第六章 平行四边形 知识归纳与题型突破（十五类题型清单） -2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（北师大版）

第六章 平行四边形 知识归纳与题型突破（十五类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、平行四边形的定义 平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“口ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 要点：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心. 二、平行四边形的性质定理 平行四边形的对角相等； 平行四边形的对边相等； 平行四边形的对角线互相平分； 要点：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择. （3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决. 三、平行四边形的判定定理 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 要点：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个 行四边形时，应选择较简单的方法. （2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 四、平行线间的距离 1.两条平行线间的距离： （1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值. 2．平行线性质定理及其推论 夹在两条平行线间的平行线段相等. 平行线性质定理的推论： 夹在两条平行线间的垂线段相等. 五、三角形的中位线 三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 要点：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 六、多边形内角和、外角和 边形的内角和为(－2)·180°(≥3)． 要点：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数； (2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 多边形的外角和为360°．边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关. 03 题型归纳 题型一 平行四边形的性质概念辨析 例题 1．平行四边形一定具有的特征是（    ） A．四边相等 B．对角线相等 C．四个角都是直角 D．对角线互相平分 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．根据平行四边形的性质逐项判断即可得． 【解析】A.平行四边形的对边相等，四边不一定相等，此项不符合题意； B.平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，此项不符合题意； C.平行四边形的对角相等，但四个角不一定是直角，此项不符合题意； D.平行四边形的对角线互相平分，此项符合题意； 故选：D 巩固训练 2．下列语句中，平行四边形不一定具有的是（    ） A．对角相等 B．两组对边分别平行且相等 C．对角线相等 D．中心对称性 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，解题关键在于对平行四边形性质的理解． 【解析】解：∵平行四边形的性质为对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，是中心对称图形， ∴不具备对角线相等， 故选C 3．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形性质，根据平行四边形性质逐项验证即可得到答案，熟记平行四边形性质是解决问题的关键． 【解析】解：A、由平行四边形对角线不一定相等可知，不一定正确，不符合题意； B、由平行四边形对角线不一定垂直可知，不一定正确，不符合题意； C、由平行四边形对边相等可知，正确，符合题意； D、由平行四边形对角线不一定相等可知，不一定正确，不符合题意； 故选：C． 4．在平行四边形中，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形邻角互补,对面相等性质作答即可． 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴，，， 根据现有条件无法推出、、， 故选：C． 题型二　根据性质直接求角度 例题 5．在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等，即可求解．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【解析】解：在平行四边形中，若， 则． 故选：C． 巩固训练 6．在平行四边形中，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据平行四边形中，得到，即可求解． 【解析】解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：65． 7．在中，的值可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质：对角相等；根据此性质，，据此即可求解． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 从四个选项来看，只有选项A符合题意； 故选：A． 题型三 根据（平行四边形、三角形中位线）性质直接求长度 例题 8．已知中，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形对边相等这一性质，即可得出答案． 【解析】解：∵中，与是一组对边， ∴， 故答案为：5． 巩固训练 9．如图，在中，，分别是边，的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理解答即可． 【解析】解：，分别是边，的中点， 是的中位线， ， 故选：C． 10．如果的周长是20，边，则边等于 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的性质：（1）边：平行四边形的对边相等；（2）角：平行四边形的对角相等；（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形的特点，对应边相等，知道周长和其中一条边的长度可求出另外几条边的长度． 【解析】解：如图： ∵平行四边形的周长为，， ∴它的对边，； 故答案为：4． 11．如图，已知的周长为，是的中位线，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中位线的定义和性质，根据三角形中位线的性质得点D、E分别是的中点，，再根据的周长得出答案． 【解析】∵是的中位线， ∴点D、E分别是的中点，， ∴的周长． 故选：C. 12．如图，的周长是28cm，若，则的周长是 ． 【答案】22 【分析】由的周长是28cm，得出，再根据，得出的周长即可． 【解析】解：∵的周长是28cm， ∴， ∵， ∴的周长是， 故答案为：22． 【点睛】本题考查平行四边形的性质．熟记平行四边形的对边相等，是解题的关键． 13．如图，的对角线交于点O，，，，则的周长为 ．    【答案】19 【分析】由平行四边形的性质可得，，即可求解． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ，， ∴，， 而， ∴的周长， 故答案为：19． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 题型四 平行线间的距离 例题 14．如图，直线，点在上，点在上，若，则下列线段的长度是到的距离的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线之间的距离，根据平行线之间的距离的定义即可判断求解，理解平行线之间的距离的定义是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴， ∵，点在上，点在上， ∴的长度是到的距离， 故选：． 巩固训练 15．如图，，是线段上任意一点，与相交于点，若的面积是5，的面积是1，则的面积是 ．    【答案】4 【分析】由AD∥BC，S△CBE与S△ABC均以BC为底，且高相等，则得到S△CBE=S△ABC=5，再利用S△BOC = S△CBE - S△EOC得到结论． 【解析】解：∵AD∥BC， ∴S△CBE与S△ABC均以BC为底，且高相等. ∴S△CBE=S△ABC=5， ∵S△EOC=1， ∴S△BOC = S△CBE - S△EOC =5-1=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键． 题型五 平行四边形的判定综合辨析 例题 16．下列说法：①一组对边平行另一组对边相等的四边形；②两组对边分别平行的四边形是平行四边形；③对角线相等的四边形；④一组对角相等、一组对边平行的四边形是平行四边形．其中能判定一个四边形是平行四边形的是（   ） A．②④ B．②③ C．①②④ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，解题的关键是准确理解并运用各个判定条件来判断四边形是否为平行四边形．对每个说法逐一根据平行四边形的判定定理进行分析判断，确定哪些说法能判定四边形是平行四边形． 【解析】一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，比如等腰梯形，它满足一组对边平行，另一组对边相等，但不是平行四边形，所以①错误，不符合题意； 根据平行四边形的定义，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以②正确，符合题意； 对角线相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形的对角线都相等，但等腰梯形不是平行四边形 ，所以③错误，不符合题意； 已知一组对角相等，一组对边平行，可通过平行线的性质和等角的补角相等推出另一组对角也相等，根据 “两组对角分别相等的四边形是平行四边形”，可知这个四边形是平行四边形，所以④正确，符合题意； 综上，能判定一个四边形是平行四边形的是②④， 故选： A． 巩固训练 17．如图，在四边形中，对角线，相交于点，其中是的中点，添加一个条件： ，使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定．根据对角线相互平分的四边形是平行四边形进行解答． 【解析】解：添加， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 18．综合实践课上，李海画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．图图③是他的作图过程． 李海的作法中，可直接判定四边形是平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【答案】C 【分析】本题考直了平行四边形的判断，解题的关键是掌握基本的作图方法及平行四边形的判定定理．根据作图步骤可知，得出了对角线互相平分，从而可以判断． 【解析】解：根据图1，得出的中点，图2，得出， 可知使得对角线互相平分，从而得出四边形为平行四边形， 判定四边形为平行四边形的条件是：对角线互相平分， 故选：C． 19．如图，在四边形中，对角线和相交于点O，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【解析】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； B、∵， ∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； C、∵，， ∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； D、∵，， ∴四边形不一定是平行四边形，故该选项符合题意； 故选：D． 题型六 多边形的内角和与外角和 例题 20．正八边形的一个外角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形的外角和定理，解题的关键是掌握任何一个多边形的外角和都是．根据多边形的外角和为 360 度，再用 360 度除以边数即可得到每一个外角的度数． 【解析】解：∵多边形的外角和为 360 度， ∴每个外角度数为：， 故选：B． 巩固训练 21．若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是（   ） A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十二边形 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形外角和的知识，利用任意凸多边形的外角和均为，正多边形的每个外角相等即可求出答案． 【解析】解：多边形的每个外角相等，且其和为， 据此可得， 解得． 故选：B． 22．一个多边形的每个内角都是，那么这个多边形的边数为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形内角和问题，一元一次方程的应用（几何问题）等知识点，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键：边形的内角和为． 设这个多边形的边数为，根据多边形的内角和公式列方程求解即可． 【解析】解：设这个多边形的边数为， 由题意得：， 解得：， 这个多边形的边数为， 故选：． 23．若一个多边形的内角和比外角和多，则这个多边形的边数为 ． 【答案】8/八 【分析】本题主要考查多边形内角与外角，先求出多边形的内角和的度数，再设多边形的边数为，列出关于的方程式即可得出答案．熟练掌握多边形内角与外角和公式是解题的关键． 【解析】解：∵多边形的内角和比外角和多， ∴多边形的内角和为， 设多边形的边数为， 则， 解得：． 故答案为：8． 24．如果一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，那么这个多边形的边数为 ． 【答案】10 【分析】该题主要考查了多边形的外角和以及内角和，任何多边形的外角和是360度，即这个多边形的内角和是度．n边形的内角和是，列方程就可以求出多边形的边数． 【解析】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意，得， 解得：． 则这个多边形的边数是10． 故答案为：10． 题型七 多边形的内角和与外角和的其他应用（截一个角、分成三角形个数等） 例题 25．多边形的每个外角都等于，则此多边从一个顶点出发可作的对角线共有 条 【答案】 【分析】先根据多边形的外角和以及这个多边形每一个外角都是，可求出这个多边形的边数，再根据多边形对角线的定义进行计算即可． 【解析】解：多边形的每一个外角都是， 这个多边形是正多边形，且边数为，即这个多边形是正十八边形， 正十八边形从一个顶点出发可以画出条对角线， 故答案为：． 巩固训练 26．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，则原多边形的边数是 ． 【答案】15，16或17 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，注意要分情况进行讨论，避免漏解． 根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论． 【解析】解：设新多边形的边数为n， 则， 解得， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17， 所以多边形的边数可以为15，16或17． 故答案为：15，16或17． 27．若一个多边形的内角和为，从这个多边形的一个顶点引出的对角线可将其分为个三角形，则的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查多边形的内角和 ，根据题意得到多边形的内角和为，列出等式计算即可． 【解析】解：从这个多边形的一个顶点引出的对角线可将其分为个三角形， 多边形的内角和为， 多边形的内角和为， ， ． 故选：A． 28．如图，小明从A地出发，沿直线前进15米后向左转，再沿直线前进15米，又向左转⋯⋯，照这样走下去，他第一次回到出发地A地时，一共走的路程是 米． 【答案】300 【分析】本题主要考查了多边形内角与外角，解题关键是理解小明每前进15米后向左转18°，当他第一次回到出发地A地时，走的路程形成正多边形． 根据题意判断小明每前进15米后向左转，当他回到出发地A地时，走过的路程形成正多边形，然后根据正多边形的外角和是，求出多边形的边数，从而求出答案即可． 【解析】解：由题意得：小明从A地出发，他第一次回到出发地A地时，走的路程形成正多边形，外角和为，每个外角的度数是， ∴多边形的边数为：， ∴一共走的路程为：（米）， 故答案为：300． 题型八 多边形的内角和与外角和的几何应用 例题 29．如图，在正五边形中，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是正五边形的性质，熟记正五边形性质是解题的关键． 根据正五边形的性质的，，再利用等腰三角形的性质求出，进而可求出的度数． 【解析】解：五边形是正五边形， ，， ， ∴． 故选B． 巩固训练 30．如图，正五边形的五个内角都相等，五条边都相等，连接对角线，线段分别与和相交于点，．下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和问题，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识．根据题意可得正五边形的内角和等于180°，从而得到，，从而得到，再由三角形的内角和定理可得，据此分别求解即可判断． 【解析】解：五边形是正五边形， ∴内角和为， ，， ， ， ，， ， ，故A正确，不符合题意； 同理， ，故B正确，不符合题意； ，， ，故D正确，不符合题意； ∵，， ∴，故C错误，符合题意； 故选：C． 31．如图，将一把直尺放在正五边形上，分别交于点．则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了正多边形的内角和定理，平行线的性质，掌握正多边形的内角和定理是解题的关键． 根据正多边形的内角和定理及性质可得每个内角的度数为，如图所示，过点作，由两直线平行同位角相等得到，再根据即可求解． 【解析】解：∵五边形是正五边形， ∴每个内角的度数为， ∴， 如图所示，过点作， ∵将一把直尺放在正五边形上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 题型九 本章根据性质求角度的综合几何应用 例题 32．如图，在中，于点，于点．若，求（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握相关知识点是解题关键． 根据平行四边形的性质结合直角三角形的两个锐角互余求解即可． 【解析】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ． 故选：B． 巩固训练 33．如图，是平行四边形边上一点，且，连接，并延长与的延长线交于点，如果，那么的度数是 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．由平行四边形中，可得，由等边对等角可得，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【解析】解：平行四边形中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 34．如图，在平行四边形中，点是中点，连接并延长交的延长线于点． 若，，的度数= ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，三角形的外角性质，熟练掌握平行四边形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 由平行四边形的性质得，又点是中点，则，即，所以，再通过，得到，由等边对等角得，最后由三角形的外角性质即可求解． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点是中点， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 35．如图，E是平行四边形内一点，且，F，G分别为的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，取的中点，连接，延长交于点，易得，三线合一，得到，证明四边形为平行四边形，得到，进而得到，利用三角形的外角，进行求解即可．解题的关键是构造三角形的中位线和平行四边形． 【解析】解：取的中点，连接，延长交于点， ∵为的中点， ∴， ∵平行四边形，为的中点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴； 故选C． 题型十 本章根据性质求长度的综合几何应用 例题 36．如图，在中，平分，交于点，，．则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，以及周长的计算，解题的关键是正确的求出． 根据题意，先求出，再求出，即可求出周长． 【解析】解：在中，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴周长为：； 故选：C． 巩固训练 37．如图，在平行四边形中，，，平分交的延长线于点．则 ． 【答案】2 【分析】由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质和角平分线的可得，即可求解． 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 38．如图，在平行四边形中，，，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形的性质可知，，据此求出、的长，利用勾股定理求出的长即可． 【解析】解：四边形是平行四边形，，， ，， ， ． 故选：A． 39．如图，在中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，若，则的长是 ． 【答案】8 【分析】首先根据平行四边形的性质得出,再说明EF是△ADO的中位线，得出,即可求得答案． 【解析】∵四边形ABCD为平行四边形， ∴， 又∵E,F为AD,OD的中点， ∴, ∴, ∴, 故填：8． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线的判定和性质，熟练掌握平行四边形和三角形中位线的性质是解题关键． 40．如图，，、分别是、的中点，平分，交于点，若，，则的长是 ． 【答案】. 【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥AB，DE=0.5AB=5，根据平行线的性质、角平分线的定义求出DF，计算即可. 【解析】解：、分别是、的中点， ，，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为. 【点睛】本题考查的是角平分线的定义、三角形中位线定理，掌握平行线的性质、角平分线的定义是解题的关键. 41．如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，分别是线段，的中点．若，的周长是，则的长为（     ） A．12 B．6 C．3 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理和平行四边形的性质，解答本题需要用到：平行四边形的对角线互相平分，三角形中位线的判定定理及性质．根据，可得出，继而求出，判断是的中位线即可得出的长度． 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∵的周长是， ∴， ∵点，分别是线段，的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选 题型十一 平行四边形的坐标应用 例题 42．如图，将放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A的坐标是，点C的坐标是，则点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键．由平行四边形的性质可得，，即可求解． 【解析】解：延长交y轴于点D， ∵点A的坐标是， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点C的坐标是， ∴，， ∴， ∴点B的坐标是， 故答案为：． 巩固训练 43．如图，在平面直角坐标系中，的对称中心是坐标原点，顶点A的坐标是，则顶点C的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标特征，平行四边形的性质，正确理解题意得到点A和点C关于原点对称是解题的关键． 【解析】解：∵平行四边形的对称中心是坐标原点，且点A的坐标是， ∴点C的坐标是：； 故答案为：． 题型十二 面积问题综合 例题 44．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，则平行四边形的面积是（　　） A．12 B． C．24 D．30 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理逆定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，再由勾股定理逆定理确定是直角三角形，得出，再求面积即可． 【解析】解：∵四边形是平行四边形，且， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， 即， ∴平行四边形面积为：． 故选：C． 巩固训练 45．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点，交于点，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积是（ ） A．1.5 B．3 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 先利用勾股定理的逆定理求出是直角三角形，再利用定理证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得阴影部分的面积等于，然后根据平行四边形的性质求解即可得． 【解析】解：四边形是平行四边形，且， ， ， ，， ， 是直角三角形，且， ， ， 又， ， 在和中，， ， ， 则图中阴影部分的面积是， 故选：B． 46．如图，平行四边形中，对角线、相交于点，平分，分别交、于点、，连接，，，则的面积为是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键． 由平行四边形的性质证明是等边三角形，可得，可得，由勾股定理可求的长，根据平行四边形的性质和三角形的中位线定理得，再根据三角形的面积公式即可解决问题． 【解析】平分， ， ∵四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 在中， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． 故选：B． 47．如图，在中，点分别是的中点，分别是，的中点，依次类推．若的周长为1，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，由三角形的中位线定理得：分别等于的一半，所以的周长等于的周长的一半，以此类推可求出的周长． 【解析】解：∵点分别是的中点， ∴分别等于的， ∵分别为的中点， ∴分别为的， ∴以此类推：的周长为的周长的，即的周长的， ∴． 则故答案为：． 题型十三 本章的其他应用 例题 48．小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（    ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定，那么平行四边形的大小就确定． 确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题． 【解析】只有②③两块角的两边相互平行，且中间部分相连，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点， 带②③两块碎玻璃就可以确定平行四边形的大小． 故选C． 巩固训练 49．已知：在四边形中，，，、分别是，的中点，则线段的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，取的中点G，连接，．当时，最短，利用中位线定理可得，，利用三边关系可得的取值范围． 本题主要考查了三角形中位线定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，利用三角形中位线定理及三角形三边关系解答． 【解析】解：连接，取的中点G，连接，． ∵M是边的中点，G是的中点 ∴是的中位线， ∴； ∵N是的中点，G是的中点 ∴是的中位线， ∴ 在中，由三角形三边关系可知， 即， ∴， 当，即时，四边形是梯形， 故线段长的取值范围是． 故选：B． 50．如图，直线，点A，B固定在直线上，C是直线上一动点．若E，F分别为的中点，下列各值中，不随点C的移动而改变的是（    ） ①线段的长；②的周长；③的面积；④的度数． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形中位线定理、三角形面积等知识，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 判断出长为定值，到的距离为定值，再根据三角形的中位线与平行线的性质即可判断①③，根据运动得出不断发生变化、的大小不断发生变化，即可判断②④． 【解析】解：、为定点， 长为定值， 点，分别为，的中点， 是的中位线， 为定值，故①正确； 点，为直线上定点，直线， 到的距离为定值， 是的中位线， ， 到的距离为定值， 又为定值， 的面积为定值，故③正确； 当点移动时，的长发生变化， 则的长发生变化， 的周长发生变化，故②错误； 当点移动时，发生变化，则发生变化，故④错误； 故选：B． 题型十四 动态几何问题（在第3章的应用） 例题 51．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点B落在点E处，若，则的度数为 ． 【答案】63 【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据三角形的外角性质可得，根据角的和差可得，由此即可得． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：63． 巩固训练 52．如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，折叠的性质，一元一次方程解几何问题，掌握平行四边形、折叠的性质是关键． 令，则，进而可得，由折叠可知，，，，再根据三角形的内角和列出关于的方程式即可得出答案． 【解析】解：令，则， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， 由折叠可知，，， 在中，， 即， 解得：， ∴． 故选：C． 53．如图，在平行四边形中，点分别为边的中点，将平行四边形沿着折叠，点分别落在处，若，则的度数为 ． 【答案】/57度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，由折叠的性质，，得出，求出，得到，即可得到答案． 【解析】解：四边形是平行四边形， ， ∵点分别是的中点， ， 由折叠可得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 54．在▱ABCD中，AB＝5，BC＝7，对角线AC和BD相交于点O，如果将点A绕着点O顺时针旋转90°后，点A恰好落在平行四边形ABCD的边AD上，那么AC的长是 ． 【答案】或 【分析】如图，连接CA′，根据旋转的性质可得△AOA′是等腰直角三角形，△AA′C是等腰直角三角形，再根据勾股定理可求AA′，再根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【解析】解：如图，连接CA′， ∵将点A绕着点O顺时针旋转90°后，点A恰好落在平行四边形ABCD的边AD上， ∴△AOA′是等腰直角三角形， ∴△AA′C是等腰直角三角形，∠AA′C=90°， 设, 在中，, 解得： 或 ∴在中 AC＝或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用． 题型十五 解答综合题 例题 55．如图，在中，点、分别在、上，且． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了平行四边行动判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理和性质定理． 根据平行四边形对边平行且相等，即可得，根据给出相等的线段，根据线段的和差，得出对边平行且相等，即可证得四边形是平行四边形． 【解析】证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形． 巩固训练 56．如图，在中，，分别是边，的中点，过点作，且，连接．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了中位线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，先由，分别是边，的中点，得出，且，结合，且，得出，且，证明四边形是平行四边形，即可作答． 【解析】证明：∵，分别是边，的中点， ∴，且， ∵，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴． 57．如图，在中，是它的一条对角线，过，两点分别作，，，为垂足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． （1）根据平行四边形的性质求出，根据垂直可得，，证得，得，即可得出结论； （2）根据（1）的结论可得，，根据勾股定理求出，即可根据平行四边形的面积公式得出结果． 【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：由（1）得：四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴在中，， ∴． 58．如图，在中，，E，F分别是的中点，延长到点D，使得，连接，交于点O． (1)证明：与互相平分； (2)如果，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查勾股定理及三角形中位线定理和平行四边形的判断与性质． （1）根据题意利用三角形中位线定理：三角形得中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即，且，平行且相等，根据平行四边形的判定即可得出证明． （2）由（1）可知为平行四边形，根据平行四边形的性质：对角线互相平分，及勾股定理即可求出答案． 【解析】（1）解：证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． （2）解：在中，， ， ∵， ∴， 在中， ． 59．如图1，点是对角线上一点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证：； (2)如图2，设与的交点为，且为中点，连接，若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接交于点，由平行四边形的性质可得，结合题意得出为的中位线，再由三角形中位线的性质即可得证； （2）证明得出，证明得出，再由平行四边形的性质可得，即可得证． 【解析】（1）证明：如图，连接交于点， 四边形是平行四边形， ，即为中点， ， 为中点， 为的中位线 ，即； （2）解：由（1）得，， ， 又，为中点， ，， ， ， ， ， ， ， ． 又，， ， ． 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． 60．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，过点作轴于点．点是轴上一动点，过作轴的垂线，分别与直线，交于点，． (1)设的长为，点的横坐标为，求与的函数表达式； (2)若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求的值． 【答案】(1)当时，；当时， (2)当的值为或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，平行四边形的性质．解（2）题时，要注意到． （1）用分别表示出、的坐标，则可表示出与之间的关系式； （2）由条件可知，利用平行四边形的性质可知，由（1）的关系式可得到关于t的方程，可求得t的值． 【解析】（1）解：∵点的横坐标为，过作轴的垂线，分别与直线，交于，， 把代入中可得，即， 把代入中可得，即， 当时，； 当时，； （2）由题意可知， 若以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 则， ，解得或， 即当的值为或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 61．在平行四边形中，于E，于F，H为上一动点，连接，交于G，且． (1)如图1，若，求、的长； (2)如图2，当时，求证：； (3)如图3，若，点H是直线上任一点，将线段绕C点逆时针旋转，得到线段，请直接写出的最小值______． 【答案】(1)，； (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可； （2）过点作于点，连接，由垂直平分线的性质和等边对等角的性质，得到，证明，得到，，进而得出，再证明，得到，即可得出结论； （3）在取点，使得，连接并延长交于，连接，则是等边三角形，结合旋转的性质，可证，得出，进而推出，设与的交点为，点在直线上运动，则当点运动到点处时，有最小值，由（1）可知，，从而得出，再利用勾股定理，求出的长，即为的最小值． 【解析】（1）解：四边形是平行四边形， ， ， ， 在中，，， ，， ， ， 在中，，， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点作于点，连接， ，， 垂直平分， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如图，在取点，使得，连接并延长交于，连接， 四边形是平行四边形， ， 是等边三角形， ，， 由旋转的性质可知，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 设与的交点为， 点在直线上运动， 当点运动到点处时，有最小值， ，， ， 由（1）可知，， ， ， 在中，， ，， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，综合性较强，掌握相关知识点是解题关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 平行四边形 知识归纳与题型突破（十五类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、平行四边形的定义 平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“口ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 要点：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心. 二、平行四边形的性质定理 平行四边形的对角相等； 平行四边形的对边相等； 平行四边形的对角线互相平分； 要点：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择. （3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决. 三、平行四边形的判定定理 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 要点：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个 行四边形时，应选择较简单的方法. （2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 四、平行线间的距离 1.两条平行线间的距离： （1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值. 2．平行线性质定理及其推论 夹在两条平行线间的平行线段相等. 平行线性质定理的推论： 夹在两条平行线间的垂线段相等. 五、三角形的中位线 三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 要点：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 六、多边形内角和、外角和 边形的内角和为(－2)·180°(≥3)． 要点：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数； (2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 多边形的外角和为360°．边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关. 03 题型归纳 题型一 平行四边形的性质概念辨析 例题 1．平行四边形一定具有的特征是（    ） A．四边相等 B．对角线相等 C．四个角都是直角 D．对角线互相平分 巩固训练 2．下列语句中，平行四边形不一定具有的是（    ） A．对角相等 B．两组对边分别平行且相等 C．对角线相等 D．中心对称性 3．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．在平行四边形中，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二　根据性质直接求角度 例题 5．在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 6．在平行四边形中，若，则的度数为 ． 7．在中，的值可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．2 题型三 根据（平行四边形、三角形中位线）性质直接求长度 例题 8．已知中，，则的长为 ． 巩固训练 9．如图，在中，，分别是边，的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 10．如果的周长是20，边，则边等于 ． 11．如图，已知的周长为，是的中位线，则的周长为（ ） A． B． C． D． 12．如图，的周长是28cm，若，则的周长是 ． 13．如图，的对角线交于点O，，，，则的周长为 ．    题型四 平行线间的距离 例题 14．如图，直线，点在上，点在上，若，则下列线段的长度是到的距离的是（　　） A． B． C． D． 巩固训练 15．如图，，是线段上任意一点，与相交于点，若的面积是5，的面积是1，则的面积是 ．    题型五 平行四边形的判定综合辨析 例题 16．下列说法：①一组对边平行另一组对边相等的四边形；②两组对边分别平行的四边形是平行四边形；③对角线相等的四边形；④一组对角相等、一组对边平行的四边形是平行四边形．其中能判定一个四边形是平行四边形的是（   ） A．②④ B．②③ C．①②④ D．①②③ 巩固训练 17．如图，在四边形中，对角线，相交于点，其中是的中点，添加一个条件： ，使四边形是平行四边形． 18．综合实践课上，李海画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．图图③是他的作图过程． 李海的作法中，可直接判定四边形是平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 19．如图，在四边形中，对角线和相交于点O，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型六 多边形的内角和与外角和 例题 20．正八边形的一个外角度数是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 21．若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是（   ） A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十二边形 22．一个多边形的每个内角都是，那么这个多边形的边数为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 23．若一个多边形的内角和比外角和多，则这个多边形的边数为 ． 24．如果一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，那么这个多边形的边数为 ． 题型七 多边形的内角和与外角和的其他应用（截一个角、分成三角形个数等） 例题 25．多边形的每个外角都等于，则此多边从一个顶点出发可作的对角线共有 条 巩固训练 26．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，则原多边形的边数是 ． 27．若一个多边形的内角和为，从这个多边形的一个顶点引出的对角线可将其分为个三角形，则的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 28．如图，小明从A地出发，沿直线前进15米后向左转，再沿直线前进15米，又向左转⋯⋯，照这样走下去，他第一次回到出发地A地时，一共走的路程是 米． 题型八 多边形的内角和与外角和的几何应用 例题 29．如图，在正五边形中，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 30．如图，正五边形的五个内角都相等，五条边都相等，连接对角线，线段分别与和相交于点，．下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 31．如图，将一把直尺放在正五边形上，分别交于点．则 ． 题型九 本章根据性质求角度的综合几何应用 例题 32．如图，在中，于点，于点．若，求（　　） A． B． C． D． 巩固训练 33．如图，是平行四边形边上一点，且，连接，并延长与的延长线交于点，如果，那么的度数是 ． 34．如图，在平行四边形中，点是中点，连接并延长交的延长线于点． 若，，的度数= ． 35．如图，E是平行四边形内一点，且，F，G分别为的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 题型十 本章根据性质求长度的综合几何应用 例题 36．如图，在中，平分，交于点，，．则的周长为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 37．如图，在平行四边形中，，，平分交的延长线于点．则 ． 38．如图，在平行四边形中，，，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 39．如图，在中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，若，则的长是 ． 40．如图，，、分别是、的中点，平分，交于点，若，，则的长是 ． 41．如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，分别是线段，的中点．若，的周长是，则的长为（     ） A．12 B．6 C．3 D．8 题型十一 平行四边形的坐标应用 例题 42．如图，将放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A的坐标是，点C的坐标是，则点B的坐标是 ． 巩固训练 43．如图，在平面直角坐标系中，的对称中心是坐标原点，顶点A的坐标是，则顶点C的坐标是 ． 题型十二 面积问题综合 例题 44．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，则平行四边形的面积是（　　） A．12 B． C．24 D．30 巩固训练 45．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点，交于点，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积是（ ） A．1.5 B．3 C．6 D．4 46．如图，平行四边形中，对角线、相交于点，平分，分别交、于点、，连接，，，则的面积为是（   ） A． B． C． D． 47．如图，在中，点分别是的中点，分别是，的中点，依次类推．若的周长为1，则的周长为 ． 题型十三 本章的其他应用 例题 48．小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（    ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 巩固训练 49．已知：在四边形中，，，、分别是，的中点，则线段的取值范围（   ） A． B． C． D． 50．如图，直线，点A，B固定在直线上，C是直线上一动点．若E，F分别为的中点，下列各值中，不随点C的移动而改变的是（    ） ①线段的长；②的周长；③的面积；④的度数． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 题型十四 动态几何问题（在第3章的应用） 例题 51．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点B落在点E处，若，则的度数为 ． 巩固训练 52．如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 53．如图，在平行四边形中，点分别为边的中点，将平行四边形沿着折叠，点分别落在处，若，则的度数为 ． 54．在▱ABCD中，AB＝5，BC＝7，对角线AC和BD相交于点O，如果将点A绕着点O顺时针旋转90°后，点A恰好落在平行四边形ABCD的边AD上，那么AC的长是 ． 题型十五 解答综合题 例题 55．如图，在中，点、分别在、上，且． 求证：四边形是平行四边形． 巩固训练 56．如图，在中，，分别是边，的中点，过点作，且，连接．求证：．    57．如图，在中，是它的一条对角线，过，两点分别作，，，为垂足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 58．如图，在中，，E，F分别是的中点，延长到点D，使得，连接，交于点O． (1)证明：与互相平分； (2)如果，求的长． 59．如图1，点是对角线上一点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证：； (2)如图2，设与的交点为，且为中点，连接，若，求证：． 60．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，过点作轴于点．点是轴上一动点，过作轴的垂线，分别与直线，交于点，． (1)设的长为，点的横坐标为，求与的函数表达式； (2)若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求的值． 61．在平行四边形中，于E，于F，H为上一动点，连接，交于G，且． (1)如图1，若，求、的长； (2)如图2，当时，求证：； (3)如图3，若，点H是直线上任一点，将线段绕C点逆时针旋转，得到线段，请直接写出的最小值______． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$