； 十位数字是2，另两个数字为5，5，共2个， 所以能被3整除的“凹数”的个数是10个. 故答案为：30；10 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求值：①； ②. （2）求证：； 【答案】（1），，（2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）①由排列数公式运算得解，②根据二项式系数和公式求解；（2）根据组合数公式证明. 【详解】（1）①. ②由二项式系数和特点，. （2） 16. 已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为2187. （1）求和的值； （2）求展开式中按的降幂排列的第3项； （3）求展开式中项的系数最大的项. 【答案】（1）， （2） （3）第6项 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得，化简运算得解； （2）求出展开式的通项，进而求解； （3）由题可得第项系数为，设第项系数最大，可得，运算得解. 【小问1详解】 由题意得，即，解得， 令，则各项系数和为，解得. 所以，. 【小问2详解】 由（1），展开式的通项为， 所以展开式中按降幂排列的第3项为， 【小问3详解】 由（2）知，展开式的第项系数为，， 设第项系数最大，则， 解得，又，所以， 所以展开式中项的系数最大的项为第6项. 17. 已知函数. （1）求函数的单调区间： （2）若函数在上存在最大值，求实数的范围； （3）过点可作曲线的三条切线，求实数的范围. 【答案】（1）递增区间为，递减区间为； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再导函数大于0、小于0的不等式即可. （2）由（1）的信息求出的极大值，并解不等式，再由已知求出的范围. （3）设出切点坐标，求出切线方程，再利用导数探讨有3个解的范围. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的递增区间为，递减区间为. 【小问2详解】 由（1）知，函数在处取得极大值，在处取得极小值， 函数有唯一极大值点，要函数在上存在最大值，则， 当时，恒有，当时，，当时，， 由，得，整理得，解得， 因此，解得， 所以实数的范围是. 【小问3详解】 设切点坐标为，则， 切线方程为，由切线过点， 得，整理得， 令，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值，在处取得极大值， 由过点可作曲线的三条切线，得方程有3个不同实数解， 则直线与函数的图象有3个交点，于是， 所以数的范围是. 18. 已知函数，. （1）若函数的一个极值点是，求实数的值； （2）若函数在内不单调，求实数的取值范围： （3）当时，，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数在某点处取得极值点的必要条件时在此点处的导函数取值为零求出结果，再进行验证得到. （2）函数在内不单调，则导函数在该区间内有零点，求导进而转化为在内有零点，结合零点存在性定理求得结果即可. （3）将当时，分离参数，转化为对函数进行求导，分析出单调性进而求得结果即可. 【小问1详解】 由得则. 检验：当时，函数 当时，单调递减，当时单调增.则在时取得极小值值，符合题意. 【小问2详解】 其中在内有零点， 则.则. 【小问3详解】 令则. 令则在上单调递减，则 则，则在时恒成立， 则单调递减，则时, 则.以上. 19. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求实数的值； （2）若方程有两个不同的解，且， ①求实数的范围，试比较与的大小关系，并说明理由； ②证明：. 【答案】（1） （2）①，，理由见解析；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求导得，求出切线方程，并联立曲线，根据判别式等于0即可得到答案； （2）①设，求出其最大值即可得到的范围，判断，等价证明，再通过合理变形和比值换元即可证明； ②由①知，再设，代入后再累加即可证明. 【小问1详解】 ，曲线在处的切线斜率为， 所以曲线在处的切线方程为． 由于切线与曲线只有一个公共点， 得有且只有一解， 所以， 解得． 【小问2详解】 ①令， 因为方程有两个不同的解，所以有两个不同的零点． ，当时，；当时，． 所以在上单调递增，在上单调递减． 所以，所以． 一方面因为， 另一方面因为， 令，所以． 综上：． 判断： 下证：等价于． 因为，所以，所以， 要证：即证，即证：，因为，即证： ，令， 设，则， 所以，所以． ②由①可知：当时，， 令，所以． 所以， 将以上个不等式进行累加，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $