9.2 复数的几何意义（课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

沪教版（2020） 必修第二册 第九章 复数 9.2 复数的几何意义 思考1：在几何上，我们用什么来表示实数? 实数可以用数轴上的点来表示. 实数 数轴上的点 一一对应 (数) (形) 思考2：类比实数的表示，可以用什么来表示复数？ 分析：根据复数相等的定义，任何一个复数都可以由一个有序实数对唯一确定；反之也对． 由此你能想到复数的几何表示方法吗？ 新课引入 如图,在平面上建立直角坐标系，以坐标为(a,b)的点Z表示复数z=a+bi,就可在平面上的点的集合与复数集合之间建立一个一一对应.这样用来表示复数的平面叫做复平面. 在复平面上，x轴上的点具有(a,0)形式的坐标，从而对应的都是实数，所以把x轴叫做实轴;同理，y轴上的点(除坐标原点外)都对应纯虚数，所以把y轴叫做虚轴；坐标原点表示实数0. 如图,共轭复数z=a+bi和=a-bi(a、b∈R)在复平面上所对应的点Z(a,b)和Z'(a,-b)关于x轴对称；反之，如果复平面上的两个点关于x轴对称，那么这两个点所对应的复数互为共轭.特别地，如果b=0,即z是实数，则z=，此时z、在复平面上所对应的点是位于实轴上的同一点. 复平面与复数的坐标表示 思考3：在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.你能用平面向量来表示复数吗？ x y O a b Z(, ) z=＋ 一一对应 一一对应 一一对应 复数 直角坐标系中的点 平面向量 复数的向量表示 思考4：我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应．而我们讨论向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？ Z O x y 复数加减运算的几何意义 思考5：类比复数加法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？ x o y Z1(a,b) Z2(c,d) 这就说明两个向量 与 的差就是与 复数(a-c)+(b-d )i 对应的向量. 设 分别与复数 a+bi，c+di 对应，则 因此， 这就是复数减法的几何意义. 复数的减法可以按照向量的减法来进行 x y O a b Z(, ) z=＋ 复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上所对应的点Z(a,b)到原点的距离,叫做复数z的模,记作|z|.这样，复数z=a+bi(a、b∈R)的模是 |z|=|a+bi|=. 由于复数z=a+bi的模与该复数所对应的向量的模是一致的，因此复数的模也可以说成是其对应的向量的模. 复数的模及有关性质 复数的模有如下性质： 其中，z、z1、z2∈C,并在关于除法的性质中需假设z2≠0. 复数的模还有如下性质：对z1、z₂∈C, |z1|+|z2|≥|z1十z2|. 这不过是“三角形两边之和大于第三边”这个性质的另一种表达方式，即必修课程第2章所述的“三角不等式”.如图,若复平面上Z1、Z₂是复数z1、z2所对应的点，则平行四边形OZ2ZZ1的顶点Z就是复数z1十z2对应的点.因此，有 |z1|+|z2|=|OZ1|+|OZ2I =|OZ1|+|Z1Z| ≥|OZ| =|z1十z2|. 复平面上两点的距离可以简洁地用对应复数差的模表示出来：设Z₁(a,b)、Z₂(c,d)是复平面上的两个点，其对应的复数为z1=a+bi,z2=c+di,则由平面上两点间距离公式可知 题型1　复数与复平面内的点的关系 利用复数与点的对应解题的步骤 (1)首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标． (2)根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系． 1．(1)本例中条件不变，求复数z表示的点在x轴上时，实数a的值． (2)本例中条件不变，如果点Z在直线x＋y＋7＝0上，求实数a的值． 解：(1)点Z在x轴上，所以a2－2a－15＝0且a＋3≠0，解得a＝5． 故a＝5时，点Z在x轴上． 题型2　复数的模及其应用 　　例2 (1)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝ (　　) 【答案】B (2)已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z． 复数模的两个关注点 (1)复数的模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离． (2)转化思想：利用模的定义将复数模的问题转化为其实部、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化的思想． 2．(1)已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列选项中正确的是 (　　) A．z1＞z2 B．z1＜z2 C．|z1|＞|z2| D．|z1|＜|z2| 【答案】D (2)已知复数z＝3＋ai(a∈R)，且|z|＜4，求实数a的取值范围． 题型3　复数与复平面内向量的关系 例3 在复平面内，复数i，1，4＋2i对应的点分别是A，B，C，求□ABCD的顶点D所对应的复数． 复数与向量的对应和转化 转化：复数的有关问题转化为向量问题求解． 解决复数问题的主要思想方法： ①(转化思想)复数问题实数化； ②(数形结合思想)利用复数的几何意义数形结合解决； ③(整体化思想)利用复数的特征整体处理． A．－1＋i B．1－i C．5－5i D．5＋5i 【答案】C 题型4　复数加减运算的几何意义 (2)如图，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i，试求： 题型5　复数的模的最值问题 例5 (1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是 (　　) 【答案】A 【解析】如图，设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2．问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值．因为|Z1Z3|＝1，所以|z＋i＋1|min＝1． 复数模的最值问题解法 (1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值内变为两复数差的形式． (2)|z－z0|＝r表示z的对应点在以z0对应的点为圆心，r为半径的圆上． (3)涉及复数模的最值问题，可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解． 5．(1)若本例题(2)条件改为“若复数z满足|z－3－4i|＝1”，求|z|的最大值． (2)若本例题(2)条件改为已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值． (2)因为|z|＝1且z∈C，作图如图所示， 所以|z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2，2)的距离． 课堂小结 感谢观看 THANK YOU FOR WATCHING $$