25.1求概率的方法 同步练习2024-2025学年北京版数学九年级下册

25.1求概率的方法 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．一个不透明的袋中，装有4个黄球、3个红球和3个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出1个球，是红球的概率是（   ） A． B． C． D． 2．为了解我市某条斑马线上机动车驾驶员“礼让行人”的情况，下表是某志愿者小组6周累计调查的数据，由此数据可估计机动车驾驶员“礼让行人”的概率为（    ） 抽查车辆数 200 400 800 1500 2400 4000 能礼让的驾驶员人数 186 376 761 1438 2280 3810 能礼让的频率 0.93 0.94 0.95 0.96 0.95 0.95 A．0.93 B．0.94 C．0.95 D．0.96 3．从1，2，3，4这四个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的可能性是（ ） A． B． C． D． 4．甲、乙两位同学在一次实验中统计了某一结果出现的频率，给出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是(    ) A．掷一枚正六面体的骰子，出现5点的概率 B．掷一枚硬币，出现正面朝上的概率 C．任意写出一个整数，能被2整除的概率 D．一个袋子中装着只有颜色不同，其他都相同的两个红球和一个黄球，从中任意取出一个是黄球的概率 5．如图，共有12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分，现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是（ ） A． B． C． D． 6．有颜色不同的15个红球和若干个白球装在不透明的袋子里，从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4，则袋中白球有（    ） A．10个 B．16个 C．24个 D．40个 7．小燕一家三口在商场参加抽奖活动，每人只有一次抽奖机会：在一个 不透明的箱子中装有红、黄、白三种球各 1 个，这些球除颜色外无其他差别，从箱子中随机摸出 1 个球，然后放回箱子中轮到下一个人摸球，三人摸到球的颜色都不相同的概率是（    ） A． B． C． D． 8．学校给同学们准备了亚运吉祥物“琼琼、宸宸、莲莲”．设同学选择任意一种吉祥物的机会均等．小聪和小慧可以从三种吉祥物中任选一件，则小聪和小慧拿到同一种吉祥物的概率是（    ） A． B． C． D． 9．一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3个红球和2个绿球，随机从中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球．两次都摸到红球的概率是（  ） A． B． C． D． 10．下列说法不正确的是（ ） A．增加几次实验，事件发生的频率与这一事件发生的概率的差距可能扩大 B．增加几次实验，事件发生的频率越来越接近这一事件发生的概率的差距可能缩小 C．实验次数很大时，事件发生的频率稳定在这一事件发生的概率附近 D．实验次数增大时，事件发生的频率越来越接近这一事件发生的概率 11．在“绿水青山就是金山银山”这句话中任选一个汉字，这个字是“绿”的概率为（    ） A． B． C． D． 12．某市有6名教师志愿到四川地震灾区的甲、乙、丙三个镇去支教，每人只能去一个镇，则恰好其中一镇去4名，另两镇各去1名的概率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．连掷一枚均匀的骰子，七次都没有得到点．第八次得到点的概率为 ． 14．从分别标有数－3，－2，－1，0，1，2，3的七张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是 ． 15．一个骰子的六个面上分别标记着六个数：－2，－1，0，1，2，3．任意投掷一次骰子，把面朝上的数字记为k，则使得关于x的分式方程有非正数解的概率为 ． 16．在四个完全相同的小球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀，从口袋内取出一个球记下数字后作为点P的横坐标x，放回袋中搅匀，然后再从袋中取出一个球记下数字后作为点P的纵坐标y，则点P（x，y）落在直线y=﹣x+5上的概率是 ． 17．技术变革带来产品质量的提升．某企业技术变革后，抽检某一产品2020件，欣喜发现产品合格的频率已达到0.9911，依此我们可以估计该产品合格的概率为 ．（结果要求保留两位小数） 三、解答题 18．一个不透明的口袋里有10个除颜色外形状大小都相同的球，其中有4个红球，6个黄球． (1)从中随机摸出一个球，则“摸到黑球”是 事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）； (2)若从中随机摸出一个球是红球的概率为，求袋子中需再加入几个红球？ 19．现有，两个不透明的袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球．其中，袋装有1个白球，2个红球；袋装有1个红球，2个白球． （1）将袋摇匀，然后从袋中随机摸出一个球，则摸出的小球是红球的概率为______； （2）小王和小周商定了一个游戏规则：从摇匀后的，两袋中各随机摸出一个球，摸出的这两个球，若颜色相同，则小王获胜；若颜色不同，则小周获胜．请利用概率说明这个游戏规则是否公平． 20．甲、乙两人做掷六面体骰子的游戏，双方规定，若掷出的骰子的点数大于3，则甲胜，若掷出的点数小于3，则乙胜，游戏公平吗？若不公平，请你设计出一种对于双方都公平的游戏． 21．密码锁有三个转轮，每个转轮上有十个数字：0，1，2，…9．小黄同学是9月份中旬出生，用生日“月份+日期”设置密码：9×× 小张同学要破解其密码： （1）第一个转轮设置的数字是9，第二个转轮设置的数字可能是　 　． （2）请你帮小张同学列举出所有可能的密码，并求密码数能被3整除的概率； （3）小张同学是6月份出生，根据（1）（2）的规律，请你推算用小张生日设置的密码的所有可能个数． 22．有A、B两个黑布袋，A布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和2．B布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字和．小强从A布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为a，再从B布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为b，这样就确定点Q的一个坐标为． (1)用列表或画树状图的方法写出点Q的所有可能坐标； (2)求点Q落在直线上的概率． 23．南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动． (1)甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为______； (2)求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率． 24．如图，小明，小华用四张扑克牌玩游戏，他俩将扑克牌洗均匀后，背面朝上放置在桌面上，小明先抽，小华后抽，抽出的牌不放回． （1）若小明恰好抽到的黑桃4． ①请在右边筐中绘制这种情况的树状图； ②求小华抽出的牌的牌面数字比4大的概率． （2）小明、小华约定：若小明抽到的牌的牌面数字比小华的大，则小明胜；反之，则小明负，你认为这个游戏是否公平？说明你的理由． 《25.1求概率的方法》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A D A A D C A A 题号 11 12 答案 B B 1．C 【分析】本题主要考查了根据概率公式进行计算，熟练掌握概率公式，是解题的关键．根据一个不透明的袋中，装有4个黄球、3个红球和3个白球，求出从袋中任意摸出1个球，是红球的概率即可． 【详解】解：P（摸出1个球是红球）． 故选：C． 2．C 【分析】根据6周调查从200辆增加到4000辆时，能礼让车辆的频率趋近于0.95，从而求得答案． 【详解】解：∵抽取车辆为4000时，能礼让车辆的频率趋近于0.95， ∴可估计驾驶员能主动给行人让路的概率为0.95． 故选：C． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 3．A 【详解】解：第一个数字有4种选择，第二个数字有3种选择，易得共有4×3=12种可能，而被3整除的有4种可能（12、21、24、42），所以任意抽取两个数字组成两位数，则这个两位数被3整除的可能性为， 故选A． 4．D 【详解】试题解析：A、掷一枚正六面体的骰子，出现5点的概率为，故本选项错误； B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故本选项错误； C、任意写出一个整数，能被2整除的概率为，故本选项错误； D、一个袋子中装着只有颜色不同，其他都相同的两个红球和一个黄球，从中任意取出一个是黄球的概率为≈0.33，故本选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式． 5．A 【详解】试题分析：设没有涂上阴影的分别为：A、B、C、D、E、F、G，如图所示，从其余的小正方形中任取一个涂上阴影共有7种情况，而能够构成正方体的表面展开图的有以下情况，D、E、F、G，因此能构成这个正方体的表面展开图的概率是， 故选A 考点：概率 6．A 【分析】设袋中白球有x个，根据题意用白球数除以白球和红球的总数等于白球的频率列出等式，即可求出白球数． 【详解】解：设袋中白球有x个，根据题意，得 解得． 所以袋中白球有10个． 故选：A． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 7．D 【分析】画出树状图，得到所有可能的情况，然后找出符合条件的情况数，然后利用概率公式计算即可． 【详解】画树状图如下， 一共有 27 种可能，三人摸到球的颜色都不相同有 6 种可能， ∴P（三人摸到球的颜色都不相同）==， 故选D． 【点睛】本题考查了列表法或树状图求概率，，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 8．C 【分析】画树状图展示所有9种等可能的情况数．找出符合条件的情况数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 共有9种等可能的情况数．其中小聪和小慧拿到同一种吉祥物的有3种情况， 则小聪和小慧拿到同一种吉祥物的概率是． 故选：C． 【点睛】本题考查的列表法与树状补法利用列表或树状图法展示所有或树状图法展示所有可能的结果，求出n．再从中选出符合事件a或b的结果数目m．然后根据概率公式计算事件a或事件b的概率 9．A 【分析】列表或画树状图得出所有等可能的结果，找出两次都为红球的情况数，即可求出所求的概率 【详解】列表如下： 红 红 红 绿 绿 红 ﹣﹣﹣ （红，红） （红，红） （绿，红） （绿，绿） 红 （红，红） ﹣﹣﹣ （红，红） （绿，红） （绿，红） 红 （红，红） （红，红） ﹣﹣﹣ （绿，红） （绿，红） 绿 （红，绿） （红，绿） （红，绿） ﹣﹣﹣ （绿，绿） 绿 （红，绿） （红，绿） （红，绿） （绿，绿） ﹣﹣﹣ ∵所有等可能的情况数为20种，其中两次都为红球的情况有6种， ∴， 故选：A. 10．A 【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，据此求解． 【详解】A. 增加几次实验，事件发生的频率与这一事件发生的概率的差距可能扩大，错误； B. 增加几次实验，事件发生的频率越来越接近这一事件发生的概率的差距可能缩小，正确； C. 实验次数很大时，事件发生的频率稳定在这一事件发生的概率附近，正确； D. 实验次数增大时，事件发生的频率越来越接近这一事件发生的概率，正确， 故选A. 【点睛】本题考查的是概率问题，熟练掌握根据频率估计概率是解题的关键. 11．B 【分析】直接利用概率公式求解． 【详解】∵“绿水青山就是金山银山”这句话中共有10个字， ∴这句话中任选一个汉字，这个字是“绿”的概率=． 故选：B． 【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 12．B 【分析】因为对于这六个人来说，会被随机分派到3个镇中的任何一个，所以一共有种情况，而有4个人的镇可能是3个镇中的任何一个，剩下两个镇各派一个人的派法是，根据概率公式求解． 【详解】解：6名教师志愿随机派到3个镇中的任何一个共有种情况，有4个人的镇可能是3个镇中的任何一个，另两镇各去1名的结果数为， 所以恰好其中一镇去4名，另两镇各去1名的概率， 故选：B． 【点评】选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件A或的概率． 13． 【分析】无论哪一次掷骰子都有6种情况，故第八次得到6点的概率是． 【详解】解：由题意可知：点）． 故本题答案为：． 【点睛】本题考查了概率的意义：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率（A）． 14． 【分析】由标有数﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的七张没有明显差别的卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上的数的绝对值不小于2的有3种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵标有数﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的七张没有明显差别的卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上的数的绝对值小于2的有﹣1，0，1三种情况， ∴随机抽取一张，所抽卡片上的数的绝对值小于2的概率是：． 故答案为． 15． 【分析】根据关于x的分式方程有非正数解，可求得k的值，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：方程两边同乘（x+1）（x-1）， （x+k）（x-1）=k（x+1）+（x+1）（x-1）， ∴x=1-2k， ∵有非正数解， ∴1-2k≤0， ∴k≥， 又（x+1）（x-1）≠0， ∴x≠±1， 即1-2k≠±1， ∴k≠0，1， ∴k≥且k≠1， ∴使得关于x的分式方程有非正数解的k值有：2，3， ∴使得关于x的分式方程有非正数解的概率为：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式的应用以及分式方程的解．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 16． 【详解】试题分析：列表得： 1 2 3 4 1 （1，1） （1， 2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） ∵共有16种等可能的结果，数字x、y满足y=﹣x+5的有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）， ∴数字x、y满足y﹣x+5的概率为：． 故答案为． 考点：1、概率；2、一次函数 17．0.99 【分析】根据产品合格的频率已达到0.9911，保留两位小数，所以估计合格件数的概率为0.9９． 【详解】解：合格频率为：0.9911，保留两位小数为0.99，则根据产品合频率，估计该产品合格的概率为0.99． 故答案为0.99． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比及运用样本数据去估计总体数据的基本解题思想． 18．(1)不可能 (2)8个 【分析】(1)根据10个球中没有黑球，可以判断黑球是不可能事件； (2)设袋子中需再加入x个红球，根据摸出红球的概率为，可以列出方程求解即可． 【详解】（1）∵有10个除颜色外形状大小都相同的球， 其中有4个红球，6个黄球， ∴随意摸出一个球是黑球是不可能事件； 故答案为：不可能； （2）设袋子中需再加入x个红球． 依题意可列： 解得x = 8， 经检验x = 8是原方程的解， 故若从中随意摸出一个球是红球的概率为 袋子中需再加入8个球． 【点睛】本题考查了概率的知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 19．（1）；（2）这个游戏规则是不公平． 【分析】（1）用A袋中红球个数÷A袋中总球数即可； （2）（2）由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色不相同的结果有4种，颜色相同的结果有5种，则P（颜色不相同），P（颜色相同），因此这个游戏规则对双方不公平． 【详解】解：（1）共有3种等可能结果，而摸出红球的结果有2种， ∴P（摸出红球）； （2）根据题意，画出树状图： 由树状图可以看出，所有可能出现的结果有9种，并且它们出现的可能性相等，其中颜色相同的结果有4种，颜色不同的结果有5种． 所以（颜色相同）；（颜色不同）． ∵， ∴这个游戏规则是不公平． 【点睛】本题考查了概率，根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率． 20．不公平，可设计掷出的点数为偶数时甲胜，掷出的点数为奇数时乙胜 【分析】根据题意先求出小明获胜的概率，然后再求出小兵获胜的概率，二者比较一下大小就可以了． 【详解】不公平， P（甲获胜）=，P（乙获胜）=， ∵ 所以不公平． 可设计掷出的点数为偶数时甲胜，掷出的点数为奇数时乙胜． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 21．（1）1或2（2） （3）30种 【分析】（1）根据每个月分为上旬、中旬、下旬，分别是：上旬：1日﹣10日 中旬：11日﹣20日 下旬：21日到月底，由此即可解决问题； （2）利用列举法即可解决问题； （3）小张同学是6月份出生，6月份只有30天，推出第一个转轮设置的数字是6，第三个转轮设置的数字可能是0，1，2，3；第二个转轮设置的数字可能，0，1，2，…9；由此即可解决问题； 【详解】解：（1）∵小黄同学是9月份中旬出生，∴第一个转轮设置的数字是9，第二个转轮设置的数字可能是1，2． 故答案为1或2； （2）所有可能的密码是：911，912，913，914，915，916，917，918，919，920； 能被3整除的有912，915，918； 密码数能被3整除的概率． （3）小张同学是6月份出生，6月份只有30天，∴第一个转轮设置的数字是6，第二个转轮设置的数字可能是0，1，2，3；第三个转轮设置的数字可能，0，1，2，…9（第二个转轮设置的数字是0时，第三个转轮的数字不能是0；第二个转轮设置的数字是3时，第三个转轮的数字只能是0），∴一共有9+10+10+1=30，∴小张生日设置的密码的所有可能个数为30种． 【点睛】本题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 22．(1) (2) 【分析】此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． （1）首先根据题意画树状图，根据树状图可以求得点的所有可能坐标； （2）根据（1）中的树状图，求得点落在直线上的情况，根据概率公式即可求得答案． 【详解】（1）解：画树状图得：    ∴点的坐标有； （2）∵点落在直线上的有，， ∴“点落在直线上”记为事件， ∴， 即点落在直线上的概率为． 23．(1) (2) 【分析】题考查了利用列表法或树状图法求概率：先列表或画树状图展示所有等可能的结果数m，再找出某事件所占有的可能数n，然后根据概率的概念即可得到这个事件的概率． （1）直接利用概率公式计算可得； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案． 【详解】（1）解：∵有标识为1、2、3、4的四个出入口， ∴甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 共有16种等可能结果，其中甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动有4种结果， ∴甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率为． 24．（1）①树状图见详解，②（2）不公平，理由见解析 【分析】（1）①画出树状图即可； ②小明确定抽到了黑桃4，则还剩2，5，5，所以小华抽出的牌的牌面数字有3种可能结果，比4大的有两种可能结果，则可求得概率； （2）游戏是否公平关键是看比较的两个量的概率是否相等，此题是比较小明胜与小华胜的概率是否相等，相等则公平，否则不公平． 【详解】解：（1）① ②小华抽出的牌的牌面数字比4大的概率是． （2）这个游戏不公平． 小明胜的情况共有5种，即（4，2），（5，2），（5，2），（5，4），（5，4）， 故小明获胜的概率为，而小明输的概率为． ∴这个游戏不公平． 【点睛】本题考查了用列表法或树状图求概率、判断游戏的公平性，正确列表或画出树状图是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$