专题01 平面向量的概念与运算6考点复习指南-【题海探秘】2024-2025学年高一下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019必修第二册）

【题海探秘】2024-2025高一下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019必修第二册） 专题01 平面向量的概念与运算6考点复习指南 【问题背景】 在高考数学中，平面向量作为重要知识板块，常与函数、三角函数、解析几何等内容交汇命题。向量具有代数与几何的双重属性，这使其成为沟通数与形的关键桥梁。从数学本身来看，向量的概念与运算构建起一套独特的数学体系，它不仅是对数量与方向综合考量的创新，还为解决几何问题提供了新的代数方法，在数学理论发展和实际解题应用中都占据着重要地位。平面向量的考查，旨在检验学生对数学概念的理解深度、运算能力的熟练程度以及知识综合运用的灵活性，对学生数学素养的提升具有重要意义。 【处理角度】 1. 概念理解角度：深入剖析向量的基本概念，包括向量的定义、零向量、单位向量、相等向量、共线向量等，明确各概念的内涵与外延，通过对比相似概念，如向量的模与实数的绝对值，帮助学生精准把握向量的本质特征。 2. 运算规则角度：系统梳理向量的各种运算规则，如加减法、数乘运算等。理解向量运算与实数运算的差异和联系，像向量的加法满足交换律和结合律，但向量乘法的运算规则与实数乘法有很大不同。注重运算规则的推导过程，使学生不仅知其然，还知其所以然，从而正确运用运算规则进行计算。 3. 几何意义角度：借助向量的几何意义，将向量问题转化为几何图形问题进行分析。例如，向量的加减法可以用三角形法则和平行四边形法则来直观表示，通过图形的直观展示，帮助学生更好地理解向量运算的实际意义，以及向量在几何问题中的应用原理。 4. 逻辑推理角度：在解决向量相关问题时，培养学生的逻辑推理能力。从已知条件出发，依据向量的定义、定理和运算规则，逐步推导得出结论。比如在判断向量共线、证明平行四边形等问题中，运用严谨的逻辑推理，构建清晰的解题思路。 【解法策略】 1. 向量基本概念题型：对于判断向量相关概念正误的题目，需要准确回顾向量的基本定义和性质。明确零向量的方向是任意的，向量的模可以为零；单位向量方向不唯一，所以起点相同的单位向量终点不一定相同；非零向量和为零向量时互为相反向量等关键知识点，通过对每个选项的细致分析，依据概念进行判断。 2. 相等向量、共线向量题型：判断两个向量是否相等，要同时关注向量的大小和方向是否都相同；判断向量是否共线，可从向量平行的定义出发，若存在实数使得一个向量等于另一个向量的实数倍，则两向量共线。对于条件关系判断的题目，分析两个条件之间的推出关系，根据充分条件和必要条件的定义得出结论。 3. 向量加减法运算题型：在进行向量加减法运算时，遵循向量加减法的运算法则，如三角形法则和平行四边形法则。化简向量表达式时，通过合理运用这些法则，将复杂的向量组合逐步简化，找到与已知向量或目标向量的关系，从而得出化简结果。对于判断等式是否成立的题目，逐一验证每个等式是否符合向量运算规则。 4. 向量数乘运算题型：进行向量数乘运算时，根据数乘运算规则，数乘向量的长度等于该数的绝对值与原向量长度的乘积，方向与原向量相同（数为正时）或相反（数为负时）。在化简数乘向量表达式时，准确运用运算规则进行计算。判断两个向量是否平行，可根据数乘向量的性质，若一个向量能表示为另一个向量的数乘形式，则两向量平行。 5. 利用已知向量表示未知向量题型：此类题目需要结合图形，依据向量的加减法和数乘运算法则，将未知向量逐步转化为已知向量的组合。找到图形中的线段关系、平行关系等，利用这些几何关系确定向量之间的运算关系，从而用已知向量准确表示出未知向量。 6. 向量共线定理及应用题型：当已知向量共线时，根据向量共线定理，存在实数使得共线向量之间满足特定的等式关系。通过建立等式，结合已知条件，求解出相关未知数的值。证明三点共线问题时，转化为证明由这三点构成的两个向量共线，且这两个向量有公共点，即可得出三点共线的结论。 考点1 向量的基本概念 1．（2025高一·全国·专题练习）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．向量的模是一个正实数 C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 2．【多选】（2025高一·全国·专题练习）（多选）给出下列命题正确的是（    ） A．海拔、温度、角度都不是向量 B．向量与向量的长度相等 C．若满足，且同向，则 D．若四边形满足，则四边形是平行四边形 3．【多选】（22-23高三上·四川成都·期中）关于非零向量，，下列命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 考点2 相等向量、共线向量 4．（24-25高三上·北京丰台·期末）设，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．【多选】（2025高一·全国·专题练习）给出下列命题，不正确的有（    ） A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 B．若为非零向量，则与同向 C．若则 D．已知λ，μ为实数，若，则与共线 6．【多选】（24-25高一下·江西上饶·期中）给出下列命题，不正确的有（   ） A．若为非零向量，则与同向 B．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 C．若，则 D．已知，为实数，若，则与共线 7．（24-25高一下·安徽宿州·期中）已知是平面内不共线的四点，则“”是“四边形为平行四边形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）在正六边形ABCDEF中，设，则下列向量中与不共线的是（   ） A． B． C． D． 考点3 向量加减法运算 9．（24-25高一下·天津静海·阶段练习）在中，下列四式中成立的个数为（    ） ①，②，③，④ A．1 B．2 C．3 D．4 10．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）在四边形MNPQ中，若，则四边形MNPQ是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 11．（23-24高一下·湖南邵阳·期中）在正六边形中，（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·四川达州·期中）下列表达式化简结果与相等的是（    ） A． B． C． D． 13．（21-22高一下·天津·阶段练习）向量，化简后等于（    ） A． B． C． D． 考点4 向量的数乘运算 14．（22-23高一下·重庆綦江·期中）化简为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一下·全国·课后作业）设D，E，F分别是的边BC，CA，AB上的点，且，则与（    ） A．平行且方向相反 B．平行且方向相同 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 16．（24-25高一下·江苏南京·期中）设，为非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 考点5 利用已知向量表示未知向量 18．（2025·贵州铜仁·模拟预测）在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 19．（23-24高二上·湖北黄石·期中）如图，在四边形中，，，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知E为所在平面内的点，且.若，则（    ） A． B．3 C． D． 21．（24-25高三上·浙江·期中）在中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高三上·北京朝阳·期中）如图，在中，， ，则（   ）    A． B． C． D． 23．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知等腰梯形中，，，E为BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 考点6 向量共线定理及应用 24．（24-25高三上·浙江·期中）已知，是不共线的单位向量，若，，且，则（   ） A． B． C． D． 25．（24-25高一下·江苏扬州·期中）设，是平面内两个不共线的非零向量，已知，，，若，，三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 26．（24-25高一下·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知，，，则（    ）三点共线 A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 27．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知向量，不共线，且，，． (1)若，求的值； (2)若，求证：，，三点共线． 28．（24-25高三上·广东·期中）已知向量，不平行，，则（   ） A． B． C．1 D．2 一、单选题 1．（19-20高一下·全国·课后作业）在中，，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 2．（23-24高一下·上海·期中）若，都是单位向量，则下列结论一定正确的是（ ） A． B．如果，那么 C． D．如果，那么或 3．（15-16高一下·河北石家庄·课后作业）在四边形中，，，，若，不共线，则四边形为（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 4．（23-24高一下·福建福州·期中）下列说法正确的是（    ） A．若两个非零向量共线，则必在同一直线上 B．若与共线，与共线，则与也共线 C．若则 D．若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是或 5．（23-24高三上·安徽·期中）已知平面向量，则“”是“，共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2023·北京海淀·二模）已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 7．（22-23高一下·湖南怀化·期中）下列各式中结果一定为零向量的是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一下·甘肃·阶段练习）下列四个等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·山东泰安·期中）下列向量的运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 10．（23-24高一下·天津·期末）已知，是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数的值为 . 11．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）已知是两个不共线的向量，，若与共线，则 ． 12．（21-22高三上·辽宁大连·期中）在中，点是线段上任意一点（不包含端点），若，则的最小值为 ． 13．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）在中，，P是直线上一点，若，则实数m的值为 . 14．（23-24高一下·宁夏银川·期中）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的最小值是 ． 四、解答题 15．（9-10高一下·辽宁沈阳·期末）已知两个非零向量与不共线. (1)若，求证：三点共线； (2)试确定实数，使和共线. 16．（21-22高一下·重庆巫山·期末）设是两个不共线的向量，已知． (1)求证：三点共线； (2)若且，求实数的值． 17．（23-24高一上·浙江杭州·期末）设是不共线的两个非零向量． (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数k的值． 18．（19-20高一下·海南海口·阶段练习）设，是两个不共线的向量，如果，，. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)试确定的值，使和共线； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【题海探秘】2024-2025高一下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019必修第二册） 专题01 平面向量的概念与运算6考点复习指南 【问题背景】 在高考数学中，平面向量作为重要知识板块，常与函数、三角函数、解析几何等内容交汇命题。向量具有代数与几何的双重属性，这使其成为沟通数与形的关键桥梁。从数学本身来看，向量的概念与运算构建起一套独特的数学体系，它不仅是对数量与方向综合考量的创新，还为解决几何问题提供了新的代数方法，在数学理论发展和实际解题应用中都占据着重要地位。平面向量的考查，旨在检验学生对数学概念的理解深度、运算能力的熟练程度以及知识综合运用的灵活性，对学生数学素养的提升具有重要意义。 【处理角度】 1. 概念理解角度：深入剖析向量的基本概念，包括向量的定义、零向量、单位向量、相等向量、共线向量等，明确各概念的内涵与外延，通过对比相似概念，如向量的模与实数的绝对值，帮助学生精准把握向量的本质特征。 2. 运算规则角度：系统梳理向量的各种运算规则，如加减法、数乘运算等。理解向量运算与实数运算的差异和联系，像向量的加法满足交换律和结合律，但向量乘法的运算规则与实数乘法有很大不同。注重运算规则的推导过程，使学生不仅知其然，还知其所以然，从而正确运用运算规则进行计算。 3. 几何意义角度：借助向量的几何意义，将向量问题转化为几何图形问题进行分析。例如，向量的加减法可以用三角形法则和平行四边形法则来直观表示，通过图形的直观展示，帮助学生更好地理解向量运算的实际意义，以及向量在几何问题中的应用原理。 4. 逻辑推理角度：在解决向量相关问题时，培养学生的逻辑推理能力。从已知条件出发，依据向量的定义、定理和运算规则，逐步推导得出结论。比如在判断向量共线、证明平行四边形等问题中，运用严谨的逻辑推理，构建清晰的解题思路。 【解法策略】 1. 向量基本概念题型：对于判断向量相关概念正误的题目，需要准确回顾向量的基本定义和性质。明确零向量的方向是任意的，向量的模可以为零；单位向量方向不唯一，所以起点相同的单位向量终点不一定相同；非零向量和为零向量时互为相反向量等关键知识点，通过对每个选项的细致分析，依据概念进行判断。 2. 相等向量、共线向量题型：判断两个向量是否相等，要同时关注向量的大小和方向是否都相同；判断向量是否共线，可从向量平行的定义出发，若存在实数使得一个向量等于另一个向量的实数倍，则两向量共线。对于条件关系判断的题目，分析两个条件之间的推出关系，根据充分条件和必要条件的定义得出结论。 3. 向量加减法运算题型：在进行向量加减法运算时，遵循向量加减法的运算法则，如三角形法则和平行四边形法则。化简向量表达式时，通过合理运用这些法则，将复杂的向量组合逐步简化，找到与已知向量或目标向量的关系，从而得出化简结果。对于判断等式是否成立的题目，逐一验证每个等式是否符合向量运算规则。 4. 向量数乘运算题型：进行向量数乘运算时，根据数乘运算规则，数乘向量的长度等于该数的绝对值与原向量长度的乘积，方向与原向量相同（数为正时）或相反（数为负时）。在化简数乘向量表达式时，准确运用运算规则进行计算。判断两个向量是否平行，可根据数乘向量的性质，若一个向量能表示为另一个向量的数乘形式，则两向量平行。 5. 利用已知向量表示未知向量题型：此类题目需要结合图形，依据向量的加减法和数乘运算法则，将未知向量逐步转化为已知向量的组合。找到图形中的线段关系、平行关系等，利用这些几何关系确定向量之间的运算关系，从而用已知向量准确表示出未知向量。 6. 向量共线定理及应用题型：当已知向量共线时，根据向量共线定理，存在实数使得共线向量之间满足特定的等式关系。通过建立等式，结合已知条件，求解出相关未知数的值。证明三点共线问题时，转化为证明由这三点构成的两个向量共线，且这两个向量有公共点，即可得出三点共线的结论。 考点1 向量的基本概念 1．（2025高一·全国·专题练习）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．向量的模是一个正实数 C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 【答案】D 【分析】由与向量的相关的定义逐个判断各个选项即可得结果. 【详解】向量既有大小又有方向，A不正确． 零向量的模是0， B不正确． 因为单位向量的方向不确定， C不正确． 若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量，D正确 故选：D 2．【多选】（2025高一·全国·专题练习）（多选）给出下列命题正确的是（    ） A．海拔、温度、角度都不是向量 B．向量与向量的长度相等 C．若满足，且同向，则 D．若四边形满足，则四边形是平行四边形 【答案】ABD 【分析】由向量的定义判断A选项；由向量的模长的定义判断B选项，向量不能比较大小判断C选项，由相等向量判断D选项. 【详解】对于A， 海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量，故A正确， 对于B，向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，故B正确， 对于C，向量不可以比较大小，故C错误， 对于D，，则，且，故为平行四边形，故D正确， 故选：ABD 3．【多选】（22-23高三上·四川成都·期中）关于非零向量，，下列命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据向量的模、向量共线等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，向量的模相等，可能方向不相等，所以A选项错误. B选项，两个向量互为相反向量，则这两个向量平行，所以B选项正确. C选项，非零向量，，若，，则成立，所以C选项正确. D选项，向量不能比较大小，所以D选项错误. 故选：BC. 考点2 相等向量、共线向量 4．（24-25高三上·北京丰台·期末）设，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据两者之间的推出关系可得两者之间的条件关系. 【详解】若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立， 故得不到， 若，则， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 5．【多选】（2025高一·全国·专题练习）给出下列命题，不正确的有（    ） A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 B．若为非零向量，则与同向 C．若则 D．已知λ，μ为实数，若，则与共线 【答案】ACD 【分析】由相等向量的定义判断A选项，由共线向量判断B选项，由的方向是任意的和平行向量判断C选项和D选项. 【详解】A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点； B正确，是与同方向的单位向量； C错误，若，则不一定共线；故C错误； D错误，当时，与可以为任意向量，满足， 但与不一定共线． 故选：ACD． 6．【多选】（24-25高一下·江西上饶·期中）给出下列命题，不正确的有（   ） A．若为非零向量，则与同向 B．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 C．若，则 D．已知，为实数，若，则与共线 【答案】BCD 【分析】由共线向量可判断A，由相等向量的定义可判断B，由的方向是任意的和平行向量可判断C和D. 【详解】是与同方向的单位向量，故A正确； 两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等， 但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故B错误； 若，则不一定共线，故C错误； 当时，与可以为任意向量，满足， 但与不一定共线，故D错误. 故选：BCD. 7．（24-25高一下·安徽宿州·期中）已知是平面内不共线的四点，则“”是“四边形为平行四边形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充要条件的判断方法，从两个方向判断即得. 【详解】因为是不共线的四点， 若，则有，，故四边形为平行四边形； 若四边形为平行四边形，则有. 故“”是“四边形为平行四边形”的充要条件. 故选：C. 8．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）在正六边形ABCDEF中，设，则下列向量中与不共线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共线向量的定义即可. 【详解】因为共线向量是指向量所在直线共线或平行的向量，O为正六边形的中心， 所以与所在直线平行，所以是共线向量，故A错误； 与所在直线平行，所以是共线向量，故B错误； 与所在直线既不共线也不平行，所以不是共线向量，故C正确； 与所在直线共线，所以是共线向量，故D错误. 故选：C. 考点3 向量加减法运算 9．（24-25高一下·天津静海·阶段练习）在中，下列四式中成立的个数为（    ） ①，②，③，④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用向量的加减运算法则即可得解. 【详解】对于①，，故①错误； 对于②，，故②正确； 对于③，，故③正确； 对于④，，故④正确； 故选：C. 10．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）在四边形MNPQ中，若，则四边形MNPQ是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 【答案】A 【分析】由向量加法法则得到答案. 【详解】，由向量加法法则可得四边形MNPQ是平行四边形. 故选：A 11．（23-24高一下·湖南邵阳·期中）在正六边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量加法法则及运算律计算可得. 【详解】因为，故D正确. 显然，，，故A、B、C均错误. . 故选：D 12．（24-25高二上·四川达州·期中）下列表达式化简结果与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用向量加减的运算法则逐一判断即可. 【详解】对于A，，不满足题意，故A错误； 对于B，，满足题意，故B正确； 对于C，，不满足题意，故C错误； 对于D，结果与的具体关系不确定，故D错误. 故选：B. 13．（21-22高一下·天津·阶段练习）向量，化简后等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的加法与减法可化简所得向量式. 【详解】. 故选：D. 考点4 向量的数乘运算 14．（22-23高一下·重庆綦江·期中）化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的数乘及加减运算即可求得结果. 【详解】根据向量的四则运算可知， . 故选：D 15．（24-25高一下·全国·课后作业）设D，E，F分别是的边BC，CA，AB上的点，且，则与（    ） A．平行且方向相反 B．平行且方向相同 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算计算并判断得解. 【详解】在中，由，得，则， 同理由，得，由，得， 则，所以与平行且方向相反. 故选：A 16．（24-25高一下·江苏南京·期中）设，为非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量定义和数乘定义判断可知. 【详解】表示向量的长度是向量长度的2倍，但，的方向不一定相同， 所以由推不出； 反之，由数乘定义可知，若，则. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 17．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）根据向量的数乘运算求解； （2）根据向量的数乘和加减法运算律求解即可； （3）根据向量的数乘和加减法运算律求解即可； （4）（5）根据向量的加减法法则求解即可. 【详解】（1）； （2）； （3） ； （4）； （5） 考点5 利用已知向量表示未知向量 18．（2025·贵州铜仁·模拟预测）在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的加减法，和数乘运算法则直接求解即可. 【详解】因为是对角线上靠近点的三等分点， 所以， 则. 故选：A 19．（23-24高二上·湖北黄石·期中）如图，在四边形中，，，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算，结合图形可得. 【详解】因为， 所以 . 故选：C. 20．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知E为所在平面内的点，且.若，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算及平面向量基本定理将用表示，求得，即可得出答案. 【详解】    因为， 则， 所以， 所以， 所以，， 故. 故选：A. 21．（24-25高三上·浙江·期中）在中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可. 【详解】由题可知，，, 所以有，所以，得. 故选：C 22．（24-25高三上·北京朝阳·期中）如图，在中，， ，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的线性关系即可得到结果. 【详解】∵，， ∴，， ∴，故AB选项错误； ∴，故C选项正确，D选项错误. 故选：C 23．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知等腰梯形中，，，E为BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算法则进行代换即可求解． 【详解】因为， 所以，即， 又的中点为E， 所以， 故选：D． 考点6 向量共线定理及应用 24．（24-25高三上·浙江·期中）已知，是不共线的单位向量，若，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量共线，得到，再结合条件，得到，即可求解. 【详解】因为，设，则， 即，解得， 故选：C. 25．（24-25高一下·江苏扬州·期中）设，是平面内两个不共线的非零向量，已知，，，若，，三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量共线定理列方程，解方程即可. 【详解】由已知，， 则， 又，，三点共线， 则与共线，， 即，解得， 故选：D. 26．（24-25高一下·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知，，，则（    ）三点共线 A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 【答案】A 【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量共线定理对四个选项依次判断即可. 【详解】对于A，因为， 所以，所以A、B、D三点共线，故A正确； 对于B，因为，， 所以不存在，使得，所以A、B、C三点不共线，故B错误； 对于C，因为，， 所以不存在，使得，所以B、C、D三点不共线，故C错误； 对于D，因为，， 所以不存在，使得，所以A、C、D三点不共线，故D错误. 故选：A. 27．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知向量，不共线，且，，． (1)若，求的值； (2)若，求证：，，三点共线． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据向量的共线定理即可求解； （2）由向量的线性运算，可求出、，再根据向量的共线定理，即可证明. 【详解】（1）若，则，即， 可得，解得，， 所以. （2）若，则， 所以，， 所以，则，，三点共线． 28．（24-25高三上·广东·期中）已知向量，不平行，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据向量共线得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，则. 故选：B. 一、单选题 1．（19-20高一下·全国·课后作业）在中，，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】利用平面向量的加法，可得答案. 【详解】由题意可得，则为等边三角形. 故选：B. 2．（23-24高一下·上海·期中）若，都是单位向量，则下列结论一定正确的是（ ） A． B．如果，那么 C． D．如果，那么或 【答案】D 【分析】利用单位向量，向量相等及向量共线的定义进行判断即可. 【详解】因为，都是单位向量，所以，且，方向不确定， 所以选项A和选项C错误； 如果，与方向相同或相反，且， 所以选项B错误，选项D正确. 故选：D. 3．（15-16高一下·河北石家庄·课后作业）在四边形中，，，，若，不共线，则四边形为（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 【答案】C 【分析】先根据向量的加法得出，根据一组对边平行且不等得出四边形为梯形. 【详解】由已知得，， 故，且，所以四边形是梯形． 故选：C. 4．（23-24高一下·福建福州·期中）下列说法正确的是（    ） A．若两个非零向量共线，则必在同一直线上 B．若与共线，与共线，则与也共线 C．若则 D．若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是或 【答案】D 【分析】根据共线向量的概念即可判断A,B,D;根据相等向量的概念可以判断C. 【详解】方向相同或相反的两个非零向量是共线向量，因此D正确； 若非零向量是共线向量，则未必在同一直线上，A错； 若，则与共线，与共线，但是与未必共线，B错； 由可以得到的大小相等，但方向不一定相同，C错. 故选：D. 5．（23-24高三上·安徽·期中）已知平面向量，则“”是“，共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据向量共线及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若则，共线，故充分性成立； 若，共线，不一定得到， 如，，显然满足，共线， 但是不存在实数使得，故必要性不成立； 所以“”是“，共线”的充分不必要条件. 故选：A 6．（2023·北京海淀·二模）已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断. 【详解】若，则存在唯一的实数，使得， 故， 而， 存在使得成立， 所以“”是“存在，使得’的充分条件， 若且，则与方向相同， 故此时，所以“”是“存在存在，使得”的必要条件， 故“”是“存在，使得”的充分必要条件. 故选：C. 二、多选题 7．（22-23高一下·湖南怀化·期中）下列各式中结果一定为零向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用向量的加法运算，结合零向量的意义逐项计算判断作答. 【详解】对于A，，A是； 对于B，，不一定是零向量，B不是； 对于C，，C是； 对于D，，D是. 故选：ACD 8．（22-23高一下·甘肃·阶段练习）下列四个等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由向量的运算律、加法法则及相反向量等判断各项正误即可. 【详解】由向量的加法交换律及相反向量知：、，即A、B正确， 由，C正确， 向量的线性运算(加减、数乘运算)，结果应为向量，D错误． 故选：ABC 9．（23-24高一下·山东泰安·期中）下列向量的运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据向量的加减法法则逐个分析判断即可. 【详解】对于A，，所以A正确， 对于B，，所以B错误， 对于C，，所以C正确， 对于D，，所以D错误. 故选：AC 三、填空题 10．（23-24高一下·天津·期末）已知，是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据平面向量的共线定理即可求解. 【详解】因为向量与共线， 所以存在唯一的实数k,使得成立, 即，所以，解得， 故答案为：. 11．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）已知是两个不共线的向量，，若与共线，则 ． 【答案】/ 【分析】根据给出的条件，利用共线向量定理求出，即可求解. 【详解】由已知，是两个不共线的向量，则， 又因为与共线，则，即， 即， 即，解得. 故答案为：. 12．（21-22高三上·辽宁大连·期中）在中，点是线段上任意一点（不包含端点），若，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】利用平面向量共线的结论，得到，然后用“1”的代换后，用基本不等式即可解得． 【详解】是线段上一点，三点共线， ，且， ， 当且仅当即时取等号． 的最小值为9． 故答案为：9． 13．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）在中，，P是直线上一点，若，则实数m的值为 . 【答案】/ 【分析】将题设将变形为，再结合共线定理的推论即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 因为三点共线，所以. 故答案为：. 14．（23-24高一下·宁夏银川·期中）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的最小值是 ． 【答案】8 【分析】将变形后，由，，三点共线，可得，则，化简后利用基本不等式可求出其最小值. 【详解】因为，所以． 因为，，三点共线，所以， 所以． 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值是8. 故答案为：8 四、解答题 15．（9-10高一下·辽宁沈阳·期末）已知两个非零向量与不共线. (1)若，求证：三点共线； (2)试确定实数，使和共线. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据平面向量共线定理证明即可得出结论； （2）利用共线定理构造方程组即可解得. 【详解】（1）由可得； 显然，即共线， 又因为它们有公共点， 所以可得三点共线； （2）若和共线，且向量与不共线， 则存在实数满足，因此， 解得； 即存在，使和共线. 16．（21-22高一下·重庆巫山·期末）设是两个不共线的向量，已知． (1)求证：三点共线； (2)若且，求实数的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据，即可得证； （2）利用共线向量定理即可求解. 【详解】（1）由已知，得， 因为， 所以，又与有公共点， 所以三点共线． （2）由（1），知，若，且， 可设， 所以， 即． 又是两个不共线的向量，所以， 解得． 17．（23-24高一上·浙江杭州·期末）设是不共线的两个非零向量． (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数k的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可. （2）由共线性质求出参数即可. 【详解】（1）由， 得, , 所以，且有公共点B， 所以三点共线. （2）由与共线， 则存在实数，使得， 即，又是不共线的两个非零向量， 因此，解得，或， 实数k的值是 18．（19-20高一下·海南海口·阶段练习）设，是两个不共线的向量，如果，，. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)试确定的值，使和共线； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明A，B，D三点共线，只需证明向量与共线； （2）两向量与（）共线，所以存在唯一实数实数，使，由此列方程组可解. 【详解】（1）因为， 所以与共线. 因为与有公共点B， 所以A，B，D三点共线. （2）因为和共线， 所以存在实数，使. 因为，是两个不共线的向量，所以， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$