专题4.1 十字相乘法与分组分解法（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题4.1 十字相乘法与分组分解法 · 典例分析 【典例1】材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 （1）利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； （2）结合材料1和材料2，对下面小题进行因式分解： ； ． 【思路点拨】 本题主要考查了用十字相乘法分解因式、换元法分解因式．解决本题的关键是阅读材料中提供的解题思路，仿照材料中提供的思路分解因式． （1）仿照材料的供的思路把分解成，把分解成，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，可得，所以分解因式可得； 仿照材料的供的思路把分解成，把分解成，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，可得，所以分解因式可得； （2）设，则原式化为，仿照中的方法用十字相乘法分解因式，再把还原即可； 设，则原式化为，仿照中的方法用十字相乘法分解因式，再把还原即可． 【解题过程】 （1）解：， ； 解：， ； （2）解：， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：； ：解， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：． · 学霸必刷 1．（24-25七年级上·上海普陀·期末）因式分解： （1）； （2）． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）运用添项法分解因式： （1）； （2）． 3．（23-24八年级上·湖北黄石·阶段练习）分解因式： （1） （2） （3） （4）． 4．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）分解因式： （1）； （2）． 5．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）因式分解： （1）； （2）． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）分解因式： （1）； （2）； （3）． 7．（23-24七年级上·广东广州·期中）分解因式： （1）； （2）； （3）； 8．（2024八年级上·全国·专题练习）利用拆项法分解因式： （1）； （2）； （3）． 9．（23-24九年级上·湖北·周测）因式分解： （1） （2） 10．（23-24七年级上·上海青浦·期中）用简便方法计算：． 11．（24-25八年级上·广西河池·期末）仔细阅读下面的例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解法一：设另一个因式为，得， 即， 解得， 另一个因式为，的值为． 解法二：设另一个因式为，得， 当时，， 即：， 解得：， ， 另一个因式为，的值为． 问题：请你仿照以上一种方法解答下面问题． （1）已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，则实数=______． （2）已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，求另一个因式及的值． 12．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，这种解题思想叫做“整体思想”． 下面是小亮同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则原式（第一步） ＝      （第二步） ＝            （第三步） 故原式     （第四步）． ；        （第五步） 请根据上述材料回答下列问题： （1）初步理解： 小亮同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的　　　； A．提取公因式法  B．平方差公式法  C．完全平方公式法 （2）尝试应用： 请你用换元法对多项式进行因式分解； （3）灵活运用： 请你将多项式进行因式分解 13．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为．（p，q为整数） 因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故一定有，即可将形如的多项式因式分解成（p、q为整数）． 例如：． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式：_________； 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是_________； 【拓展应用】 （3）分解因式：． 14．（23-24八年级下·江西吉安·期末）对多项式进行因式分解时，有时可把多项式分成若干组，先分别分解，然后整体分解，其中合理分组是实现完全分解的关键．请灵活运用分组分解的方法对下列多项式进行因式分解： （1）； （2）． 15．（2023八年级上·全国·专题练习）阅读下列材料： 材料 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成 ． （1）根据材料 ，把分解因式． （2）结合材料和材料，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 16．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）阅读材料：要把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫做分组分解法． （1）请用上述方法分解因式：； （2）已知，，求式子的值； （3）分解因式：______． 17．（23-24八年级下·山东济南·期中）先阅读以下材料，然后解答问题： 以上分解因式的方法称为分组分解法． （1）请用分组分解法分解因式： ①    ② （2）拓展延伸： ①若，求x，y的值； ②求当x、y分别为多少时，代数式有最小值，最小的值是多少？ 18．（24-25七年级上·上海宝山·期中）阅读：关于，的二次六项式如果可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，那么可以用一种称为双十字相乘的方法来进行因式分解，具体方法如图所示：先对进行十字相乘分解得，则原式一定可以分解成的形式，然后分别对与进行十字相乘分解，从而确定，，所以． 根据阅读，要求如下： （1）因式分解：； （2）若关于，的多项式可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，求k的值． 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.1 十字相乘法与分组分解法 · 典例分析 【典例1】材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 （1）利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； （2）结合材料1和材料2，对下面小题进行因式分解： ； ． 【思路点拨】 本题主要考查了用十字相乘法分解因式、换元法分解因式．解决本题的关键是阅读材料中提供的解题思路，仿照材料中提供的思路分解因式． （1）仿照材料的供的思路把分解成，把分解成，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，可得，所以分解因式可得； 仿照材料的供的思路把分解成，把分解成，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，可得，所以分解因式可得； （2）设，则原式化为，仿照中的方法用十字相乘法分解因式，再把还原即可； 设，则原式化为，仿照中的方法用十字相乘法分解因式，再把还原即可． 【解题过程】 （1）解：， ； 解：， ； （2）解：， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：； ：解， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：． · 学霸必刷 1．（24-25七年级上·上海普陀·期末）因式分解： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查了因式分解：十字相乘法、分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先分组为，再变形，然后利用提公因式法分解因式即可； （2）先根据十字相乘法分解因式，再根据完全平方公式分解因式即可． 【解题过程】 （1）解： ； （2）解：原式 ． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）运用添项法分解因式： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查了添项法分解因式，熟练掌握公式法是解此题的关键． （1）将式子变形为，再利用公式法进行分解即可； （2）将式子变形为，再利用公式法进行分解即可． 【解题过程】 （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．（23-24八年级上·湖北黄石·阶段练习）分解因式： （1） （2） （3） （4）． 【思路点拨】 本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用十字相乘法分解因式即可； （3）先分组，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （4）先分组，进而得到，再利用完全平方公式分解因式即可． 【解题过程】 （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 4．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）分解因式： （1）； （2）． 【思路点拨】 该题主要考查了换元法进行因式分解，解题的关键是掌握因式分解的常见方法． （1）设，将原式变形再运用完全平方公式和十字相乘法求解即可； （2）设，将原式变形再运用十字相乘法求解即可； 【解题过程】 （1）解：设 原式 （2）解：设， 原式 ． 5．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）因式分解： （1）； （2）． 【思路点拨】 （1）根据式子特点先分组为：，然后利用平方差公式和完全平方公式，最后再用十字相乘法分解答即可； （2）根据式子特点将原式变形为，然后整理得，设，整理得，最后把代入即可得出答案． 【解题过程】 （1）解：原式 ； （2）解：原式 ， 设， ∴原式 ． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）分解因式： （1）； （2）； （3）． 【思路点拨】 此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先分组，再利用提公因式进行因式分解即可； （2）先分组，再利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可； （3）先分组，再利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可； 【解题过程】 （1）解： ． （2）解： ； （3）解： ． 7．（23-24七年级上·广东广州·期中）分解因式： （1）； （2）； （3）； 【思路点拨】 （1）本题考查的是利用分组分解法分解因式，把原式化为，先利用完全平方公式把后面一组分解因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）本题考查的是利用完全平方公式分解因式，先把看作整体，计算乘法运算，再连续两次使用完全平方公式分解因式即可； （3）本题考查的是利用添项法结合完全平方公式与平方差公式分解因式，把与看作是整体，先加上，再减去，利用分组分解法进行第一次分解，再利用平方差公式进行第二次分解即可. 【解题过程】 （1）解： ； （2） ； （3） ． 8．（2024八年级上·全国·专题练习）利用拆项法分解因式： （1）； （2）； （3）． 【思路点拨】 此题考查了因式分解的应用，解题时要注意在拆项变形的过程中不要改变式子的值． （1）原式拆成，再分组分解，利用提公因式法分解即可； （2）原式拆成，再分组分解，利用提公因式法分解即可； （3）原式拆成，再分组分解，利用提公因式法分解即可． 【解题过程】 （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 9．（23-24九年级上·湖北·周测）因式分解： （1） （2） 【思路点拨】 本题考查了因式分解， （1）本题先利用多项式乘以多项式计算得到两组多项式，再利用十字相乘法进行因式分解； （2）本题先分组依次提公因式，再利用公式法进行因式分解． 【解题过程】 （1）解： ； （2）解： ． 10．（23-24七年级上·上海青浦·期中）用简便方法计算：． 【思路点拨】 此题考查了因式分解的应用，先设，然后通过十字相乘法因式分解进行解答即可，解题的关键是熟练掌握十字相乘法因式分解的应用． 【解题过程】 解：设， 则原式， ， ， ∴原式． 11．（24-25八年级上·广西河池·期末）仔细阅读下面的例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解法一：设另一个因式为，得， 即， 解得， 另一个因式为，的值为． 解法二：设另一个因式为，得， 当时，， 即：， 解得：， ， 另一个因式为，的值为． 问题：请你仿照以上一种方法解答下面问题． （1）已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，则实数=______． （2）已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，求另一个因式及的值． 【思路点拨】 本题主要考查了已知因式分解的结果求参数，十字相乘法分解因式，解一元一次方程等知识点，熟练掌握已知因式分解的结果求参数是解题的关键． （1）设另一个因式为，得，当时，，即，解方程即可求出的值； （2）设另一个因式为，得，当时，，即，解方程即可求出的值，然后利用十字相乘法分解因式，即可求出另一个因式． 【解题过程】 （1）解：设另一个因式为，得， 当时，， 即：， 解得：， 故答案为：； （2）解：设另一个因式为，得， 当时，， 即：， 解得：， ， 另一个因式为，的值为． 12．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，这种解题思想叫做“整体思想”． 下面是小亮同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则原式（第一步） ＝      （第二步） ＝            （第三步） 故原式     （第四步）． ；        （第五步） 请根据上述材料回答下列问题： （1）初步理解： 小亮同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的　　　； A．提取公因式法  B．平方差公式法  C．完全平方公式法 （2）尝试应用： 请你用换元法对多项式进行因式分解； （3）灵活运用： 请你将多项式进行因式分解 【思路点拨】 本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据完全平方公式即可解答； （2）设 ，则，原式，再因式分解即可得到答案； （3）先将原式变形为，设，则原式，进而得到原式． 【解题过程】 （1）解：运用了完全平方公式法， 故选：C； （2）解：设， 原式 ； （3）解：原式 ， 设 原式   ． 13．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为．（p，q为整数） 因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故一定有，即可将形如的多项式因式分解成（p、q为整数）． 例如：． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式：_________； 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是_________； 【拓展应用】 （3）分解因式：． 【思路点拨】 本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握利用十字相乘法进行分解因式． （1）按照已知条件中方法进行分解因式即可； （2）先找出乘积为的两个整数有哪些，然后按照条件中的方法，求出的值即可； （3）按照已知条件中的方法，先把分解成，然后把多项式进行第一次分解因式，再把分解成，分解成，进行第二次分解因式即可． 【解题过程】 解：（1） ， ， 故答案为：； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴或 或或 ， 整数的值可能是或， 故答案为：或； （3）， ， ， ， ． 14．（23-24八年级下·江西吉安·期末）对多项式进行因式分解时，有时可把多项式分成若干组，先分别分解，然后整体分解，其中合理分组是实现完全分解的关键．请灵活运用分组分解的方法对下列多项式进行因式分解： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查了分组分解法，提公因式分解因式． （1）先提取公因式，再分组分解，后利用提公因式即可求解； （2）先分组，再提取公因式，再次分组分解，即可求解． 【解题过程】 （1）解： ； （2）解： ． 15．（2023八年级上·全国·专题练习）阅读下列材料： 材料 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成 ． （1）根据材料 ，把分解因式． （2）结合材料和材料，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【思路点拨】 本题考查了因式分解．掌握十字相乘法和完全平方公式进行因式分解是解题的关键． （1）根据进行解答即可； （2）①将看成一个整体，令，分解因式，然后再还原即可；②令，原式可变为，即，进行因式分解可得，代换后进行因式分解即可． 【解题过程】 （1）解：由题意知，， ∴； （2）①解：令， 原式 ∴； ②解：令， 原式 ∴原式 ， ∴． 16．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）阅读材料：要把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫做分组分解法． （1）请用上述方法分解因式：； （2）已知，，求式子的值； （3）分解因式：______． 【思路点拨】 本题考查了因式分解，代数式求值，解题的关键是掌握分组分解法． （1）根据分组分解法因式分解即可； （2）先将所求代数式因式分解，再代入值求解即可； （3）根据分组分解法因式分解即可． 【解题过程】 （1）解： ． （2） ，， ． （3） ． 故答案为：． 17．（23-24八年级下·山东济南·期中）先阅读以下材料，然后解答问题： 以上分解因式的方法称为分组分解法． （1）请用分组分解法分解因式： ①    ② （2）拓展延伸： ①若，求x，y的值； ②求当x、y分别为多少时，代数式有最小值，最小的值是多少？ 【思路点拨】 本题考查了分组分解法分解因式，公式法分解因式； （1）根据分组分解法分解因式即可；根据分组分解法分解因式即可； （2）利用完全平方式分解因式即可求解；利用完全平方式分解因式即可求解． 【解题过程】 （1）解： ； ②解： ； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ② ∵，， ∴，时，代数式有最小的值，最小的值是．此时， ∴，， 即当，时，代数式有最小的值，最小的值是． 18．（24-25七年级上·上海宝山·期中）阅读：关于，的二次六项式如果可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，那么可以用一种称为双十字相乘的方法来进行因式分解，具体方法如图所示：先对进行十字相乘分解得，则原式一定可以分解成的形式，然后分别对与进行十字相乘分解，从而确定，，所以． 根据阅读，要求如下： （1）因式分解：； （2）若关于，的多项式可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，求k的值． 【思路点拨】 本题主要考查了分解因式，解题的关键是理解题意，熟练掌握十字相乘法． （1）根据题干中提供的信息，进行因式分解即可； （2）分两种情况对将进行因式分解，得出或，然后再分别代入进行验证即可． 【解题过程】 （1）解：∵式子相乘分解得：， ∴原式一定可以分解成的形式， 分别对与进行十字相乘分解，如图所示： ∴． （2）解：将进行因式分解，如图所示： 或 ∴或 ∴或， 当时，无法用十字相乘法进行因式分解； 当时，可以用十字相乘法进行因式分解， 此时原式为，对，，用十字相乘法因式分解，如图所示： ∴此时， ∴时，符合题意． 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $$