精品解析：黑龙江省绥化市绥棱县第六中学2024-2025学年九年级（五四制）上学期第四次测试数学试卷

初四学年数学试题 2024—2025学年度第一学期第四次测试题 考生注意： 1．考试时间110分钟． 2．全卷共三道大题，总分120分． 一、单项选择题（本题满分36分，每题3分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形，中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形，中心对称图形的识别是解题的关键．根据轴对称图形，中心对称图形的识别判断即可． 【详解】解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不符合题意； 是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项B符合题意； 是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项C不符合题意； 是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项D不符合题意； 故选B． 2. 下列计算不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及完全平方公式、合并同类项法则分别化简得出答案． 【详解】解：A、，正确，故此选项错误； B、，正确，故此选项错误； C、，正确，故此选项错误； D、，错误，故此选项正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查底数的运算法则，这是中考的必考点，必须熟练掌握. 3. 在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋中有红球个，白球个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黑球的个数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】袋中黑球的个数为，利用概率公式得到，然后利用比例性质求出即可． 【详解】解：设袋中黑球的个数为， 根据题意得，解得， 即袋中黑球的个数为个． 故选C． 【点睛】本题主要考查概率的计算问题，关键在于根据题意对概率公式的应用. 4. 反比例函数的图象经过，若点在反比例函数的图象上，则n的值为（ ） A. 5 B. 10 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式以及反比例函数图象上点的坐标特征，求出反比例函数解析式是解题关键．先将点代入解析式求出的值，再将点代入解析式求出n的值即可． 【详解】解：反比例函数的图象经过， ， 反比例函数解析式为， 点在反比例函数的图像上， ， 故选：D． 5. 如图是切线，点A为切点，交于点C，点D在上，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由可求出∠AOC=．再由AB为圆O的切线，得AB⊥OA，由直角三角形的两锐角互余，即可求出∠ABO的度数， 【详解】解：∵ ， ∴， ∵AB为圆O的切线， ∴AB⊥OA，即∠OAB=90°， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了切线的性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 6. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别把各点代入反比例函数求出、、的值，再比较出其大小即可． 【详解】解：点，，都在反比例函数的图象上， ，，， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，即反比例函数的图象是双曲线，当时，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一象限内随的增大而减小． 7. 学校计划购买和两种品牌的足球，已知一个品牌足球元，一个品牌足球元．学校准备将元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有（　　） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】设购买品牌足球个，购买品牌足球个，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数即可求出结论． 【详解】解：设购买品牌足球个，购买品牌足球个， 依题意，得：， ． ，均为正整数， ，，，， 该学校共有种购买方案． 故选B． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的解的问题，这类题往往涉及到方案的种类，是常考点. 8. 如图，在中，，，，将向右平移得到，再将绕点逆时针旋转至点，重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，平移的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题关键． 由平移的性质和旋转的性质可证是等边三角形，可得，，即可求解． 【详解】∵将向右平移得到， ， ∵将绕点D逆时针旋转至点重合， ， 是等边三角形， ， ， 故选：C． 9. 如图，在中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作，交AD于点F，过点E作，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据由平行线易得△AEF∽△ACD，△CEG∽△CAB，再根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴△AEF∽△ACD， ∴，故选项A错误； ∴， ∵， ∴△CEG∽△CAB， ∴， ∴，故选项B错误；，故选项D错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项正确C． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质和判定，能得出正确的比例式是解此题的关键． 10. 如图，，是函数图象上两点，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两直线交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质、三角形的面积等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．延长，交轴于点，先说明，轴，设点，，则有，，，再根据可得，然后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：延长，交轴于点， 轴，轴， ，轴， 设点，，则有，，， ， ，即， 解得：， ． 故选：A． 11. 如图，在菱形中，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过点作于点，根据已知条件得出是等边三角形，进而证明得出，当时，在上，当时，在上，根据三角形的面积公式得到函数关系式， 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， 当时，在上， 菱形中，，， ∴，则是等边三角形， ∴， ∵， ∴，又 ∴ ∴ ∴， ∴ 当时，在上， ∴， 综上所述，时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当时，函数图象是直线的一部分， 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 12. 如图，正方形的边长为a，点E在边上运动（不与点A，B重合），，点在射线上，且，与相交于点G，连接、、．则下列结论：①；②；③当时，是线段的中点；④的面积的最大值是；⑤的周长为．其中正确的结论是（ ） A. ①③⑤ B. ②③④ C. ①③④ D. ①④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】如图1中，在上截取，连接．证明故可判断①正确；设，则，可得， 利用二次函数性质可判断④正确；如图2中，延长到H，使得，则，再证明即可判断②错误；进而由的周长可判断⑤错误；当时，设，利用勾股定理求得即可判断③正确，进而可得答案． 【详解】解：如图1中，在上截取，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确， 设，则， ∴， ∵， ∴时，的面积的最大值为．故④正确， 如图2中，延长到H，使得， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②错误， ∴的周长，故⑤错误， 当时，则，， 设，则，, 在中，有， 解得， ∴，即G是线段的中点，故③正确， 综上，正确的结论是①③④． 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用、勾股定理等知识，熟练掌握并灵活运用所学知识，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空（本题满分30分，每空3分） 13. 预计今年寒假来哈尔滨旅游人数将达到308000000人次，数据308000000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．根据科学记数法进行解题即可．将一个数表示成，其中，为整数． 【详解】解：308000000用科学记数法表示为， 故答案为：． 14. 在函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】考查了函数自变量的取值范围，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． 根据二次根式的被开方数不小于零，分母不为零即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 15. 把多项式分解因式的结果是________________________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】原式==， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键． 16. 把二次函数的图象，向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到新抛物线的解析式为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移问题．先将一般式化为顶点式，找出顶点坐标，根据二次函数平移法则左加右减上加下减，即可求出新的解析式． 【详解】解：， 将二次函数的图象，向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到新抛物线的解析式为，即． 故答案为：． 17. 已知，是方程的两实数根，则代数式___． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求得、，然后将其代入由变形后的代数式求值． 【详解】解：∵，是方程的两实数根， ∴即有：，， ∴． 故答案是：． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 18. 将圆心角为，半径为的扇形围成一个圆锥的侧面，那么围成的这个圆锥的高为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】圆锥的底面圆的半径为，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，解得，然后根据勾股定理计算出圆锥的高． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为， 根据题意得，解得， 所以圆锥的高． 故答案为4． 【点睛】本题主要考查圆锥的展开图的性质，关键在于圆锥张开图的母线长和弧长相等. 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为，则不等式的解集是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可求解． 【详解】解：由题意得，不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围， ∴不等式的解集是或 故答案为：或． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数图象交点问题，利用函数图象求不等式的解集，正确理解一次函数与反比例函数图象是解题的关键． 20. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP，OP，AO，则△AOP面积的最大值为____． 【答案】． 【解析】 【分析】当P点移动到过点P的直线平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，由于P为切点，得出MP垂直于切线，进而得出PM⊥AC，根据勾股定理先求得AC的长，进而求得OA的长，根据△ADM∽△ACD，求得DM的长，从而求得PM的长，最后根据三角形的面积公式即可求得． 【详解】解：当P点移动到过点P的直线平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，如图， ∵过P的直线是⊙D的切线， ∴DP垂直于切线， 延长PD交AC于M，则DM⊥AC， ∵在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4， ∴AC＝ =5 ∴OA＝ ， ∵∠AMD＝∠ADC＝90°，∠DAM＝∠CAD， ∴△ADM∽△ACD， ∴ ， 即 ∴DM= ∴PM=PD+DM=1+= ∴△AOP的最大面积＝OA•PM＝ = 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出P处于什么位置时面积最大． 21. 如图，已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高为边作等边三角形；再以等边三角形的边上的高为边作等边三角形；的面积为，的面积为，的面积为……如此下去，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由是边长为2的等边三角形的高，利用三线合一得到为的中点，求出的长，继而可得是有一个角为30度的直角三角形，同理可知、、、…、都是有一个角为30度的直角三角形，而且后一个的斜边是前一个30度角所邻的直角边，由此即可求得． 【详解】解：∵等边三角形的边长为2，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ， ∴， 同理，中， ， ∴，， ∴， 同理： …， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形规律题，涉及等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等，有一定难度，熟练掌握并灵活运用等边三角形的性质、勾股定理等解本题的关键． 22. 如图，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点，线段的中点为点C，过点C作轴于点D．直线过原点O和点C．若直线上存在点，满足，则的值为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，得，直线：；根据一次函数性质，得；根据勾股定理，得；连接，根据等腰三角形三线合一性质，得；根据勾股定理逆定理，得；结合圆的性质，得点A、B、D、P共圆，直线和交于点F，点F为圆心；根据圆周角、圆心角、等腰三角形的性质，得；分或两种情况，根据圆周角、二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】根据题意，得，即 ∵直线过原点O和线段的中点C ∴直线： ∵在直线上 ∴ ∴ 连接 ∴，线段的中点为点C ∴ 过点C作x轴的垂线，垂足为点D ∴ ∴， ， ∴ ∴ ∴点A、B、D、P共圆，直线和交于点F，点F为圆心 ∴ ∵ ∴ ∵，且 ∴ ∴ ∴ ∴或 当时，和位于直线两侧，即 ∴不符合题意 ∴，且 ∴， ∴ ∴，此时， ∴； 根据对称性可知，点P关于点C的对称点， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了圆、等腰三角形、反比例函数、一次函数、三角函数、勾股定理、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握圆心角、圆周角、等腰三角形三线合一、三角函数、勾股定理的性质，从而完成求解． 三、解答题 23. 如图,在△ABC中,AB=AC，点P在BC上． (1)求作:△PCD,使点D在AC上，且△PCD∽△ABP；(要求:尺规作图，保留作图痕迹,不写作法) (2)在(1)的条件下,若∠APC=2∠ABC，求证:PD//AB． 【答案】（1） （2）证明：∵∠APC=∠APD+∠DPC=∠ABC+∠BAP=2∠ABC， ∴∠BAP =∠ABC， ∴∠BAP=∠CPD=∠ABC， 即∠CPD =∠ABC， ∴PD∥AB. 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的性质可得∠CPD=∠BAP，故作∠CPD=∠BAP，∠CPD与AC的交点为D即可； （2）利用外角的性质以及（1）中∠CPD=∠BAP可得∠CPD =∠ABC，再根据平行线的判定即可. 【详解】解：（1）∵△PCD∽△ABP， ∴∠CPD=∠BAP， 故作∠CPD=∠BAP即可， （2）略 24. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中如图所示． （1）将先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； （2）画出绕点顺时针旋转后得到，写出点的坐标； （3）在（2）过程中所经过的路径长（结果保留） 【答案】（1） 如图所示即为所求，； （2） 如图所示即为所求，； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了平移，旋转，勾股定理和弧长公式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）利用平移的性质作出对应点，然后连接即可； （2）利用旋转的性质作出对应点，然后连接即可； （3）用勾股定理求出，再利用弧长公式求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵， ∴点旋转到点所经过的路径长为． 25. 如图，在中，，以为直径的与相交于点，，垂足为，平分． （1）求证：是的切线； （2）若弦垂直于，垂足为，，，求的半径； （3）当时，证明：∽． 【答案】（1） 证明：如图： 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）的半径为1； （3）证明：如图： ∵，， ∴ ∵平分， ∴， ∵，， ∴∽． 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定、垂径定理、勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接，先判断出，进而得出，，即可得出结论； （2）连接，先求出，在中，用勾股定理求解，即可得出结论； （3）由，，计算出，证明，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴ ∵是直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 即的半径为； 【小问3详解】 略 26. 小米利用暑期参加社会实践，在妈妈的帮助下，利用社区提供的免费摊点卖玩具，已知小米所有玩具的进价均2元个，在销售过程中发现：每天玩具销售量y件与销售价格x元件的关系如图所示，其中AB段为反比例函数图象的一部分，BC段为一次函数图象的一部分，设小米销售这种玩具的日利润为w元． 根据图象，求出y与x之间的函数关系式； 求出每天销售这种玩具的利润元与元件之间的函数关系式，并求每天利润的最大值； 若小米某天将价格定为超过4元，那么要使得小米在该天的销售利润不低于54元，求该天玩具销售价格的取值范围． 【答案】（1）； 每天利润的最大值为72元； 当时，小米的销售利润不低于54元． 【解析】 【分析】直接利用待定系数法得出反比例函数以及一次函数的解析式即可； 利用当时，当时，分别得出函数最值进而得出答案； 利用，得出x的值，进而得出答案． 【详解】段为反比例函数图象的一部分，， 当时，， 段为一次函数图象的一部分，且、， 设BC段为一次函数函数关系式为，有， 解得： 当时，， 与x之间的函数关系式为：； 当时，， 随着x的增大，增大，也增大， 当时，w取得最大值为40， 当时，， ，，， 当时，w取得最大值为72， 综上所述，每天利润的最大值为72元； 由题意可知：， 令，即， 解得：，， 由函数表达式及函数图象可知，要使，， 当时，小米的销售利润不低于54元． 【点睛】此题主要考查了反比例函数以及二次函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键． 27. 旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题． （1）尝试解决：如图①，在等腰中，，点M是上的一点，，，将绕点A旋转后得到，连接，则___________． （2）类比探究：如图②，在“筝形”四边形中，于点B，于点D，点P、Q分别是上的点，且，求的周长．（结果用a表示） （3）拓展应用：如图③，已知四边形，，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2）2a；（3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得△ABM≌△ACN，从而得出∠MCN=∠ACB+∠ACN =90°，再根据勾股得出AM的长； （2）将绕点C旋转后得到，利用SAS得出△QCP≌△QCM，从而得出的周长 （3）连接 BD，由于AD=CD，所以可将△BCD绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′，连接BB′，延长BA，作B′E⊥BE；易证△AFB′是等腰直角三角形，△AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理计算AE=B′E=，BB′=，求△ABB′和△BDB′的面积和即可． 【详解】（1）∵， ∴∠B=∠ACB=45°， 将绕点A旋转后得到，此时AB与AC重合，由旋转可得： △ABM≌△ACN， ∴∠BAM=∠CAN，AM=AN，BM=CN=1，∠B=∠ACN=45°， ∴∠MCN=∠ACB+∠ACN =90°，∠MAN=∠ABC=90°， ∴ ∴； （2）∵，， ∴将绕点C旋转后得到，此时BC与DC重合， ∴△BCP≌△DCM， ∴∠DCM=∠PCB，BP=DM，PC=CM， ∵， ∴， ∴， ∵PC=CM，QC=QC, ∴△QCP≌△QCM， ∴PQ=QM， ∴的周长=AQ+AP+PQ= AQ+AP+QM= AQ+AP+DQ+DM= AQ+AP+DQ+BP=AD+AB， ∵， ∴的周长=2a； （3）如图，连接 BD，由于AD=CD，所以可将△BCD绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′， 连接BB′，延长BA，作B′E⊥BE； ∴△BCD≌△B′AD ∴S四边形ABCD=S四边形BDB′A， ∵∠ABC=75°，∠ADC=60°， ∴∠BAB′=135° ∴∠B′AE=45°， ∵ ∴B′E=AE=， ∴BE=AB+AE=2+=， ∴ ∵等边△DBB′，∴BB′上的高=， ∴ ∴ ， ∴S四边形ABCD=S四边形BDB′A=S△BDB′-S△ABB′=； 【点睛】本题考查了图形的旋转变换，三角形全等，勾股定理，等积代换思想，类比思想等．构造直角三角形，求出三角形的高是解决问题的关键． 28. 如图，抛物线的图象经过，，三点，且一次函数的图象经过点． （1）求抛物线和一次函数的解析式． （2）点，为平面内两点，若以、、、为顶点的四边形是正方形，且点在点的左侧．这样的，两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：如果不存在，请说明理由． （3）将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与轴交于，两点（点在点左侧）．点是抛物线上的一个动点且在直线下方．已知点的横坐标为．过点作于点．求为何值时，有最大值，最大值是多少？ 【答案】（1）， （2）满足条件的E、F两点存在，，， （3）当时，的最大值为 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）①当为正方形的边长时，分别过点点作，，使，，连接、，证明，得出，，则同理可得，；②以为正方形的对角线时，过的中点作，使与互相平分且相等，则四边形为正方形，过点作轴于点，过点作于点，证明，得出，在中，，解得或4，进而即可求解； （3）得出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，则，点在抛物线上，且横坐标为得出，进而可得，则，根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：把，，代入 得 解得 ∴ 把代入得 ∴ 【小问2详解】 满足条件的、两点存在，，， 解：①当为正方形的边长时，分别过点点作，，使，，连接、. 过点作轴于. ∵， 又， ∴， ∴， ∴ 同理可得， ②以为正方形的对角线时，过的中点作，使与互相平分且相等，则四边形为正方形， 过点作轴于点，过点作于点 ∵， 又 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 在中， ∴ 解得或4 当时，，此时点在点右侧故舍去； 当时，. 综上所述：，， 【小问3详解】 ∵向右平移8个单位长度得到抛物线 当，即 解得： ∴， ∵过，，三点 ∴ 在直线下方的抛物线上任取一点，作轴交于点，过点作轴于点 ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形 ∵， ∴ 又 ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵点在抛物线上，且横坐标为 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当时，的最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，正方形的性质，二次函数的性质，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四学年数学试题 2024—2025学年度第一学期第四次测试题 考生注意： 1．考试时间110分钟． 2．全卷共三道大题，总分120分． 一、单项选择题（本题满分36分，每题3分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算不正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋中有红球个，白球个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黑球的个数为（　　） A. B. C. D. 4. 反比例函数的图象经过，若点在反比例函数的图象上，则n的值为（ ） A. 5 B. 10 C. D. 5. 如图是切线，点A为切点，交于点C，点D在上，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 7. 学校计划购买和两种品牌的足球，已知一个品牌足球元，一个品牌足球元．学校准备将元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有（　　） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 8. 如图，在中，，，，将向右平移得到，再将绕点逆时针旋转至点，重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 如图，在中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作，交AD于点F，过点E作，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，是函数图象上两点，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两直线交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在菱形中，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，正方形的边长为a，点E在边上运动（不与点A，B重合），，点在射线上，且，与相交于点G，连接、、．则下列结论：①；②；③当时，是线段的中点；④的面积的最大值是；⑤的周长为．其中正确的结论是（ ） A. ①③⑤ B. ②③④ C. ①③④ D. ①④⑤ 二、填空（本题满分30分，每空3分） 13. 预计今年寒假来哈尔滨旅游人数将达到308000000人次，数据308000000用科学记数法表示为______． 14. 在函数中，自变量的取值范围是______． 15. 把多项式分解因式的结果是________________________． 16. 把二次函数的图象，向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到新抛物线的解析式为______． 17. 已知，是方程的两实数根，则代数式___． 18. 将圆心角为，半径为的扇形围成一个圆锥的侧面，那么围成的这个圆锥的高为_______． 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为，则不等式的解集是__________． 20. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP，OP，AO，则△AOP面积的最大值为____． 21. 如图，已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高为边作等边三角形；再以等边三角形的边上的高为边作等边三角形；的面积为，的面积为，的面积为……如此下去，则______． 22. 如图，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点，线段的中点为点C，过点C作轴于点D．直线过原点O和点C．若直线上存在点，满足，则的值为__________． 三、解答题 23. 如图,在△ABC中,AB=AC，点P在BC上． (1)求作:△PCD,使点D在AC上，且△PCD∽△ABP；(要求:尺规作图，保留作图痕迹,不写作法) (2)在(1)的条件下,若∠APC=2∠ABC，求证:PD//AB． 24. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中如图所示． （1）将先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； （2）画出绕点顺时针旋转后得到，写出点的坐标； （3）在（2）过程中所经过的路径长（结果保留） 25. 如图，在中，，以为直径的与相交于点，，垂足为，平分． （1）求证：是的切线； （2）若弦垂直于，垂足为，，，求的半径； （3）当时，证明：∽． 26. 小米利用暑期参加社会实践，在妈妈的帮助下，利用社区提供的免费摊点卖玩具，已知小米所有玩具的进价均2元个，在销售过程中发现：每天玩具销售量y件与销售价格x元件的关系如图所示，其中AB段为反比例函数图象的一部分，BC段为一次函数图象的一部分，设小米销售这种玩具的日利润为w元． 根据图象，求出y与x之间的函数关系式； 求出每天销售这种玩具的利润元与元件之间的函数关系式，并求每天利润的最大值； 若小米某天将价格定为超过4元，那么要使得小米在该天的销售利润不低于54元，求该天玩具销售价格的取值范围． 27. 旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题． （1）尝试解决：如图①，在等腰中，，点M是上的一点，，，将绕点A旋转后得到，连接，则___________． （2）类比探究：如图②，在“筝形”四边形中，于点B，于点D，点P、Q分别是上的点，且，求的周长．（结果用a表示） （3）拓展应用：如图③，已知四边形，，求四边形的面积． 28. 如图，抛物线的图象经过，，三点，且一次函数的图象经过点． （1）求抛物线和一次函数的解析式． （2）点，为平面内两点，若以、、、为顶点的四边形是正方形，且点在点的左侧．这样的，两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：如果不存在，请说明理由． （3）将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与轴交于，两点（点在点左侧）．点是抛物线上的一个动点且在直线下方．已知点的横坐标为．过点作于点．求为何值时，有最大值，最大值是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $