精品解析：上海市晋元高级中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

上海市晋元高级中学2024学年第二学期期中考试 高一年级数学学科试卷 日期：2025.4 考试时间：120分钟 满分：150分 一､填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分､后6题得5分，否则一律得零分. 1. 已知，则__________. 2. 已知角的终边经过点，且，则=_________. 3. 已知为虚数单位，设，若为纯虚数，则的值为__________. 4. 已知，，若，则点的坐标为______. 5. 若都是实数，关于的方程有一个根，则__________. 6. 函数，的值域为______. 7. 已知，若，则在方向上的数量投影为__________. 8. 已知函数在时取得最大值，则__________. 9. 关于的方程有实数解，则实数的取值范围是__________. 10. 已知函数，且在上单调递减，在上单调递增，则实数的取值范围是______. 11. 为了研究问题方便，有时候余弦公式会写成：，利用这个结构解决如下问题：如果三个正实数、、满足：，，，则__________. 12. 已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是__________. 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在容题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分. 13. ，，，且三点共线，则=（ ） A 8 B. 4 C. 2 D. 1 14. 已知，，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 15. 在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是 A. B. C. D. 16. 已知平面向量、、满足，，，且． 若对每一个确定的向量，记的最小值为． 现有如下两个命题 命题 当变化时，的最大值为； 命题：当变化时，可以取到最小值0； 则下列选项中，正确的是（    ） A. 为真命题，为假命题 B. 为假命题，为真命题 C. 、都为真命题 D. 、都为假命题 三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知向量是同一平面内的两个向量，其中． （1）若，且与垂直，求与的夹角； （2）若，向量满足，且，求的值． 18. 已知向量，，函数. （1）求函数的单调增区间； （2）已知，，分别为内角，，的对边，，，且，求的面积. 19. “但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等.某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且. （1）当米时，求的长； （2）综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大.设，求面积的最大值. 20 已知，其中. （1）若对任意恒成立，且，求的值； （2）当时，将函数图像向右平移个单位，得到函数的图像.设，若函数在上恰好有100个零点，求的最小值； （3）当时，设，记，若对任意，均存在，使得成立，求实数的取值范围. 21. 我们可以把平面向量坐标概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作.两个复向量的数量积记作，定义为，复向量的模定义为.记为虚数单位. （1）设，求复向量与模； （2）对两个复向量与，若时，称与平行.设，，是否存在实数，使与平行，若存在，求出；若不存在，请说明理由. （3）我们知道对于任意平面向量与，都有；对任意两个复向量与，不等式是否仍成立，试给出判断，并说明理由； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市晋元高级中学2024学年第二学期期中考试 高一年级数学学科试卷 日期：2025.4 考试时间：120分钟 满分：150分 一､填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分､后6题得5分，否则一律得零分. 1. 已知，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由余弦的二倍角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】. 故答案为： 2. 已知角的终边经过点，且，则=_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形函数的定义可求出结果. 【详解】由题意可知，则，解得 故答案为： 3. 已知为虚数单位，设，若为纯虚数，则的值为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】由纯虚数的定义计算可得. 【详解】由题意可得，解得所以. 故答案为：3. 4. 已知，，若，则点的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标，利用向量的坐标运算列方程组求出即可． 【详解】解：设点，由，， 所以，， 由， 得， 解得， 所以点的坐标为． 故答案为：． 5. 若都是实数，关于的方程有一个根，则__________. 【答案】7 【解析】 【分析】根据题意，将代入方程，然后由复数相等列出方程，即可得到结果. 【详解】将代入方程可得， 化简可得， 即， 则，解得. 故答案为： 6. 函数，的值域为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意利用正切函数的性质，即可解出． 【详解】当，，函数， 故函数的值域为， 故答案为：． 7. 已知，若，则在方向上的数量投影为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由数量投影定义计算即可. 【详解】已知，， 则， 则在方向上的数量投影为. 故答案为：. 8. 已知函数在时取得最大值，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由辅助角公式可得，再由正弦型函数的最值可得，最后由正切的和差角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】，其中， 当时，即时，函数取得最大值， 即， 则 . 故答案为： 9. 关于的方程有实数解，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，换元令，分离参数转化为二次函数有解问题求解即可. 【详解】由可得． 令，则关于的方程在区间上有实数解． 则， ，时，，时，， 故实数的取值范围是． 故答案为： 10. 已知函数，且在上单调递减，在上单调递增，则实数取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先解出函数的单调区间，再列不等式组解出实数的取值范围即可. 【详解】由函数图象可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 若在上单调递减，在上单调递增， 则，解得. 故答案为：. 11. 为了研究问题方便，有时候余弦公式会写成：，利用这个结构解决如下问题：如果三个正实数、、满足：，，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合余弦定理，将、、作为三角形的边，可得在内部，且，且，，，亦可知的三边，结合勾股定理及三角形面积公式可得解. 详解】 设，，， 由，且， 则，，即，， 同理可得，，，， 则，即， 所以， 又， 则， 故答案为：. 12. 已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，应用向量数量积运算律得，结合最小值可得，进而建立合适的坐标系，应用坐标法求的最小值. 【详解】 设，， 且 ， 当且仅当时等号成立，又的最小值为， 所以，又，则， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设点，其中，且、， ，， 所以， 当且仅当时，取最小值. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题主要考查了平面向量数量积的最值问题，难度较大，解答本题的关键在于通过条件得到，然后建立平面直角坐标系，结合坐标运算求解. 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在容题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分. 13. ，，，且三点共线，则=（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可求，由三点共线得,根据向量共线的定理即可求出的值. 【详解】由题得, 因为三点共线, 所以, 所以存在实数,使得, 所以, 所以解得. 故选：A 14. 已知，，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，，则，即充分性成立； 若，则，，或，，则必要性不成立； 综上所述：p是q的充分不必要条件. 故选：A. 15. 在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，A是正确的，同理B也正确，对于D答案可变形为，通过等积变换判断为正确. 16. 已知平面向量、、满足，，，且． 若对每一个确定的向量，记的最小值为． 现有如下两个命题 命题 当变化时，的最大值为； 命题：当变化时，可以取到最小值0； 则下列选项中，正确的是（    ） A. 为真命题，为假命题 B. 为假命题，为真命题 C. 、都为真命题 D. 、都为假命题 【答案】B 【解析】 【分析】设，，可求得点的轨迹方程为，求得，然后求出关于的二次函数关系式，利用二次函数的基本性质可得出的最小值，可得出关于的函数关系式，利用换元法结合双勾函数的单调性可求得的最大值和最小值，即可得出结论. 【详解】设，，， 可得，所以点的轨迹方程为， 所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，且， 解得， 因为即， 因为， 所以 ， 因为，则， 所以，当时，取得最小值， 且， 令，可得， 所以，， 令，其中，下面证明函数在上为减函数，在上为增函数， 任取、且，即， 所以，， 因为，则，，则， 所以，函数在上为减函数，同理可证函数在上为增函数， 令，其中， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，， 又因为，即，所以. 故假命题，为真命题. 故选：B. 【点睛】关键点睛：将、放到坐标系中，将已知条件转化为坐标关系，进而根据坐标研究. 三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知向量是同一平面内的两个向量，其中． （1）若，且与垂直，求与的夹角； （2）若，向量满足，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直得到，得到答案. （2）计算得到，得到答案. 【小问1详解】 与垂直，则， 故，，故. 【小问2详解】 ，故，即， 即，故. 18. 已知向量，，函数. （1）求函数的单调增区间； （2）已知，，分别为内角，，的对边，，，且，求的面积. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标表示结合三角恒等变换化简，可得的表达式，利用正弦函数单调性即可求得答案； （2）利用（1）的结果求得，由余弦定理求出，再利用三角形面积公式即可求得答案. 【小问1详解】 由题意可知， ， 由， 解得 所以函数的单调增区间为. 【小问2详解】 由， 所以，即， 又因为， 所以. 又因为， 所以由余弦定理得， 即， 解得或（舍去）， 故的面积为. 19. “但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等.某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且. （1）当米时，求的长； （2）综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大.设，求面积的最大值. 【答案】（1）80m （2） 【解析】 【分析】（1）结合平行线的性质与余弦定理计算即可得； （2）结合题意，利用正弦定理与面积公式表示出面积后，借助三角恒等变换将其变形为正弦型函数，结合正弦函数的性质计算即可得. 【小问1详解】 由，故， 由余弦定理可得， 即，即有， 即，故（舍去）或， 即； 【小问2详解】 由，故，，又， 由正弦定理可得，即， 则， 令，， 则 ， 有最大值，此时，即时取得， 此时平方米. 20. 已知，其中. （1）若对任意的恒成立，且，求的值； （2）当时，将函数图像向右平移个单位，得到函数的图像.设，若函数在上恰好有100个零点，求的最小值； （3）当时，设，记，若对任意，均存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题意可求出函数的最小正周期，利用正弦型函数的周期公式求解； （2）根据三角函数图象变换规律得到，求出函数的零点，利用正弦型函数的周期性求解； （3）分别求出两个函数在上的值域，利用值域间的包含关系得到关于的不等式，求解即可. 【小问1详解】 由题意，， 因为对任意的恒成立，且， 所以函数的最小正周期为，所以，得. 【小问2详解】 当时，， 则，最小正周期， 令，则， 所以或， 得或， 因为函数在上恰好有100个零点， 所以的最小值为. 【小问3详解】 当时，， 当时，，所以， 所以函数的值域为， 因为对任意，存在，使得成立，即成立， 设在上的值域为， 当时，，所以， 因为，所以的值域， 根据题意，， 则有，解得，又因为，所以. 所以实数的取值范围为. 21. 我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作.两个复向量的数量积记作，定义为，复向量的模定义为.记为虚数单位. （1）设，求复向量与的模； （2）对两个复向量与，若时，称与平行.设，，是否存在实数，使与平行，若存在，求出；若不存在，请说明理由. （3）我们知道对于任意平面向量与，都有；对任意两个复向量与，不等式是否仍成立，试给出判断，并说明理由； 【答案】（1）；； （2）不存在，理由见解析 （3）成立，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由复向量的模的定义代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由给定的平行条件代入计算，即可判断； （3）根据题意，由复数的三角不等式代入计算，即可判断. 【小问1详解】 因为，所以， 所以的模为； 因为，所以， 可得的模为； 【小问2详解】 不存 ， 得， 若与平行，则， 得， 得，而，则此方程无实数根， 故不存在实数，使得与平行. 【小问3详解】 因为，所以， 由复数的三角不等式， 由，得，所以， 所以， 综上所知，. 【点睛】关键点睛：本题主考考查了向量的新定义问题，难度较大，解答本题的关键在于理解所给定义并且结合向量坐标运算的相关知识解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$