精品解析：海南省儋州市第一中学2024—2025学年下学期九年级第一次月考数学试题

2024－2025学年度春季学期初三年级第一次月考试题 数学 （满分120分 考试时间100分钟） 注意事项： 1．答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上，答题卡密封线内不准答题． 一、选择题（每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 我国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章中提出正数、负数的概念．如果支出10元记作元，那么元表示（ ） A. 收入10元 B. 支出10元 C. 收入20元 D. 支出20元 2. 已知是关于的方程的解，则的值为（ ） A. 0 B. 6 C. 3 D. 3. 某批次中考体育跳绳的产品参数中标明绳的长度是，则下列该批次中考体育跳绳长度中合格的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算中，正确的是（ ） A B. C. D. 5. 据网络平台数据显示，截至3月5日电影《哪吒之魔童闹海》观影人次破3亿，全球票房（含预售及海外）已破145亿元．其中145亿用科学记数法表示为，则的值为（ ） A 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 如图，数轴上点分别对应1，2，过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点对应的数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数与轴只有唯一的一个交点，则一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 8. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体搭成的，则这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，直线，于点，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 11. 如图，等边三角形内接于，点是上的一个三等分点，则等于（ ） A B. C. D. 12. 海南环岛旅游公路被定位为“国家海岸一号风景道”，位于环海南岛沿海，主线规划总里程约1000公里，其中儋州市的海岸线长度约为300公里，风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点与点相距（点，，在同一条直线上），在处测得筒尖顶点的仰角为，在处测得筒尖顶点的仰角为．风电塔筒的高度为（　　） （参考数据：，，．） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共12分） 13. 分解因式：______． 14. 分式方程的解是______． 15. 如图，已知正方形的边长为2，点是边的中点，将沿翻折至，延长交边于点，则______：若延长交边于点，则______． 三、解答题（共72分） 16. （1）计算： （2）解不等式组：． 17. 2025年海南中考体育科目考试的必考项目为男生1000米跑、女生800米跑，分值30分．为考试作好充分训练准备，某同学决定从网购甲，乙两种品牌的运动鞋，已知购买2双甲种品牌运动鞋和3双乙种品牌运动鞋共需1100元，并且1双甲种品牌运动鞋比乙种品牌运动鞋多50元．求甲种品牌运动鞋和乙种品牌运动鞋各1双的单价分别是多少元？ 18. “金蛇闹元宵，欢喜共团圆”2025儋州元宵游园会于2月11日－12日（正月十四至元宵）在儋州市文化广场举行．届时，儋州调声、民俗表演、猜灯谜、投壶、射箭等丰富多彩的活动将陆续登场，欢乐游戏互动，非遗文化助阵，诚邀广大市民游客应约前往现场，沉浸式领略元宵节传统佳节和儋州特色传统文化，感受节日的欢乐氛围．我校某学习小组为了解市民游客对以上活动的喜爱情况，制作了相关调查问卷对市民游客进行调查，并抽取了部分问卷进行相关数据的整理，绘制了两个不完整的统计图． 请根据以上两图所给的信息回答下列问题： （1）本次抽取的问卷的样本容量是______； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中“民俗表演”所对应的圆心角度数为______； （4）若2025儋州元宵游园会现场共有6000名市民游客，则估计喜爱“民俗表演”类活动的市民游客有多少人？ （5）为了提高广大群众对元宵游园会的参与热情，请你提出一条合理的建议… 19. 如图，已知：，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 20. 阅读与思考：用配方法求二次三项式的最值 我们通常把称为完全平方公式，由此可知多项式的最小值为0．有些多项式不是完全平方式，可以通过添加项，用配方法变成完全平方式，再减去这个添加的项，使原多项式的值不变，这样可以解决一些最值问题．如：求代数式的最小值． 解 的最小值是． 解决问题： （1）将代数式用配方法可转化为______． （2）已知，则______，______． （3）请求出代数式的最小值． 21. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．点为线段上的一个动点（不与、两点重合），过点作轴，交抛物线于点． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）在点的运动过程中，若设点的横坐标为，求线段的最大值． （3）若与相似，请直接写出点的坐标． 22. 已知点是正方形内部一点，且． （1）如图1，延长交于点．求证：； （2）如图2，若正方形边长为2，连接并延长交于点，当点是的中点时， ①求点到边的距离； ②求的值； （3）连接并延长交于点，当时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年度春季学期初三年级第一次月考试题 数学 （满分120分 考试时间100分钟） 注意事项： 1．答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上，答题卡密封线内不准答题． 一、选择题（每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 我国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章中提出正数、负数的概念．如果支出10元记作元，那么元表示（ ） A. 收入10元 B. 支出10元 C. 收入20元 D. 支出20元 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【详解】解：∵支出10元记作元， ∴元表示收入20元． 故选：C． 2. 已知是关于的方程的解，则的值为（ ） A. 0 B. 6 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方程的解的定义，解一元一次方程；由解的定义可得，即可求解；理解“能使方程成立的未知数的值叫做方程的解．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：； ∴， 故选：A． 3. 某批次中考体育跳绳的产品参数中标明绳的长度是，则下列该批次中考体育跳绳长度中合格的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正数和负数，根据正数和负数实际意义求得符合标准的范围后进行判断即可，结合已知条件求得符合标准的范围是解题的关键． 【详解】解：∵，； ∴符合标准， 故选：C． 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项法则，积的乘方，同底数幂的除法运算法则，熟练掌握这些知识点是解题关键．根据合并同类项法则，单项式乘单项式的运算法则，积的乘方运算法则，同底数幂的除法运算法则依次判断四个选项即可． 【详解】解：A、，不是同类项，不能合并，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意． 故选：D． 5. 据网络平台数据显示，截至3月5日电影《哪吒之魔童闹海》观影人次破3亿，全球票房（含预售及海外）已破145亿元．其中145亿用科学记数法表示为，则的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：∵145亿；145亿， ∴， 故选：D． 6. 如图，数轴上点分别对应1，2，过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点对应的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理、垂直平分线的作图和性质、实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由题意得：，，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∴点M对应的数是， 故选：B． 7. 已知二次函数与轴只有唯一的一个交点，则一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点情况、根的判别式以及二次函数的性质，解题关键是牢记“当时，抛物线与轴有个交点；当时，抛物线与轴有个交点；当时，抛物线与轴没有交点”，根据抛物线与轴的交点情况的含义判断即可． 【详解】解： ∵二次函数与轴只有唯一一个交点， ∴一元二次方程有两个相等的实数根， 故选：A． 8. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性及分式中分母不为0是解答此题的关键．分别根据二次根式及分式有意义的条件列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：根据题意， 则且， 故选：C． 9. 如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体搭成的，则这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查三视图．做这类题时要借助三种视图表示物体的特点，从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；从左视图上弄清楚物体的上下和前后形状，综合分析，合理猜想，结合生活经验描绘出草图后，再检验是否符合题意．根据俯视图是由从上往下看到的图形组成的，即可． 【详解】解：该几何体的俯视图是 ． 故选：B 10. 如图，直线，于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，平行线的性质，先求解，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ， ∵， ． 故选：C． 11. 如图，等边三角形内接于，点是上的一个三等分点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质．首先根据等边三角形的性质计算出，再根据点是上的一个三等分点可得，即可得出答案． 【详解】解：是等边三角形， ， 点是上的一个三等分点， ， 故选：A． 12. 海南环岛旅游公路被定位为“国家海岸一号风景道”，位于环海南岛沿海，主线规划总里程约1000公里，其中儋州市的海岸线长度约为300公里，风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点与点相距（点，，在同一条直线上），在处测得筒尖顶点的仰角为，在处测得筒尖顶点的仰角为．风电塔筒的高度为（　　） （参考数据：，，．） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定．过点作于G，连接，则四边形是矩形，可得，，再证明四边形是矩形，则，，进一步证明三点共线，得到；设，解得到；解得到；则，解得，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作于G，连接，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 由题意可得， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴三点共线， ∴； 设， 在中，， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴； ∴， 解得， ∴， ∴， ∴风电塔筒的高度约为． 故选：B． 二、填空题（每小题4分，共12分） 13. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解，利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：； 故答案为： 14. 分式方程的解是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程的一般步骤，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验是分式方程的解． 故答案为：． 15. 如图，已知正方形的边长为2，点是边的中点，将沿翻折至，延长交边于点，则______：若延长交边于点，则______． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】连接，易证，设，在中，利用勾股定理列出方程，解方程可得；连接，，设，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：连接，如图， 正方形的边长为2， ， 点是中点， ， 四边形是正方形， ， 由折叠可知：， 则，，， ， 在和中， ， ． ， 设，则，， 在中， ， ， 解得：， ∴； 连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴，即， 解得，即， ∴， 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了翻折变换，解直角三角形，三角形的全等的判定与性质，正方形的性质，勾股定理．利用翻折变换是全等变换是解题的关键． 三、解答题（共72分） 16. （1）计算： （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，一元一次不等式组的解法； （1）先计算绝对值，零次幂，负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，再计算即可； （2）分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可； 【详解】解：（1） ； （2）， 由①得：， 由②得：， ∴， 解得：， ∴不等式组的解集为：； 17. 2025年海南中考体育科目考试的必考项目为男生1000米跑、女生800米跑，分值30分．为考试作好充分训练准备，某同学决定从网购甲，乙两种品牌的运动鞋，已知购买2双甲种品牌运动鞋和3双乙种品牌运动鞋共需1100元，并且1双甲种品牌运动鞋比乙种品牌运动鞋多50元．求甲种品牌运动鞋和乙种品牌运动鞋各1双的单价分别是多少元？ 【答案】甲种品牌运动鞋每双的价格为250元，乙种品牌运动鞋每双的价格为200元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是甲种品牌运动鞋每双的价格为x元，则乙种品牌运动鞋每双的价格为元，根据购买2双甲种品牌运动鞋和3双乙种品牌运动鞋共需1100元，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设甲种品牌运动鞋每双的价格为x元，则乙种品牌运动鞋每双的价格为元，由题意得： ， 解得：， ∴， 答：甲种品牌运动鞋每双的价格为250元，乙种品牌运动鞋每双的价格为200元． 18. “金蛇闹元宵，欢喜共团圆”2025儋州元宵游园会于2月11日－12日（正月十四至元宵）在儋州市文化广场举行．届时，儋州调声、民俗表演、猜灯谜、投壶、射箭等丰富多彩的活动将陆续登场，欢乐游戏互动，非遗文化助阵，诚邀广大市民游客应约前往现场，沉浸式领略元宵节传统佳节和儋州特色传统文化，感受节日的欢乐氛围．我校某学习小组为了解市民游客对以上活动的喜爱情况，制作了相关调查问卷对市民游客进行调查，并抽取了部分问卷进行相关数据的整理，绘制了两个不完整的统计图． 请根据以上两图所给的信息回答下列问题： （1）本次抽取的问卷的样本容量是______； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中“民俗表演”所对应的圆心角度数为______； （4）若2025儋州元宵游园会现场共有6000名市民游客，则估计喜爱“民俗表演”类活动的市民游客有多少人？ （5）为了提高广大群众对元宵游园会参与热情，请你提出一条合理的建议… 【答案】（1） （2）补全图形见解析； （3） （4）元 （5）见解析 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，求扇形统计图的圆心角，利用样本估计总体．解题的关键在于对知识的灵活运用． （1）由投壶的数量除以其占比即可得到答案； （2）先求解射箭的人数，再补全条形统计图即可； （3）由乘以“民俗表演”的占比即可得到答案； （4）由6000乘以“民俗表演”的占比即可得到结论； （5）为提高参与度可设置有意义的奖励措施. 【小问1详解】 解：本次抽取的问卷的样本容量是； 【小问2详解】 解：∵射箭的人数为：（人）； 补全图形如下： 【小问3详解】 解：扇形统计图中“民俗表演”所对应的圆心角度数为：； 【小问4详解】 解：2025儋州元宵游园会现场共有6000名市民游客，则估计喜爱“民俗表演”类活动的市民游客有：（元）； 【小问5详解】 解：建议对活动参与者设置有意义的奖励. 19 如图，已知：，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定． （1）根据平行线的性质，得出题意得出，证明，再由全等三角形的判定定理即可证明； （2）求解，结合，据此即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ， ∵，， ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 即， ∴． 20. 阅读与思考：用配方法求二次三项式的最值 我们通常把称为完全平方公式，由此可知多项式的最小值为0．有些多项式不是完全平方式，可以通过添加项，用配方法变成完全平方式，再减去这个添加的项，使原多项式的值不变，这样可以解决一些最值问题．如：求代数式的最小值． 解 的最小值是． 解决问题： （1）将代数式用配方法可转化为______． （2）已知，则______，______． （3）请求出代数式的最小值． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质； （1）把原式化为，再结合完全平方公式进一步解答即可； （2）把化为，再与比对即可； （3）把化为，结合非负数的性质可得答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； ∴，； 【小问3详解】 解： ； ∵， ∴， ∴的最小值为； 21. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．点为线段上的一个动点（不与、两点重合），过点作轴，交抛物线于点． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）在点的运动过程中，若设点的横坐标为，求线段的最大值． （3）若与相似，请直接写出点坐标． 【答案】（1） （2）的最大值为 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将点，，代入，再建立方程组解题即可； （2）求解直线的函数表达式为．设点的横坐标为，则点，可得点，再建立二次函数求解即可； （3）分两种情况讨论：①如图，，可得，，结合点，点，再建立方程求解即可；②如图，，可得，过作于，可得，再建立方程求解即可. 【小问1详解】 解：将点，，代入， 得， 解得， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由（1），得抛物线的函数表达式为， 设直线的函数表达式为， 将点，代入， 得， 解得， 直线的函数表达式为． 设点的横坐标为，则点． 轴， 点． 为线段上的一个动点， 点在点的上方， ， 当时，有最大值，的最大值为； 【小问3详解】 解：分两种情况讨论： ①如图，， 轴， ∴， ∴， ∴，而点，点． ∴， 解得：（舍去）， 点的坐标为； ②如图，， 同理：， ∴， 过作于， ∴， ∴， ∵点，点， ∴， ∴， 解得：，（不符合题意的根已舍去） 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，解题关键是熟练运用待定系数法和设出相关点的坐标，根据题意列出方程． 22. 已知点是正方形内部一点，且． （1）如图1，延长交于点．求证：； （2）如图2，若正方形的边长为2，连接并延长交于点，当点是的中点时， ①求点到边的距离； ②求的值； （3）连接并延长交于点，当时，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析 （2）①点到边的距离为；②； （3）． 【解析】 【分析】（1）可得出，，从而得出结论； （2）①作于，可证得，从而，求得，则，进而得出，； ②可证得，从而得出； （3）设，分别延长，，分别交于，交于，证明，求得，得到． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：①如图1， 作于， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，点是的中点， ， ∵， ∴，则， ， ，； ②∵，， ， ， ， ， ， ， ， ∴； 【小问3详解】 解：如图，设， 分别延长，，分别交于，交于， ， 、、、共圆， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，确定圆的条件，解直角三角形等知识，解决问题的关键是较强计算能力． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$