第五章 一元函数的导数及其应用（基础巩固卷）-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第二册）

第五章 一元函数的导数及其应用（基础巩固卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2025·湖南·二模）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 3．（2025高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A．在内单调递增 B．在内单调递减 C．在内单调递增 D．在内单调递减 4．（2025高二下·浙江·期中）已知的切线斜率等于，则切点坐标是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．（2025·贵州遵义·模拟预测）若函数无极值点则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2025高三·重庆渝中·阶段练习）若函数的图象上的任意一点的切线斜率都大于0，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2025高二下·黑龙江鸡西·阶段练习）设直线与函数，的图像分别交于点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 8．（2025高三上·河南驻马店·期中）已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2025高二·全国·课后作业）某物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中错误的是（    ） A．是物体从开始到这段时间内的平均速度 B．是物体从到这段时间内的速度 C．是物体在这一时刻的瞬时速度 D．是物体从到这段时间内的平均速度 10．（2025高二下·河北邯郸·阶段练习）已知函数，则函数在下列区间上单调递增的有（    ） A． B． C． D． 11．（2025高三上·广东湛江·阶段练习）已知是的导函数，且，则（    ） A． B． C．的图象在处的切线的斜率为0 D．在上的最小值为1 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2025高二上·江苏·课前预习）已知函数在处的导数，则a的值为 ． 13．（2025·北京大兴·一模）若函数在区间 上单调递减，则m的一个值可以是 ； 14．（2025高二下·山东济宁·期中）已知函数在区间上有两个极值，则实数的取值范围是 ． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2025高二·江苏·课后作业）求下列函数的导数： (1)； (2)． 16．（2025高二·全国·课后作业）设质点M沿x轴做直线运动，且在时刻时，质点所在的位置为，且. (1)求到这段时间内质点M的平均速度； (2)求出质点M在什么时刻的瞬时速度等于（1）中求出的平均速度. 17．（24-25高二下·北京·期中）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最值． 18．（2025高二下·福建厦门·阶段练习）设函数 (1)求函数的单调区间： (2)若函数在区间内单调递增，求的取值范围. 19．（2025高二下·海南海口·期中）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 一元函数的导数及其应用（基础巩固卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2025·湖南·二模）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的图象可得的单调性，从而得到在相应范围上的符号，据此可判断的图象. 【详解】由的图象可知，在上为单调递减函数，故时，，故排除A，C；当时，函数的图象是先递增，再递减，最后再递增，所以的值是先正，再负，最后是正，因此排除B， 故选：D. 2．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】计算出的导数，将代入即可求出，进而可计算出. 【详解】因为，则， 所以，则， 所以，所以. 故选：D. 【点睛】本题考查导数的相关计算，属于基础题. 3．（2025高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A．在内单调递增 B．在内单调递减 C．在内单调递增 D．在内单调递减 【答案】B 【分析】求得，求得函数的单调区间，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数，可得的定义域为， 且， 令，可得；令，可得或， 所以在区间内单调递减，在和内单调递增， 由，所以A错误；由，所以B正确； 由，所以C错误；由，所以D错误． 故选：B. 4．（2025高二下·浙江·期中）已知的切线斜率等于，则切点坐标是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】由题意可得，求出的值，即可求得切点坐标. 【详解】，则，由可得， 因此，，，故所求切点的坐标为或. 故选：B. 5．（2025·贵州遵义·模拟预测）若函数无极值点则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求出函数的导数，问题转化为最多1个实数根，根据二次函数的性质求出a的范围即可. 【详解】, ， 由函数无极值点知， 至多1个实数根， ， 解得， 实数a的取值范围是， 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，属于中档题. 6．（2025高三·重庆渝中·阶段练习）若函数的图象上的任意一点的切线斜率都大于0，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对函数求导，得到，然后根据题意得到恒成立，得到 【详解】因为函数，定义域 所以， 因为图象上的任意一点的切线斜率都大于0， 所以对任意的恒成立， 所以， 设，则 令，得到，舍去负根， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以时，取最大值，为， 所以， 故选B. 【点睛】本题考查利用导数求函数图像切线的斜率，不等式恒成立，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，属于中档题. 7．（2025高二下·黑龙江鸡西·阶段练习）设直线与函数，的图像分别交于点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的最小值即可得． 【详解】设，， 则， 当时，，递减，时，，递增， 所以． 故选：D． 8．（2025高三上·河南驻马店·期中）已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的几何意义，得函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1，即函数的导数大于1在内恒成立，可得在内恒成立，利用二次函数的性质可求. 