精品解析：河北省邯郸市2024-2025学年高三下学期省级联测考试数学试题

2024－2025高三省级联测考试 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合,再求解判断选项. 【详解】解析：由题意可知，集合，或， . 故选：A． 2. 已知复数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法法则化简可得，利用复数的模长公式可得，结合充分条件、必要条件的定义即可求解. 【详解】，. ，，或， “”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出与的坐标，再利用向量垂直的性质列出等式，最后通过化简等式得到与的关系． 【详解】由题知，，， ，， ，整理得， 故选：B． 4. 设，则关于两个方程与的根的叙述正确的是（ ） A. 有两个相同的根 B. 有三个相同的根 C. 有四个相同的根 D. 所有根全部相同 【答案】B 【解析】 【分析】由，得或，再由，得或，根据，进而得到结论. 【详解】由，得或， 当时，，，，，，，． 由，得或， 当时，，，，，， 两个方程有三个相同的根， 故选：B． 5. 已知随机变量服从正态分布，若，，则（ ） A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 【答案】C 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的性质，再根据条件，即可求出结果. 【详解】解析：由已知得正态曲线关于直线对称，， ，解得， 故选：C． 6. 六人排一排照相，在甲、乙两人相邻的前提下，丙、丁两人之间间隔两人的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由“甲、乙两人相邻”可直接用捆绑法求出其包含的基本事件个数；对“丙、丁两人之间间隔两人”分两类讨论：丙、丁两人之间是甲和乙及丙、丁两人之间不是甲和乙，最后利用条件概率公式即可求解. 【详解】设事件“甲、乙两人相邻”，“丙、丁两人之间间隔两人”，则. 若丙、丁两人之间是甲和乙，则有种排法；若丙、丁两人之间不是甲和乙，则有种排法， ∴，. 故选：D. 7. 已知三棱锥的底面是边长为2的正三角形，平面，，分别是，上的点，且，平面平面，三棱锥的体积与四棱锥的体积之比为，则该三棱锥的体积为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过线面垂直、面面垂直的判定定理找出相关垂直关系，进而得到在直角三角形中的线段关系；再根据三棱锥与四棱锥体积比推出相关三角形面积比，从而得到线段比例关系，求出关键线段长度，最后利用三棱锥体积公式计算体积． 【详解】如图，取的中点，连接，，， 连接，是正三角形，， 又平面，平面，， 又，平面，平面， 平面，， ，． 平面平面，且平面平面， 平面，平面， 平面，， 在中，（※）． 三棱锥的体积与四棱锥的体积之比为， ，，， 设，，代入（※）式得，，，， 三棱锥的体积， 故选：A． 8. 已知是正实数，若函数对任意恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. e 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数和的单调性以及条件可得两函数的零点相同，得出，即，再利用基本不等式求的最大值即可. 【详解】由题意可知，为增函数，为减函数，且零点分别为，， 因对任意恒成立， 则函数与有相同的零点， 则，即， 则， 当且仅当，即，时取等号， 则的最大值为. 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据两角和的正切公式即可判断选项A；根据二倍角的正切公式即可判断选项B；根据二倍角的正弦公式，进行弦化切，结合选项B即可判断选项C；根据二倍角的正弦公式、余弦公式及商数关系即可判断选项D. 【详解】∵，选项A正确； ∵，选项B不正确； ∵，选项C正确； ，选项D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，则（ ） A. 的极小值为 B. 有两个零点 C. 存在使得关于的方程有三个不同的实根 D. 的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】先求导函数，根据正负确定单调性．判断A；运用极大值和极小值都小于，判断B；运用y=f(x)与y=a有三个不同交点，即f(x)=a有三个不同实根，判断C；运用函数单调性判断D． 【详解】函数的定义域为，， 由得或；由得，有极大值，极小值，A正确； 由极大值和极小值均小于0知最多一个零点，B不正确； 当时，，当时，，当时，有三个不同的实根，C正确； 当时，，此时，D不正确． 故选：AC． 11. 已知定义在上的函数满足，当时，，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 是增函数 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】运用赋值法，结合奇偶性定义，单调性定义逐个判断即可. 【详解】对于A，B，令，得，再令，得，，，再令，则，即， 因为（若，则无意义），所以. 即，，即与同号， 时，，当时，也成立，时，，A正确，B不正确； 对于C，令，，，当时，，由已知得，，由A选项知，，C正确； 对于D，，，互换即可得到，D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知条件将动点到定点与定直线的距离关系进行转化，再依据抛物线定义确定其轨迹方程． 【详解】由已知可得动点满足到定点的距离等于到定直线的距离， 由抛物线定义知动点的轨迹方程为焦点在x轴上的抛物线，且焦点为，则，.因此轨迹方程为：． 故答案为：. 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过右焦点向圆引一条切线交椭圆于点，连接，如图，若，则椭圆的离心率______． 【答案】 【解析】 【分析】设直线与圆切于点，根据，得到 则，进而利用勾股定理求出离心率. 【详解】设直线与圆切于点，则， 由，则， 所以，，， 由勾股定理得， 即，解得， 则，． 故答案为： 14. 已知定义在上的函数的图象上任意一点处的切线方程是，且在区间上不是单调递增的，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的导数，然后分情况讨论的取值，得出在上单调递增时的取值范围，最后根据补集思想求出在区间上不是单调递增时的取值范围． 【详解】由已知得，若，则，满足是增函数； 若，由得，或，也满足在上单调递增； 若，由得，或，若在上单调递增，需满足，即，解得，在上单调递增时，实数的取值范围是或， 在区间上不是单调递增时，实数的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角所对的边分别为，已知，. （1）求； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】（1）根据题中条件结合正弦定理可得，求出的值，再利用结合三角形内角范围即可求解； （2）由（1）知，，可求出角.由余弦定理及题中条件可得.由正弦定理可得，解出，再利用正弦定理即可求解. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得，，即. ，. ，∴. ，（舍去）或. 【小问2详解】 由（1）知，. 由余弦定理可得， ∴. ，. 由正弦定理，，解得. ∴由正弦定理可得，，. 16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，平面，是的中点，过与平行的平面交于点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可得出，由线面平行的性质可得出，故得，证明平面，可得出，由线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值． 【小问1详解】 如图，连接交于点，交于点，连接． 因平面，平面，则， 在菱形中，，，则，， 因，， 平面，平面，平面平面，，． 因为是正三角形，且是的中点，． 平面，平面，， 又，、平面，平面， 平面，， 由，，且，、平面， 故平面． 【小问2详解】 因为四边形为菱形，则，又因为平面， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 由（1）知平面的一个法向量为． 又，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为． 17. 某芯片研究所研究一种电动汽车电池快充芯片，该电池芯片需要甲、乙两种芯片加工工艺，甲种芯片加工工艺需要三次来完成，第一次需要在该芯片上进行光刻，其成功的概率为0.6，第二次是对第一次光刻的检查与补充，若检测第一次未成功，则将再次光刻，成功的概率还是0.6；若检测第一次光刻成功，则不需要光刻了．第三次是对前两次的检查与补充，检测仍未光刻成功，则再次进行光刻，其成功的概率还是0.6，并判断其是否为合格品，若经过三次工艺后，仍未光刻成功，则为不合格品，淘汰，其余为合格品，进入乙种芯片工艺．乙种芯片加工工艺需要两次独立的光刻，第一次光刻成功的概率为0.5，第二次光刻成功的概率为0.8．若甲种工艺不合格，该芯片亏200元．在甲种工艺合格的前提下，若乙种工艺两次均不成功，该芯片也亏200元；若乙种工艺两次光刻只成功一次，则该芯片应用于其他产品，能赚取100元利润；若乙种工艺两次光刻均成功，则每个芯片赚取300元的利润． （1）求一个未被光刻的芯片经过甲、乙两种工艺加工后不亏钱的概率； （2）从甲种工艺合格的芯片中任取两个，经过乙种工艺两次光刻，求所赚取利润的分布列和数学期望． 【答案】（1）0.8424 （2）分布列见解析，300 【解析】 【分析】（1）先求出一个未被光刻的芯片经过甲、乙两种工艺加工的概率，再计算不亏的概率；（2）先确定的值，求出对应概率，可得的分布列，再根据期望的概念求的数学期望. 【小问1详解】 设甲种工艺光刻成功的概率是，则， 乙种工艺两次均不成功的概率为，则， 不亏钱的概率． 【小问2详解】 在甲种工艺合格的前提下，设一个芯片赚取的利润为， 则， ， ． 的可能取值为，，，，，． 则， ， ， ， ， ． 其分布列为 100 200 400 600 0.01 0.1 0.08 0.25 0.4 0.16 ． 18. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）求函数的最小值； （3）当时，证明：． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； （2）利用导数分析函数的单调性，即可求出函数的最小值； （3）当时，将所求不等式变形为，根据，结合（1）（2）中的结论可证得所证不等式成立. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 当时，由得，由，得， 此时，函数的减区间为，增区间为； 当时，由得，由，得或， 此时，函数的减区间为、，增区间为； 当时，由得或，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为、. 综上，当时，函数的减区间为，增区间为； 当时，函数的减区间为、，增区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为、. 【小问2详解】 函数的定义域为，， 由，得，由，得， 即在上单调递减，在上单调递增， 在处取得最小值． 【小问3详解】 当时，等价于， 即，即， 即，即， ，只需证明， 当，时，，只需证明， 由（1）知，时，在处取得最小值， 综上所述，原不等式成立． 19. 已知公比为的正项等比数列，满足离心率均为2的序列双曲线的方程．在中，点到一条渐近线的距离为，过上一点作的两条弦，，交于另两点，，且的平分线垂直于轴． （1）求的通项公式； （2）求直线的斜率； （3）当（为坐标原点）的面积为时，直线交轴于，证明： 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的离心率可得，得，在中，根据位置关系可得，进而可得； （2）设直线的方程为，联立双曲线方程可得，结合可得，进而可得； （3）由弦长公式和距离公式可得的面积，进而可得，由放缩可得，进而可得. 【小问1详解】 因双曲线的离心率为2，故， 即，故公比． 在中，由点到一条渐近线的距离为（的短半轴长）， 得是的一个焦点，故，即，解得， 故． 【小问2详解】 由（1）知，， 由题易知直线的斜率存在，设直线的方程为，，， 将代入中整理得，， 且，，． 的平分线垂直于轴，， 得，即， 将，，和代入整理得，， 或（舍，此时直线过），． 【小问3详解】 直线的方程为，到直线的距离， ， 的面积， 或（舍），， ，，， ． 【点睛】关键点点睛：本题第三问由进而根据放缩得，即，进而可证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025高三省级联测考试 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，则关于两个方程与的根的叙述正确的是（ ） A. 有两个相同的根 B. 有三个相同的根 C. 有四个相同的根 D. 所有根全部相同 5. 已知随机变量服从正态分布，若，，则（ ） A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 6. 六人排一排照相，在甲、乙两人相邻的前提下，丙、丁两人之间间隔两人的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知三棱锥的底面是边长为2的正三角形，平面，，分别是，上的点，且，平面平面，三棱锥的体积与四棱锥的体积之比为，则该三棱锥的体积为（ ） A. B. C. 3 D. 8. 已知是正实数，若函数对任意恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的极小值为 B. 有两个零点 C. 存在使得关于的方程有三个不同的实根 D. 的解集为 11. 已知定义在上的函数满足，当时，，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 是增函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是______． 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过右焦点向圆引一条切线交椭圆于点，连接，如图，若，则椭圆的离心率______． 14. 已知定义在上的函数的图象上任意一点处的切线方程是，且在区间上不是单调递增的，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角所对的边分别为，已知，. （1）求； （2）若，求的值. 16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，平面，是的中点，过与平行的平面交于点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 某芯片研究所研究一种电动汽车电池快充芯片，该电池芯片需要甲、乙两种芯片加工工艺，甲种芯片加工工艺需要三次来完成，第一次需要在该芯片上进行光刻，其成功的概率为0.6，第二次是对第一次光刻的检查与补充，若检测第一次未成功，则将再次光刻，成功的概率还是0.6；若检测第一次光刻成功，则不需要光刻了．第三次是对前两次的检查与补充，检测仍未光刻成功，则再次进行光刻，其成功的概率还是0.6，并判断其是否为合格品，若经过三次工艺后，仍未光刻成功，则为不合格品，淘汰，其余为合格品，进入乙种芯片工艺．乙种芯片加工工艺需要两次独立的光刻，第一次光刻成功的概率为0.5，第二次光刻成功的概率为0.8．若甲种工艺不合格，该芯片亏200元．在甲种工艺合格的前提下，若乙种工艺两次均不成功，该芯片也亏200元；若乙种工艺两次光刻只成功一次，则该芯片应用于其他产品，能赚取100元利润；若乙种工艺两次光刻均成功，则每个芯片赚取300元的利润． （1）求一个未被光刻的芯片经过甲、乙两种工艺加工后不亏钱的概率； （2）从甲种工艺合格的芯片中任取两个，经过乙种工艺两次光刻，求所赚取利润的分布列和数学期望． 18. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）求函数的最小值； （3）当时，证明：． 19. 已知公比为的正项等比数列，满足离心率均为2的序列双曲线的方程．在中，点到一条渐近线的距离为，过上一点作的两条弦，，交于另两点，，且的平分线垂直于轴． （1）求的通项公式； （2）求直线的斜率； （3）当（为坐标原点）的面积为时，直线交轴于，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $