精品解析：湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题

武汉市部分重点中学2024－2025学年度下学期期中联考 高二数学 命题单位：武汉六中数学学科组 审题单位：圆创教育研究中心 武汉市第一中学 本试卷共4页，19题.满分150分.考试用时120分钟. 考试时间：2025年4月15日下午14:00－16:00 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知函数在处可导，且，则（ ） A. B. C. D. 2 2. 二项式的展开式中的系数为（ ） A. 60 B. C. D. 12 3. 从0－9这10个数字中任意取出3个数，组成一个没有重复数字的三位数，则满足条件的三位数的个数是（ ） A. 648 B. 720 C. 504 D. 1000 4. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 5. 已知，则曲线在点处的切线方程为（ ） A B. C. D. 6. 某校6名同学打算去武汉旅游，现有黄鹤楼、古德寺、湖北省博物馆三个景区可供选择.若每个景区中至少有1名同学前往打卡，每人仅去一个景点，则不同方案的种数为（ ） A. 180 B. 360 C. 540 D. 670 7. 如图，湖面上有4个相邻的小岛，现要建3座桥梁，将这4个小岛连通起来，则建设方案有（ ） A 12种 B. 16种 C. 20种 D. 24种 8. 函数两个极值点满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 函数，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 没有零点 D. 最大值为2 10. 已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ） A. 数列为等比数列 B. 数列为等差数列 C. D. 11. 已知函数.若曲线恰有三条过点的切线，其中实数的所有取值组成集合的所有取值组成集合，则下列说法正确的有（ ） A B. 若，则 C. 直线上存在满足要求的点 D. 直线上存在满足要求的点 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 除以26所得余数为______. 13. 已知函数，若方程有三个相异的实根，则实数的取值范围为______. 14. 已知，，…，是，，…，（，）满足下列性质的一个排列，性质：排列，，…，中存在唯一使得，满足性质的数列，，…，的个数为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 高二某班计划从4名男生、3名女生中选拔4人负责本周校会. （1）若要求选出的4人中同时包含男生和女生，有多少种不同的组合方式？（写出必要的数学式，结果用数字作答） （2）已经按照（1）中要求选出甲、乙、丙、丁四人，现要从已选择的4人中安排1人担任校会主持，1人进行国旗下的讲话，2人负责升旗仪式，有多少种不同的职务分配方案？（写出必要的数学式，结果用数字作答） （3）在完成（2）的职务分配后，校会结束后这4位同学和班主任共5人需合影留念，要求两位升旗手必须相邻站立，有多少种不同的排列方法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 17. 若数列满足，则称数列为“平方递推数列”.已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数. （1）证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； （2）设，数列的前项和为； ①求； ②若恒成立，求实数的最大值. 18. 已知函数，.的导函数为. （1）当时.求函数的最小值； （2）若. ①证明：恰有3个零点； ②证明：的所有零点之和为定值. 19. 对于正整数和正整数，现定义函数. （1）当时，分别计算在处的取值； （2）为了研究函数的单调性，现定义差分比； ①证明：当时，； ②对于任意正整数，当取到最大值时，求正整数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 武汉市部分重点中学2024－2025学年度下学期期中联考 高二数学 命题单位：武汉六中数学学科组 审题单位：圆创教育研究中心 武汉市第一中学 本试卷共4页，19题.满分150分.考试用时120分钟. 考试时间：2025年4月15日下午14:00－16:00 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知函数在处可导，且，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的定义即可求值. 【详解】由导数的定义知. 故选：D. 2. 二项式的展开式中的系数为（ ） A. 60 B. C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】化简通项，令的指数为4求出，代回通项可得答案. 【详解】展开式的通项， 令，解得，所以，即的系数为. 故选：C 3. 从0－9这10个数字中任意取出3个数，组成一个没有重复数字的三位数，则满足条件的三位数的个数是（ ） A. 648 B. 720 C. 504 D. 1000 【答案】A 【解析】 【分析】利用间接法，可求用0到9这10个数字任意取出3个数组成没有重复数字的三位数的个数减去0放首位时组成没有重复数字的三位数的个数即可 【详解】因为0不能作首位， 所以用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位数的个数为， 故选：A 4. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导后令导数小于等于零，分离参数再由二次函数性质求解. 详解】由得， 由函数单调递减可得恒成立， 因为，所以，所以， 所以实数的取值范围是. 故选：B 5. 已知，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件和复合函数的导数公式，求，以及，再根据到底几何意义写出切线方程. 【详解】令，则，得， ，，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故选：B 6. 某校6名同学打算去武汉旅游，现有黄鹤楼、古德寺、湖北省博物馆三个景区可供选择.若每个景区中至少有1名同学前往打卡，每人仅去一个景点，则不同方案的种数为（ ） A. 180 B. 360 C. 540 D. 670 【答案】C 【解析】 【分析】分类考虑前往每个景区的人数，求出每种情况的方案数，即可得答案. 【详解】由题意，当每个景区都有2名同学前往时，此时方案有种； 当按分别有1，2，3名同学前往景区时，此时方案有种； 当按分别有1，1，4名同学前往景区时，此时方案有种； 故不同方案种数为（种）， 故选：C 7. 如图，湖面上有4个相邻的小岛，现要建3座桥梁，将这4个小岛连通起来，则建设方案有（ ） A. 12种 B. 16种 C. 20种 D. 24种 【答案】B 【解析】 【分析】确定可以建设桥梁的位置有几个地方，进而求出建设3个桥梁的所有可能选法，去掉不符合题意的选法，即可得答案. 【详解】由题意知要将4个相邻的小岛A，B，C，D连接起来， 共有个位置可以建设桥梁， 从这6个位置中选3个建设桥梁，共有种选法， 但选出的3个位置可能是仅连接或或或三个小岛，不合题意， 故要建3座桥梁，将这4个小岛连接起来，共有（种）不同的方案. 故选：B. 8. 函数的两个极值点满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据极值点为导函数零点，整理变形得，然后令代入后表示出，代入目标式转化为关于的函数，利用导数求最值即可. 【详解】由题知，的定义域为，， 因为有两个极值点，所以，则①， 令，因为，所以， 将代入①整理可得， 所以， 令，则， 设，则， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以. 故选：D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 函数，则（ ） A. B. 上单调递增 C. 没有零点 D. 最大值为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据导数运算法则求导函数可判断A正确，结合指数函数性质求解函数单调区间可判断B正确，结合函数单调性及最小值可知C正确，D错误. 【详解】的定义域为，因为，所以，故A正确； 令得，即，令得，即， 因此在单调递增，在单调递减，且， 因此没有零点，即BC正确，D错误. 故选：ABC 10. 已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ） A. 数列为等比数列 B. 数列为等差数列 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先根据递推公式，结合等比数列和等差数列的定义，即可判断AB，再利用累加法，判断C，最后根据通项公式求和，判断D. 【详解】A.由条件，可知，， 且，则，所以数列为等比数列，故A正确； B.由条件可知，，，，，，数列的前3项2,5,14不能构成等差数列， 所以数列不是等差数列，故B错误； C.由A可知，，所以时，， ，也适合，故C正确； D.由C可知，， 所以，故D正确. 故选：ACD 11. 已知函数.若曲线恰有三条过点的切线，其中实数的所有取值组成集合的所有取值组成集合，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 直线上存在满足要求的点 D. 直线上存在满足要求的点 【答案】BD 【解析】 【分析】由题意将问题转化为过点的切线方程存在3个切点，根据选项，列式求解. 详解】A.，则，设切点，， 所以切线方程为，切线过点， 所以，则，则，此时只有唯一切点，所以过点的切线只有1条，不满足条件，故A错误； B.若点，在由A可知，，整理为 ，设，， 得或，当，得或，，得， 所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是， 所以函数的极大值是，极小值是， 所以与轴有3个交点，即方程有3个实数根，即有个切点，所以过点的切线有3条，满足条件，故B正确； C. 设，则，整理为 ，得，设，，所以单调递增， 则与只有1个交点，即方程只有1个实数根，即只有1个切点，1条切线，所以直线上不存在满足要求的点，故C错误； D. 设，则，整理为 ，得，，设，， 得或， ，得或， ，得，或或， 所以函数的增区间是和， 减区间是和 和 如图画出函数的图象，由图象可知，与存在3个交点，即方程存在3个实数根，故D正确. 故选：BD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是由切线个数转化为切点个数，即转化为方程实数根问题. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 除以26所得余数为______. 【答案】1 【解析】 【分析】由二项式定可得，即可得出结论. 【详解】 ， 因为都能被26整除， 所以除以26所得余数为1. 故答案为：1 13. 已知函数，若方程有三个相异的实根，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数以及二次函数的性质，可得函数的单调区间，并作图，根据方程与函数的关系，可得答案. 【详解】当时，，求导可得， 令，解得， 当时，；当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，， 易知函数在上单调递增，在上单调递减， 可作图如下： 由方程存在三个根，等价于直线与函数的图象存在三个交点， 则. 故答案为：. 14. 已知，，…，是，，…，（，）满足下列性质的一个排列，性质：排列，，…，中存在唯一使得，满足性质的数列，，…，的个数为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意得到和之间的关系：，再计算，代入即可. 【详解】设为符合题意的的个数， 考虑和之间的关系，为此考虑两种情况下的： 第一种为1到符合性质排列，不妨设，此时要么放在末尾要么放在和之间，这一共有 种情况； 第二种为1到不符合性质排列，此时若想插入数使得序列满足性质，则前个数只能递增排列，然后插入，有种情况； 故 设 易知 ， 所以. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 高二某班计划从4名男生、3名女生中选拔4人负责本周校会. （1）若要求选出的4人中同时包含男生和女生，有多少种不同的组合方式？（写出必要的数学式，结果用数字作答） （2）已经按照（1）中要求选出甲、乙、丙、丁四人，现要从已选择的4人中安排1人担任校会主持，1人进行国旗下的讲话，2人负责升旗仪式，有多少种不同的职务分配方案？（写出必要的数学式，结果用数字作答） （3）在完成（2）的职务分配后，校会结束后这4位同学和班主任共5人需合影留念，要求两位升旗手必须相邻站立，有多少种不同的排列方法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 【答案】（1）34 （2）12 （3）48 【解析】 【分析】（1）结合组合数利用间接法列式计算即可； （2）结合组合数根据分步乘法原理求解即可； （3）利用捆绑法结合分步乘法原理求解即可. 【小问1详解】 如果选出的4人中同时包含男生和女生，先从所有7人中选4人，去掉只有男生的情况，故有种组合方式. 【小问2详解】 先选出的4人中安排1人担任校会主持，再从剩余3人中安排1人进行国旗下的讲话， 最后让剩余2人负责升旗仪式，共有种职务分配方案 【小问3详解】 将两位升旗手看成一个整体，与其它的3人排列有种情况， 再排两位升旗手有种情况，共有种排法. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义即可得解； （2）利用导数求得的最小值，从而得到关于的不等式，解之即可得解. 【小问1详解】 当时，，， 故，. 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 ， 因为，所以由，得， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 17. 若数列满足，则称数列为“平方递推数列”.已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数. （1）证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； （2）设，数列的前项和为； ①求； ②若恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②16 【解析】 【分析】（1）由题意，配方得，利用“平方递推数列”定义即可证明，两边取对数，根据等比数列的定义即可证明； （2）①求出，然后利用错位相减法求和即可； ②将原不等式恒成立转化为恒成立，分离参数恒成立，利用基本不等式求解最值即可得解. 【小问1详解】 点在函数的图象上， ，， 数列是“平方递推数列”， 因为， 对两边同时取对数得， 数列是以1为首项、2为公比的等比数列； 【小问2详解】 ①由（1）知，所以， 则， . 两式相减可得， ； ②恒成立， 恒成立， 恒成立，恒成立， 又，当且仅当时，取到等号， ，即. 18. 已知函数，.的导函数为. （1）当时.求函数的最小值； （2）若. ①证明：恰有3个零点； ②证明：的所有零点之和为定值. 【答案】（1）0 （2）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，利用导数判断函数单调性求出极值得解； （2）①由题设，由导数知识结合零点存在性定理可得在R上的零点情况，进而可得单调性，最后再由零点存在性定理可完成证明； ②令，可利用奇函数性质证明该函数零点之和为0，再由图象平移得证. 【小问1详解】 由题意， 令 当时，，在上为增函数； 当时，，在上为减函数. ； 【小问2详解】 ① 令； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 又，所以，且当时，；时，； 所以在与上各有一个零点，不妨分别记为， 所以时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增； 且，所以； 则，，又当时，；时，； 所以在与上各有一个零点，且， 所以有且仅有三个零点. ②令 令，，. 令， 为奇函数.因为奇函数的图象关于原点对称，所以所有零点和为0； 所有零点和为0. 由于的图象可由向右平移一个单位长度得到， 所以所有的零点和为定值3. 19. 对于正整数和正整数，现定义函数. （1）当时，分别计算在处的取值； （2）为了研究函数的单调性，现定义差分比； ①证明：当时，； ②对于任意正整数，当取到最大值时，求正整数. 【答案】（1），，， （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据题意依次计算； （2）①根据题意得，即可证明； ②由①可知，对于任意正整数，在时，严格递减，在时，严格递增，接着分为偶数和奇数进行研究即可. 【小问1详解】 由题意，，，， . 【小问2详解】 ① ，即 当时，. ②由①可知，对于任意正整数，， 即在时，严格递减. 当时，，， 即在时，严格递增. 故对于任意正整数，总在附近取到最大值. 当为偶数时，设，此时，故仅比较与的大小， ， 当时，取到最大值； ②当为奇数时，设，此时， 当时，仅比较与的大小， ， 当时，仅有. 故当时，取到最大值； 综上，当取到最大值时，. 【点睛】方法点睛：对于新定义题型，一般分为以下几步： （1）对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号； （2）对新定义所提取的信息进行加工，探究解决方法，有时能够追求临近的知识点，明确它们的共同点与不同点； （3）对新定义中提取的知识进行变换，有效的输出；假如是新定义的运算，直接依据运算法则计算即可； 假如是新定义的性质，一般要判断性质的合用性，可否利用定义的外延. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$