【详解】因为的几何意义，表示点与点连线斜率， ∵实数，在区间内，不等式恒成立， ∴函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1， 故函数的导数大于1在内恒成立，∴在内恒成立， 由函数的定义域知，，所以在内恒成立， 由于二次函数在上是单调递减函数， 故，∴， ∴． 故选：A. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2025高二·全国·课后作业）某物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中错误的是（    ） A．是物体从开始到这段时间内的平均速度 B．是物体从到这段时间内的速度 C．是物体在这一时刻的瞬时速度 D．是物体从到这段时间内的平均速度 【答案】ABD 【分析】根据瞬时变化率的概念，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】由瞬时变化率的概念可得， 是物体在这一时刻的瞬时速度，即C正确，ABD都错. 故选：ABD． 10．（2025高二下·河北邯郸·阶段练习）已知函数，则函数在下列区间上单调递增的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由导函数大于0求出单调递增区间，得到答案. 【详解】因为的定义域为R， ， 令得：或， 所以在区间，上单调递增． 故选：AC． 11．（2025高三上·广东湛江·阶段练习）已知是的导函数，且，则（    ） A． B． C．的图象在处的切线的斜率为0 D．在上的最小值为1 【答案】BC 【分析】由题意，利用方程思想，求导赋值，建立方程，求得的值，可得函数与导函数解析式， 对于A、B，直接代值，可得答案；对于C，利用导数的几何意义，可得答案；对于D，根据导数与单调性关系，可得答案. 【详解】∵，∴，令，则，故B正确；则，， ，故A错误； 的图象在处的切线的斜率为，故C正确； ，当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴在上的最小值为，故D错误． 故选：BC． 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2025高二上·江苏·课前预习）已知函数在处的导数，则a的值为 ． 【答案】1 【分析】求出函数的导数，再代入求值即得. 【详解】由，得 ， ，得 故答案为：1 13．（2025·北京大兴·一模）若函数在区间 上单调递减，则m的一个值可以是 ； 【答案】（答案不唯一，只要） 【分析】由题意可得在区间上恒成立，即可得答案； 【详解】，， 在区间上恒成立， 在区间上恒成立， 取，显然恒成立， 故答案为：. 【点睛】本题考查余弦二倍角公式、三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，求解时注意结合三角函数的图象进行求解. 14．（2025高二下·山东济宁·期中）已知函数在区间上有两个极值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求得，根据题意转化为在上有两个不等的实数根，转化为和的图象有两个交点，求得，求得函数的单调性与最值，即可求解. 【详解】， 由题意知在上有两个不相等的实根， 将其变形为，设，则. 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 的极大值为. 画出函数的大致图象如图， 易知当时，；当时，， ，即. 故答案为：. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2025高二·江苏·课后作业）求下列函数的导数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用求导运算规则直接求导即可解决； （2）利用求导运算规则直接求导即可解决； 【详解】（1） （2） 16．（2025高二·全国·课后作业）设质点M沿x轴做直线运动，且在时刻时，质点所在的位置为，且. (1)求到这段时间内质点M的平均速度； (2)求出质点M在什么时刻的瞬时速度等于（1）中求出的平均速度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平均速度公式计算可得； （2）利用导数求出瞬时速度，再解方程即可； 【详解】（1）解：由题意可知： ， ， 从到这段时间内质点的平均速度：． （2）解： 所以质点在时刻的瞬时速度， ， 解得， 故从到这段时间内质点的平均速度，质点在的瞬时速度等于这段时间内的平均速度． 17．（24-25高二下·北京·期中）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最值． 【答案】(1)单调递增区间是，；单调递减区间是 (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）求导函数，确定的根，分析函数变化即可得的单调区间； （2）由函数单调性确定取值情况，即可得函数在区间上的最值． 【详解】（1）函数的定义域为，所以， 令，得或， 当变化时，，在区间上的变化状态如下： + 0 - 0 + ↗ 极大 ↘ 极小 ↗ 所以的单调递增区间是，；单调递减区间是； （2）由（1）可得在上单调递减，在上单调递增 又因为， 函数在区间上的最小值为．最大值为． 18．（2025高二下·福建厦门·阶段练习）设函数 (1)求函数的单调区间： (2)若函数在区间内单调递增，求的取值范围. 【答案】(1)详见解析； (2). 【分析】（1）分，讨论，根据导数与单调性的关系即得； （2）根据函数的单调区间结合条件即得. 【详解】（1）由题可得， 由，可得， 若，则当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 若，则当时，，函数f(x)单调递增； 当时，，函数f(x)单调递减； ∴时，函数的减区间为，增区间为； 时，函数的减区间为，增区间为； （2）∵函数在区间内单调递增， ∴若，则，即时，函数在区间内单调递增， 若，则，即时，函数在区间内单调递增， 综上可知，函数在区间内单调递增时，的取值范围是. 19．（2025高二下·海南海口·期中）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出、代入直线的点斜式方程可得答案； （2）分、、讨论，利用导数判断可得答案． 【详解】（1）若，则， ，所以， ， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； （2）， 当时，， 在上单调递增， 当时，由得，或， 由得， 所以在上单调递增，在上单调递增， 在上单调递减； 当时，由得，或， 由得， 所以在上单调递增，在上单调递增， 在上单调递减； 综上所述， 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，， 单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，， 单调递减区间为. 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $$