第1章 专题强化4 带电粒子在组合场中的运动-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二物理选择性必修第二册教师用书（鲁科版2019）

DIYIZHANG 第1章 专题强化4　带电粒子在组 合场中的运动 1 1.进一步掌握带电粒子在电场、磁场中运动的特点及分析方法(重点)。 2.掌握带电粒子在组合场中运动问题的分析方法(重点)。 3.会根据电场知识和磁场知识分析带电粒子在组合场中的运动规律(难点)。 学习目标 2 一、带电粒子在电场和磁场中运动的动力学分析 二、带电粒子在组合场中的运动 专题强化练 内容索引 3 带电粒子在电场和磁场中运动的动力学分析 一 4 如图甲，在y>0的区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E；在y<0的区域存在方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从y轴上y=h处以大小为v1的速度沿x轴正方向射出，不计粒子的重力，粒子在电场中做类平抛运动，然后粒子以与x轴正方向夹角为θ=60°的方向进入磁场，在磁场中做匀速圆周运动，并从坐标原点O处第一次射出磁场，轨迹如图乙所示。 (1)求第一次进入磁场的位置到原点O的距离s。 答案　方法一：类平抛速度反向延长线必过这段时间内水平位移的中点， 则tan 60°=，得s1=h。 方法二：s1=v1t1 ① h=a ② a= ③ tan 60°= ④ 由①②③④联立解得s1=h。 (2)求所加磁场的磁感应强度B。 答案　进入磁场的速度v1'==2v1 在磁场中，由洛伦兹力提供向心力得Bqv1'=m 由几何关系得s1=2R1sin 60° 联立以上各式得B=。 提炼·总结 　(多选)关于带电粒子(重力不计)在电场和磁场中的运动，下列说法正确的是 A.洛伦兹力只改变带电粒子速度方向，不改变带电粒子速度大小 B.电场力只改变带电粒子速度大小，不改变带电粒子速度方向 C.带电粒子垂直匀强磁场(仅有磁场)入射，一定做匀速圆周运动 D.带电粒子垂直匀强电场(仅有电场)入射，也可能做匀速圆周运动 例1 √ √ 返回 二 带电粒子在组合场中的运动 10 1.从电场进入磁场 两类电场进磁场问题的分析方法 (1)带电粒子在电场中做初速度为零的匀加速直线运动，然后进入磁场做匀速圆周运动。如图甲、乙所示，在电场中，可利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度，再利用带电粒子在有界磁场中运动的规律求解。 (2)带电粒子在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做匀速圆周运动，如图丙、丁所示，在电场中，可利用类平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度，再利用带电粒子在有界磁场中运动的规律求解。 　(2023·长沙市雅礼中学高二期末)在半导体离子注入工艺中，初速度可忽略的离子P+和P3+，经电压为U的电场加速后，垂直进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里，有一定的宽度的匀强磁场区域，如图所示。已知离子P+在磁场中转过θ=30°后从磁场右边界射出。在电场和磁场中运动时，离子P+和P3+ A.在磁场中运动的半径之比为3∶1 B.在电场中的加速度之比为1∶1 C.在磁场中转过的角度之比为1∶2 D.离开磁场区域时的动能之比为1∶ 例2 √ 两个离子的质量相同，其带电荷量之比是1∶3的 关系，所以由牛顿第二定律有q=ma，得a=， 可知二者在电场中的加速度之比是1∶3，故选项 B错误； 离子在离开电场时有Uq=mv2，即v=，可知其速度之比为1∶，又由qvB=m，知r=∶1，故选项A错误； 由选项A分析可知，离子在磁场中运动的半径之比为∶1，设磁场宽度为L，离子通过磁场转过的角度等于其圆心角，所以有sin θ=，则可知转过角度的正弦值之比为1∶，又P+转过的角度为30°， 可知P3+转过的角度为60°，即在磁场中转过的角度之比为1∶2，故选项C正确； 由电场加速后有qU=mv2，在磁场中洛伦兹力不做功，可知，两离子离开磁场的动能之比为1∶3，故选项D错误。 　(2023·福州市高二期中)如图所示，在直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域，半径为R=1 m，其边界与x轴正半轴相切于M点，与y轴负半轴相切于P 点，MN为圆的一条直径。一比荷为=×106 C/kg的 例3 正电荷从y轴正半轴上的A点垂直电场线方向射入，其初速度v0=1×106 m/s，且恰能从M点与x轴正方向成θ=60o角进入磁场，并最终从N点离开。求： (1)匀强电场的电场强度E的大小； 答案　3×106 N/C 粒子在电场做类平抛运动a= x轴方向R=v0t y轴方向v0tan θ=at 联立解得E=3×106 N/C (2)匀强磁场的磁感应强度B的大小。 答案　1.73 T 粒子在磁场中做匀速圆周运动v==2v0 由几何关系得r==2R 又因qvB=m 联立解得B= T≈1.73 T。 　(2023·佛山市月考)如图，在空间直角坐标系O-xyz中，界面Ⅰ与Oyz平面重叠，界面Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ相互平行，且相邻界面的间距均为L，与x轴的交点分别为O、O1、O2；在界面Ⅰ、Ⅱ间有沿y轴负方向的匀强电场，在界面Ⅱ、Ⅲ间有沿z轴正方向的 例4 匀强磁场。一质量为m、电荷量为+q的粒子，从y轴上距O点处的P点，以速度v0沿x轴正方向射入电场区域，该粒子刚好从点O1进入磁场区域。粒子重力不计。求： (1)匀强电场的电场强度的大小E； 答案　　 画出平面图如图所示： 粒子在电场区域内做类平抛运动，设电场中粒子加速度大小为a，沿z轴正方向看，如图所示 粒子从O1点进入右边磁场，则 L=v0t =at2 qE=ma 联立解得E= (2)要让粒子刚好不从界面Ⅲ飞出，匀强磁场的磁感应强度B应多大。 答案　 设粒子到O1点时的速度大小为v，与x轴正方向夹角为θ，如图所示，则 vy=at，v= tan θ= 故tan θ=1 即有θ=45°，v=v0 在磁场区域，粒子做匀速圆周运动，则qvB=m，粒子刚好不从界面Ⅲ飞出，根据几何关系有R+Rcos 45°=L 解得B=。 总结提升 此题看题图是立体空间，但是带电粒子在电场中的偏转和磁场中的圆周运动是在同一个平面内完成的，即带电粒子的运动轨迹在同一个平面内。解此类题可以先把立体图转化为平面图，然后画出带电粒子的运动轨迹，再运用带电粒子在电场、磁场中运动的规律列方程求解。 2.从磁场进入电场 两类磁场进电场问题的分析方法 (1)进入电场时带电粒子速度方向与电场方向相同或相反(如图甲所示)，带电粒子在电场中做匀变速直线运动，运用动能定理或运动学公式求解，有时会出现往复运动形成多解。 (2)进入电场时带电粒子速度方向与电 场方向垂直(如图乙所示)，带电粒子 在电场中做类平抛运动，用平抛运动 知识分析。 　(2023·三明市高二期中)如图所示的xOy坐标系中，第一象限内存在与x轴成30°角斜向下的匀强电场，电场强度E=400 N/C；第四象限内存在垂直于纸面向里的有界匀强磁场，其沿x轴方向的宽度OA= 20 cm，沿y轴负方向宽度无限大，磁感应强度 例5 B=10-4 T。现有一比荷为=1×1011 C/kg的正离子(不计重力)，以大小不同的速度从O点射入磁场，速度方向均与x轴正方向夹角α=60°。 (1)某离子只经过磁场的偏转后通过A点，求离子的入射速度v0的大小； 答案　2×106 m/s　 某离子只经过磁场的偏转后通过A点，如图所示 由几何关系可得2r1cos 30°=OA 又洛伦兹力提供向心力qv0B=m 解得v0=2×106 m/s (2)某离子只经过磁场和电场各偏转一次后通过A点，求离子的入射速度v0'的大小。 答案　106 m/s 某离子只经过磁场和电场各偏转一次后通过A点，设磁场中运动半径为r2，有qv0'B=m，离子进入电场后，设经过时间t再次到达x轴上，离子沿垂直电场方向做速度为v0'的匀速直线运动，位移为l1，l1=v0't 离子沿电场方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a，位移为l2，qE=ma， l2=at2，由几何关系可知tan 60°= 离子在x轴方向运动的距离为s=2l1 由几何关系可知2r2cos 30°+s=OA 解得v0'=106 m/s。 3.多次进出电场和磁场 在处理带电粒子多次进出电场和磁场问题时，一定要注意： (1)空间各处电场、磁场的方向及大小是否一致。 (2)带电粒子是平行电场入射做匀变速直线运动还是垂直电场入射做类平抛运动等。 (3)带电粒子在磁场中运动只改变速度方向不改变其大小，但在电场中运动速度大小要发生变化。 　如图甲所示，直角坐标系xOy中，第二象限内有沿x轴正方向的匀强电场，第一、四象限内有垂直坐标平面的匀强交变磁场，磁场方向垂直纸面向外 例6 为正方向。第三象限内有一发射装置(没有画出)沿y轴正方向射出一个比荷=100 C/kg的带正电的粒子(可视为质点且不计重力)，该粒子以v0=20 m/s的速度从x轴上的点A(-2 m，0)进入第二象限，从y轴上的点C(0，4 m)进入第一象限。取粒子刚进入第一象限的时刻为0时刻，第一、四象限内磁场的磁感应强度按图乙所示规律变化。g=10 m/s2。 (1)求第二象限内电场的电场强度大小； 答案　1 N/C　 带电粒子在第二象限的电场中做类平抛运动；粒子从A点到C点用时t== s= s；粒子在水平方向上有qE=ma，所以OA=at2，则有E=1 N/C； (2)求粒子第一次经过x轴时的位置坐标。 答案　(3 m，0) 设粒子进入磁场时的速度为v，则其竖直分量vy=v0=20 m/s，水平分量vx=at=t=20 m/s，所以v==20 m/s，v与y轴正方向的夹角为45°；洛伦兹力提供向心力，有Bvq=，粒子在磁场中做圆周运动的半径R== m= m；粒子做圆周运动的周期T== s，所以，由题图乙 可知，粒子每运动半个圆周则磁感应强度方向改变，则粒子在磁场中的运动轨迹如图所示， 因为4 m=8R，所以粒子运动第四个半圆的过程中第一次经过x轴，由等腰三角形性质可知，粒子第一、二次经过x轴，在x轴上对应的弦长为R=1 m；所以OD=3 m，则粒子第一次经过x轴时的位置坐标为(3 m，0)。 返回 专题强化练 三 38 1.如图所示，两导体板水平放置，两板间电势差U=100 V，不计重力的带电粒子以初速度v0=300 m/s沿平行于两板的方向从两板正中间射入，穿过两板后，又垂直于磁场方向射入边界线竖直的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，粒子射入磁场的点M和射出磁场的点N之间的距离d=20 cm，则 A.当v0=600 m/s，U=50 V时，d=20 cm B.当v0=600 m/s，U=100 V时，d=40 cm C.当v0=300 m/s，U=50 V时，d<20 cm D.当v0=600 m/s，U=100 V时，d<40 cm 1 2 3 4 5 6 7 8 基础对点练 √ 设带电粒子离开电场时速度为v，与水平方 向的夹角为θ，可得v=，粒子以速度v进 入磁场中后做匀速圆周运动，由洛伦兹力提 供向心力可得qvB=m，则粒子在磁场中运 动的轨道半径r=，由几何关系可得M、N之间的距离d=2rcos θ，联立解得d=，与U无关，当v0=300 m/s时，d=20 cm，故当v0=600 m/s时，d=40 cm，选项B正确。 1 2 3 4 5 6 7 8 2.(多选)(2024·景颇族自治州月考)如图所示的xOy坐标系中，y轴左侧存在电场强度为E的匀强电场，电场方向平行于x轴，y轴右侧存在垂直坐标系所在平面向外的匀强磁场。一个比荷为k的带正电的粒子从x轴上的M点以某一初速度平行于y轴向上运动，经电场偏转后从y轴上的P点进入磁场，进入磁场时速度方向与y轴正方向成θ=60°角，粒子经磁场偏转后打到坐标原点O上。已知M点到O点的距离为L，不计粒子的重力，下列说法正确的是 A.P与O的距离为L B.粒子轨道半径为L C.粒子初速度大小为 D.磁场的磁感应强度大小为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 粒子的运动轨迹如图所示，根据类平抛运动推论有=tan 60°，解得P与O的距离s=L，A错误； 由s=2Rsin 60°解得R=L，B错误； 根据L=at2，at=v0tan 60°，Eq=ma，=k，联立解得v0=，C正确； 粒子在P点的合速度v==2v0，由R=L=，解得B=，D正确。 答案　 3.(2023·漳州市高二期中)如图所示的平面直角坐标系xOy，在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，方向沿y轴正方向；在第Ⅳ象限的正三角形abc区域内有匀强磁场，方向垂直于xOy平面向里，正三角形边长为L，且ab边与y轴平行。一质量为 m、电荷量为q的粒子，从y轴上的P(0，h) 1 2 3 4 5 6 7 8 点，以大小为v0的速度沿x轴正方向射入电场，通过电场后从x轴上的a(2h，0)点进入第Ⅳ象限，又经过磁场从 y轴上的某点进入第Ⅲ象限，且速度与y轴负方向成45°角，不计粒子所受的重力。求： (1)电场强度E的大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 设粒子在电场中运动的时间为t，则有 2h=v0t，y=h=at2，qE=ma 联立以上各式可得E=； (2)粒子到达a点时速度的大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 答案　v0　 粒子达到a点时沿负y方向的分速度为vy=at=v0 所以v==v0 ，方向指向第Ⅳ象限与x轴正方向成45o角； (3)abc区域内磁场的磁感应强度B的最小值。 1 2 3 4 5 6 7 8 答案　 粒子在磁场中运动时，有qvB= 当粒子从b点射出时，磁场的磁感应强度为最小值，此时有r=L所以磁感应强度B的最小值B=。 4.(2023·连云港市高二月考)如图所示，y轴上M点的 坐标为(0，L)，MN与x轴平行，MN与x轴之间有匀 强磁场，磁场垂直纸面向里。在y>L的区域存在沿 -y方向的匀强电场，电场强度为E，在坐标原点O 处有一带正电粒子以速率v0沿+x方向射入磁场，粒子穿出磁场进入电场，速度减小到0后又返回磁场。已知粒子的比荷为，粒子重力不计。求： (1)匀强磁场的磁感应强度的大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 答案　　 1 2 3 4 5 6 7 8 粒子穿出磁场进入电场，速度减小到0后又返回磁场，则粒子进电场时的速度方向沿y轴正方向，所以粒子在组合场中轨迹如图由几何关系知，粒子在磁场中做圆周运动的半径为r=L 根据洛伦兹力提供向心力得qv0B=m 解得B= (2)该粒子第一次上升到最高点的坐标； 1 2 3 4 5 6 7 8 答案　(L，L+) 1 2 3 4 5 6 7 8 粒子穿出磁场进入电场，当速度减小到0时粒子第一次上升到最高点，根据牛顿第二定律a= 根据运动学公式得匀减速直线运动的位移 y== 粒子第一次上升到最高点的横坐标x=r=L 粒子第一次上升到最高点的纵坐标y'=r+y=L+ 粒子第一次上升到最高点的坐标为(L，L+) (3)从原点出发后经过多长时间，带电粒子第 一次回到x轴。 1 2 3 4 5 6 7 8 答案　+ 1 2 3 4 5 6 7 8 粒子在磁场中运动的时间为t1= 粒子在电场中运动的时间t2= 又a= 解得t2= 从原点出发后到带电粒子第一次回到x轴所用的时间t=t1+t2=+。 一比荷=1×103 C/kg的带正电粒子，在坐标平面内以大小v0=100 m/s的速度沿y轴负方向运动，恰好经过坐标原点O进入磁场，不计粒子受到的重力。 5.如图所示，在直角坐标系xOy中，过原点O的虚线MN与x轴的夹角为，虚线右侧区域内存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小B=0.2 T，虚线左侧区域内存在沿x轴正方向的匀强电场，坐标为(-1 m，2 m)的P点处，有 1 2 3 4 5 6 7 8 能力综合练 (1)求匀强电场的电场强度E的大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 答案　10 V/m　 粒子从P点到O点的运动为类平抛运动，设该运动过程所需的时间为t1，有x1=a，其中x1=1 m；y1=v0t1，其中y1=2 m，a=，解得E=10 V/m。 (2)若该粒子从O点沿y轴负方向以大小为v0的速度射入磁场，求它从刚射入磁场到第三次(不计粒子刚进入磁场的那次)经过MN所用的时间t。 1 2 3 4 5 6 7 8 答案　(2+π)×10-2 s 1 2 3 4 5 6 7 8 如图所示，粒子两次在磁场中运动的轨迹恰好组成一个完整的圆周，则其在磁场中运动的总时间t2=T 由牛顿第二定律有qv0B=m()2R 又v0= 解得t2=π×10-2 s 粒子在电场中运动的时间t3=2=2×10-2 s 总时间t=t2+t3=(2+π)×10-2 s。 相同，在d<y≤2d的一、二象限范围内分布着一个匀强磁场，方向垂直于xOy平面向里。粒子离开电场上边缘y=d时，能够到达的最右侧的位置为(1.5d，d)，最终恰没有粒子从y=2d的边界离开磁场。不计粒子重力以及粒子间的相互作用，sin 37°=0.6，求： 1 2 3 4 5 6 7 8 6.(2023·泉州市高二月考)如图所示，将某正粒子放射源置于原点O，其向各方向射出的粒子速度大小均为v0、质量均为m、电荷量均为q。在0≤y≤d的一、二象限范围内分布着一个匀强电场，方向与y轴正方向 1 2 3 4 5 6 7 8 (1)电场强度E的大小； 答案　 粒子在电场中做类平抛运动1.5d=v0t， d=at2 ，a=，解得E= 1 2 3 4 5 6 7 8 (2)磁感应强度B的大小； 答案　　 1 2 3 4 5 6 7 8 设粒子进入磁场时与水平方向的角度为α，根据类平抛运动的推论得 tan α=2× 解得α=53° 进入磁场时的速度为v==v0 根据牛顿第二定律得qvB=m 根据直角三角形得d=r+rcos 53° 解得B= 1 2 3 4 5 6 7 8 (3)水平向右射出的粒子第一次返回电场上边缘y=d时的横坐标。 答案　d 如图所示，水平向右射出的粒子第一次 返回电场上边缘y=d时的横坐标为x=1.5d -2rsin 53°=d 点O进入磁场，初速度大小为v0，速度方向与y轴正方向夹角为φ(0°<φ <90°)，不计重力。 (1)求带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的角速度ω； 7.(2023·泉州市高二月考)在如图所示的直角坐标系中，x<0区域有沿x轴正方向的匀强电场，x≥0区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。—质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子从原 1 2 3 4 5 6 7 8 答案　　 1 2 3 4 5 6 7 8 带电粒子在磁场中运动的周期 T== 因此在磁场中运动的角速度ω== (2)带电粒子每次离开磁场进入电场后，都从O点离开电场进入磁场，从而形成周期性运动，求电场强度的大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 答案　Bv0cos φ 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据qv0B= 离开磁场时的位置到坐标原点的距离d=2Rsin φ 进入电场后做类斜抛运动v0tcos φ=d，2v0sin φ=t整理得E=Bv0cos φ (3)当粒子运动到磁场区离y轴最远处时，有一个质量为3m、速度大小为3v0、方向沿y轴负方向的电中性粒子与带电粒子发生弹性正碰(碰撞时间极短)，在碰撞过程中没有电荷转移。求碰撞以后的带电粒子第一次做圆周运动的圆心坐标。 1 2 3 4 5 6 7 8 答案　(cos φ-3，-sin φ) 1 2 3 4 5 6 7 8 粒子运动到磁场区离y轴最远处时的坐标x=R(1+cos φ)=(1+cos φ)，y=-Rsin φ=-sin φ 两个粒子碰撞时，满足动量守恒，机械能守恒 3m×3v0+mv0=mv1+3mv2 ×3m×+m=m+×3m 整理得v1=4v0，根据qv1B=，解得R'= 因此圆心横坐标x'=x-R'=(-3+cos φ)，纵坐标y'=y=-sin φ。 初速度为v0的带电粒子，经可调电压U加速后，从O点沿OQ方向射入长方体OMPQ-O1M1P1Q1空间区域。已知长方体OM、OO1的长度均为d，OQ的长度为d，不计粒子的重力及其相互作用。 1 2 3 4 5 6 7 8 尖子生选练 8.(2024·枣庄市第八中学高二月考)利用电磁场控制带电粒子的运动路径，在现代科学实验和技术设备中有着广泛应用，如图所示，一粒子源不断释放质量为m、带电荷量为+q、 1 2 3 4 5 6 7 8 (1)若加速电压U=0且空间区域加沿OO1方向的匀强电场，使粒子经过Q1点，求此匀强电场电场强度的大小； 答案　 仅加电场时粒子做类平抛运动，由类平抛规律可得qE=ma，d=at2，d=v0t 解得E= 1 2 3 4 5 6 7 8 (2)若加速电压变化范围是0≤U≤，空间区域加沿OO1方向的匀强磁场，使所有粒子由MP边出射，求此匀强磁场的磁感应强度大小。 答案　 粒子经加速电场加速， 则有qU=mv2-m 由0≤U≤可得v0≤v≤4v0 仅加磁场时粒子做匀速圆周运动，从M点以v0出射的粒子对应所加磁场的最大值 r1=，qv0Bmax=m 解得Bmax= 1 2 3 4 5 6 7 8 从P点以4v0出射的粒子对应所加磁场的最小值 由几何关系有=(d)2+(r2-d)2， 解得r2=2d 4qv0Bmin=m 解得Bmin= 综上，所加匀强磁场的磁感应强度大小为B=。 1 2 3 4 5 6 7 8 返回 BENKEJIESHU 本课结束 $$ 专题强化4　带电粒子在组合场中的运动 ［学习目标］　1.进一步掌握带电粒子在电场、磁场中运动的特点及分析方法(重点)。2.掌握带电粒子在组合场中运动问题的分析方法(重点)。3.会根据电场知识和磁场知识分析带电粒子在组合场中的运动规律(难点)。 一、带电粒子在电场和磁场中运动的动力学分析 如图甲，在y>0的区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E；在y<0的区域存在方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从y轴上y=h处以大小为v1的速度沿x轴正方向射出，不计粒子的重力，粒子在电场中做类平抛运动，然后粒子以与x轴正方向夹角为θ=60°的方向进入磁场，在磁场中做匀速圆周运动，并从坐标原点O处第一次射出磁场，轨迹如图乙所示。 (1)求第一次进入磁场的位置到原点O的距离s。 (2)求所加磁场的磁感应强度B。 答案　(1)方法一：类平抛速度反向延长线必过这段时间内水平位移的中点，则tan 60°=，得s1=h。 方法二：s1=v1t1 ① h=a ② a= ③ tan 60°= ④ 由①②③④联立解得s1=h。 (2)进入磁场的速度v1'==2v1 在磁场中，由洛伦兹力提供向心力得Bqv1'=m 由几何关系得s1=2R1sin 60° 联立以上各式得B=。 例1　(多选)关于带电粒子(重力不计)在电场和磁场中的运动，下列说法正确的是(　　) A.洛伦兹力只改变带电粒子速度方向，不改变带电粒子速度大小 B.电场力只改变带电粒子速度大小，不改变带电粒子速度方向 C.带电粒子垂直匀强磁场(仅有磁场)入射，一定做匀速圆周运动 D.带电粒子垂直匀强电场(仅有电场)入射，也可能做匀速圆周运动 答案　AC 二、带电粒子在组合场中的运动 1.从电场进入磁场 两类电场进磁场问题的分析方法 (1)带电粒子在电场中做初速度为零的匀加速直线运动，然后进入磁场做匀速圆周运动。如图甲、乙所示，在电场中，可利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度，再利用带电粒子在有界磁场中运动的规律求解。 (2)带电粒子在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做匀速圆周运动，如图丙、丁所示，在电场中，可利用类平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度，再利用带电粒子在有界磁场中运动的规律求解。 例2　(2023·长沙市雅礼中学高二期末)在半导体离子注入工艺中，初速度可忽略的离子P+和P3+，经电压为U的电场加速后，垂直进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里，有一定的宽度的匀强磁场区域，如图所示。已知离子P+在磁场中转过θ=30°后从磁场右边界射出。在电场和磁场中运动时，离子P+和P3+(　　) A.在磁场中运动的半径之比为3∶1 B.在电场中的加速度之比为1∶1 C.在磁场中转过的角度之比为1∶2 D.离开磁场区域时的动能之比为1∶ 答案　C 解析　两个离子的质量相同，其带电荷量之比是1∶3的关系，所以由牛顿第二定律有q=ma，得a=，可知二者在电场中的加速度之比是1∶3，故选项B错误； 离子在离开电场时有Uq=mv2，即v=，可知其速度之比为1∶，又由qvB=m，知r=，所以其半径之比为∶1，故选项A错误； 由选项A分析可知，离子在磁场中运动的半径之比为∶1，设磁场宽度为L，离子通过磁场转过的角度等于其圆心角，所以有sin θ=，则可知转过角度的正弦值之比为1∶，又P+转过的角度为30°，可知P3+转过的角度为60°，即在磁场中转过的角度之比为1∶2，故选项C正确； 由电场加速后有qU=mv2，在磁场中洛伦兹力不做功，可知，两离子离开磁场的动能之比为1∶3，故选项D错误。 例3　(2023·福州市高二期中)如图所示，在直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域，半径为R=1 m，其边界与x轴正半轴相切于M点，与y轴负半轴相切于P点，MN为圆的一条直径。一比荷为=×106 C/kg的正电荷从y轴正半轴上的A点垂直电场线方向射入，其初速度v0=1×106 m/s，且恰能从M点与x轴正方向成θ=60o角进入磁场，并最终从N点离开。求： (1)匀强电场的电场强度E的大小； (2)匀强磁场的磁感应强度B的大小。 答案　(1)3×106 N/C　(2)1.73 T 解析　(1)粒子在电场做类平抛运动a= x轴方向R=v0t y轴方向v0tan θ=at 联立解得E=3×106 N/C (2)粒子在磁场中做匀速圆周运动v==2v0 由几何关系得r==2R 又因qvB=m 联立解得B= T≈1.73 T。 例4　(2023·佛山市月考)如图，在空间直角坐标系O-xyz中，界面Ⅰ与Oyz平面重叠，界面Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ相互平行，且相邻界面的间距均为L，与x轴的交点分别为O、O1、O2；在界面Ⅰ、Ⅱ间有沿y轴负方向的匀强电场，在界面Ⅱ、Ⅲ间有沿z轴正方向的匀强磁场。一质量为m、电荷量为+q的粒子，从y轴上距O点处的P点，以速度v0沿x轴正方向射入电场区域，该粒子刚好从点O1进入磁场区域。粒子重力不计。求： (1)匀强电场的电场强度的大小E； (2)要让粒子刚好不从界面Ⅲ飞出，匀强磁场的磁感应强度B应多大。 答案　(1)　(2) 解析　画出平面图如图所示： (1)粒子在电场区域内做类平抛运动，设电场中粒子加速度大小为a，沿z轴正方向看，如图所示 粒子从O1点进入右边磁场，则 L=v0t =at2 qE=ma 联立解得E= (2)设粒子到O1点时的速度大小为v，与x轴正方向夹角为θ，如图所示，则 vy=at，v= tan θ= 故tan θ=1 即有θ=45°，v=v0 在磁场区域，粒子做匀速圆周运动，则qvB=m，粒子刚好不从界面Ⅲ飞出，根据几何关系有R+Rcos 45°=L 解得B=。 此题看题图是立体空间，但是带电粒子在电场中的偏转和磁场中的圆周运动是在同一个平面内完成的，即带电粒子的运动轨迹在同一个平面内。解此类题可以先把立体图转化为平面图，然后画出带电粒子的运动轨迹，再运用带电粒子在电场、磁场中运动的规律列方程求解。 2.从磁场进入电场 两类磁场进电场问题的分析方法 (1)进入电场时带电粒子速度方向与电场方向相同或相反(如图甲所示)，带电粒子在电场中做匀变速直线运动，运用动能定理或运动学公式求解，有时会出现往复运动形成多解。 (2)进入电场时带电粒子速度方向与电场方向垂直(如图乙所示)，带电粒子在电场中做类平抛运动，用平抛运动知识分析。 例5　(2023·三明市高二期中)如图所示的xOy坐标系中，第一象限内存在与x轴成30°角斜向下的匀强电场，电场强度E=400 N/C；第四象限内存在垂直于纸面向里的有界匀强磁场，其沿x轴方向的宽度OA=20 cm，沿y轴负方向宽度无限大，磁感应强度B=10-4 T。现有一比荷为=1×1011 C/kg的正离子(不计重力)，以大小不同的速度从O点射入磁场，速度方向均与x轴正方向夹角α=60°。 (1)某离子只经过磁场的偏转后通过A点，求离子的入射速度v0的大小； (2)某离子只经过磁场和电场各偏转一次后通过A点，求离子的入射速度v0'的大小。 答案　(1)2×106 m/s　(2)106 m/s 解析　(1)某离子只经过磁场的偏转后通过A点，如图所示 由几何关系可得2r1cos 30°=OA 又洛伦兹力提供向心力qv0B=m 解得v0=2×106 m/s (2)某离子只经过磁场和电场各偏转一次后通过A点，设磁场中运动半径为r2，有qv0'B=m，离子进入电场后，设经过时间t再次到达x轴上，离子沿垂直电场方向做速度为v0'的匀速直线运动，位移为l1，l1=v0't 离子沿电场方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a，位移为l2，qE=ma， l2=at2，由几何关系可知tan 60°= 离子在x轴方向运动的距离为s=2l1 由几何关系可知2r2cos 30°+s=OA 解得v0'=106 m/s。 3.多次进出电场和磁场 在处理带电粒子多次进出电场和磁场问题时，一定要注意： (1)空间各处电场、磁场的方向及大小是否一致。 (2)带电粒子是平行电场入射做匀变速直线运动还是垂直电场入射做类平抛运动等。 (3)带电粒子在磁场中运动只改变速度方向不改变其大小，但在电场中运动速度大小要发生变化。 例6　如图甲所示，直角坐标系xOy中，第二象限内有沿x轴正方向的匀强电场，第一、四象限内有垂直坐标平面的匀强交变磁场，磁场方向垂直纸面向外为正方向。第三象限内有一发射装置(没有画出)沿y轴正方向射出一个比荷=100 C/kg的带正电的粒子(可视为质点且不计重力)，该粒子以v0=20 m/s的速度从x轴上的点A(-2 m，0)进入第二象限，从y轴上的点C(0，4 m)进入第一象限。取粒子刚进入第一象限的时刻为0时刻，第一、四象限内磁场的磁感应强度按图乙所示规律变化。g=10 m/s2。 (1)求第二象限内电场的电场强度大小； (2)求粒子第一次经过x轴时的位置坐标。 答案　(1)1 N/C　(2)(3 m，0) 解析　(1)带电粒子在第二象限的电场中做类平抛运动；粒子从A点到C点用时t== s= s；粒子在水平方向上有qE=ma，所以OA=at2，则有E=1 N/C； (2)设粒子进入磁场时的速度为v，则其竖直分量vy=v0=20 m/s，水平分量vx=at=t=20 m/s，所以v==20 m/s，v与y轴正方向的夹角为45°；洛伦兹力提供向心力，有Bvq=，粒子在磁场中做圆周运动的半径R== m= m；粒子做圆周运动的周期T== s，所以，由题图乙可知，粒子每运动半个圆周则磁感应强度方向改变，则粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，因为4 m=8R，所以粒子运动第四个半圆的过程中第一次经过x轴，由等腰三角形性质可知，粒子第一、二次经过x轴，在x轴上对应的弦长为R=1 m；所以OD=3 m，则粒子第一次经过x轴时的位置坐标为(3 m，0)。 　　　　专题强化练　［分值：100分］ 1、2题每题8分，3、4题每题12分，共40分 1.如图所示，两导体板水平放置，两板间电势差U=100 V，不计重力的带电粒子以初速度v0=300 m/s沿平行于两板的方向从两板正中间射入，穿过两板后，又垂直于磁场方向射入边界线竖直的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，粒子射入磁场的点M和射出磁场的点N之间的距离d=20 cm，则(　　) A.当v0=600 m/s，U=50 V时，d=20 cm B.当v0=600 m/s，U=100 V时，d=40 cm C.当v0=300 m/s，U=50 V时，d<20 cm D.当v0=600 m/s，U=100 V时，d<40 cm 答案　B 解析　设带电粒子离开电场时速度为v，与水平方向的夹角为θ，可得v=，粒子以速度v进入磁场中后做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力可得qvB=m，则粒子在磁场中运动的轨道半径r=，由几何关系可得M、N之间的距离d=2rcos θ，联立解得d=，与U无关，当v0=300 m/s时，d=20 cm，故当v0=600 m/s时，d=40 cm，选项B正确。 2.(多选)(2024·景颇族自治州月考)如图所示的xOy坐标系中，y轴左侧存在电场强度为E的匀强电场，电场方向平行于x轴，y轴右侧存在垂直坐标系所在平面向外的匀强磁场。一个比荷为k的带正电的粒子从x轴上的M点以某一初速度平行于y轴向上运动，经电场偏转后从y轴上的P点进入磁场，进入磁场时速度方向与y轴正方向成θ=60°角，粒子经磁场偏转后打到坐标原点O上。已知M点到O点的距离为L，不计粒子的重力，下列说法正确的是(　　) A.P与O的距离为L B.粒子轨道半径为L C.粒子初速度大小为 D.磁场的磁感应强度大小为 答案　CD 解析　粒子的运动轨迹如图所示，根据类平抛运动推论有=tan 60°，解得P与O的距离s=L，A错误；由s=2Rsin 60°解得R=L，B错误；根据L=at2，at=v0tan 60°，Eq=ma，=k，联立解得v0=，C正确；粒子在P点的合速度v==2v0，由R=L=，解得B=，D正确。 3.(12分)(2023·漳州市高二期中)如图所示的平面直角坐标系xOy，在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，方向沿y轴正方向；在第Ⅳ象限的正三角形abc区域内有匀强磁场，方向垂直于xOy平面向里，正三角形边长为L，且ab边与y轴平行。一质量为 m、电荷量为q的粒子，从y轴上的P(0，h)点，以大小为v0的速度沿x轴正方向射入电场，通过电场后从x轴上的a(2h，0)点进入第Ⅳ象限，又经过磁场从 y轴上的某点进入第Ⅲ象限，且速度与y轴负方向成45°角，不计粒子所受的重力。求： (1)(4分)电场强度E的大小； (2)(4分)粒子到达a点时速度的大小； (3)(4分)abc区域内磁场的磁感应强度B的最小值。 答案　(1)　(2)v0　(3) 解析　(1)设粒子在电场中运动的时间为t，则有 2h=v0t，y=h=at2，qE=ma 联立以上各式可得E=； (2)粒子达到a点时沿负y方向的分速度为vy=at=v0 所以v==v0 ，方向指向第Ⅳ象限与x轴正方向成45o角； (3)粒子在磁场中运动时，有qvB= 当粒子从b点射出时，磁场的磁感应强度为最小值，此时有r=L所以磁感应强度B的最小值B=。 4.(12分)(2023·连云港市高二月考)如图所示，y轴上M点的坐标为(0，L)，MN与x轴平行，MN与x轴之间有匀强磁场，磁场垂直纸面向里。在y>L的区域存在沿-y方向的匀强电场，电场强度为E，在坐标原点O处有一带正电粒子以速率v0沿+x方向射入磁场，粒子穿出磁场进入电场，速度减小到0后又返回磁场。已知粒子的比荷为，粒子重力不计。求： (1)(4分)匀强磁场的磁感应强度的大小； (2)(4分)该粒子第一次上升到最高点的坐标； (3)(4分)从原点出发后经过多长时间，带电粒子第一次回到x轴。 答案　(1)　(2)(L，L+)　(3)+ 解析　(1)粒子穿出磁场进入电场，速度减小到0后又返回磁场，则粒子进电场时的速度方向沿y轴正方向，所以粒子在组合场中轨迹如图由几何关系知，粒子在磁场中做圆周运动的半径为r=L 根据洛伦兹力提供向心力得qv0B=m 解得B= (2)粒子穿出磁场进入电场，当速度减小到0时粒子第一次上升到最高点，根据牛顿第二定律a= 根据运动学公式得匀减速直线运动的位移y== 粒子第一次上升到最高点的横坐标x=r=L 粒子第一次上升到最高点的纵坐标y'=r+y=L+ 粒子第一次上升到最高点的坐标为(L，L+) (3)粒子在磁场中运动的时间为t1= 粒子在电场中运动的时间t2= 又a= 解得t2= 从原点出发后到带电粒子第一次回到x轴所用的时间t=t1+t2=+。 5、6题每题14分，7题16分，共44分 5.(14分)如图所示，在直角坐标系xOy中，过原点O的虚线MN与x轴的夹角为，虚线右侧区域内存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小B=0.2 T，虚线左侧区域内存在沿x轴正方向的匀强电场，坐标为(-1 m，2 m)的P点处，有一比荷=1×103 C/kg的带正电粒子，在坐标平面内以大小v0=100 m/s的速度沿y轴负方向运动，恰好经过坐标原点O进入磁场，不计粒子受到的重力。 (1)(6分)求匀强电场的电场强度E的大小； (2)(8分)若该粒子从O点沿y轴负方向以大小为v0的速度射入磁场，求它从刚射入磁场到第三次(不计粒子刚进入磁场的那次)经过MN所用的时间t。 答案　(1)10 V/m　(2)(2+π)×10-2 s 解析　(1)粒子从P点到O点的运动为类平抛运动，设该运动过程所需的时间为t1，有x1=a，其中x1=1 m；y1=v0t1，其中y1=2 m，a=，解得E=10 V/m。 (2)如图所示，粒子两次在磁场中运动的轨迹恰好组成一个完整的圆周，则其在磁场中运动的总时间t2=T 由牛顿第二定律有qv0B=m()2R 又v0= 解得t2=π×10-2 s 粒子在电场中运动的时间t3=2=2×10-2 s 总时间t=t2+t3=(2+π)×10-2 s。 6.(14分)(2023·泉州市高二月考)如图所示，将某正粒子放射源置于原点O，其向各方向射出的粒子速度大小均为v0、质量均为m、电荷量均为q。在0≤y≤d的一、二象限范围内分布着一个匀强电场，方向与y轴正方向相同，在d<y≤2d的一、二象限范围内分布着一个匀强磁场，方向垂直于xOy平面向里。粒子离开电场上边缘y=d时，能够到达的最右侧的位置为(1.5d，d)，最终恰没有粒子从y=2d的边界离开磁场。不计粒子重力以及粒子间的相互作用，sin 37°=0.6，求： (1)(4分)电场强度E的大小； (2)(6分)磁感应强度B的大小； (3)(4分)水平向右射出的粒子第一次返回电场上边缘y=d时的横坐标。 答案　(1)　(2)　(3)d 解析　(1)粒子在电场中做类平抛运动1.5d=v0t， d=at2 ，a=，解得E= (2)设粒子进入磁场时与水平方向的角度为α，根据类平抛运动的推论得tan α=2× 解得α=53° 进入磁场时的速度为v==v0 根据牛顿第二定律得qvB=m 根据直角三角形得d=r+rcos 53° 解得B= (3)如图所示，水平向右射出的粒子第一次返回电场上边缘y=d时的横坐标为x=1.5d-2rsin 53°=d 7.(16分)(2023·泉州市高二月考)在如图所示的直角坐标系中，x<0区域有沿x轴正方向的匀强电场，x≥0区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。—质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子从原点O进入磁场，初速度大小为v0，速度方向与y轴正方向夹角为φ(0°<φ<90°)，不计重力。 (1)(3分)求带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的角速度ω； (2)(5分)带电粒子每次离开磁场进入电场后，都从O点离开电场进入磁场，从而形成周期性运动，求电场强度的大小； (3)(8分)当粒子运动到磁场区离y轴最远处时，有一个质量为3m、速度大小为3v0、方向沿y轴负方向的电中性粒子与带电粒子发生弹性正碰(碰撞时间极短)，在碰撞过程中没有电荷转移。求碰撞以后的带电粒子第一次做圆周运动的圆心坐标。 答案　(1)　(2)Bv0cos φ　(3)(cos φ-3，-sin φ) 解析　(1)带电粒子在磁场中运动的周期 T== 因此在磁场中运动的角速度ω== (2)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据qv0B= 离开磁场时的位置到坐标原点的距离d=2Rsin φ 进入电场后做类斜抛运动v0tcos φ=d，2v0sin φ=t整理得E=Bv0cos φ (3)粒子运动到磁场区离y轴最远处时的坐标x=R(1+cos φ)=(1+cos φ)，y=-Rsin φ=-sin φ 两个粒子碰撞时，满足动量守恒，机械能守恒 3m×3v0+mv0=mv1+3mv2 ×3m×+m=m+×3m 整理得v1=4v0，根据qv1B=，解得R'= 因此圆心横坐标x'=x-R'=(-3+cos φ)，纵坐标y'=y=-sin φ。 8.(16分)(2024·枣庄市第八中学高二月考)利用电磁场控制带电粒子的运动路径，在现代科学实验和技术设备中有着广泛应用，如图所示，一粒子源不断释放质量为m、带电荷量为+q、初速度为v0的带电粒子，经可调电压U加速后，从O点沿OQ方向射入长方体OMPQ-O1M1P1Q1空间区域。已知长方体OM、OO1的长度均为d，OQ的长度为d，不计粒子的重力及其相互作用。 (1)(6分)若加速电压U=0且空间区域加沿OO1方向的匀强电场，使粒子经过Q1点，求此匀强电场电场强度的大小； (2)(10分)若加速电压变化范围是0≤U≤，空间区域加沿OO1方向的匀强磁场，使所有粒子由MP边出射，求此匀强磁场的磁感应强度大小。 答案　(1)　(2) 解析　(1)仅加电场时粒子做类平抛运动，由类平抛规律可得qE=ma，d=at2，d=v0t 解得E= (2)粒子经加速电场加速， 则有qU=mv2-m 由0≤U≤可得v0≤v≤4v0 仅加磁场时粒子做匀速圆周运动，从M点以v0出射的粒子对应所加磁场的最大值 r1=，qv0Bmax=m 解得Bmax= 从P点以4v0出射的粒子对应所加磁场的最小值 由几何关系有=(d)2+(r2-d)2， 解得r2=2d 4qv0Bmin=m 解得Bmin= 综上，所加匀强磁场的磁感应强度大小为B=。 学科网（北京）股份有限公司 $$